Ensino medio livre_edicao_2012_unidade_01_gramatica
2º mat emática
1. MATEmática
Matrize s, dete rm inantes e sis tema s lineare s
1
Capítulo 1Matrizes
Conexões
56786666478886421234 ⋅⋅ 6 8 6 6 7 8 6 + + + + + + + + + +
7 6 6 4 8 8 =
+512213261218244142432812112870607440+ = î
Franciel foi aprovada
e emmat m t a,geografia biologia,masnão emhistória.
e á ic e
Exercícios complementares
13. A 28a linhacomeçarácom 28, na primeiracoluna. Assim, falta 16 elementosnessalinha: 28 +
m
16 = 44
14. At= –A
xy x z 10330203130−−0 000
z y 2 0 00 ===== ===== = = =
000 −−−− − = = ==
I.x= –x s 2x= 0 s x= 0
I 2 = –y s y= –2
I.
II
I –1 = –z s z= 1
.
∴ x+ y+ z= 0 – 2 + 1 = –1
15. O primeiromembrodaequaçãoé a somadoscemprimeirostermosdeumaPA cujoprimeirotermo
é iguala X e cujarazãoé iguala X.
SXXXX 1001002101505050= + ⋅= ⋅=().
100
Então:5.050 · X = 5050005050..l X X = 1001.0 ·
a.s 50
16. a)A vendeu16 automóveis tipo1 emmarço(a ).
do 13
B vendeu 20 automóv eisdo tipo1 emmarço(b ).13
a + b13 = 16 + 20 = 36
13
Portanto,A e B vender m,junta 36 automóv
a s, eisdo tipo1 emmarço.
b)ConcessionáriaA ConcessionáriaB
Mê 1: 12 + 15 = 27 M s 20 + 16 = 36
s ê 1:
Mê 2: 8 + 12 = 20 Mê 2: 16 + 10 = 26
s s
Mê 3: 16 + 24 = 40 M s 20 + 10 = 30
s ê 3:
Mê 4: 20 + 36 = 56 M s 24 + 26 = 50
s ê 4:
Portanto,a concessionáriaA ultra a sou concessionáriaB no volum devendas
p s a e (considerando-
sesoment os automóveis
e do tipo1 e do tipo2)nosmese demarçoe abril.
s
c)AB+ = + + + + + + + + 1 220816162020241516121024103626)n o
d)C=+=++ +
+ 1281620241512243612
D= C = 20162024241610102626
= +
+
29. d
(A+ B) = (A+ B) · (A+ B) s (A+ B) = A2 + AB + BA + B2
2 2
Se o produtodeA porB é comuta vo,(A· B = B · A), podemos
ti escrev r:
e
(A+ B) = A2 + AB + AB + B2 s
2
s (A+ B) = A2 + 2AB + B2
2
2. 30. a
I.xxx12 3121 3 − 3333 33
3 33 33333
3 333 33 − × × × 12 ,11,,10100 x3 0
23 1×
,,1
I Am× n · Bn × p – C m× p = 0m×
I. p
Observandoa ordemdasmatri e a únicapossibilidade
z s, é:
ABCDD233121212210× × × × ⋅−= × s×××− = 121210C
d⋅−0 0 1 2 0 −−o d m =00 1
x rm 1 0 1 0 x
1010011200xx oe r e 11
0
s 1200+ −++++++++++++++======= x s 1200+ −− +++++++======xxx
−− xx = s
s 1 + x– 2 = 0 s x= 1
2222 b⋅⋅
31. Aabbabbabababb 00=2b b 0 2 b + =2b b
aa = a = ab aab
A2 = A s
s abababbabb 0+2a a = b ds ababb 00+ = = = bb= Is
222 b bb be
bb r 222 ab )
(
Substituindoem( )temos:
I,
a = a s a – a = 0 s a(a– 1)= 0 s
2 2
s a = 0 (Nãoconvém.)ou a – 1 = 0 s a = 1
Logo: a = 1 e b = 0
32. e
A · At= I 12121001xy y z =0u⋅ 2 2 0 1 y 11 s
s ⋅
z x b oa 1 1 0 x =22 0
0
s 14221001 + + + + 10x yb= 0 u yx y z z
222 01 zz
yx ox z x y
3. 2
14 1 34 2 2 + = = xx ( )
s I
yxz2 0 + = s ()xzy2 2 2 = − s xzy 2 2 4 ⋅ = ( I
2 I)
y + z = 1( I)
2 2 II
Substituindo( )
Iem( I :
I)
34 4 3 2 2 2 2 ⋅ = = zyzys ( V
I )
Substituindo (IV) e m (III): a = (–1) + 1 = 1; a = (–1) + 2 = –1; a = 0
31 3 32 3 33
y y 2 3 1 + = s 43 1 2
2
Logo: A = − − − − 011101110
y= s y 34 =
2
4. b
Sendom , nije p ele en s
ij ij m to deM, N e P, resp ti a e t temos:
ec v m n e,
∴ x + y = 34 34 64
32 23 32 23 32 23 11 11 11 22 22 22 M N P mn p m n p + = + = + = i s N mnp
2 2
s 32 23 7 32 23 4 13 ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + = 72 4 yyx() s 9 4 42 9 4 62 xyyx+ =
32 x
32 + = =
Tarefa proposta + = 4 ()()I I
2 I
Fazendo( I ( )vem:
I ) I,
–
1. c
5y– 5x= 20 s y– x= 4
M a a a a a a = ) em I I I): 11 5. e
12 21 22 31 32 p – q11 = 2 – (–3) = 5
11
p – q12 = –1 – 1 = –2
12
p – q21 = 3 – 1 = 2
21
a = 2(1 – 1) = 0 a
11 12
p – q22 = 1 – 3 = –2
22
= 2· 1+ 2= 4
Logo, a distânciaentre asmatri e p e q é 5.
z s
a = 2 · 2 + 1 = 5 a22
21
= 2(2– 2)= 0 6. c
a = 2 · 3 + 1 = 7 a32
31 O país1 exportou1,2 + 3,1 = 4,3 bilhões.
= 2· 3+ 2= 8 O país2 exportou2,1 + 2,5 = 4,6 bilhões.
Portanto: O país3 exportou0,9 + 3,2 = 4,1 bilhões.
M = ao = 8 4 5 0 7 8
n: 2 0
t O país1 importou2,1 + 0,9 = 3,0 bilhões.
O país2 importou1,2 + 3,2 = 4,4 bilhões.
O país3 importou3,1 + 2,5 = 5,6 bilhões.
2. b 7. b
A aaaa= = 0 11 12 21
− − = + + + 1 22 1 4 3 4 2 2 xxxxx
22
x+ 1 = –1 s x= –2
a = (–1) + 1 · 1 · 1 =
11 1
8. b
1 a = (–1) + 1 · 2
21 2
xa a a a = − − − + − = 22 22422482
· 1 = –2
a = (–1) + 2 · 1 · 2 =
12 1
a – 2 = 2 s a = 4 s a = –2 ou a = 2
2 2
–2 a = (–1) + 2 ·
22 2
2· 2= 4 –2a = 4 s a = –2
Logo: A = − − 12 4a = –8 s a = –2
24 –2 + a = 2 s a = 4 s a = 2 ou a = –2
2 2
Logo: a = –2
3. A a a a a a a a a a = 9. d
a a a 12 13 21 22 23
a a 11 a + a + a + … + a = (1+ 1)+ (2+ 2)+ (3+ 3)+ … + 2n =
11 22 33 nn
31 32 33 e a i ji jiji j= = 2 + 4 + 6 + … + 2n
− ≠ = + ( ) 10 , A sequ n
ê cia umaPA.
é
⋅ ()1 2 s
se, se
Então:
a = 0; a = (–1) + 2 =
11 12 1
S aan n n = +
–1; a = (–1) + 3 =
13 1
1
a = (–1) + 1 = –1; a
s S n n n = + ⋅ ()2 2 2 s S n n n n n = + ⋅ = + 2 1 2 2 ()
21 2 22
= 0; a = (–1) + 3 =
23 2
–1
5. 3
x– 1 = 2 s x= 3
y+ 2 = –3 s y= –5
3z+ 1 = 7 s z= 2
Logo: xy = 3 · (–5) · 2 = –30
z
12. xpqxyr z x y−++ −− + + ++++++++ += − + − − − 13262113ppyzqr −−−−−−− zz zz
y z x + z z zz2621
z zz
x– 1 = –x + 1 s x= 1
p = –x – 3 s p = –1 – 3 s p = – 4
q= y
x+3 = –p s 1 + 3 = –p s p = – 4
2y+ 6 = –2y – 6 s y= –3 ( )
I
De ( ),
I temos:q = –3
r = z– 2
s + + + + + + 1057152722337 − −−−−
yxx x y x −+++++ + + + + + +
y y x y −− −== = = =
–y = –q s – (–3) = –q s q= −−− − −−−−−−121031522722321
− − −−−−−−
−
–3 573371xy y+= − + = ===
x
–z + 2 = –r Resolv endoo siste a,
m temos:
z+ 1 = –z – 1 s z= –1 ( I
I) x= –2 e y= 1
De ( I temos:r = –1 – 2 =
I) , w = |x · y| = | –2 · 1| = | –2 | = 2
–3
15. e
Logo: p = – 4; q = –3 e r =
A loja L1 vendeu 30 unidades do produto P1 e 15 unidades do
–3
produtoP2, logoa somadasquantidades dosprodutosdostiposP1
e P2 vendidospelaloja 1 é 45.
L
13.
23217034212x x z zy y yz 16. b
⋅− .
xy x − + + − +
z y+
+31 31
27 42
02 =+7734322101
zx y x z −−++ + + +++++ + +
y z yz + ++ PQ − = − ==== ==
=− . d = 4 23232544123664108888=
o −1 ==
2 ====− 88
88
3x– y= 7 ( )
I
2z+ 1 = 3z– 4 s z= 5
x+ 2y= 0 ( I
I)
= − − − − − − ==== ========= =
= −−− = 46142103825125()
De ( ) e
I ( I , vem:
I)
3720xy y−=+ ====
x Logo: (P– 2Q) = −−−
t 21255
ss 6214207142xyx x
y x−
= + = (I =
)= 17. b
3A = B + C
Substituindo em ( )
I, 361243xy w w y w ww == = =++ ++++++s
z x x z w =− = =
w
ww +
temos:
3 · 2 – y= 7 s y= –1 s 333346123xyzwx y wwww + + + − + ++++++
x z ww
w=+
w
Então:
A=to y 37117401106
ã =
:
3x= x+ 4 s 2x= 4 s x= 2
Logo, o traçodamatri A
z 3y= 2 + y+ 6 s 2y= 8 s y= 4
é: 3 + 4 + 6 = 13 3w = 2w + 3 s w = 3
14. BAA=− ⋅t32 s
3z= z+ 3 – 1 s 2z= 2 s z= 1
∴ x+ y+ z+ w = 2 + 4 + 1 + 3 = 10
s yx y y x y−+
x x y x
18. b
+ + 4 6 110571527223
+ =3m
A3 × 4_ Bp × q= C3 × 5; logo: p = 4 e q = 5
37 = −−−−============ = =
−−−−
−−−1106412323216214
− 19.
0⋅−9
3012432
121
23s
syxxy y x y−+
x y x 102321512310502100−0 0 .
00
0 g :
o p = = + − − + + 1154136031203+ +
+ 14 322
2 23 1
121 10571527223
371122
4=
− + + +++++ −=== =
+= ==
= −−−−============ = =
−−−−
−−110641232329332
6920323323017
292552
33172s
6. 20. c
ABA⋅= − ====⋅⋅
== BA = − ====⋅=
=010000010100sBBO ≠
BABA⋅=AA 0 B 0 0 B 0000101000000s== O
0⋅−A A 0 =AA 0
B0 0⋅
=⋅−
A2010001000000= −=== == = 1 1 = =1 0
0 0 0 1
BBO 22000100010001= ⋅⋅ 0 1 0
0 0 =======≠ s
ABA+ = − ==== =+++ + += −=== =
= ++ = =+010000010101sBBO ≠
21. e
A4 × 7 · B7 × 9 = C 4 × 9 (quatrolinhase novecolunas)
c63 é o ele e to
m n dalinha6 e coluna3, logoc63 não existe.
22. b
ABAmnABABAn1212112× × × ⋅ ⋅⋅× × ()[()ln
] i ×Amn1221 se
2121211121 1⋅⋅ 1 1 1
1 2 2 ⋅−1 1 = − ==== s
− 11 2 2 bb
s 221211121 b⋅−1 1 =
bb−bb 2 1 − ==== s
b
s 4222111211121bbbb−−−− 2 − − 2 s
1= 1()
1 1
s 4b11 – 2b21 = 2 s 2b11 – b21 = 1 s
s b21 = –1 + 2b11
23. a
(A· B) · C = ()ABnD342 × × ⋅× · C m×
32 2
n= 4
Então:D3 × 2 · C m× 2
Logo: m= 2
∴ m= 2 e n = 4
24. c
7. PQRSxy ⋅=
z ⋅⋅ Q S y Q S y Rx⋅ s1111111111111t
R x ⋅⋅ R x =QS z
y s
sxxyy z t+++1t = + + +
t z 1 1121211
I.x+ 1 = 2 s x= 1
I z+ 1 = 2 s z= 1
I.
I I + 1 = t+ 1 s 1 · y+ 1 = t+ 1 s y= t
I xy
.
IV.y+ 1 = z+ ts y+ 1 = 1 + ts y= t
25. b
I.(V)A3 × 2 · B2 × 1 = C 3 × 1
I (F)A5 × 4 · B5 × 2 (Nãoexist o produto.)
I . e
I I A2 × 3 · B3 × 2 = C 2 × 2
I (V)
.
26. a)A2 = A · A =
1 1⋅−−A
= 123012111123012111−−1 111
111
1 · A = e ==
= 103223343002012022101211+ − + + + − + − + + + − − + + − + − − 3321+ ++++++ + +
+ + +=
= −−− 274230020
1 1⋅−−
b)A · At= 123012111101211321−−1 111
111
1 A · A e =
=
= 1490261230260140121230121++ + + − + − + + + + + − − + − + − + + + ++++++ + +=11
++
= 1482851213−−−−33 33
3 33
3 33
c)2A + 3At=
= 246024222303633963−−3 333
3 33 ++++++ + + +
333 + + + +== −− = = = 543657785
==== = = = −
27. A2 × 2 · X = B2 × 2
Paraquea igualdad sej possíve a matri X deve
e a l, z serdo tipo2 × 2.
SejaXmnpq=ig l
ud
a
Como A · X = B, temos:
= ⋅⋅
21031020 X B 1 3 0 01mnpqs 22331020mpnqpq++tm:=j p
0 1 =130
2 e s ao
o s
2122312131623mp m p+=+ = = = = psívsss
m m o e
202000nqnnq+= = = = m ss
mp
Logo: X=n + = = m
n = = m160230
q p
( ) )) x x x e e t ⋅ssen( cos ) xs o
28. a)cos()() )cos( cos( ( x x x s ns nsenaiz
r ) ( x oc
( =
)
= cos()( ( cos ) ) os 2xxxx x+ + ⋅sensensenseensensen()cos() )cos( cos( ( x x x⋅+ ⋅+)22 o =
)) ((c ( ) x ⋅ 2 2 ( ) )) x x x )s
c(
4
8. = 112sen2sen ) ( ( co ( x x⋅⋅⋅
( cos ) ) s ) x x ⋅ 1 2 =
1 s
= 1221sensen ) ) x11
( ( x= 2
2
b)A(x) A(x) A(x)
· = s 32. c
s 1221sens ens s n ) ) s ) )
en e ( ( co ( (
AB⋅= − − − − ==== =
⋅−−.
()cox x xs e
x x ns
e =ss( x s(
n ) o)
()
= y 1 1 3 211011111s
y 1 1 z
• cos(x) 1 s x= 0 ou x= 2π ( )
= I
• sen(2x) sen(x)
= s
s 2sen(x) cos(x) sen(x)
· = s
s 2sen(x) cos(x) sen(x) 0 s
· – =
AB⋅= − ⋅−+ ⋅−+ − ⋅⋅−+ − ⋅−+2111110111()() ) ) ) ) −
s sen(x) [2cos(x) 1] = 0
· –
i) sen(x) 0 s x= 0 ou x= π ou x= 2π ( I
= I) s ( ( (((
ii)2cos(x – 1 = 0 s
)
s cos(x) 12 s
=
− ⋅⋅ ⋅ 1 1 11)s
s x= π3 ou x= 53π (III)
S = ( ) [( I ( I ) {0; 2π}
I% I ) I I=
5 ] 0 1
29. b
AB⋅= − ====⋅−B
s AB⋅= − − + − ++++++211011s
== . ) )= + + +
++++3014211060302410– 1 = 06361
= =
BA⋅= − ====⋅−A + 3 1 + − − +
== + 0 = s AB⋅=B 1 00
) 11
+++211030146104300000
−− 0 ====== = 7430
0 ==
33. b
ABBA− ==== = −−−=== = 63617430=
== == − 1791 XABXC− = + + 23 s
s 3(X– A)= 2(B + X)+ 6C s 3X – 3A = 2B + 2X + 6C
y⋅⋅
s
s X = 3A + 2B + 6C s
30. 1123411xy−yy 0 .
yy
y 3 = − ======s
0 sX= −======+++++++++ −++++++63932420246126 s
−
sX= − + + − + + − + + ++++++62243469212306s
s 3413811+− +++++++= −====== x s
() y sX== 3 +
A281233
s 3441421238139+ − = = = + = − = − = − xxxyyy
34. c A=3 +2
A 8 2081512B=66 =
C 32Xxy=1
C “
33ss3
ssss 01
A · B = Xs
8⋅
⋅
31. b
s 208151232 21
05 0 1 1 85xy
8 5 =011
2 s
22⋅⋅
2130112−2 2
22 . 3 1 2 = +. 31 z xs
0 4 1 0 xy y z
4
⋅
20382153122 + ⋅⋅+ ⋅⋅ ⋅ 3 2 =⋅ 32xy
8 1 81 s5
s 232xyz z x − +++++++= +++++++s
y y z++
s 76692x =0 5xy
1y 8 1
5 12
s 232xyz y x
y z z++= − + = + +++++
35. d
x= –y
–2y + y+ 3z= 2y
3z= 3ys z= y
xy z x++=
y z − ++ − = − + − = − yyy y 1111
y y
9. AA⋅= − − ==== =
⋅−
=
−A > == + t10101210011210++ +
− + − + + +++++ −− === = 10020020142225
+= ==
(A· At–3I)· X = B
2225300312−−2 2 −2 222
2 2 2222
22 2222
2 ⋅⋅ 3 ) · =3xy· X
I I
s
s −−
−−− − − − − ⋅⋅ I y = I
x · xy· 122212xy
s −−− + + + + + + + = = = = = = = xy y22212s
x
s −− = − += = = = xy y21222+
x s –3x = 3 s x= –1
e y= 0
Logo: x+ y= –1 + 0 = –1
5
10. 36. −n
Annnn= − − − − − − − − =111111111111 ()( (
)) Bpppp
nnnn 123123123123
=n 11122223333 1332Û
11 313
()((
)) Û 11 3
1 3
a)Paran par:
2110010xx > 2 – x – x> 0 s x + x– 2 < 0
xs 2 2
S = –1 + 1 – 1 + 1 – 1 … + 1 = 0
Paran ímpar:
S = –1 + 1 – 1 + 1 … – 1 = –1 1– 2
b)An × n · Bn × p = C n × p S = ]–2; 1[
c42 = a · b12 + a · b22 + … + a · bn2 s
41 42 4n 16. Aplicando o teoremade Laplacena quinta
coluna,temos:
s c42 = 1 · 21 + 1 · 22 + 1 · 23 + … 1 · 2n s
2132111023403210252321110234032 ⋅−⋅−= ⋅−+
s cnn42232222= + + +
+ +SomadosprimeirostermosdaPGs 55
s caqqn42111= −−() s
s 409421212.()=−− n s ()11025
s – 4.094 = 2 – 2n + 1 s Aplicando o teore a de Laplac na segunda
m e
coluna,temos:
s 2n + 1 = 4.096 s
221123432125 ⋅⋅−⋅−= + ()
s 2n + 1 = 212 s n = 11 linhas
12
Capítulo 2Determinantes
Conexões
A área podeserobtidapor:
A
= – 4 · (15– 4 + 24 + 9 – 4 – 40)= – 4 · 0 = 0
A = AABC + ACDA s
29. a
s A = DD1222+ O segundo deter minan e a combinaçãolinear
t é
D1 = 011201131−− e D2 131111011− do primeiro (L = –L 1 + L2). Portan
2 to, os
determinan e sãoiguais.
t s
∴ A = 9262+ = 7,5 u.a.
30. Trata- edeumdeterminante Vandermonde.
s de
Suaresoluçãoé dadapor:
(3– 2)· (– 4 – 2)· (– 4 – 3)= 1 · (– 6)· (–7) = 42
31. Trata- edeumdeterminante Vandermonde.
s de
Então:
(k – k)· (k – k)· (k – k ) · (1 – k)· (1 – k ) · (1
2 –1 –1 2 2
Exercícios complementares – k )= 0
–1
I.k – k = 0
2
13. d
k(k– 1)= 0 s k = 0 ou k = 1
I.ad– bc = 0 s ad= bc
I abdcadbc001022=+
I. I k – k = 0 s 101 kkkk−= −
I –1
. 2 s = 0 s k2 = 1 s k = ±1
I I –1 – k = 0 s 101 kkkk−= −
Ik. 2 23 s= 0 sk = 1 sk= 1
3
Substituindo I em I , concluímos que o
I
IV.1 – k = 0 s k = 1
deter minan e
t vale:
2bc + bc = 3bc V. 1 – k = 0 s k = 1 s k = ±1
2 2
VI.1 – k = 0 s 1 –101kkk=− s= 0 s k = 1
–1
14. a
De I,I I I V e VI,temos:
I I IV,
, ,
00100cos( s n ) e ( cos ) x y=
) e (s n) (x y S = {–1; 0; 1}
= cos(x) cos(y – sen(x) sen(y =
· ) · ) 6
= + = = cos()cosxyπ312
15. a
11. 32. Trata se
- de um deter minan e
t de s c = –3 ou c = 5
Vander monde.
10. a
Temos,então:
xxx1110010101010−−− = s 1 – x = 0 s x= ±1
2
(x– 2)· (x– 3 – 2)· (x– 3 – x)· (1– 2)· (1– x)·
(1– x+ 3)< 0 s
s (x– 2)· (x– 5)· (–3)· (–1) · (1– x)· (4– x)< 0 s 11. c
s (x– 2)· (x– 5)· (1– x)· (4– x)· 3 < 0 s 2x· log x · 3 – 8x· log x· 3 = 0 s
2 2 2
s (x– 2)· (x– 5)· (1– x)· (4– x)< 0 s 2x· 2 · log x– 8x· log x= 0 s
2 2
Tratase de uma inequação- roduto,
- p cuja s 2x+ 1 · log x– 23x· log x= 0 s
2 2
resoluçãoé dadapor:
s log x· ()22
2 13xx+− = 0 s
I.x– 2 = 0 s x= 2
s log x= 0 s x= 1 ou ()22
2 13xx+− = 0 s
I x– 5 = 0 s x= 5
I.
s x+ 1 – 3x= 0 s x= 12
I I – x= 0 s x= 1
I1.
11232+ =
IV.4 – x= 0 s x= 4
12. b
xxx x x − + =11311113110s
x x x+
––+ + + – – – + – + – – + + + – – – – + + – – + 1 1 224455IIIIIIIVI _ II _ III _ IV
S = {x3 ® | 1 < x< 2 ou 4 < x< 5}
s (x – 1)· x+ 3x+ x– x – 3(x– 1)– (x+ 1)= 0 s
2 3
s x – x+ 3x+ x– x – 3x+ 3 – x– 1 = 0 s
3 3
Tarefa proposta s x= 2
1. e 7
xaax011011=
x+ ax– ax = 1 s
2
s ax – (a+ 1)x+ 1 = 0
2
(a+ 1) – 4a = 0 s
2
s a2 + 2a + 1 – 4a = 0 s a – 2a + 1 = 0 s
2
s (a– 1) = 0 s a = 1
2
2. a)2 · 5 – 4 · 1 = 10 – 4 = 6
b)5 · 0 – 3(–1) = 0 – (–3) = 3
3. a)sen 20° – (–cos 20°)=
2 2
= sen 20° + cos 20° = 1
2 2
b)sen75° · cos75° + sen75° · cos75° =
= 2sen75° · cos75° = sen(2· 75°) =
= sen150° = 12
4. e
Maaaa=Ma
aa
a=
11122122s M=− − 11
22
1142
detM=−1142 = 1 · 2 – 4 · (–1) = 2 + 4 = 6
5. a
a – b + (–a2 + b2)= a – b2 – a + b2 = 0
2 2 2 2
6. d
Aaaaa=2 ° =
2 11122122s A=12 2
22
1 2345
detA=2345 = 2 · 5 – 4 · 3 s detA= 10 – 12 s
detA= –2
7. 121142101121410−− =
= 4– 4+ 0+ 4+ 0– 2= 4– 2= 2
8. 124221511122524xxxx=s
s 2 + 4x+ 20x– 8 – 10 – 2x = 24 s
2
s –2x2 + 24x– 16 – 24 = 0 s
s 2x – 24x+ 40 = 0 s
2
s x – 12x+ 20 = 0 s
2
s x= 2 ou x= 10
S = {2; 10}
9. d
111191311119ccc = 0 – 2
0 =
= 27 + c + c – 9 – c2 – 3 = 0 s
s c2 – 2c – 15 = 0 s
12. 13. (–1) · (–1) + 2 · 131123142−− + (1)· (–1) + 4 ·
4 4
123112114−−−− =
= –(– 4 + 9 – 4 + 2 + 6 – 12) + (4 + 3 + 4 – 3 – 8 – 2) 22. e
= bc – (b – 4ac)= bc s –(b2 – 4ac)= 0 s
2
= –(–3) + (–2) = 3 – 2 = 1 s b2 – 4ac= 0 (Δ = 0)
14. xxxx x x 4444440= s x + 4x + 16x– 4x
x x x 3 2 2 Portanto, o gráfico da função tangencia o eixo
Ox.
– 4x – 4x = 0 s
2 2
23. a
ab x2222
xxx 22− = ++++++ −−++ + += −− eeee
+ ++
s x – 8x + 16x= 0 s x(x – 8x+ 16)= 0 s
3 2 2
s x= 0 ou x – 8x+ 16 = 0 s Soma= 8
2
= + + −− + = −−eeeeee 2022022424 x
xxx
A somadasraízes 0 + 8 = 8.
é
= + + − + − = −−eeee 224xxxx
2222
15. 11213130xx= x + 6 – 13 – 3x= x – 3x–
2 2
= = 441
7
24. b
⋅⋅ene 2232 s
3023xx=
11213130302xx s x – 3x– 7 = 3xs
x= 2 dxx= n
s x – 6x– 7 = 0 s x= 7 ou x= –1
2
ssdxx= ⋅⋅ene 2322
16. b
n
AB⋅= − ====⋅−−.
== 7 o = − ======21343122401711
u
s d = 2x· 2 · 23xs d = 24x+ 1
log d = log 24x+
2 2 1 = (4x+ 1)· log 2 =
2
= 4x+ 1
⋅
25. Aplicando o teorema de Laplace na última
coluna,temos:
det )AB= − = 40171144
( (–1) · 2100021190047502181110−
10
Observandoa quarta coluna,paraa aplicaçãode
Laplace, podemos concluir que o determinan e
t
val zero.
e
17. ax– x = 0 s x – ax= 0 s x(x– a)= 0 s x = 0
2 2
26. c
ou x= a M – k· I −
= − 30451001k=
Paraduasraíze reaise iguais,temos:a = 0
s
18. Aplicando Laplace na terceira linha, = − − 304500kk=
temos:
= − + − ++++ + ( 3045kk
+ () )
detA= 3 · (–1) · 10011011a− = 3 · (–1) ·
7
(1+ 1)s
det – k · I = 0 s –(3 + k)· (5– k)= 0 s
(M )
s (3+ k)· (5– k)= 0 s k = –3 ou k = 5
s detA= –3 · 2 = – 6
27. FazendoC 1 = C 1 – C 2; C 2 = C 2 – C 3; C 3 = C 3 – C 4,
19. p(x) 6 + 2x+ 2 = 2x+ 8
= temos:
a)P(5)= 2 · 5 + 8 = 18 kg
abbabbab a b −−− = − ⋅000000000 ()
b)30 = 2x+ 8 s 2x= 22 s x= 11 anos
20. a b a a 3
0310324330043330 xxx
xxx = s8 · 3x – 4 · 3x =
0 s 4 · 3x= 0 s 3x= 0
∅
28. Por setratar determinante umamatriz
do de de
Vander monde,temos:
S=
(x– 2)· (3– 2)· (3– x)· (1– 2)· (1– x)· (1– 3)= 0
s
s (x– 2)· (3– x)· (1– x)= 0 s
21. 21341102411012−−− =nnnn s –2n + n2 –
s x= 2 ou x= 3 ou x= 1
n + 3n – 4n = 12 s
S = {1; 2; 3}
s n2 – 4n – 12 = 0 s n = 6 ou n = –2
8
S = {–2; 6}
13. xxx ( ⋅−⋅−−−= + 312277077000 ()
29. d
AplicandoLapl e
ac na segundacoluna,temos:
x− ) 11 s
3 · (–1) · 13014142121205141421 +
3 4 ⋅−⋅()=
ssxxxx− ) ( ⋅=3270()
( ⋅−⋅− )
= (–3) · 11 + 2 · (–66)= –165
30. AplicandoLaplace primeira
na linha,temos:
x· (–1) · xx120300216= s
2
s x=3 ou x= 2 ou x= 7 ou x= 0
Logo, o triângulo é retângulo, pois:
222 )
732 ( = )
(+
s x· 2x = 16 s
2
sx = 8 s
∴ A = 2323 =
⋅
3
s x= 2
Ou seja:
α = 2 s α2 = 22 = 4
31. Por setratardo determinante umamatriz
de
deVandermonde,temos:
34. d
(5– 7)· (x– 7)· (x– 5)= 0 s Por Vander monde:
s (–2) · (x– 7)· (x– 5)= 0 s (log 20 – log 2) · (log 200 – log 2) · (log
s (x– 7)· (x– 5)= 0 s 200 – log 20) · · (log 2.000 – log 2)( log
s x= 7 ou x= 5 2.000 – log20)(log2.000 – log200)=
=.0 ⋅⋅ . 0 0 ⋅⋅ . 0 0 ⋅logloglog20220022002
S = {5; 7}
32. b
Aaaaa=; 7=
} 11122122
0–
0 0 0
a 421= ⋅+++++ += =sen(11)s ππ
0
11 + en
⋅⋅ g o ⋅⋅
l g g o ⋅logloglog20002200020200
l g
axx 12=
x ⋅−[] − = − sen(12)sen() en(
= s ) 02...000g0 =
20
02
= (log10)· (log100)· (log10)· (log1.000)
· (log100)· (log10)=
= 1 · 2 · 1 · 3 · 2 · 1 = 12
⋅−[]
35. Por Jacobi,vem:
axx =
21 =sen(21)s (
en )
1111111+ b11111+ a1111+
c111000b0001a000c + + + × × × – 1 – 1 – 1
=
Aplicando o teore ade Lapl ena primeira
m ac
a 40= ⋅+ + = ( =sen(22)s ππ
coluna,temos:
det( ⋅−⋅= + 11000000 abcabc
22 02n = en
)= 11
Logo: Axx=−− s(
=en
10sen( s n )
) e (
36. p(x) (3– x)· (a– x)· (1– x)+ 4 · (3– x)= 0
=
101414− = =sen()s ( s n ) e 2xxx ss
en ) e ( s n( x ))=±12 s
s p(x) (3– x)· [(a– x)· (1– x)+ 4] = 0 s
=
∴ S = −−−− 1167656665676116ππππππππ;;;;;;;;;;;;;
s (3– x)= 0 s
s x= 3 (únicaraizreal) ou
(a– x)· (1– x)+ 4 = 0 s
s a – ax– x+ x + 4 = 0 s
2
s x – (a+ 1)x+ (a+ 4)= 0
2
33. b Devemos ter Δ < 0, para que não exist m
a
FazendoC 1 = C 2 – C 1, C 2 = C 2 – C 3 e C 3 = C 3 – C 4,
outrasraíze reais.Assim:
s
temos:
Δ = (a+ 1) – 4 · (a+ 4)< 0 s
2
xxx −−−−−− =3322770227700770000
x s a + 2a + 1 – 4a – 16 < 0 s
2
Aplicando Laplace na primeira coluna, s a – 2a – 15 < 0
2
temos:
5– 3
15. Capítulo 3Complementos de Assim:M= −− === = 91111
==
|M| = – 9 + 11 = 2
determinantes M− = 112
Conexões 30. e
detA= –2 + 2 + 3 = 3
a)A = 3152e exs detA= 6 – 5 = 1
sd det(B ) = det(2A) 1detB= 23 · detAs 1detB=
–1 s
A–1 = 2153−−3 3
33
33 24 s
b)B = 5101−1 1 s detB= 5
11
11 s detB=124
B–1 = 15150555 5 1 Â = 151501
= “ 31. a
Aplicandoo teore am deBinet(P.8):
det(A· B–1 )= det(4A) det –1 )( )
P.8
· (B I
c)C = −− 2346s detC= –12 + 12 = 0 Como A é uma matri de ordem n, pode- e
z s
colocaro 4 emevid nê cia (P.4).
Não exist C –1 (a matri C não é invertív l
e z e ), n vez s
e emdet(4A),logo:
poisdetC= 0.
Exercícios complementares det(4 d t fatores nn=
) e d AA ⋅⋅⋅⋅⋅= ⋅44444 eet
4
13. e
B = k· A
Aa = ⋅4
det t = detB= det( · A)s
(B) k
s k3 · detA= 96 s k3 · 1,5 = 96 s n
, sss kkk 9615644== =
33
14. detA= det(A)
t
e
Aaaaa=A a = a=
aa aa
a== a 111221224278 det(d tBBb= =
e − 111)
Substituindoessesvalore em( )temos:
s I,
det(4414 ABabab ⋅= ⋅⋅= ⋅− )
|A| = |A t = 32 – 14 = 18
|
15. e
1 nn
det (3A· 2B)= det (3A) det(2B) 32 · detA· 22
· =
· detB=
= 9 · 2 · 4 · 3 = 216
16. d 32. c
Pabcd=1 d M · P = I s
4o
in e 2
det(2A· At)= 4k s det(2A) det t)= 4k s
· (A
1301711001de · P ⋅
⋅
s 23 · detA· detA= 4k s 8 · d · d = 4k s 2d2 = k
det (3B) 162 s 3d · detB= 162 s 3d · 2 = 162 s
=
s oM = 3 1 1 07abcd
0 7 =31 1
1 s
s 3d = 81 s 3d = 34 s d = 4
∴ 2 · 42 = k s k = 32
abacbd33771001++ · P I e ()
= e= I
s ,
I.aaaccc3137037037== + = + = = − ===== =sss
=
I bbbdd300711== + = = = I ss
I. es
Logo: k + d = 36
29. b
M · A – 2B = 0 s M · A = 2B s Logo: P= −=== = = = 30371
= ===
⋅⋅
A somados ele en sda diagonalprincipa é
m to l
abcdA 2
=B b d =bd =3412161422
c A cA 3 + 1 = 4.
Tarefa proposta
I.316421431627abab a
ab b+= + = t2 = + = 3
(+ s 1. c
SejadetA= d. Dividindo umafileiraporx(x≠ 0)
∴ a = 9 eb = –11
e multiplicandoumafileirapory(y≠ 0), temos:
det=⋅dxy dyx s dxy
s ⋅
I 324223221cdcdcdcd+= + = +=t = + = +=
I. + s
∴ c = 1 ed = –1 10
16. 2. a detB= – 6 (triangul r
a inferior)
Aaaaaa a a a a 11121314212223243132333441
a a a a a= det · B) = detA· detB= 36
(A
4224344aa24222
44124
3423comoa = 2i – j,vem:
ij 8. c
AA=− detA= 2sen (x) 2cos (x)
2 + 2 s
−−−− − − − − −
− − − − − −=10123210543276541edet s detA= 2[sen (x) 2cos (x)] 2 · 1 = 2
2 + 2 =
0012321054327654−−
t 1414 ⋅⋅ 2 d t 5e⋅=AA)
Por Jacobi,vem:
1– 1– 230532170246540– 104– 283–
detde ( 525 5 e =2d (
t
41 120246 6= + + × × 1 – 2
5–
Aplicando o teore a de Laplac na
m e
= ⋅⋅⋅= 1165detdetAAx
primeiralinha:
detA= (–1) · A13 s
x
s detA = (–1) · (–1) ·
4 42284412660−−
−= e
P.5
= ⋅= ⋅= = 11611622 ()detde AA
detA= detA = 0
t
55 t
3. a
Aabc = = b= d 23426 det t)= 2 · detB
t a e
c t 5 s (A
9. d
Como det(A)= detA,temos:
t I.(F)Um contra x m l
e e p o:
detA= 2 detB 23460=
4. d
I .
I (V)
mbncp=⋅4111 detBmanbpc=3111
aaaaaa a nnnnn1112122231122
a a 00000 ⋅⋅ nn
a⋅
detAa
·
I I 2121211+ ( ⋅−( = − =
I (V)
. ) )
Como detA= 2, temos:
24111= ⋅ambncp
detB= 2121+ ( ⋅−( ⋅detAs
s 11112ambncp= s
) )
manbpc11112= −
∴ detB= 31232 e B = = −
⋅−d t
s detB= 1 · detA
10. c
det 3)= det I s
(M (82)
s (detM3 = 82 · det( )s
) I
2
5. a s (detM3 = 64 · 1 s
)
PG(a;b; c; d),então: s detM=643 s
b = aq; c = aq e d = aq
2 3
s detM= 4
detMabcda aqaqaq== 23
Por P.5: detM= 0 11. d
Multiplicandoa primeiralinhapor a, a segundalinha
6. d
porb e a terceiralinhaporc, temos:
y x z=−⋅= − ss(P.4)
111= ⋅
123691212312323412x z y
abcaaabcbbabcccabcaabbcc
232323232323
ss12323442341234xy x z=− = (P.3)
z y
11
7. d
detA= – 6 (triangul r
a superior)
17. 12. b s x + 8 – 3 – 6x– 2x+ 2 = 0 s
2
[detM] = 25 s
2 s x – 8x+ 7 = 0 s x= 1 ou x= 7
2
s detM= ±5 ( )
I 23. c
detM= 3x+ 12 + 12 – 27 – 4x– 4 = –x – 7 ( I
I)
101120154364251025485−− = − − + = − + = −
De ( I ( ),
I ) I vem:
e
–x – 7 = 5 s –x = 12 s x= –12 ou
–x – 7 = –5 s –x = 2 s x= –2 Logo, o determinan e
t dainversaserá:−548
–12 + (–2) = –14 24. detA≠ 0
13. A= − ======1111detA= 2 3x– 6x ≠ 0 s x≠ 0 e x≠ 12
2
det 2)= (detA2 = 22 = 4
(A )
25. Sendoabcdtm inversa,temos:
ein
ra
14. b
10011001ce ⋅ 0 1 0 01abcd
⋅
det 2 · B2)= det 2)· det 2)s
(A (A (B
s det 2 · B2)= (detA2 · (de
(A ) tB) s
2
tm 0 1 =01 0
dr 0
s det 2 · B2)= (–1) · (–1) = 1
(A 2 2
15. b
a = 1; b = 2; x= 3 e y= 4
A== 1 b
; 1234e detA= –2 abcd1a = r 1001
0b m
0c in
det(AB) detA· detB= detA· detA s
= t 26. A = 2153−−3 3 s detA= –1 (existe –1 )
33
33 A
s det(AB) (de ) s det(AB) 4
= tA2 =
Aplicando o dispositivo prático (página 41),
16. d temos:
1 · 2 · 3 · 4 · 5 + (–1) · (1· 2 · 3 · 4 · 5 · 6)=
3152−−2 2
22
22
= 120 + (–1) · (720)=
= 120 – 720 = – 600
27. c
17. d a)(F)detB= 4
Q 3 = –2Q 2 s det(Q )= det
3 (–2Q2)s Pelodispositivoprático(página41):
s (detQ) = (–2) · (de
3 4 tQ) , dividindo ambos os
2 BA− = − ==== = = = ==1134014
= = == ≠
membros por(detQ) , temos:detQ = 16
2 b)(F)detA= 2; detB= 4
∴ detA≠ detB
18. d
sen()cos ) e ( cos ) e ( s2xxx x
(s n) (s n) e x 1011=nn()cos()
⋅=1110111
cos()xxx
2
c)(V)AB⋅=) ( )⋅⋅
V ) (V =) ( )110213041708
) V
= sen(x) [cos(x) 1 – cos(x) cos (x)]
· + – 2 =
= sen(x) [1 – cos (x)]
· 2 =
= sen(x) sen (x) sen (x)
· =
BA⋅=A( )⋅⋅
2 3
19. b
A2 = –2A ts V A (V =A( )130411021708
) V
s det 2)= det
(A (–2A )s (detA2 = (–2) · det(A)s
t ) 3 t
s (detA2 = –8 · detAs detA= –8
)
∴ AB = BA
20. d
A–1 · B · A = D s
s det –1 · B · A)= detDs
(A
s det –1 )· detB· detA= detDs
(A
⋅⋅
d)(F)det(A· B) = detA· detB= 2 · 4 ≠ 0
e) (F)
s 15detde d t
t e ABA = s
BBBA213041304115016= ⋅=34 0
01⋅⋅
3 3 4 3 01
0 1 =34
s detB= 5
21. detA≠ 3
=≠
=
6 – 12 – 4x≠ 0 s x≠ −32
22. e 12
detA= 0 s
18. mapa a a ⋅= − ⋅+ ⋅=cos()s ( s n )
m p ⋅+
28. d
⋅⋅ b d b ca⋅⋅ b d b
en ) e ( cos ) = oe
( 10cs
abcdabcd c a =bd c c a 12011201s
b
naqanaqa+ ⋅= − ⋅+ ⋅=cos()sen ) e ( co ( 01c
⋅
s aabccdacbdcd2222++ =+ + o
( s n ) s ) =o s
Temos:a = a + 2c s c = 0
29. a
I.–log x · logx– 1 – 3logx≠ 0
2
Resolv endo ambos os siste a
m s,
–2[log x] – 3logx– 1 ≠ 0
2
encontra mo s:
Δ = 9– 8= 1
m= cos(a);n = –sen (a);p = sen(a) q = cos(a)
e
I logxx
I. x≠−≠ ≠ − 12101010 ss
12 Assim,substi uindoemI,vem:
t
s ⋅
e logxxx≠−≠ ≠ − 110110 ss
1
30. AXBC –1 = B Xaaaa=−− s, cos() en ) e ( cos ) s b b b s n
im s (s n) ( co ( b b ) e
Multiplicandoà esquerdaporA–1 e à direitapor
C, temos:
A–1 · A · X · B · C –1 · C = A–1 · B · C s ()sen )
( cos )−o )
( − ss
(s
s I X · B · I A–1 · B · C
· =
s
Sendo I matri identidadede mesm ordemque
a z a
Xababb=⋅+ ⋅⋅cos()cos()sen( sen ) en( coss( s n( cos( sen( c
A, B e C.
X · B = A–1 · B · C ) (s ) ) e ) ) )
Multip licandoà direitaporB –1 , temos:
X · B · B–1 = A–1 · B · C · B –1 s
s ( a a ⋅⋅− ( cos ) e ( s n ⋅⋅+ ⋅⋅ ⋅ a
s X · I A–1 · B · C · B –1 s X = A–1 · B · C · B –1
=
os() en a b b− bbaabab cos )
) ( cos ) (s n) e ( ) a
31. d
⋅ ⋅ as
det(2A) det 2)s
= (A
s 22 · detA= (de )
tA2
Dividindo ambos os membros por detA, temos: s Xabababab=−−−−− − a
acos() en ) e ( cos c
s (s n) (o
)s
detA= 4
Observação: A informaçãosen (a)· cos (a)≠
32. 0 pode ser excluída do enunciado do
SeAaaaaB=−− . A
2 = =cos()sen ) e ( co ( e
( s n ) s ) ccos )
(s
proble a, mas, nesse caso, a resolução
m
en() en )
s ( cos ) b b−c( temos:
( b b − o)
s ,
implicariaumadiscussãomuitolonga.
A · X= B
33. d
Multip licando à esquerda por A–1 (que existe, A · A–1 = I s A · B = I s
2 2
isso⋅
uã⋅
poisdetA≠ 0), temos:
A–1 · A · X = A–1 · B s I X = A–1 · B s X = A–1 · B (I)
·
130143101001pq dcs m 3 1 3 0 3
0 4 =31 1
4sss
Calcul mo A–1 :
e s
s
Amnpq =mq1 e A · A–1 = I
− nl
pe
cos() en ) e ( cos ) a a n q− I ⋅⋅
113041001+0 qiss m pqq
1 dcs u
p u =o it
I.qq414= = s
s (s n) (a a m p − · I · = =I
I 1301340+ = + = pqp ss413112pp=− = − s
I.
∴ s qp− = − − ======= + = 12412112415
= 1001 s
s
mapanaqa ⋅+
m ⋅⋅+ ⋅−⋅cos()sen( cos( s n ) enn( c
) ) e (s ) 34. a)(A+ B) · (A– B)= A2 – AB + BA – B2
b)O produtoAB deveserigualao produto
BA.
( a a aqa+⋅−⋅+
os()s ( cos ) p n
en ) ⋅⋅ s()s =
e c)detde ( d t ) e2AAAA− = − ⋅=(1
t) e 1d t
d)detdetBA=1
= ( s 1001
)en
Para que a igualdad se verifique, é preciso
e 35. b
que: log [det
3 (2A )]= log (detA )s
–1 27 –1
s log [25 · det(2A )]= log 3 [det –1 · A–1 )]s
3 –1 3 (2
19. s
loglogde 33132113132
t( ⋅⋅ 2 1 1 ⋅⋅ 2 1 1
1 3 = 1 3 −
det)AAs
s logdetlogdet 321321AA 22 ⋅⋅ 2 3 1s
3313 33
11
= 1 2
s 32132 detdetAA=d s
13 etÛ
s 212155detdetAA= s
3
s 220 · detA= det A s 220 = det A s
3 2
s detA= 1.024 = 210
36. a)AB = BA s AB · B–1 = BA · B–1 s A · I B =
· A · B–1 s
s A = B · A · B–1 s B–1 · A = B–1 · B · A · B–1 s
s B–1 · A = I A · B–1 s B–1 · A = A · B–1
·
∴ A · B–1 = B–1 · A (c.q.d.)
13
20. b)A2 + 2AB – B = 0 s B = A2 + 2AB s B = A(A+ 2B)s
s det(B) det[A(A+ 2B)]s
=
s det(B) det(A) det(A+ 2B)
= ·
Do enunciado,sabemosqueB é inversíve Logo, det
l. (B) 0.
≠
Assim:det ) det(A+ 2B)≠ 0 s det ) 0 e det + 2B)≠ 0
(A · (A ≠ (A
Então,sedet ) 0, A é inversíve
(A ≠ l.
(c.q.d.)
Capítulo 4 sistemas lineares
Conexões
1.
– 5 05 – 2 1 2 y x r t s
2. S1(r;s):yxyx= + = − 52
S2(r;t):yxyx= + = − 52
S3(t;s):yxyx= − = − 22
3. S1(r;s):yxyx= + = − 52s
s x+ 5 = –2x s 3x= –5 s x= − 53
∴ S= − 53 10 3 ; (Asretassãoconcorren e )
t s.
S2(r;t):yxyx= + = − 52 s
s x+ 5 = x– 2 s 0x= –7 (F)
∴ S = ∅ (Asretassãopara e a distinta )
l l s s.
S3(t;s):yxyx= − = − 22s
s x– 2 = –2x s 3x= 2 s x= 23
∴ S = 23 43 ; − (Asretassãoconcorren e )
t s.
Exercícios complementares
13. D a a a a a = − = − − cos()sen()sen()cos()cos()s2 en() aD s = −1
2
⋅
D a a a a x= − − = = − sen(2)sen()cos(2)cos()sen(2)cos()sen()cos()aaaa + ⋅ 2s
s Dx= –sen (a)
D a a a a a y= − = − cos()sen(2)sen()cos(2)cos(2)cos()sen2sen()⋅ − ⋅ aaa
Dy= – cos(a)
xDD a a x= = − − = sen()sen()1
yDD a a y= = − − = cos()cos()1
21. ∴ S = {(sen(a);cos(a))}
14. a)SPD (sistemaescalonadodo primeirotipo)
a bbb + = = = a 5 2 12 6 s
e
Substitui eb naprimeira
s
- igualdade:
a + 6 = 5 s a = –1
∴ S = {(–1; 6)}
b)SPD (sist m escalonadodo primeirotipo)
e a
2z= 4 s z= 2
Substitui eznasegundaigualdad
s
- e:
3y+ 4 · 2 = 14 s 3y= 6 s y= 2
Substitui eye zna primeira
s
- igualdade:
x+ 2 · 2 – 2 = 0 s x= –2
∴ S = {(–2; 2; 2)}
c)SP (sist m escalonadodo segundotipo)
I e a
p é a variáv l
e livre.
n + 2p= 5 s n = 5 – 2p
Substitui eo valorden naprimeira
s
- equação.
–m + 2 · (5– 2p)+ 3p= 4 s
s –m + 10 – 4p+ 3p= 4 s
s –m – p = – 6 s
s m= 6 – p
∴ S = {(6– p; 5 – 2p; p),comp 3 ® }
15. d
Sendoy= 0, subs tuímos
ti essevalornasegundaequaçãoe obtemos = 2.
x
Substituindonaprimeiraequação,temos:
(λ + 1)· 2 + 0 = 0 s λ + 1 = 0 s λ = –1
16. d
Antes Hoje Depois
Eu y 2x a
Tu x y 2x
