2. ‫فيما سبق:‬

3. ‫ أحلل ثلثية حدود على الصورة:‬‫س2 + ب س + جـ‬
‫ أحل المعادلت على الصورة:‬‫س2 + ب س + جـ = 0‬

5. ‫لماذا؟‬
‫بركة سطحها مستطيل الشكل، يراد وضع سياج‬
‫حولها طوله 42 م. إذا كانت مساحة سطح‬
‫البركة 63 م2، فما بعداها؟‬

6. ‫لحل هذه المسألة، يجب إيجاد عددين حاصل‬
‫ضربهما 63 ومجموعهما يساوي نصف محيط‬
‫البركة أي 21 .‬

7. ‫تحليل س2 + ب س + جـ تعلمت كيف تضرب‬
‫ثنائيتي حد باستعمال طريقة التوزيع بالترتيب،‬
‫على أن تكون كل ثنائية حد منهما عامل لناتج‬
‫ل ً‬
‫الضرب. ويمكن استعمال نمط ضرب ثنائيتي‬
‫الحد لتحليل أنواع معينة من ثلثيات الحدود .‬

8. ‫)س + 3( )س + 4( = س2 + 4س + 3س + 3*4‬
‫طريقة التوزيع بالترتيب‬
‫= س2 + )4 + 3( س + 3×4‬
‫خاصية التوزيع‬
‫= س2 + 7س + 21‬
‫بسط‬
‫)ع.م.أ( = 3 × 3 × ص = 9ص‬
‫لحظ أن معامل الحد الوسط 7 هو مجموع العددين‬
‫3 و4، والحد الخير 21 هو ناتج ضربهما .‬

9. ‫لحظ القاعدة التية في الضرب:‬
‫)س + 3( )س + 4( = س2 + )4 + 3( س + )3*4(‬
‫)س + م( )س + ن( = س2 + )ن + م( س + م ن‬
‫لتكن 3 = م، 4 = ن‬
‫= س2 + )م + ن( س + م ن‬
‫س2 + ب س + جـ‬
‫البدال )+(‬
‫ب = م + ن، جـ = م ن‬

10. ‫لحظ أن معامل الحد الوسط هو مجموع م، ن والحد‬
‫الخير هو ناتج ضربهما .‬
‫تستعمل هذه القاعدة لتحليل ثلثيات الحدود على‬
‫الصورة س2 + ب س + جـ .‬

11. ‫مفهوم أساسي: تحليل س2 + ب س + جـ‬
‫التعبير اللفظي: لتحليل ثلثية حدود على‬
‫الصورة س2 + ب س + جـ، أوجد عددين‬
‫صحيحين م، ن مجموعهما ب وناتج‬
‫ضربهما جـ، ثم اكتب س2 + ب س + جـ‬
‫على الصورة )س + م( )س + ن( .‬

12. ‫الرموز:‬
‫س2 + ب س + جـ = )س + م( )س + ن(، حيث م‬
‫+ ن = ب، م ن = جـ‬
‫مثال: س2 + 6س + 8 = )س + 2( )س + 4( .‬
‫لن 2 + 4 = 6، 2×4 = 8 .‬
‫يكون لعاملي جـ الاشارة نفسها عندما تكون‬
‫موجبة. ويعتمد كون العاملين موجبين أو سالبين‬
‫على إاشارة ب. فإذا كانت ب موجبة فالعاملن‬
‫موجبان، وإذا كانت سالبة فالعاملن سالبان .‬

13. ‫تحليل س2 + ب س + جـ عندما يكون ب ، جـ موجبين‬
‫1‬
‫حلل: س2 + 9س + 02‬
‫بما أن جـ، ب موجبان في ثلثية الحدود ب = 9، جـ‬
‫= 02. لذا يجب إيجاد عاملين موجبين مجموعهما‬
‫9 وناتج ضربهما 02. كون قائمة عوامل العدد 02،‬
‫وجد العاملين اللذين مجموعهما 9 .‬
‫عوامل العدد 02 مجموع العاملين‬
‫1،2‬
‫2،01‬
‫4،5‬
‫12‬
‫21‬
‫9‬

14. ‫العاملن الصحيحان هما 4، 5‬
‫س2 + 9س + 02 = )س + م( )س + ن(‬
‫اكتب القاعدة‬
‫= )س + 4( )س + 5(‬
‫م = 4، ن = 5‬
‫)س + 4( )س + 5( = س2 + 5س + 4س + 02‬
‫طريقة التوزيع بالترتيب‬
‫= س2 + 9س + 02‬
‫بسط‬

15. ‫حلل كل من كثيريتي الحدود اليتيتين :‬
‫1أ( د2 + 11د + 42‬
‫)د+3()د+8(‬

16. ‫إرشادات لحل المسألة‬
‫خمن ويتحقق‬
‫عند يتحليل يثليثية حدود، اعمل يتخمينا‬
‫مدروسا، ويتحقق من معقولية، يثم عدل التخمين‬
‫حتى يتصل إلى الاجابة الصحيحة.‬

17. ‫إذا كانت ب سالبة، و جـ موجبة في يثليثية‬
‫الحدود، استعمل ما تعرفه عن ضرب يثنائيتي‬
‫الحد لتقليص قائمة العوامل الممكنة .‬

18. ‫يتحليل س2 + ب س + اجـ عندما يتكون ب سالبة، اجـ مواجبة‬
‫2‬
‫حلل س2 – 8س + 21‬
‫بما أن جـ موجبة، و ب سالبة في يثليثية الحدود، ب =‬
‫8، جـ = 21 لذا يجب إيجاد عاملين سالبين مجموعهما‬‫8 وحاصل ضربهما 21 .‬‫عوامل العدد 21 مجموع العاملين‬
‫1، -21‬‫2، -6‬‫-3، -4‬
‫31‬‫8‬‫-7‬

19. ‫س2 – 8س + 21 = )س + م( )س + ن(‬
‫اكتب القاعدة‬
‫= )س – 2( )س – 6(‬
‫م = -2، ن = -6‬
‫تحقق: مثل المعادلتين: ص = س2 – 8س + 21،‬
‫ص = )س – 2( )س – 6( بيانيا على الشاشة‬
‫ ً‬
‫نفسها. بما أن التمثيلين متطابقان، فإن يثليثية الحدود‬
‫حللت بصورة صحيحة .‬
‫ُ‬

20. ‫إرشادات للدراسة‬
‫إيجاد العوامل‬
‫عندما يتجد العوامل الصحيحة فليس هناك‬
‫ضرورة لختبار العوامل الخرى.‬
‫فمثل، العاملن الصحيحان في المثال 2‬
‫هما: -2،-6، لذا فل داعي لختبار‬
‫العاملين: -3،-4‬

21. ‫حلل كل من كثيريتي الحدود اليتيتين:‬
‫م ً‬
‫2أ( 12 – 22م + م‬
‫)م-1()م-12(‬
‫2‬

22. ‫تابــــــــــع‬

24. ‫عندما تكون جـ سالبة، يكون لعامليها‬
‫إشارتان مختلفتان. ولتحدد أي عامل منهما‬
‫موجب وأيهما سالب، انظر إلى إشارة ب؛‬
‫فالعامل الذي له القيمة المطلقة الكبرى له‬
‫إشارة ب نفسها .‬

25. ‫يتحليل س2 + ب س + اجـ عندما يتكون اجـ سالبة :‬
‫3‬
‫حلل كل كثيرة حدود ما يأتي:‬
‫أ( س2 + 2س – 51‬
‫في يثليثية الحدود هذه ب = 2،، جـ = --51 وبما أن جـ‬
‫في يثليثية الحدود هذه ب = 2 جـ = 51 وبما أن جـ‬
‫سالبة. فإن م و ن عددان مختلفان في الشارة. وبما أن ب‬
‫سالبة. فإن م و ن عددان مختلفان في الشارة. وبما أن ب‬
‫موجبة، فالعامل الذي قيمته المطلقة أكبر يكون موجباا ..‬
‫موجبة، فالعامل الذي قيمته المطلقة أكبر يكون موجب ً ً‬

26. ‫0=0‬
‫0=0‬
‫عوامل العدد 51 مجموع العاملين‬
‫1، 51‬‫-3، 5‬
‫41‬
‫2‬

27. ‫العاملن الصحيحان هما ــ 3 ، 5‬
‫= )س – 3( )س + 5(‬
‫م = -3، ن = 5‬
‫تحقق: )س – 3( )س + 5( = س2 + 5س – 3س – 51‬
‫طريقة التوزيع بالترتيب‬
‫= س2 + 2س – 51‬
‫بسط‬

28. ‫ب( س2 – 7س – 81‬
‫في يثليثية الحدود هذه ب = -7، جـ = -81، إذن م أو‬
‫ن سالبة، وليس كلهما . وبما أن ب سالبة، فالعامل ذو‬
‫القيمة المطلقة الكبرى يكون سالبا .‬
‫ ً‬
‫اكتب أزواج من عوامل -81، على أن يكون أحد‬
‫العاملين في كل زوج سالبا والرخر موجبا، يثم انظر إلى‬
‫ ً‬
‫ ً‬
‫العاملين اللذين مجموعهما -7 .‬

29. ‫عوامل العدد 21 مجموع العاملين‬
‫1، -81‬
‫2، -9‬
‫-6، 3‬
‫71‬‫7‬‫-3‬
‫العاملن الصحيحان هما 2، -9‬
‫س2 + 7س – 81 = )س + م( )س + ن(‬
‫اكتب القاعدة‬
‫= )س + 2( )س – 9(‬
‫م = 2، ن = -9‬
‫تحقق: مثل المعادلتين ص = س2 – 7س –‬
‫81، ص = )س + 2( )س – 9( بيانيا على‬
‫ ً‬
‫الشاشة نفسها، بما أن التمثيلين متطابقان،‬
‫فإن يثليثية الحدود حللت بصورة صحيحة .‬
‫لُ‬

30. ‫3ب( ر2 – 2ر – 42‬
‫)ر+4()ر-6(‬

31. ‫تدرب وحل المسائل :‬
‫41( أ2 + 8أ – 84‬
‫)أ-4()أ+21(‬

32. ‫حل المعادل ت بالتحليل: يمكن كتابة المعادل ت التربيعية‬
‫على الصورة القياسية: أس2 + ب س + جـ = 0، أ ل‬
‫يساوي 0 ويمكن حل بعض المعادل ت على هذه الصورة‬
‫بالتحليل، يثم استعمال رخاصية الضرب الصفري .‬

33. ‫4‬
‫حل المعادلة: س2 + 6س = 72، وتحقق من صحة الحل:‬
‫س2 + 6س = 72‬
‫س2 + 6س – 72 = 0‬
‫)س – 3( )س + 9( = 0‬
‫المعادلة الصلية‬
‫اطرح 72 من كل الطرفين‬
‫حلل إلى العوامل‬
‫س – 3 = 0 أو س + 9 = 0 خاصية الضرب الصفري‬
‫س = 3 س = -9‬
‫حل كل معادلة‬

34. ‫س2 + 6س = 72‬
‫س2 + 6س = 72‬
‫)3( 2 + 6 )3( = 72‬
‫)-9( 2 + 6 )-9( = 72‬
‫9 + 81 = 72‬
‫18 – 45 = 72‬

35. ‫حل كل معادلة مما يأتي وتحقق من صحة الحل :‬
‫4ب( س2 + 3س – 81 = 0‬
‫س= 3، -6‬

36. ‫كتاب النشاط‬

37. ‫33( اكتشف الخطأ: حلل كل من رخليل وماجد العبارة:‬
‫س2 + 6س – 61. فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر ذلك .‬
‫ماجد: س2 + 6س – 61 = )س + 2( )س – 8(‬
‫رخليل: س2 + 6س – 61 = )س - 2( )س + 8(‬

38. ‫33( اكتشف الخطأ: حلل كل من رخليل‬
‫وماجد العبارة: س2 + 6س – 61.‬
‫فأيهما إجابته صحيحة؟ فسر ذلك .‬
‫ماجد: س2 + 6س – 61 = )س + 2( )س – 8(‬
‫رخليل: س2 + 6س – 61 = )س - 2( )س + 8(‬
‫خليل، عند ضرب العاملين اللذين يشكلن‬
‫إجابة ماجد يكون الناتج س2-6س-61 إل‬
‫أن الحد الوسط يجب أن يكون موجبا‬

39. ‫تدرب وحل المسائل :‬
‫81( س2 – 7س + 21 = 0‬
‫س=4، 3‬

40. ‫5‬
‫تصميم: يصمم سعيد لوحة إعل ن لبيع أقراص‬
‫مدمجة لتعلم الرياضيات. إذا كا ن ارتفاع الجزء‬
‫العلوي من اللوحة 4 بوصات، ويزيد طول باقي‬
‫اللوحة على عرضها ب 2 بوصة. ومساحة اللوحة‬
‫616 بوصة مربعة، فأوجد عرض اللوحة .‬
‫افهم: يجب إيجاد عرض اللوحة .‬
‫خطط: بما أن اللوحة على شكل مستطيل‬
‫فالمساحة = العرض×الطول‬

41. ‫حل: بما أ ن ض = عرض اللوحة.‬
‫فيكو ن طول اللوحة = ض + 4 + 2‬
‫=ض+6‬
‫ض )ض + 6( = 616‬
‫ض2 + 6ض = 616‬
‫اكتب المعادلة‬
‫اضرب‬
‫ض2 + 6ض – 616 = 0 اطرح 616 من كل طرف‬
‫حلل‬
‫)ض + 82( )ض – 22( = 0‬
‫ض + 82 = 0 أو ض – 22 = 0 خاصية الضرب‬
‫ض = -82 ض = 22 الصفري‬
‫حل كل معادلة‬

42. ‫بما أن البعاد ل يمكن أن تكون سالبة، فإن‬
‫العرض = 22 بوصة .‬
‫تحقق: إذا كان العرض 22 بوصة فإن المسافة = 22‬
‫)22 + 6( = 616 بوصة مربعة وهي مساحة اللوحة‬
‫المطلوبة .‬

43. ‫الربط مع الحياة‬
‫تصميم بعض اللوحات العلينية لستخدامها مرة‬
‫واحدة لمناسبة معينة، وإ ن كا ن الغرض من اللوحة‬
‫الستخدام لفترة طويلة، فيجب مراعاة المواد‬
‫المصنوعة منها لتقاوم عوامل الجو.‬

44. ‫5( هندسة: متوازي أضل ع ارتفاعه أق من قاعدته‬
‫بـ 81 سم، ومساحته 571 سم2 . فما ارتفاعه؟‬
‫ارتفاعه=7سم‬

45. ‫1( س2 + 41س + 42‬
‫)س+2()س+21(‬

46. ‫7( س2 – 51س + 45 = 0‬
‫س= 6، 9‬

47. ‫تدرب وحل المسائل :‬
‫12( ج2 + 01ج + 9 = 0‬
‫جـ=-1، -9‬

48. ‫انتهى الدرس‬

49. ‫مراجعة المفرادات‬
‫القيمة المطلقة‬
‫تمثل القيمة المطلقة للعدد ن المسافة‬
‫بين العدد والصفر على خط‬
‫العداد. وتكتب على الصورة ) ن(‬