MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS MENGGUNAKAN DETERMINAN MATRIKS DAN APLIKASINYA PADA PERSAMAAN LINGKARAN

1. 1
SEMINAR MATEMATIKA
MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS MENGGUNAKAN
DETERMINAN MATRIKS DAN APLIKASINYA PADA
PERSAMAAN LINGKARAN
Oleh:
Nama : Neneng Khairani
NIM : 06101008013
Program Studi : Pendidikan Matematika
Dosen Pembimbing : Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si.
JURUSAN PENDIDIKAN MIPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
2013

2. 2
MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS MENGGUNAKAN
DETERMINAN MATRIKS DAN APLIKASINYA PADA
PERSAMAAN LINGKARAN
Oleh:
Nama : Neneng Khairani
NIM : 06101008013
Program Studi : Pendidikan Matematika
Telah disetujui untuk diseminarkan pada akhir semester genap 2012/2013
Mengetahui Indralaya, Maret 2013
Koordinator Seminar Dosen Pembimbing,
Dra. Nyimas Aisyah, M.Pd. Dr. Ratu Ilma Indra Putri, M.Si.
NIP. 196411101991022001 NIP. 196908141993022001

3. 3
MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS MENGGUNAKAN
DETERMINAN MATRIKS DAN APLIKASINYA PADA
PERSAMAAN LINGKARAN
Neneng Khairani
Mahasiswi Program Studi Pendidikan Matematika
Abstrak
Determinan matriks A didefinisikan sebagai jumlahan hasil kali
bertanda elemen-elemen dari matriks A yang dibentuk dari elemen-
elemen pada baris-baris yang berbeda dan kolom-kolom yang berbeda.
Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan
ke dalam bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis
lurus. Bentuk umum persamaan garis lurus dapat dinyatakan sebagai
. Lingkaran ialah himpunan titik-titik (pada bidang datar)
yang jaraknya dari suatu titik tertentu sama panjang. Makalah ini berisi
penjelasan mengenai cara menentukan persamaan garis dan persamaan
lingkaran yang melalui tiga titik dengan menggunakan determinan
matriks. Tujuan makalah ini adalah untuk memberi informasi mengenai
cara penyelesaian sistem persamaan linear yang melibatkan tiga
variabel atau lebih dengan menggunakan determinan matriks.
Kata Kunci : Determinan Matriks, Persamaan Garis, Persamaan
Lingkaran
1. Pendahuluan
Persamaan garis adalah materi yang sering keluar di soal ujian nasional atau
seleksi masuk PTN setiap tahunnya. Materi ini juga dapat digunakan untuk
menyelesaikan beberapa soal bentuk lain. Persamaan garis ini disajikan dalam
bentuk sistem persamaan linear. Banyak persoalan dalam matematika murni
maupun terapan yang disajikan dalam sistem persamaan linear. Misalnya,
penerapan Hukum Kirchhoff dalam rangkaian listrik biasanya akan menghasilkan
sistem persamaan linear dengan variabel arus listrik. Untuk menyelesaikan sistem
persamaan linear dengan dua variabel biasanya digunakan metode substitusi atau
eliminasi. ( Tim LBB UGAMA : 2009)

4. 4
Begitu pula dengan persamaan lingkaran, untuk menyelesaikan persamaan
lingkaran yang melalui tiga titik biasanya digunakan metode substitusi atau
eliminasi. Akan tetapi, untuk sistem persamaan linear yang melibatkan tiga
variabel atau lebih, metode ini ternyata tidak efisien. Oleh karena itu diperlukan
suatu metode khusus untuk dapat menyelesaikan sistem persamaan linear yang
melibatkan tiga varibel atau lebih, yaitu dengan mengaplikasikan determinan
matriks.
2. Materi Pendukung
a. Persamaan Garis Lurus
Persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan ke dalam
bidang koordinat Cartesius akan membentuk sebuah garis lurus. Bentuk umum
persamaan garis lurus dapat dinyatakan dalam dua bentuk berikut ini.
1. Bentuk Eksplisit
Bentuk umum persamaan garis lurus dapat dituliskan sebagai ,
dengan x dan y variabel atau peubah, m dan c konstanta. Bentuk persamaan
tersebut dinamakan bentuk eksplisit. Dalam hal ini m sering dinamakan
koefisien arah atau gradien dari garis lurus.
2. Bentuk Implisit
Bentuk umum yang lain untuk persamaan garis lurus dapat dituliskan
sebagai , dengan x dan y peubah serta A, B, dan C
konstanta. Bentuk tersebut dinamakan bentuk implisit.
Gradien garis lurus yang melalui titik dan adalah
atau
Jika dua garis sejajar maka kedua garis tersebut mempunyai gradien yang sama,
sedangkan jika dua garis saling tegak lurus maka hasil kali gradiennya adalah -1
Persamaan garis lurus yang melalui dua titik dan adalah
(Dhohuri, Atmini dan Markaban: 2011)

5. 5
b. Persamaan Lingkaran
Lingkaran ialah tempat kedudukan titik-titik (pada bidang datar) yang jaraknya
dari suatu titik tertentu sama panjang. Selanjutnya titik tertentu itu dinamakan titik
pusat lingkaran dan jarak yang sama tersebut dinamakan jari-jari lingkaran.
Dalam bidang kartesius, tiap titik dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut (x,y),
sehingga himpunan titik-titik yang terletak pada lingkaran tertentu memenuhi
persamaan tertentu yang disebut persamaan lingkaran.
1. Persamaan Lingkaran yang Pusatnya (0,0) dan Jari-jari r
Gambar 1. Lingkaran P(0,0) jari-jari r
Misalkan A(x,y) terletak pada lingkaran denga pusat O(0,0) dan jari-jari r
seperti terlihat pada gambar, maka
222
22
22
00
yxr
yxr
yxOA
Jadi persamaan lingkaran yang berpusatu di (0,0) dan jari-jari r memiliki
persamaan 222
ryx
(Rawuh, dkk : 1958)

6. 6
2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat A(a,b) dan Jari-jari r
Gambar 2. Lingkaran P(a,b) Jari-jari r
Bila pusat lingkaran L tidak berimpit dengan titik pangkal O(0,0), tapi di
titik A(a,b), maka untuk setiap titik P(x,y) yang terletak pada lingkaran L
berdasarkan formula jarak antara dua titik diperoleh :
222
22
),(
),(
),(
rbyaxyxPL
rAPyxPL
rAPyxPL
Persamaan 222
rbyax ini merupakan persamaan lingkaran yang
titik pusatnya (a,b) dan jari-jarinya r
3. Persamaan Umum Lingkaran
Persamaan lingkaran dengan titik pusat (a,b) dan jari-jari r adalah
222
rbyax
Persamaan tersebut dapat juga diuraikan ke bentuk lain, yaitu:
022
22
22222
22222
222
rbabyaxyx
rbbyyaaxx
rbyax
Bila CrbabBAa
222
;2;2 ,

7. 7
maka persamaan 022
22222
rbabyaxyx
dapat ditulis sebagai : 0
22
CByAxyx
yang merupakan persamaan umum lingkaran
Perhatikan : A= -2a diperoleh
2
A
a , B = -2b diperoleh
2
B
b
C
BA
r
Cbar
rbaC
22
222
222
22
(Sukino: 2007)
c. Jenis Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL)
Suatu SPL mungkin memiliki tepat satu penyelesaian, tidak memiliki
penyelesaian, atau memiliki banyak (tak hingga) penyelesaian. SPL yang tidak
memiliki penyelesaian disebut inconsistent.
Contoh SPL yang memiliki tepat satu penyelesaian:
0563
1342
92
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Contoh SPL yang tidak memiliki penyelesaian:
5161112
2273
142
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Contoh SPL yang memiliki banyak penyelesaian:
132
0625
321
321
xxx
xxx

8. 8
SPL Homogen
Bentuk umum SPL homogen dengan m persamaan dan n variabel adalah:
0...
.
.
.
0...
0...
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
Jenis Penyelesaian SPL Homogen
Ada dua kemungkinan jenis penyelesaian SPL homogen, yaitu penyelesaian
trivial dan penyelesaian non-trivial. Tak ada satu pun SPL homogen yang
inconsistent, karena minimal memiliki penyelesaian trivial.
Contoh SPL homogen yang mempunyai penyelesaian trivial:
0
02
032
32
21
321
xx
xx
xxx
Contoh SPL homogen yang mempunyai penyelesaian non-trivial:
05
03
4321
4321
xxxx
xxxx
d. Determinan Matriks
Setiap matriks bujur sangkar A selalu mempunyai suatu besaran skalar yang
disebut determinan. Sebaliknya, setiap matriks yang tidak bujur sangkar tidak
mempunyai determinan. Determinan adalah nilai real yang dihitung berdasarkan
nilai elemen-elemennya, menurut rumus tertentu yang ditulis dengan simbol det
(A) atau . Jika nilai determinan itu nol, matriks bujur sangkar tersebut singular,
artinya tidak memiliki invers. Jika nilai determinan suatu matriks tidak nol, berarti
matriks A tersebut nonsingular, yaitu matriks tersebut mempunyai invers.

9. 9
1. Determinan Matriks Ordo 2 x 2
Misalkan diketahui matriks
Determinan matriks A didefinisikan sebagai berikut :
2. Determinan Matriks Ordo 3 x 3
Misalkan diketahui matriks
Untuk mencari determinan dari matriks berordo 3 x 3, digunakan metode
Sarrus yang langkah-langkahnya sebagai berikut :
1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua kemudian tempatkan di
sebelah kanan tanda determinan.
2. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama, dan
diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama. Nyatakan jumlah
hasil kali tersebut A(+).
3. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder, dan
diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder. Nyatakan jumlah
hasil kali tersebut A(-).
Determinan matriks A adalah selisih antara A(+) dan A(-), yaitu :

10. 10
3. Minor dan Kofaktor
Didefinisikan bahwa minor dari matriks adalah det dan
kofaktornya adalah . Disini adalah matriks A dengan
elemen-elemen baris ke-i dan elemen-elemen kolom ke-j dibuang.
4. Determinan Matriks Ordo n x n
Determinan matriks ordo n x n dihitung menggunakan teorema Laplace.
Teorema Laplace :
Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-
elemen dari sembarang baris/kolom dengan kofaktor-kofaktornya.
Secara matematis ditulis sebagai berikut :
)(....)(.)(. 2211 ininiiii
AkoefaAkoefaAkoefa
dengan i sembarang disebut ekspansi baris ke-i, atau
)(....)(.)(. 2211 njnjjjjj
AkoefaAkoefaAkoefa
dengan j sembarang disebut ekspansi kolom ke-j. ij
AKoef adalah kofaktor
dari ij
A
5. Sifat-sifat Determinan
Beberapa sifat determinan :
1) Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan.
Jadi,
2) det(AB) = det (A) det(B)
3) Jika dua baris/kolom dipertukarkan tempatnya, tanda determinan berubah.
4) Bila pada suatu determinan terdapat 2 baris atau 2 kolom yang identik, maka
harga determinan itu = 0.
n
j
ijij
AkoefaA
1
)(.det
n
j
ijij
AkoefaA
1
)(.)det(

11. 11
5) Nilai determinan tidak berubah, jika elemen-elemen sebuah baris/kolom
ditambah atau dikurangi dengan suatu kelipatan nilai real dari elemen-
elemen dari baris/kolom lain.
6) Besar determinan menjadi β kali, bila suatu baris/kolom dikalikan dengan
skalar β.
7) Apabila semua unsur dalam satu baris atau satu kolom = 0, maka harga
determinan = 0.
8) Jika suatu matriks merupakan matriks segitiga atas atau segitiga bawah,
maka hasil determinannya merupakan hasil kali dari elemen-elemen yang
terletak pada diagonal utamanya.
9) Jika A adalah matriks segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali elemen-
elemen pada diagonal utama.
(Sutojo, dkk : 2010)
3. Materi Pokok
1. Persamaan Garis yang Melalui Dua Titik yang Berbeda
Misalkan diberikan dua buah titik yang berbeda di dalam bidang masing-
masing dan maka ada sebuah garis lurus yang melalui titik
dengan persamaan
Ingat persamaan garis yang melalui dua buah titik dan
adalah
Sehingga diperoleh :
1
1
1
det
0
:
0
0
0
22
11
112222
11
11221221
111212111122
112112
112112
12
1
12
1
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
yx
Sehingga
yxxyyxxyyxyx
yxxyyxxyyxyxyxyx
xxyyyyxx
xxyyyyxx
xx
xx
yy
yy

12. 12
Sekarang akan dibuktikan apakah
yxxyyxxyyxyx
yx
yx
yx
11221221
22
11
1
1
1
det
Pembuktian :
1
1,2
22
11
22
11
1
1
1
1
1
1
det H
yx
yx
yx
yx
yx
yx
=
0
0
1
1
0
1
22
11
1
1,3
22
11
yyxx
yyxx
yx
H
yx
yyxx
yx
Dengan menggunakan aturan perluasan kofaktor di sepanjang kolom ketiga,
diperoleh :
yyxx
yx
yyxx
yx
yyxx
yyxx
yx
yx
yx
112222
11
22
11
00.1
1
1
1
det
yxxyyxxyyxyx
yxxyyxxyyxyx
xyyxxyyxxyxyyxyx
xxyyyyxx
yyxx
yyxx
11221221
21122121
21122121
2121
22
11
Jadi terbukti yxxyyxxyyxyx
yx
yx
yx
11221221
22
11
1
1
1
det

13. 13
Contoh :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-1,2) dan (3,5) !
Jawab :
- Cara biasa
01143
3384
1324
4
1
3
2
13
1
25
2
12
1
12
1
yx
xy
xy
xy
xy
xx
xx
yy
yy
Jadi persamaan garis tersebut adalah 01143 yx
- Menggunakan determinan matriks
153
121
1
det
1
1
1
det
22
11
yx
yx
yx
yx
1143
25311
21
det
53
det
53
21
det
yx
yxxy
yxyx
Jadi persamaan garis tersebut adalah 01143 yx
2. Persamaan Lingkaran yang Melalui Tiga Titik
Misalkan diberikan tiga titik yang berbeda di dalam bidang masing-masing
, dan yang tidak semuanya terletak pada sebuah

14. 14
garis. Menurut ilmu analitis, ada sebuah lingkaran yang melalui titik
dengan persamaan Dimana a, b, c, dan d
adalah konstanta. Untuk ketiga titik tersebut harus memenuhi persamaan
berikut :
0y+x
0y+x
0y+x
0y+x
33
2
3
2
3
22
2
2
2
2
11
2
1
2
1
22
dcybxa
dcybxa
dcybxa
dcybxa
Persamaan di atas merupakan sistem persamaan linier homogen. Agar
sistem mempunyai solusi nontrivial, maka determinan koefisien-koefisien
matriksnya harus nol.
0
1
1
1
1
33
2
3
2
3
22
2
2
2
2
11
2
1
2
1
22
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik P(1,0), Q(0,1) dan
T(2,2)!
Jawab :
- Cara biasa
Misalkan persamaan lingkaran yang dicari adalah
. Karena titik-titik P,Q dan R pada lingkaran ini, maka koordinat-
koordinatnya masing-masing memenuhi persamaan tersebut. Sehingga
dengan substitusi koordinat-koordinat dari titik tersebut diperoleh
P(1,0) : 1 + 0 + A + 0.B + C = 0
Q(0,1) : 0 + 1 + 0.A + B + C = 0
R(2,2) : 4 + 4 + 2.A + 2.B + C = 0

15. 15
Kita memperoleh sistem persamaan yang terdiri atas 3 persamaan dengan
variabel A, B dan C. Jika persamaan pertama pertama dikurangi kedua
diperoleh A – B = 0, yaitu A = B.
Jika persamaan ketiga dikurangi dengan persamaan kedua diperoleh 2A + B
+ 7 = 0. Selanjutnya karena A = B, maka Substitusi harga A
ini pada persamaan pertama akan diperoleh
Jadi persamaan lingkaran yang dicari adalah
- Menggunakan determinan matriks
Masukkan nilai setiap titik pada 0
1
1
1
1
33
2
3
2
3
22
2
2
2
2
11
2
1
2
1
22
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
Sehingga :
0
1228
1101
1011
1
22
yxyx
Dengan mengekspansi determinan ini menurut kofaktor-kofaktor pada baris
pertama, kita memperoleh :
047733
04773
0
228
101
011
1
128
101
111
128
111
101
122
110
101
22
22
22
yxyx
yxyx
yxyx

16. 16
3. Aplikasi Lain dari Determinan Matriks
a. Menentukan Persamaan Bidang Datar yang Melewati Tiga Titik
Misalkan tiga titik A1 = (x1, y1, z1), A2 = (x2, y2, z2), dan A3 = (x3, y3, z3)
terletak pada bidang (tidak pada garis yang sama). Tentukan persamaan
bidang yang melewati ketiga titik tersebut.
Jawab :
Persamaan bidang secara umum dapat ditulis sebagai berikut :
Jika M = (x, y, z) titik pada bidang tersebut dan setelah ketiga titik
disubstitusi ke persamaan bidang diperoleh sistem persamaan linier
homogen berikut.
0
0
0
0
333
222
111
dczbyax
dczbyax
dczbyax
dczbyax
Agar persamaan tersebut mempunyai solusi, haruslah :
0
1
1
1
1
333
222
111
zyx
zyx
zyx
zyx
Contoh :
Tentukan persamaan bidang yang melewati tiga titik (1, -1, 3), (0, 1, 7), dan
(4, 0, -1).
Jawab :

17. 17
0
1104
1710
1311
1zyx
Setelah dihitung dan disederhanakan diperoleh persamaan bidang berikut :
0417812 zyx
b. Menentukan Persamaan Umum Irisan Kerucut
Dalam koordinat kartesius, persamaan umum irisan kerucut adalah
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
Dimana tidak semua A, B, and C bernilai 0. Nilai diskriminan akan
berpengaruh pada bentuk kurva, berbentuk hiperbola, parabola, elips, atau
lingkaran.
B2
- 4AC > 0, hiperbola
B2
- 4AC = 0, parabola
B2
- 4AC < 0, ellips atau lingkaran (lingkaran, jika B = 0 dan A = C)
Menentukan Nilai A, B, C, D, E, dan F
Misalkan koordinat dari lima poin (m, n), (p, q), (r, s), (u, v), dan (w, z).
Persamaan irisan kerucut ditemukan dengan menghitung determinan matriks
6 x 6. Persamaan matriks adalah:
Dimana

18. 18
dan seterusnya.
Contoh :
Tentukan persamaan irisan kerucut melalui titik (3, 3), (2, -1), (1, -2), (-2,
1), dan (-3, - 3).
Dengan menghitung determinan matriks diperoleh persamaan kerucut
-1188x2
+ 1404xy - 1188y2
+ 0x + 0y + 8748 = 0.
4. Kesimpulan
Determinan matriks dapat digunakan untuk menentukan persamaan garis yang
melalui dua titik dan juga menentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga
titik. Aplikasi lain dari determinan matriks adalah menentukan persamaan bidang
yang melalui tiga titik, dan juga menentukan persamaan umum irisan kerucut.
5. Daftar Pustaka
Dhohuri, Atmini dan Markaban. 2011. Pembelajaran Persamaan Garis Lurus di
SMP. http:// www.p4tkmatematika.org. Diakses tanggal 20 Maret 2013.
Rawuh, dkk. 1958. Ilmu Ukur Analitis. Bandung : Tarate.
Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta : Erlangga.
Sutojo, dkk. 2010. Teori dan Aplikasi Aljabar Linier & Matriks. Semarang: Andi.
Tim LBB UGAMA. 2009. Logic The Quickest and Easiest Solution. Yogyakarta :
LBB UGAMA.

19. 19
LAMPIRAN
Saran-saran :
1. Dra.Trimurti Saleh, M.A.
Menambahkan jenis penyelesaian SPL Homogen, yaitu trivial dan
nontrivial pada materi penunjang. (Telah ditambahkan pada halaman 5)
2. Septy Sari Yukans, S.Pd.,M.Sc.
Memperbaiki tampilan slide powerpoint (Telah diperbaiki)
3. Haris Kurniawan, M.Pd
Memperbaiki kata-kata pada kesimpulan, dan menambahkan contoh lain
penggunaan determinan matriks yang melibatkan lebih dari tiga variabel.
(Telah ditambahkan pada halaman 14)