Guía Gestión de Operaciones

1. UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA INDUSTRIAL
GESTIÓN DE OPERACIONES
GUIA DE ESTUDIO
Profesor: Dr. Pedro Palominos Belmar

2. INDICE
I UNIDAD
PROBLEMAS DE PRONOSTICOS ……………………………………… 03
PROBLEMAS DE MODELOS DETERMINISTAS DE INVENTARIOS……. 17
PROBLEMAS DE MODELOS ESTOCÁSTICOS DE INVENTARIOS…….. 45
II UNIDAD
PROBLEMAS DE MRP ……………………………………………………… 69
PROBLEMAS DE PLANIFICACIÓN AGREGADA ……………………… 76
PROBLEMAS DE SECUENCIAMIENTO / ASIGNACIÓN ……………… 91
Sugerencias, comentarios y rectificaciones de ejercicios, por favor hacerlas llegar al mail
lvaldivialira@gmail.com
1

3. I UNIDAD
Pronósticos
Modelos Deterministas de Inventarios
Modelos Estocásticos de Inventarios
2

4. PROBLEMAS DE PRONOSTICOS
1) Una cadena de ferreterías, experimentó la demanda siguiente para pinturas
durante el mes pasado. El procedimiento normal de pronóstico es utilizar las
ventas semanales correspondientes al año anterior como pronóstico para este
año. Calcular el MAD y el sesgo e interpretar cada uno.
Pronóstico de la
Semana Demanda real (galones)
demanda (galones)
Junio 1 1.320 1.310
Junio 8 1.335 1.325
Junio 15 1.350 1.325
Junio 22 1.370 1.360
Solución:
1320 − 1310 + 1335 − 1325 + 1350 − 1325 + 1370 − 1360 55
MAD = = = 13.75 galones
4 4
(1310 − 1320) + (1325 − 1335) + (1325 − 1350) + (1360 − 1370)
Sesgo = = −13.75 galones
4
El MAD es un promedio de las desviaciones absolutas y por lo tanto, expresa
dimensión del error, lo que indica un error de 13.75 galones en cada predicción,
algo así como un 13.75/1344 ≈ 1%.
El sesgo indica la tendencia direccional de los errores de predicción y está
sobreestimada en 13.75 galones
2) En el área de Atlanta, el número de llamadas diarias para solicitar reparación de
las copiadoras Speedy se ha registrado como sigue:
OCTUBRE LLAMADAS
1 92
2 127
3 103
4 165
5 132
6 111
7 174
8 97
a) Prepare un pronóstico por promedio móvil de tres periodos en relación con
estos datos, ¿cuál es el error de cada día?
3

5. b) Prepare un pronóstico por promedio móvil ponderado para tres periodos
utilizando pesos de w1 = 0.5, w2 = 0.3, w3 = 0.2
c) ¿Cuál de los dos pronósticos es mejor?
d) Prepare pronósticos por Suavizamiento exponencial para los siguientes casos:
i. α = 0,1 y F1 = 90
ii. α = 0,3 y F1 = 90
Solución:
a) y b)
OCTUBRE At Ft (a) et (a) |et| (a) Ft (b) et (b) |et| (b)
1 92 ---- ---- ---- ---- ---- ----
2 127 ---- ---- ---- ---- ---- ----
3 103 ---- ---- ---- ---- ---- ----
4 165 107,33 57,67 57,67 108 57 57
5 132 131,67 0,33 0,33 138,8 -6,8 6,8
6 111 133,33 -22,33 22,33 136,1 -25,1 25,1
7 174 136 38,00 38,00 128,1 45,9 45,9
8 97 139 -42,00 42,00 146,7 49,7 49,7
c) Según el criterio del MAD:
MAD( a ) = 32,07 MAD(b ) = 36,9
Es mejor (a) porque tiene menor MAD igual a 32,07.
d)
OCTUBRE Ft (i) Ft (ii)
1 90 90
2 90,2 90,6
3 93,88 101,52
4 94,79 101,96
5 101,81 120,87
6 104,83 124,21
7 105,45 120,25
8 112,3 136,37
3) La Yummy Ice Cream Company proyecta la demanda de helados utilizando
Suavizamiento exponencial de primer orden. La última semana el pronóstico fue
de 100.000 galones de helados y en realidad se vendieron 80.000.
a) Utilice α = 0,1 y prepare un pronóstico para la siguiente semana.
b) Calcule el pronóstico utilizando α = 0,2 y α = 0,3 para este problema. ¿Qué
valor de α brinda el mejor pronóstico suponiendo que la demanda verdadera es
de 95.000 galones?
4

6. Solución:
a) F proxima semana = 100.000 + 0,1⋅ (80.000 − 100.000) = 98.000
El pronóstico para la próxima semana es de 98.000 galones de helados.
b)
Alfa Dreal Dpronosticada Error
α = 0,2 95.000 96.000 -1.000
α = 0,3 95.000 94.000 1.000
Ambos valores de alfa proporcionan un pronóstico igualmente desviado del valor
real, sólo difieren en el hecho de que con α = 0,2 se hace una sobreestimación de
la demanda real en 1.000 unidades, y con α = 0,3 se hace una subestimación de
la demanda real también en 1.000 unidades. Es decir, no se puede decir con estos
datos proporcionados, que algún valor de alfa sea mejor que otro.
4) En la Tabla siguiente, se presentan la demanda mensual de la compañía
“Rocky”.
Mes Unidades Mes Unidades
Mayo 100 Septiembre 105
Junio 80 Octubre 110
Julio 110 Noviembre 125
Agosto 115 Diciembre 120
a) Usando el método de suavizamiento exponencial, pronostique el número de
unidades demanda de Junio a Diciembre, asumiendo que el pronóstico inicial
para el mes de Mayo fue de 105 unidades. (α=0.2)
b) Calcule el porcentaje de Error Absoluto y el MAD.
c) Calcule la señal de rastreo al final del mes de Diciembre y opine sobre el
desempeño del método de pronóstico.
Solución:
a) Ft +1 = Ft + α ⋅ (Dt − Ft )
Mes Demanda Dt Pronóstico Ft
Mayo 100 105
Junio 80 105+0,2·(100–105) = 104,0
Julio 110 104,0+0,2·(80–104,0) = 99,2
Agosto 115 99,2+0,2·(110–99,2) = 101,4
Septiembre 105 101,4+0,2·(115–101,4) = 104,1
Octubre 110 104,1+0,2·(105–104,1) = 104,3
Noviembre 125 104,3+0,2·(110–104,3) = 105,4
Diciembre 120 105,4+0,2·(125–105,4) = 109,3
5

7. b)
Error
Demanda Pronóstico Error Error
Mes t porcentual
mensual Dt Ft Et absoluto
absoluto
Mayo 100 105 -- -- --
Junio 80 104 -24 24 30%
Julio 110 99 11 11 10%
Agosto 115 101 14 14 12.2%
Septiembre 105 104 1 1 0.9%
Octubre 110 104 6 6 5.4%
Noviembre 125 105 20 20 16%
Diciembre 120 109 11 11 9.2%
Total 39 87 83.7%
MAD = 87/7 = 12,4
MAPE = 83,7/7 = 12,0%
c) La señal de rastreo =
∑E39 t
=
= 3.14
MAD 12.4
La señal de rastreo no excede a ± 6, por lo tanto, existe una baja probabilidad
de que se hallen grandes desviaciones en el pronóstico.
5) La demanda de alas de pollo de un restaurante local durante las seis semanas
anteriores ha sido la siguiente:
Semana 1 2 3 4 5 6
Demanda 650 521 563 735 514 596
a) Haga un pronóstico de la demanda para la semana 7, mediante un promedio
móvil de cinco periodos.
b) Haga un pronóstico de la demanda para la semana 7 mediante un promedio
móvil ponderado de tres periodos. Utilice los siguientes pesos para hacerlo:
W1= 0,5; W2=0,3 y W3=0,2
c) Haga el pronóstico de la demanda para la semana 7 mediante el
suavizamiento exponencial. Utilice un valor α= 0,1 y suponga que el pronóstico
para la semana 6 era de 600 unidades.
d) Calcule el Sesgo, el MAD y el MAPE.
e) ¿Qué suposiciones se hacen para cada uno de los pronósticos anteriores?
Solución:
a) F7 =
(521 + 563 + 735 + 514 + 596) = 585.8
5
b) F7 = 0.5 ⋅ 596 + 0.3 ⋅ 514 + 0.2 ⋅ 735 = 599.2
c) F7 = F6 + α ⋅ ( D6 − F6 ) = 600 + 0.1 ⋅ (596 − 600) = 599.6
6

8. d)
Promedio Móvil Simple de cinco periodos:
Semana
Dt Ft et |et| |et|% = |et|/Dt·100
(t)
1 650 ---- ---- ---- ----
2 521 ---- ---- ---- ----
3 563 ---- ---- ---- ----
4 735 ---- ---- ---- ----
5 514 ---- ---- ---- ----
6 596 596.6 -0.6 0.6 0.10%
Promedio Móvil Ponderado de tres periodos:
Semana
Dt Ft et |et| |et|% = |et|/Dt·100
(t)
1 650 ---- ---- ---- ----
2 521 ---- ---- ---- ----
3 563 ---- ---- ---- ----
4 735 567.8 167.2 167.2 22.75%
5 514 640.6 -126.6 126.6 24.63%
6 596 590.1 5.9 5.9 0.99%
Suavizamiento exponencial: NO SE PUEDE CALCULAR, FALTAN MÁS DATOS.
Promedio Promedio
Suavizamiento
Medida Móvil Móvil
Exponencial
Simple Ponderado
Sesgo -0.6 15.5 No se puede calcular
MAD 0.6 99.9 No se puede calcular
MAPE 0.1% 16.12% No se puede calcular
e) Se supuso que:
• La demanda futura será como la cantidad demandada pasada.
• No hay tendencia, estacionalidad y efectos cíclicos.
• En el promedio móvil, todos los datos pesan igual.
• En el promedio ponderado los datos más recientes pesan más.
• En el suavizamiento exponencial el valor de α = 0.1 pone poco peso a la
demanda actual y mucho peso al pronóstico pasado.
6) La demanda de National Cereal, uno de los cereales favoritos para el desayuno
entre personas nacidas en la década de los 70 en CerealLand, está en una etapa
de decadencia. La compañía desea vigilar cuidadosamente la demanda. Para ello
ha utilizado el método de suavización exponencial ajustado a la tendencia con
α = 0,1 y β = 0,3. Al final de diciembre, la estimación de enero para el número
promedio de cajas vendidas para cada mes fue de 900.000 y las tendencias de
-50.000 por mes. En la tabla siguiente se presenta la historia de las ventas reales
para los meses de enero a marzo:
7

9. MES VENTAS
Enero 890.000
Febrero 800.000
Marzo 825.000
a) Genere usted los pronósticos para los meses de febrero, marzo y abril.
b) Calcule el Sesgo, MAD y MAPE. ¿Qué opina de los resultados?
c) Si la tendencia sigue a la baja, ¿este método de predicción sigue siendo
válido?
Solución:
a) y b)
MES At Ft Tt PITt SESGOt MADt MAPEt
Enero 890.000 900.000 -50.000 850.000 ---- ---- ----
Febrero 800.000 899.000 -35.300 863.700 -63.700 63.700 7,96%
Marzo 825.000 889.100 -27.680 861.420 -50.060 50.060 6,19%
Abril ---- 882.690 -21.299 861.391 ---- ---- ----
De los resultados podemos ver que la estimación inicial dada es una
subestimación, y lo calculado representa una sobreestimación de las ventas
reales.
c) Si la tendencia es a la baja, este método de pronóstico es válido, así como
otros, en la medida que se corrijan los parámetros alfa y beta, o se tenga bien
definida la señal de rastreo, dado que el pronóstico del mes de marzo tuvo una
desviación no menor respecto al último periodo.
7) Las llamadas de emergencia del 911 en Florida durante las pasadas 24
semanas son las indicadas:
Semanas Llamadas Semanas Llamadas
1 50 13 55
2 35 14 35
3 25 15 25
4 40 16 55
5 45 17 55
6 35 18 40
7 20 19 35
8 30 20 60
9 35 21 75
10 20 22 50
11 15 23 40
12 40 24 65
8

10. a) Calcule la previsión exponencialmente alisada de llamadas para cada semana.
Suponga una previsión inicial de 50 llamadas en la primera semana y utilice un
α=0.1, ¿cuál es la previsión para la semana 25?
b) Utilizando la tabla anterior prevea las llamadas de la semana 2 hasta la 25 con
un alisado exponencial con ajuste de tendencia. Suponga que la previsión
inicial es de 50 llamadas para la semana uno y una tendencia inicial de 0,
utilice las constantes de alisado de α=0.3 y β=0.1. ¿Es este modelo mejor que
el pronosticado en la pregunta anterior?
Solución:
Semanas Llamadas F(α=0.1) F(α=0.3) Tendencia PITt |e1| |e2|
1 50 50,00 50,00 0,00 50,00 -- --
2 35 50,00 50,00 0,00 50,00 15,00 15,00
3 25 48,50 45,50 -0,45 45,05 23,50 20,05
4 40 46,15 39,35 -1,02 38,33 6,15 1,67
5 45 45,54 39,55 -0,90 38,65 0,53 6,35
6 35 45,48 41,18 -0,65 40,54 10,48 5,54
7 20 44,43 39,33 -0,77 38,56 24,43 18,56
8 30 41,99 33,53 -1,27 32,26 11,99 2,26
9 35 40,79 32,47 -1,25 31,22 5,79 3,78
10 20 40,21 33,23 -1,05 32,18 20,21 12,18
11 15 38,19 29,26 -1,34 27,92 23,19 12,92
12 40 35,87 24,98 -1,63 23,35 4,13 16,65
13 55 36,28 29,49 -1,02 28,47 18,72 26,53
14 35 38,16 37,14 -0,15 36,99 3,16 1,99
15 25 37,84 36,50 -0,20 36,30 12,84 11,30
16 55 36,56 33,05 -0,53 32,52 18,44 22,48
17 55 38,40 39,63 0,19 39,82 16,60 15,18
18 40 40,06 44,24 0,63 44,87 0,06 4,87
19 35 40,05 42,97 0,44 43,41 5,05 8,41
20 60 39,55 40,58 0,15 40,73 20,45 19,27
21 75 41,59 46,41 0,72 47,13 33,41 27,87
22 50 44,93 54,98 1,51 56,49 5,07 6,49
23 40 45,44 53,49 1,21 54,70 5,44 14,70
24 65 44,90 49,44 0,68 50,12 20,10 14,88
25 46,91 54,11 1,08 55,19 -- --
MAD 13,25 12,56
Luego, el mejor pronóstico es el de b), por tener menor MAD.
8) El número de intervenciones quirúrgicas de corazón que se realizan en el
Hospital General de Heratville ha aumentado sin cesar en los últimos años. La
administración del hospital está buscando el mejor método para pronosticar la
demanda correspondiente a esas operaciones en 1998. Aquí se muestran los
datos de los últimos cinco años. Hace seis años, el pronóstico para 1993 era de 41
operaciones:
9

11. AÑO DEMANDA
1993 45
1994 50
1995 52
1996 56
1997 58
La administración del hospital está considerando el uso de los siguientes
métodos de pronósticos:
i. Suavizamiento exponencial doble con alfa = 0,6 y beta = 0,5. Utilice una
tendencia inicial igual a 5 para 1993.
ii. Promedio móvil ponderado de tres años, usando ponderaciones de (3/6), (2/6)
y (1/6), y asignando mayor ponderación a los datos más recientes.
iii. Modelo de regresión Y = 42,6 + 3,2·X, donde Y es el número de operaciones
quirúrgicas y X representa el índice correspondiente al año (por ejemplo, X = 1
para 1993).
¿Qué método de Pronóstico se deberá seleccionar? Si:
a) El MAD es el criterio de rendimiento seleccionado por la administración.
b) El MSE (Cuadrado del Error Medio) es el criterio de rendimiento seleccionado.
c) El MAPE (Error Porcentual Medio Absoluto) es el criterio seleccionado por la
administración.
Solución:
i. Suavizamiento exponencial doble:
Año Dt Ft Tt PITt et MAD MSE MAPE
1993 45 41 5 46 ---- ---- ---- ----
1994 50 43.4 3.7 47.1 2.9 2.9 8.4 5.8%
1995 52 47.4 3.8 51.2 0.8 1.9 4.5 3.7%
1996 56 50.1 3.3 53.4 2.6 2.1 5.2 4.0%
1997 58 53.7 3.4 57.1 0.9 1.8 4.1 3.4%
1998 56.3 3.0 59.3 ---- ---- ---- ----
ii. Promedio Móvil Ponderado de tres años:
Año Dt Ft et MAD MSE MAPE
1993 45 ---- ---- ---- ---- ----
1994 50 ---- ---- ---- ---- ----
1995 52 ---- ---- ---- ---- ----
1996 56 50.2 5.8 5.8 34.0 10.4%
1997 58 53.7 4.3 5.1 26.4 8.9%
1998 56.3 ---- ---- ---- ----
10

12. iii. Modelo de regresión lineal simple:
Año X Dt Ft = Y(X) et MAD MSE MAPE
1993 1 45 45.8 -0.8 0.8 0.6 1.8%
1994 2 50 49 1 0.9 0.8 1.9%
1995 3 52 52.2 -0.2 0.7 0.6 1.4%
1996 4 56 55.4 0.6 0.7 0.5 1.3%
1997 5 58 58.6 -0.6 0.6 0.5 1.3%
1998 6 61.8 ---- ---- ---- ----
a) Se elige el modelo de regresión lineal por tener un menor MAD = 0.6
b) Se elige el modelo de regresión lineal por tener un menor MSE = 0.5
c) Se elige el modelo de regresión lineal por tener un menor MAPE = 1.3%
9) El administrador de la empresa de limpieza de alfombras Aladín S.A., ubicada
en Agraba, necesita pronosticar la demanda por sus servicios para el año 2001.
Los datos disponibles por él son los siguientes:
Trimestre 1996 1997 1998 1999 2000
1 50 70 100 100 110
2 350 370 585 725 850
3 530 590 830 1.160 1.390
4 100 170 285 215 250
TOTAL 1.030 1.200 1.800 2.200 2.600
Como Ud., actualmente esta de vacaciones por Agraba, y se ha hecho amigo de
él, ha decidido ayudarlo, dado que Ud. hizo un curso de Administración de
Producción en la prestigiosa Universidad de Santiago. Por lo tanto pronostique la
demanda por limpieza de alfombras para cada período trimestral del año 2001.
(Utilice índice de estacionalidad)
Solución:
1º Proyectar la demanda total para el año 2001
Dado que la demanda total tiene una tendencia al alza, utilizaremos regresión
lineal:
X Y X·Y X2
1 1030 1030 1
2 1200 2400 4
3 1800 5400 9
4 2200 8800 16
5 2.600 13.000 25
Total 8.830 30.630 55
11

13. Sea el modelo a estimar: Y = a + b ⋅ X
ˆ ˆ ˆ
8.830 15
ˆ 5 ⋅ 30.630 − 15 ⋅ 8.830 = 414
b= a = Y − bX =
ˆ ˆ − 414 ⋅ = 524
5 ⋅ 55 − 15 2 5 5
Y = a + b ⋅ X = 524 + 414 ⋅ X ⇒ Y (6) = 524 + 414 ⋅ 6 = 3.008 , para el año 2001
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ
Otra forma de calcular aproximadamente el valor de Y (año 2001) es mediante
tasas:
2.600
−1
i= 1.030 = 0,3811 , por lo tanto, Y (año 2001) = 1030·(1+0,3811·5) = 2.993
ˆ
4
2º Determinar los índices de estacionalidad con los datos actuales:
8.830
DTrimestral = = 2207.5
4
Demanda Total
Trimestre Índice de Estacionalidad
Trimestral
1 430 430/2.207,5 = 0,1948
2 2.880 2.880/2.207,5 = 1,3046
3 4.500 4.500/2.207,5 = 2,0385
4 1.020 1.020/2.207,5 = 0,4621
∑ = 8.830 ⇒ 8.830/4 = 2.207,5
Luego, para el año 2001, la demanda promedio trimestral es 3.008/4 = 752
3º Aplicar el Índice de Estacionalidad (calculado anteriormente para cada
trimestre), sobre la demanda promedio trimestral del año 2001:
Trimestre Pronostico trimestral año 2001
1 752·0,1948 = 146,5
2 752·1,3046 = 981,1
3 752·2,0385 = 1.532,9
4 752·0,4621 = 347,5
Suma ≈ 3.008
Nota: Otras opciones de resolución más largas, son válidas en torno a estas cifras.
10) El volumen de correspondencia diaria que reciben cada semana las oficinas
de correo de Mailville, se registra en la siguiente tabla, que corresponde a dos
semanas representativas y están expresadas en miles de piezas postales.
12

14. Día Semana 1 Semana 2
Domingo 5 8
Lunes 20 15
Martes 30 32
Miércoles 35 30
Jueves 49 45
Viernes 70 70
Sábado 15 10
Total 224 210
Si el director de correos estima que tendrá que clasificar 230.000 piezas de correo
durante la semana próxima, pronostique usted, ¿cuál será el volumen
correspondiente para cada día de la semana?
Solución:
Semana 1 Semana 2
Factor de Factor de
Día Volumen Volumen
estacionalidad estacionalidad
Domingo 5 5/32=0.156 8 8/30=0.266
Lunes 20 20/32=0.625 15 15/30=0.500
Martes 30 30/32=0.937 32 32/30=1.066
Miércoles 35 35/32=1.093 30 30/30=1.000
Jueves 49 49/32=1.531 45 45/30=1.500
Viérnes 70 70/32=2.187 70 70/30=2.333
Sábado 15 15/32=0.468 10 10/30=0.333
Total 224 210
Promedio 32 30
Para la próxima semana, se tiene diariamente:
Volumen Pr omedio Esperado = 230.000 / 7 = 32.857
Resultados
Día Factor prom · vol prom esperado
Domingo 0.2114·32.857 = 6.948
Lunes 0.562·32.857 = 18.482
Martes 1.002·32.857 = 32.926
Miércoles 1.046·32.857 = 34.397
Jueves 1.515·32.857 = 49.799
Viernes 2.260·32.857 = 74.271
Sábado 0.401·32.857 = 13.177
Total 230.000
13

15. 11) Un alumno de ingeniería industrial presentó un pronóstico para la captura del
jurel en Chile. Para ello, realizó una regresión lineal simple, considerando como
variable los años comprendidos entre 1992 y 2001. El resultado de la regresión es
el siguiente:
b0 = 626,153 y b1 = -312.252,4
R2 = 0,6121
La tabla considerada para hacer la regresión es la siguiente:
Toneladas de
Año
jurel
1992 3212060
1993 3236244
1994 1011117
1995 4404193
1996 3883326
1997 2917064
1998 1612912
1999 1219689
2000 1234299
2001 1649933
Fuente: SERNAPESCA
Respecto al estudio de la demanda realizado por el alumno, ¿qué comentario le
merece en términos de lo enseñado en el curso?
Solución:
Graficando los datos, podemos observar:
5000000
4000000
3000000
2000000
1000000
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1. No es adecuado realizar una regresión lineal simple como técnica dada la poca
linealidad entre las variables consideradas, además ocurrieron pronósticos
negativos y R2 es bajo.
14

16. 2. El gráfico adjunto muestra cierta estacionalidad o ciclo en la captura del jurel,
esto puede deberse a períodos de veda, ciclo de reproducción del jurel,
fenómenos climáticos como el niño o la niña, en consecuencia habrá que estudiar
una serie más larga a fin de encontrar ciclos, estacionalidad, tendencia, etc. que
ayuden a realizar un pronóstico.
3. Se sugiere realizar un pronóstico causal, dado que hay variables explicativas
que pueden ayudar a hacer un buen pronóstico o revisar la posibilidad de aplicar
un suavizamiento doble (Tendencia y estacionalidad), si tenemos una serie más
larga.
12) ¿Qué tipo de componentes por series de tiempo esperaría usted en los
siguientes casos?
a) Ventas mensuales de leche en un supermercado
b) Demanda diaria de llamadas telefónicas
c) Demanda mensual de periódicos
Solución:
a) Tendencia, azar.
b) Estacional (fines de semana, vacaciones), tendencia, azar.
c) Tendencia, estacional (fines de semana), aleatorio.
13) ¿En base a qué factores se debe seleccionar un método de pronóstico?
Solución:
- Sofisticación del usuario y del sistema.
- El uso o las características de la decisión.
- El patrón de los datos.
- El tiempo y los recursos disponibles.
- La disponibilidad de los datos.
14) ¿Cuáles son las desventajas del modelo de pronóstico de promedios móviles?
Solución:
- El incremento en el valor de n suaviza mucho más las fluctuaciones, pero el
método lo hace menos sensitivo a los cambios reales en la información.
- Los promedios móviles no pueden reconocer bien la tendencia (se mantienen
dentro de los niveles del pasado y no predican un cambio de nivel)
15

17. 15) Se pidió que todos los vendedores de una compañía realizarán pronósticos de
las ventas de sus territorios para el año siguiente. Estos pronósticos se sumarán
por línea de producto, distrito, región y por último a nivel nacional. Describa los
problemas que surgen al utilizar este pronóstico para decisiones específicas sobre
inventario y la programación de las máquinas.
Solución:
- Es bastante improbable que el personal de ventas pueda predecir con
seguridad un producto individual en menos de un mes, lo que influye sobre
todo en la programación de las máquinas.
- Si manejamos a nivel agregado el pronóstico para propósito de control, no se
entenderá.
16) ¿Existen diferencias entre el pronóstico de demanda y el pronóstico de
ventas?
Solución:
La demanda y las ventas no siempre son lo mismo. Cuando la demanda no
se ve limitada por la capacidad u otras políticas administrativas, el pronóstico de
ésta será el mismo que el pronóstico de ventas. En caso contrario, las ventas
podrían ser ligeramente inferiores a la demanda de los clientes.
16

18. PROBLEMAS DE MODELOS DETERMINISTAS DE INVENTARIOS
1) El McDonald’s de la Rotonda Atenas, utiliza 120 vasos de papel, de seis onzas,
por día. Los planes de esta sucursal de McDonlad’s son tener abierto 360 días al
año. Los vasos tienen un costo de 10 dólares/docena; los costos de orden son de
5 dólares/orden y los costos de manejo son un 50% del costo del artículo.
a) Encontrar la cantidad económica a ordenar si la entrega es instantánea.
b) En general, se ordenan vasos cada 30 días. Obtener la relación entre la
cantidad ordenada real, y la cantidad óptima ordenada. Así como los costos
totales reales y los costos totales óptimos del manejo del inventario. Interprete
además los resultados obtenidos.
Solución:
a) DA = 120 unidades/día · 360 días/año = 43.200 unidades/año
C0 = 5 US$/orden
Ci = 10·0,5/120 = 0,4166 US$/unid.-año
Luego:
2C 0 D 2 ⋅ 5 ⋅ 43.200
X* = = = 1.018,31 ≈ 1.019 unidades ó 85 docenas aprox.
Ci 0,4166
43.200
b) Cantidad real ordenada Q = = 3.600 unidades / mes ≈ 300 docenas / mes
12
Situación normal:
Costo ordenar = 5 US$/orden · 12 ordenes/año = 60 US$/año
Costo manejo = 0,4166·3.600/2 = 749,86 ≈ 750 US$/año
Costo total anual = 60 + 750 = 810 US$/año
Situación con (EOQ):
Costo ordenar = 5 US$/orden · 43.200/1.019 = 211,9 ≈ 212 US$/año
Costo manejo = 0,4166·1.019/2 = 212,257 ≈ 212,3 US$/año
Costo total anual = 212 + 212,3 = 424,3 US$/año
Con el sistema EOQ, McDonald’s puede ahorrar aproximadamente US$385,75 al
año, lo que significa un ahorro de 47,61%
2) Suponga que una empresa almacena un producto para satisfacer la demanda
de sus clientes, la cual es de origen determinista y es de 300 unidades al año. El
costo que se incurre por realizar un pedido es de $25, el costo de almacenamiento
es de 0.1 $/unidad – mes y el precio de compra del producto es de 10 $/ unidad, la
tasa de interés mensual es de 0.5 % y además la empresa cancela por concepto
de seguro por deterioro del producto 0.1 $/unidad- mes.
17

19. Se sabe además que el costo asociado a la perdida de ventas por agotamiento de
inventario es de $1.5 por unidad mes.
Calcular:
a) Tamaño de la compra
b) Frecuencia de la orden
c) De qué tamaño deberá ser el inventario de seguridad, de tal forma de no tener
agotamiento.
Solución:
Datos:
Nota: Los datos de costos se encuentran en meses, esto implica que hay que
trabajar todos los datos en meses.
⎡ unidades ⎤ 300 ⎡ unidades ⎤
D = 300 ⎢ ⎥ = 12 = 25⎢ mes ⎥
⎣ año ⎦ ⎣ ⎦
C o = $25
C i : costo de almacenamiento + costo de seguro + costo de capital
⎡ $ ⎤
C i = 0.1 + 0.1 + 0.005 * 10 = 0.25⎢ ⎥
⎣ unidades − mes ⎦
⎡ $ ⎤
C a = 1.5⎢ ⎥
⎣ unidades − mes ⎦
En este ejercicio aparece el costo de agotamiento, lo que implica que se debe
ocupar el Modelo 3.
X = Xs + Xl
X S : inventario en mano
X L : cantidades de unidades en agotamiento.
a)
2 DC O ⎛ Ci + C a ⎞ 2 DC O ⎛ Ca ⎞
X= ⎜
⎜ C ⎟ : XS =
⎟ ⎜
⎜C +C ⎟
⎟
Ci ⎝ a ⎠ Ci ⎝ i a ⎠
2 * 25 * 25 ⎛ 0.25 + 1.5 ⎞ ⎡ unidades ⎤
X= ⎜ ⎟ = 76.37 ⎢ ⎥ ≈ 76
0.25 ⎝ 1.5 ⎠ ⎣ orden ⎦
b)
D 25 ⎡ ordenes ⎤
f = = = 0.32⎢ ⎥
X 76.37 ⎣ mes ⎦
18

20. Inventario en m ano
15
10
XS
Inventario
X-Dt
5
X
00
t1 t2
-XL
-5
Tiem po
c)
2 DC O⎛ Ca ⎞ 2 * 25 * 25 ⎛ 1.5 ⎞ ⎡ unidades ⎤
XS = ⎜C +C ⎟ =
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 65.46⎢ ⎥
Ci ⎝ i a ⎠ 0.25 ⎝ 1.5 + 0.25 ⎠ ⎣ orden ⎦
Estilo del inventario de seguridad
⎡ unidades ⎤
X L = X − X S = 76.37 − 65.46 = 10.91⎢ ⎥ : esta es la cantidad que se d
⎣ orden ⎦
Es la cantidad que debe ser mantenida en inventario de seguridad para no tener
costos de agotamiento.
3) Ud. recientemente ha asumido la gerencia de producción de la empresa
3Picture, la cual fabrica “videogame”, el cual tiene un componente, que Ud. puede
fabricar o comprar. Los costos de fabricar son de $100 por unidad, y la empresa
tiene una capacidad de fabricación de 60.000 unidades al año y sus costos de
preparación de máquina son de $500. Por otra parte se sabe que la demanda
estimada es de 18.000 unidades al año.
La información referente al precio de compra del componente le acaba de llegar y
es de $120 por unidad, con un costo de ordenar de $80.
Si Ud. asume un costo de inventario del 10%, ¿qué le conviene, comprar o fabricar
el producto?
Solución:
a) Opción de compra:
P = 120 $/unidad
C0 = 80 $/orden
Ci = 0.1·120= 12 $/ unid·año
D = 18.000 unid/año
19

21. 2 ⋅ 80 ⋅ 18.000
X* = = 489,897 ≈ 490 unidades
12
EA = compra actual + almacenamiento + costo de ordenar
12 ⋅ 490 80 ⋅ 18.000
E A = 18.000 ⋅ 120 + + = 2.165.878,775
2 490
b) Opción de fabricación:
2C 0 DP 2 ⋅ 500 ⋅18.000 ⋅ 60.000
X* = = = 1.603,567 ≈ 1.603 unidades
C i ( P − D) 10 * (60.000 − 18.000)
10 ⋅ (1.603,567) 18.000 ⋅ 500
E A = 18.000 ⋅100 + + = 1.813.630,322
2 1603,567
Por lo tanto, es más conveniente fabricar, dado que su costo total anual es más
bajo que al comprar el producto.
4) Una tienda comercial vende dos productos que periódicamente ordena de un
mismo proveedor. La tasa de demanda y los costos de inventario están dados en
la siguiente tabla:
Demanda Costo de Ordenar Costo de inventario
Producto
(unidades/mes) ($/orden) ($/unidad-mes)
A 100 50 25
B 300 50 3
Sin embargo, si se ordenan los dos productos conjuntamente, el costo de
ordenamiento en que se incurre es de sólo $50 (por los dos productos). En estas
circunstancias, ¿cuál es la política de inventario óptimo?
Solución:
Ordenando independientemente:
2Dm A C o 2 ⋅ 50 ⋅100 unidades
XA =
*
= = 20
Ci A 25 orden
2 Dm B C 0 B 2 ⋅ 50 ⋅ 300 unidades
XB =
*
= = 100
Ci B 3 orden
20

22. Costo total anual:
⎛ C o Dm A XA
*
C o Dm B XB
*
⎞
E Anual = E A + E B = 12 ⋅ ⎜ + Ci A + + Ci B ⎟
⎜ X * 2 *
2 ⎟
⎝ A XB ⎠
⎛ 50 ⋅100 25 ⋅ 20 50 ⋅ 300 3 ⋅100 ⎞ $
E Anual = 12 ⋅ ⎜ + + + ⎟ = 9.600
⎝ 20 2 100 2 ⎠ año
Ordenando conjuntamente (sin utilizar directamente las fórmulas del Modelo 5):
X2 X2
ET = ET A + ET B = C o + C i A + Ci B
2D A 2DB
Donde:
XA XB D
T= = ⇒ XB = XA B
D A DB DA
2 2
ET C o XA XB C D X X
= + C iA + C iB = E A = o A + C iA A + C iB B
T T 2 D AT 2D B T XA 2 2
C D X X D
E Anual = o A + C iA A + C iB A ⋅ B
XA 2 2 DA
E Anual C D C C D
= − o 2 A + iA + iB ⋅ B = 0
dX A X A 2 2 DA
Despejando XA:
CO D A
XA =
C iA C iB DB
+
2 2DA
Reemplazando los valores:
50 ⋅100 ⎡ unidades ⎤
XA = = 17.15⎢ ⎥ ≈ 17
25 3 ⋅ 300 ⎣ orden ⎦
+
2 2 ⋅100
300 ⎡ unidades ⎤
XB = ⋅17.15 = 51.45⎢ ⎥ ≈ 51
100 ⎣ orden ⎦
Costo total anual:
⎛ 50 ⋅100 25 ⋅17,15 3 ⋅ 51,45 ⎞ $
E Anual = 12 ⋅ ⎜ + + ⎟ = 6.997
⎝ 17,15 2 2 ⎠ año
Por lo tanto, conviene más ordenar conjuntamente, porque así se obtiene
un costo anual total menor al de ordenar independientemente.
21

23. 5) La empresa Battery Inc. Compra baterías por US$ 20 c/u y el costo de realizar
una orden es de US$ 11. La empresa vende cerca de 10.000 baterías por año a
una tasa uniforme. La compañía funciona 5 días por semana, durante 52 semanas
a excepción de 6 días de vacaciones al año. El tiempo de ordenamiento es de 4
días y la compañía desea tener un promedio de 2 días como stock de seguridad,
cuando una nueva orden está programada por llegar. El costo de mantención es
de 24% del valor del ítem por año. Con la información anterior determine:
a) Tamaño óptimo del lote
b) Nivel esperado del inventario máximo
c) Nivel de reordenamiento
d) Nivel promedio
e) Costo promedio anual de mantención
Solución:
2DAC0 2 ⋅ 10.000 ⋅ 11
a) Q * = = = 214,03 unidades / orden
Ci 0,24 ⋅ 20
b) Nivel esperado de inventario máximo:
10.000
Promedio de ventas por día es: = 39,37
52 ⋅ 5 − 6
Si la compañía desea tener un inventario de seguridad de 2 días, esto equivale
a 39,37·2 = 78,74 unidades ≈ 79 unidades.
Por lo tanto, el inventario máximo será:
Q*+ stock de seguridad = 214 + 79 = 293 unidades.
c) Nivel de reordenamiento:
R = D d ⋅ L + B = 39,37·4 + 79 = 236,48 = 237 unidades.
d) Nivel promedio = 0,5·(Máximo + Mínimo) = 0,5·(293 + 79) = 186 unidades.
e) Costo anual de mantención = 0,24·20·186 = $892,8 al año.
6) Considérese un fabricante que necesita 2.000 piezas pequeñas durante el
próximo año. El costo de las unidades es de $5 cada una. Se tienen disponibles
en la localidad con un tiempo de entrega de 1 semana, y el costo de ordenar para
el fabricante es de $5 por orden. El costo de conservación es de $1,50 al año por
almacenamiento, más 10% por unidad por año, debido al costo por unidad del
capital. Basado en estos antecedentes, responda las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántas unidades debe ordenar el fabricante con el fin de minimizar los
costos totales de inventario?
b) ¿Cuántos pedidos se harán en un año?
c) ¿Cuántos días calendario habrá entre órdenes?
d) ¿Cuál es el punto de reorden?
e) ¿Cuál es el costo anual de inventario?
22

24. Solución:
DA = 2.000 unidades por año
C0 = $5 por orden
CI = $1,50 + (10%)($5) = $2 por unidad por año
L = siete días = 1 semana
2 ⋅ DA ⋅ C0 2 ⋅ 2.000 ⋅ 5
a) Q * = = = 100 unidades / orden
Ci 2
1 D A 2.000
b) N ° de pedidos = f = = = = 20 órdenes / año
T Q 100
365 365
c) Días entre ordenes = T = = = 18 días / orden
f 20
2.000
d) Punto de reorden = R = Dd ⋅ L = ⋅ 7 = 38 unidades
365
DA Q 5 ⋅ 2.000 2 ⋅100
e) Costo anual de inventario = E A = C o ⋅ + Ci ⋅ = + = 200 $ / año
Q 2 100 2
7) La Vetter Corporation fabrica mesas y estaciones de trabajo para la siempre
creciente industria de computadoras. Vetter inició sus operaciones hace tres años
con un sólo producto; un soporte para tubo de rayos catódicos (TRC) cuyo precio
fijo es $98. Este producto fue diseñado por Vetter, la cual contrató la fabricación
completa de las partes pero llevado a cabo el montaje en su propia planta.
Desde un principio, Vetter ha estado desarrollando constantemente nuevos
productos y realizó esfuerzos para integrar verticalmente sus operaciones de
producción y montaje. Actualmente, Vetter fabrica la totalidad de sus cubiertas,
hace todo el trabajo de laminado y todo el que se relaciona con láminas metálicas,
excepto las patas tubulares de acero cromado para las mesa. Esas patas son
fabricadas por una compañía importante situada a 120 millas de distancia
aproximadamente. Las ventas de Vetter han aumentado a un ritmo tal que las
existencias de patas para mesa han sido constantemente insuficientes. Los
encargados del almacén han sido presionados para que mantengan una reserva
de patas en existencias. Vetter utiliza 300 juegos de patas diariamente en la
fabricación de dos soportes de TRC diferentes. En vista de las demoras y la
incertidumbre respecto a la entrega, Vetter ha considerado la posibilidad de
fabricar esas patas. Su lote económico ha sido de 6.000 juegos. El costo anual de
conservación de cada juego es de $1,20. El Ingeniero Industrial de Vetter estima
que, con el equipo adecuado, es posible producir 800 juegos de patas por día. Los
costos de preparación del equipo serán de $ 750.
Juan Pérez, supervisor de producción, está a favor de que se realice el proyecto
adquiriendo el nuevo equipo. Argumenta que “la posibilidad de producir aquí
23

25. mismo permitirá que virtualmente no haya necesidad de contar con existencias
disponibles. Nuestros costos de conservación de inventario disminuirán
sustancialmente”. Pedro González, el agente de compras alega que “si vamos a
ser los únicos en utilizarlas, el tiempo ocioso acabará sin duda con nosotros”. José
Rojas, supervisor del almacén, dice que “sencillamente ya no tenemos espacio
para aumentar el inventario. Si fabricándolo nosotros mismos podemos resolver el
problema de espacio, estoy a favor del proyecto”.
a) ¿Que lote de producción se justificaría si Vetter decidiera comprar el equipo
para fabricar las patas?
Solución:
Si el año tiene 365 días:
Dd = 300 patas/día ⇒ DA = 300·365 = 109.500 patas/año
Pd = 800 patas/día ⇒ PA = 800·365 = 292.000 patas al año
2C 0 D A PA 2 ⋅ 750 ⋅109.500 ⋅ 292.000
X* = = = 14.798,64 unidades / orden
C i ( PA − D A ) 1,2 ⋅ (292.000 − 109.500)
El lote mínimo a producir de tal forma que sea económico es de 14.799
juegos de patas aproximadamente. Lo que hay que evaluar es si hay recursos
financieros para tomar la decisión, así como la disponibilidad de espacio.
8) La empresa Pieza 9 necesita 2000 piezas durante el próximo año, el costo de
cada unidad es de $ 5. El tiempo de entrega es de 1 semana, y el costo de
ordenar es de 5$/orden. El costo de conservación es de 1.5 $/unidad-año, mas el
10 % por unidad por año por el costo de oportunidad del capital.
a) ¿Cuantas unidades debe ordenar con el fin de minimizar los costos totales de
inventario?
b) ¿Cuántos pedidos se harán en el año?
c) Si se considera que hay 360 días de calendario en un año ¿cuántos días de
calendario habrá entre órdenes?
d) ¿Cuál es el punto de reorden?
e) ¿Cuál es el costo anual?
Solución:
Datos:
C o = 5 $ / orden ⎡ unidades ⎤
D = 2000⎢ ⎥
C i = costo de almacenamiento + costo de capital ⎣ año ⎦
⎡ $ ⎤ L : lead time = 1 semana
C i = 1.5 + 0.1* 5 = 2⎢ ⎥
⎣ unidades − año ⎦
24

26. 2 DC 0 2 ⋅ 2000 ⋅ 5 ⎡ unidades ⎤
a) X A =
*
= = 100 ⎢ ⎥
Ci 2 ⎣ orden ⎦
D 2000 ⎡ ordenes ⎤
b) f = = = 20 ⎢ ⎥
X 100 ⎣ año ⎦
X 100 ⎡ año ⎤ ⎡ dias ⎤ ⎡ dias ⎤
c) T = = = 0.05⎢ ⎥ ⋅ 360 ⎢ año ⎥ = 18⎢ orden ⎥
D 2000 ⎣ orden ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
d)
R = D d L + B = D d L + Z ⋅σ L
2000
R= ⋅ 7 = 38.89 unidades
360
C o D XC i 5 ⋅ 2000 2 ⋅100 $
e) E A = + + D Pr ecio = + + 2000 ⋅ 5 = $10200
X 2 100 2 año
9) La empresa C&B Food envasa café instantáneo, del cual compra
periódicamente una cantidad de 120.000 libras. El costo de la mezcla de café en
C&B es de 2,40 US$/libra. La compañía embarca 1.200.000 botellas de café
instantáneo al año para los distribuidores, cada botella es de 1 libra. La demanda
es constante y continua todo el tiempo. ¿Cuál es el costo de llevar inventario, en
% al año, si el costo promedio de ordenar es de US$100? Discuta el resultado.
Solución:
Datos: Q = 120.000 libras/orden
Costo = 2,40 US$/libra
DA = 1.200.000 libras/año
Co = 100 US$/orden
Luego:
2 ⋅100 ⋅1.200.000
120.000 = ⇒ i = 0,0069 = 0,69% anual
2,40 ⋅ i
i% anual es el costo financiero asociado a mantener inventario, calculado
sobre el precio del producto. En este caso este costo porcentual de
mantener inventario es extremadamente bajo, en comparación con otros
casos.
25

27. 10) Un fabricante cuenta con un equipo limitado para elaborar dos productos, A y
B, cuya demanda, tasa de producción y lote económico se indican en la tabla
siguiente:
Producto A B
Demanda mensual, en unidades 100 200
Tasa de producción, unidades por mes 200 500
Lote económico, en unidades 20 180
Según los cálculos del fabricante, él estima que hay capacidad para satisfacer la
demanda de los productos, puesto que para satisfacer la demanda total de A, él
emplearía la mitad del mes (100/200) y para producir toda la demanda de B
emplearía 0,4 de mes (200/500). Sin embargo tiene problemas, puesto que al
producir un lote de A y luego uno de B, se produce escasez del producto A para
satisfacer a los clientes. Por tanto llamó telefónicamente a su amigo que da clases
de Administración de la Producción en la Universidad de Santiago, el cual
textualmente le dijo: “Los lotes económicos calculados para productos únicos
no resultan económicos en absoluto cuando otros productos compiten por
el mismo recurso. Una manera de eludir este problema es producir lotes
distintos al lote económico”. Como el fabricante no comprendió bien la idea, le
solicitó al profesor que le enviara ha alguno de sus alumnos, para ayudarle. El
profesor lo ha seleccionado a Ud. para ayudar al fabricante aproblemado. Por
tanto, ¿cómo solucionaría Ud., problema?
(Ayuda: solucione matemáticamente el problema).
Solución:
El lote económico de A es de sólo 20 unidades y se puede producir en
20/200 = 0,1 meses y en duración es de 0,2 meses (20/100).
El lote económico de B es de 180 unidades y se puede producir en 180/500 = 0,36
meses y en duración es de 0,9 meses (180/200).
Si A es primero, quedará terminada en 0,1 meses y B quedará terminada a los
0,46 meses (0,1+0,36). Sin embargo, el producto A se agotaría a los 0,3 meses
(0,1 + 0,2). Por tanto, habrá que producir tamaños de lotes distintos, para
ajustarse a la demanda. La cantidad que habrá que producir en un mes será una
fracción de mes.
100 ⋅ X unidades de A + 200 ⋅ X unidades de B , donde X está en meses.
100 ⋅ X 200 ⋅ X
Por lo tanto: + = 1 ⇒ X = 1,11 meses
200 500
100·X =111 unidades de A se requieren en 111/200 = 0,555 meses.
200·X = 222 unidades de B se requieren en 222/500 = 0,444 meses.
26

28. 11) La Slayton’s Furniture Store es una tienda de muebles de alto nivel localizada
cerca del lago Michigan, en el centro de Chicago. La tienda generalmente trabaja
muebles de alto precio de líneas famosas como Drexel, Heredon y Ethan Allen.
Con objeto de mantenerse a la moda con las últimas líneas, alrededor del 50% de
los estilos y estampados cambia cada año.
Joan Jeffery, compradora de muebles de la tienda Slayton, recibió una llamada de
Eric Towsend, el representante de ventas de muebles Drexel. Eric comentó: “Joan,
te puedo ofrecer un buen trato de nuestro conjunto de muebles de recámara
Dovetail, si compras una cantidad más grande. Hemos recibido una nueva tarifa
de nuestra firma de camiones que reduce el costo de embarque de $10 por quintal
(o 100 libras) a $9 por quintal siempre y cuando embarquemos un mínimo de 100
quintales. Esto requeriría que compraras cuando menos 10 conjuntos de recámara
a la vez, en lugar del tamaño acostumbrado de 6 conjuntos. Si ordenas 10 a la
vez, te ahorrarás el flete. Un ahorro de $10 por conjunto sólo en fletes. ¿Qué
piensas de esta proposición? “
Después de escuchar la oferta, Joan contestó: “Eric, parece interesante, pero
tendría que hacer algunas verificaciones y ponerme a trabajar con el lápiz antes
de poder decidir que hacer”. Joan agregó: “¿Podríamos economizar un poco más
si ordenáramos 15 conjuntos a la vez” Entusiasmado por la oportunidad de
incrementar el negocio, Eric contestó: “La compañía de fletes no reduciría su
precio todavía más, pero te podría dar un 2% de descuento en el precio ($12 por
conjunto) si ordenas 15 conjuntos o más. Por qué no lo piensas, y yo te llamo la
próxima semana para ver qué decidiste”.
Después de que Joan colgó el teléfono, se preguntaba que hacer. Había espacio
suficiente en la bodega para almacenar los 15 conjuntos de recámara, pero
tendría un costo de oportunidad, dado que no se tendría espacio disponible para
otras mercancías. También las tasas de interés habían estado subiendo los
últimos meses y sería costoso obtener el capital. Joan decidió trabajar con el
problema utilizando los datos económicos disponibles para el producto (ver tabla),
La obsolescencia era un factor significativo en la mente de Joan. A pesar de que el
costo anual de tener existencias incluía un 7% por obsolescencia, se preguntaba
si esto sería suficiente. También, ¿es el factor de obsolescencia, incluido en el
costo de tener existencias, la forma apropiada para incorporar el riesgo de caídas
de mercado futuras, requerido para vender muebles de poco movimiento y
obsoletos?
Preguntas:
a) ¿Qué debe hacer Joan?
b) ¿Qué suposiciones están implícitas en el análisis que usted hace de la
situación?
27

29. Conjunto de recámara Dovetail
Precio de venta (cada uno) $1.000,00
Costo unitario (cada uno)* $600,00
Ventas promedios anuales 80 conjuntos
Costo de orden** $40 por orden
Costo anual por existencias*** 30%
Reserva de seguridad 2 conjuntos
Peso por conjunto 1.000 lb
Tiempo de espera (promedio) 4 semanas
*No incluye el costo de flete.
**Este costo incluye la recepción ($20 por orden) y el papeleo ($20 por
orden).
***Este costo incluye el costo de capital (15%) y la obsolescencia (7%).
Solución:
a) Hay que evaluar para diferentes tamaños de lotes 6, 10 y 15 unidades, la
función de evaluación es:
80 ⎛Q ⎞
E A (Q) = 40 ⋅ + 0,3 ⋅ 600 ⋅ ⎜ + 2 ⎟ + Fc (80) + F f (80)
Q ⎝2 ⎠
Donde:
EA(Q): costo anual $/año
(80/Q): número de órdenes al año.
0,3·600 es el costo de inventario.
(Q/2+2): nivel de inventarios promedios que incluye el stock de seguridad.
Fc: costo unitario que excluyendo el flete, FC = $600 si Q < 15, FC = $588 si
Q ≥ 15 (2% de descuento por 80 unidades al año).
Ff: costo del flete, Ff = $100 por conjunto si Q < 10, Ff = $90 conjunto si Q ≥ 10,
por 80 unidades al año.
De esta manera, la estructura de costo anual es como sigue:
80 ⎛6 ⎞
E A (6) = 40 ⋅ + 0,3 ⋅ 600 ⋅ ⎜ + 2 ⎟ + 600 ⋅ 80 + 100 ⋅ 80 = 57.433 $ / año
6 ⎝2 ⎠
80 ⎛ 10 ⎞
E A (10) = 40 ⋅ + 0,3 ⋅ 600 ⋅ ⎜ + 2 ⎟ + 600 ⋅ 80 + 90 ⋅ 80 = 56.780 $ / año
10 ⎝2 ⎠
80 ⎛ 15 ⎞
E A (15) = 40 ⋅ + 0,3 ⋅ 600 ⋅ ⎜ + 2 ⎟ + 588 ⋅ 80 + 90 ⋅ 80 = 46.129 $ / año
15 ⎝2 ⎠
Por lo tanto, a Joan le conviene ordenar 15 conjuntos.
28

30. b) Los supuestos utilizados por Joan son los siguientes:
-Tasa de demanda constante.
-Suficiente espacio para almacenar.
-No hay interacción con otros productos en compras conjuntas.
-Precios y costos de transporte constantes.
-El abastecimiento está disponible en el futuro.
12) El equipo Bucks Grande de la liga mayor de béisbol rompe cuatro bates por
semana, en promedio. El equipo compra sus bates del béisbol a Corkys, un
fabricante que se distingue porque tiene acceso a la mejor madera maciza. El
costo de hacer el pedido es de $70 y el costo anual de manejo de inventario por
bate y por año representa el 38% del precio de la compra. La estructura de precios
de Corkys es la siguiente:
Cantidad del pedido Precio por unidad
0-11 $ 54,0
12-143 $ 51,0
144 o más $ 48,5
a) ¿Cuántos bates debería comprar el equipo en cada pedido?
b) ¿Cuál es el total de los costos anuales asociados a la mejor cantidad del
pedido?
c) Corky descubre que ha subestimado los costos de preparación, a causa de los
procesos especiales de manufactura que requieren los bates de Buck. Entonces,
en lugar de elevar los precios Corky agrega una categoría a la estructura de
precios con miras a ofrecer un incentivo para que se hagan pedidos más grandes
y, de ese modo, reducir el número de operaciones de preparación necesarias. Si
los Bucks deciden comprar 180 bates o más, el precio bajará a $ 45,0 cada uno.
¿Será conveniente que los Bucks reconsideren ahora la cantidad del pedido y la
reajusten a 180 bates?
Solución:
bates bates
C0 = 70 $/orden DA = 4 ⋅ 52 semanas = 208
semana año
a)
Cantidad de pedido Precio por unidad Ci(Precio·38%)
0-11 $ 54,0 $ 20,52
12-143 $ 51,0 $ 19,38
144 o más $ 48,5 $ 18,43
29

31. 2D A C 0 2 ⋅ 208 ⋅ 70
Q1 = = = 37,67 ≈ 38 bates → infactible
Ci 20,52
2D AC0 2 ⋅ 208 ⋅ 70
Q2 = = = 38,76 ≈ 39 bates → factible
Ci 19,38
2D AC0 2 ⋅ 208 ⋅ 70
Q3 = = = 39,74 ≈ 40 bates → infactible
Ci 18,43
C 0 D A XC i
b) E A = P ⋅ D A + +
X 2
Evaluamos el Q factible, y para los precios menores al del intervalo factible:
70 ⋅ 208 39 ⋅19,38
E A (Q = 39) = 51 ⋅ 208 + + = $11.359,24 ⇒ Q* = 39 unidades/orden
39 2
70 ⋅ 208 144 ⋅18,43
E A (Q = 144) = 48,5 ⋅ 208 + + = $11.516,07
144 2
c) Si X = 180, luego $45 implica Ci = $17,1
70 ⋅ 208 180 ⋅17,1
E A (Q = 180) = 45 ⋅ 208 + + = $10.979,88
180 2
Por lo tanto, es conveniente ordenar 180 unidades, dado que el costo anual es
más barato en relación con la tabla de precios ofertada por Corkys.
13) La empresa Plumbing Supply almacena miles de artículos de plomería. El Sr.
Pérez, Gerente General de la empresa, se pregunta cuánto dinero podría
ahorrarse todos los años si se utilizara EOQ en lugar de utilizar las reglas
prácticas actuales de la empresa. Le da instrucciones a su Ingeniero de
Operaciones Ana María, para que realice un análisis sobre un sólo material (la
válvula de latón 3925) para ver si pudieran resultar ahorros significativos, usando
el EOQ. De la información contable, Ana María desarrolla las siguientes
estimaciones: D = 10.000 válvulas por año, Q = 400 válvulas por pedido (cantidad
de pedido presente), Ci = $0,40 por válvula por año, y Co = $5,50 por pedido.
Se sabe además, que la empresa tiene un departamento adyacente de
producción que puede fabricar las válvulas, de tal manera que la empresa puede
producir los lotes de producción, los cuales fluirían gradualmente hacia los
inventarios en el almacén principal para su uso. El costo de almacenar, de pedir o
de preparación y la demanda anual se conservarían aproximadamente igual.
Dado que las válvulas realmente fluyen hacia el inventario en lugar de recibirse
todas a la vez como lote, el Sr. Pérez se pregunta de qué manera ello afectaría la
30

32. cantidad de pedido y el costo anual de almacenamiento. Considere 250 días al
año y una producción de 120 válvulas diarias.
Finalmente, un proveedor de válvulas ha ofrecido al Sr. Pérez descuentos por
cantidad, si adquiere más de lo que pide actualmente. Los nuevos volúmenes y
precios son:
Rango de cantidades de pedido Costo de adquisición por válvula
1 a 399 $ 2,20
400 a 699 $ 2,00
700 o más $ 1,80
El Sr. Pérez le pide a su Ingeniero de Operaciones, que investigue los nuevos
precios bajo dos supuestos. Los pedidos se reciben todos a la vez o las entregas
son graduales.
Solución:
a) Ana María calcula los costos actuales totales de mantención:
C 0 D A Ci ⋅ X ⎛ 10.000 ⎞ ⎛ 400 ⎞
EA = + = 5,5⎜ ⎟ + 0,4⎜ ⎟ = 217,5 $ / año
X 2 ⎝ 400 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Se calcula el EOQ para determinar su costo de mantención:
2D A C0 2 ⋅10.000 ⋅ 5,5
EOQ = = = 275.000 = 524,4 válvulas / orden
Ci 0,4
⎛ 10.000 ⎞ ⎛ 524,4 ⎞
E A (EOQ) = 5,5⎜ ⎟ + 0,4⎜ ⎟ = 209,76 $ / año
⎝ 524,4 ⎠ ⎝ 2 ⎠
∆ Ahorros = 217 , 5 − 209 , 76 = 7 , 74 $ / año
Por lo tanto, si aplicamos el método EOQ, se genera un ahorro anual de $7,74
en relación a la práctica utilizada actualmente por la empresa.
b) Ana María calcula el EOQ (tomando en cuenta el departamento adyacente de
producción):
10.000 válvulas
Dd = = 40
250 día
2C 0 D A Pd 2 ⋅ 5,5 ⋅ 10.000 ⋅ 120
EOQ' = = = 642,26 válvulas / orden
C i ( Pd − Dd ) 0,4 ⋅ (120 − 40)
31

33. C 0 D A C i X ( Pd − Dd ) ⎛ 10.000 ⎞ 0,4 ⋅ 642,26 ⋅ (120 − 40)
E A (EOQ') = + = 5,5 ⋅ ⎜ ⎟+ = 171,26 $ / año
X 2 Pd ⎝ 642,26 ⎠ 2 ⋅120
Si fabricáramos la válvula, se genera un ahorro de ∆ = 209,76 − 171,26 = $38,5
anuales, en relación a ordenar a un proveedor externo, según el lote económico.
c) Pedidos recibidos todos a la vez (asumiendo un costo de mantener inventario
de 0,2 · Precio):
2 ⋅ (10.000) ⋅ (5,5)
EOQ 2, 2 = = 500 válvulas / orden → infactible
0,2 ⋅ (2,2)
2 ⋅ (10.000) ⋅ (5,5)
EOQ 2,0 = = 524,4 válvulas / orden → factible
0,2 ⋅ (2,0)
2 ⋅ (10.000) ⋅ (5,5)
EOQ1,8 = = 552,8 válvulas / orden → infactible
0,2 ⋅ (1,8)
Por lo tanto es factible analizar el pedido para un precio 2,0 $/válvula con un
Q = 524,4 válvulas/orden, y además hay que analizar a un precio de 1,8 $/válvula
para un tamaño de lote de 700.
d) Pedidos en entrega graduales (sin supuestos)
2 ⋅10.000 ⋅ 5,5 ⎛ 120 ⎞
EOQ = ⎜ ⎟ = 642,26 válvulas / orden
0,4 ⎝ 120 − 40 ⎠
En consecuencia se analizan los dos últimos, dado que el primer rango no
es factible.
Q = 642,26
C D X ⋅ Ci ( Pd − Dd ) ⎛ 10.000 ⎞ 0,4 ⋅ 642,26 ⎛ 120 − 40 ⎞
E A Sistema = 0 A + + Pr ecio ⋅ D A = 5,5⎜ ⎟+ ⎜ ⎟
X 2 Pd ⎝ 642,26 ⎠ 2 ⎝ 120 ⎠
$
+ 2 ⋅ 10.000 = 85,6 + 85,6 + 20.000 = 20.171,3
año
Q = 700
C 0 D A X ⋅ Ci ( Pd − Dd ) ⎛ 10.000 ⎞ 0,4 ⋅ 700 ⎛ 120 − 40 ⎞
E A Sistema = + + Pr ecio ⋅ D A = 5,5⎜ ⎟+ ⎜ ⎟
X 2 Pd ⎝ 700 ⎠ 2 ⎝ 120 ⎠
$
+ 1,8 ⋅ 10.000 = 78,6 + 93,3 + 18.000 = 18.171,9
año
Por lo tanto, las entregas graduales con un tamaño de lote de 700 es el más
barato.
32

34. 14) Una instalación de producción, tiene un ciclo de producción y consumo de uno
de sus productos un poco anómalo, debido a la criticidad de la máquina X, dada
por el uso intensivo de ésta por parte de la empresa. En consecuencia en el
período de estudio T, se describe la siguiente situación:
1º Etapa: la máquina X produce a una tasa A un componente durante el
período t1.
2º Etapa: En período t2, la cantidad producida P queda almacenada como
inventario de pulmón, pues la máquina X es demandada para fabricar
otro producto.
3º Etapa: En el período t3, la cantidad producida P es demandada nuevamente
por la máquina X, a una tasa D, para terminar un acabado especial
que no realizó en la primera etapa.
Si t2 = 4t1 y t3 = 2t1 derive la cantidad Q óptima que minimiza los costos totales de
inventario, asumiendo que el almacenamiento se basa en el inventario medio, en
función de t1 y A.
Solución:
A
D
H
t1 t2 t3
T
t 2 = 4t1 t 3 = 2t1
t1 H t H
ET = C 0 + C i + Ci t 2 H + Ci 3
2 2
H = A ⋅ t1
t1 t
ET = C 0 + C i A ⋅ t1 + C i t 2 A ⋅ t 1 + C i 3 A ⋅ t 1
2 2
C C A
E T = C 0 + i A ⋅ t12 + C i A ⋅ 4t12 + i ⋅ 2t12
2 2
E C C A C A ⋅ 4t12 C i A 2 C 0 11C i A ⋅ t1
E A = T = 0 + i ⋅ t12 + i + ⋅ 2t1 = +
T 7t1 14t1 7t1 14t1 7t1 14
33

35. dE A (−C 0 ) 11C i A 11C i A C 0 2C 0
= + =0 = 2 ⇒ t12 =
dt1 7t12 14 2 t1 11C i A
2C 0 2C0 2C0 A
t1 = Si H = Q ⇒ Q* = A·t1* = Q* = A =
*
11C i A 11Ci A 11Ci
15) Un producto cuesta $15 y es consumido a una tasa uniforme de 100
unidades/día. Se sabe además, que no se permiten faltantes y la tasa de entrega
es infinita. El costo de procesar una orden es de $100. El costo de inventario es de
$0,02/día para cada uno de los productos en inventario. Hay un cargo de $3/año
por producto, basado en el número máximo de productos en inventario. A partir de
esto datos, encuéntrense la cantidad óptima de inventario y el costo anual.
(Asuma un año de 365 días).
Solución:
Costo del producto es $15/unidad
DA = 100 unidades/día · 365 días/año = 36.500 unidades/año
C0 = 100 $/orden
$ días $
Ci Anual = 0,02 ⋅ 365 = 7,3
día ⋅ unidad año año ⋅ unidad
$
Cargo = 3
año ⋅ unidad
Basándose en el número máximo de productos en inventario:
X 2 ⋅ Ci X2 D
ET = C 0 + + c arg o ⋅ A
2D A DA X
E D X ⋅ Ci
E A = T = C0 A + + c arg o ⋅ X
T X 2
dE A D C D C + 2c arg o 2C 0 ⋅ D A
= −C 0 ⋅ A + i + c arg o = 0 ⇒ C 0 A = i ⇒ X* =
dX X 2
2 X 2
2 C i + 2c arg o
2 ⋅100 ⋅ 36.500 7.300.000
X* = = = 740,85 ≈ 741 unidades
7,3 + 2 ⋅ 3 13,3
El costo anual es:
36.500 7,3
E A = 10 ⋅ + 741⋅ + 3 ⋅ 741 = 9.853,42 $ / año
741 2
Al costo anual, considerando el sistema, se le agrega P·D = 15·36.500 =
$547.000/año
EA Total = 557.353,42 $/año
34

36. 16) Una instalación de producción, tiene un ciclo de producción y consumo que
aparece en la Figura siguiente:
I(t)
H2 A
D
A
H1
t
tp1 tw tp2 tc
T
Además se sabe lo siguiente:
tw = 3tp1
tc = 6tp1
tp1 = 2tp2
A = tasa de llegada
D = tasa de agotamiento
Sobre la base de esta información, derive la cantidad Q óptima, que minimiza los
costos totales de inventario, asumiendo que el costo de almacenamiento, se basa
en el inventario máximo. (Nota: exprese la cantidad óptima como función de tp1)
Solución:
Sea H1 + H2 = Q
ET = C0 + Ci tp1 H 1 + Ci t w H 1 + C0 + Ci tp 2 H 1 + Ci tp 2 H 2 + Ci tc ( H 1 + H 2 )
tp tp tp
E T = C 0 + C i ⋅ tp 1 ⋅ tp 1 ⋅ A + C i ⋅ 3tp 1 ⋅ tp 1 ⋅ A + C 0 + C i ⋅ 1 ⋅ tp 1 ⋅ A + C i ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ A
2 2 2
⎛ tp ⎞
+ 6C i ⋅ tp 1 ⋅ ⎜ tp 1 ⋅ A + 1 ⋅ A ⎟
⎝ 2 ⎠
ET = 2C 0 + 13,75C i ⋅ tp1 ⋅ A
2
Si T = tp1 + t w + tp 2 + t c ⇒ T = 10,5tp1 , luego:
E 2C 0
EA = T = + 1,309C i ⋅ tp1 ⋅ A
T 10,5tp1
35

37. dE A 2 ⋅ C0
=− + 1.309C i ⋅ A = 0 ⇒ 0,190C 0 = 1,309C i ⋅ A ⋅ tp1
2
dtp1 10,5tp 2 1
0,190C 0 0,145C 0 C0
= tp1 ⇒ tp1 = = 0,38
2 *
1,309C i ⋅ A Ci ⋅ A Ci ⋅ A
tp1 ⋅ A 3tp1 ⋅ A
Sea Q = H 1 + H 2 = tp1 ⋅ A + =
2 2
3tp1 ⋅ A C ⋅A
*
⇒ Q* = = 0.57 0
2 Ci
17) Una compañía de alimentos elabora un aliño (condimento), a una tasa de 100
kg/día. Este producto es fabricado a un costo de $3.000 por lote (costo de
hornada). El costo de inventario es de $2/kg/día, siendo muy caro los métodos
para mantener el material, sin dañarse. Además hay un costo extra el cual es
proporcional al tamaño del lote multiplicado por el cuadrado del tiempo que el
inventario es mantenido antes que se agote. Así, si un inventario de 1.000 kg se
genera en los últimos 10 días, su costo extra será de $10.900. Encuentre el
tamaño óptimo del lote.
Solución:
T: días del ciclo
100T= tamaño del lote
(100T/2)= Inventario promedio
El costo extra será: 10.900 = k (1.000)(10 2 ) ⇒ k = 0,109
100T
El costo por ciclo será: E T = 3.000 + 2($ / kg ) ·T + 0,109·100T ·T 2
2
1
E T = 3.000 + 100T 2 + 10,9T 3 ⋅
T
3.000
EA = + 100T + 10,9T 2
T
dE A 3.000
=− 2
+ 100 + 21,8T = 0 ⇒ 21,8T 3 + 100T 2 − 3000 = 0
dT T
Si T≈ 4, entonces, 21,8·4 3 + 100·4 2 − 3.000 = −4,8
Por lo tanto, Q = 100T = 400 kg
36

38. 18) Derive las expresiones de X* y EA*, para el modelo I, bajo el supuesto que el
costo de inventario está basado en el inventario máximo y no en el inventario
promedio.
Solución:
X ⋅ X X 2 T 2D2
Sea Q máximo = = = = T 2D
D D D
ET = C0 + Ci InvMax = C0 + CiT 2 D , costo por ciclo.
Ahora, si lo calculamos por período ($/período):
ET C0
EA = = + Ci DT
T T
Buscamos el T que hace mínima la expresión EA:
dE A C C0
= − 0 + Ci D = 0 ⇒ T * =
2
dT T Ci D
Finalmente:
Co C0
EA = + Ci D = Ci C0 D + Ci C0 D = 2 Ci C0 D
*
C0 Ci D
Ci D
Co C0 D
Q * = DT = D =
Ci D Ci
19) En el siguiente gráfico, demuestre que en el período óptimo el costo es
E A = 2C i C 0 D + SC i
Q
………
S
t
En donde S es el stock de seguridad
37

39. Solución:
Sea el costo por ciclo:
Q2
E T = C 0 + C i INV + C i S = C 0 + C i + C i ST
2D
El costo por período será:
C0 D CiQ D Q C0 D CiQ
EA = + + Ci S = + + Ci S
Q 2 QD Q 2
dE A CD C 2C0 D
= − 0 2 + i = 0 ⇒ Q* =
dQ Q 2 Ci
Por lo tanto:
C0 D Ci 2C 0 D
EA = + + Ci S
2C 0 D 2 Ci
Ci
Racionalizando se obtiene:
E A = 2C i C 0 D + SC i
20) Determine el costo de inventario de un almacén que describe la gráfica
siguiente:
Cantidad en
inventario
S2
Q2
S1
Q1
t
T1 T12 T2 T23 T3 T4
t1 t2
38

40. Solución:
El comportamiento entre el periodo T1 y T3 se supone que se repite. La cantidad
promedio mantenido en inventario durante el periodo T1 a T12 es S1/2; durante el
periodo T2 a T23 es S2/2. En consecuencia, la cantidad promedio de IS e IL estará
dada por (IL agotamiento):
S1 S Q2 − S 2 Q − S1
(T12 − T1 ) + 2 (T23 − T2 ) (T2 − T12 ) + 1 (T3 − T23 )
IS = 2 2 IL = 2 2
t1 + t 2 t1 + t 2
Durante el periodo T1 y T3 hay dos reaprovisionamientos, luego el número de
reaprovisionamiento por unidad de tiempo es:
2
N=
t1 + t2
Por lo tanto el costo total de inventario será: C T = I S ⋅ C i + I L ⋅ C a + N ⋅ C o
$
Donde: C i = Costo de mantener inventario
unidad ⋅ orden
$
C a = Costo de agotamiento
unidad ⋅ orden
$
C o = Costo por ordenar
orden
21) La demanda para un producto es uniforme, con una tasa de producción de
2.000 unidades por día. El costo de la orden depende del tamaño del lote y está
dado por la siguiente función: C 0 = 16.000 + 5 ⋅ Q 0.5 . El costo de almacenar es de
0,002 $/día para cada unidad. Se asumirá que las entregas son instantáneas. Por
otra parte, existe un costo de no daño durante el almacenamiento, que es
proporcional al tiempo de inventario multiplicado por el número de unidades
inventariadas en dicho período. Si un inventario tiene promedio de 20 días
almacenados y son 800 unidades almacenadas, el costo de no deterioro sería de:
(0,00015)·(20)·(800) $/día; donde 0,00015 es una constante.
Por lo tanto, determine el tamaño óptimo del lote.
Solución:
Q
El costo de ordenar es C 0 = 16.000 + 5 ⋅ Q 0.5 , pero sabemos que T = días / orden ,
Dd
reemplazando Q en la ecuación anterior, como Q = T ⋅ D d y sabiendo que la
demanda es de 2.000 unidades en el último ciclo, tenemos:
C 0 = 16.000 + 5 ⋅ (2.000 ⋅ T ) 0.5 = 16.000 + 223,6 ⋅ T 0.5
39

41. Sabemos, además que el inventario declina linealmente, por lo tanto, el
inventario es I = 2.000 ⋅ (T − t ) , donde t = tiempo en días en que es mantenido el
producto en inventario, el cual va de cero a T para cada ciclo. Luego, el costo de
no deterioro durante el ciclo es:
T T T T
∫ kt (Q − Dt )dt = 0,00015 ⋅ ∫ t ⋅ I (t )⋅ dt = 0,00015 ⋅ ∫ t ⋅ 2.000 ⋅ (T − t ) ⋅ dt = 0,3 ⋅ ∫ (T ⋅ t − t ) ⋅ dt $ / día
2
0 0 0 0
Por lo tanto, el costo total en el ciclo será:
T T
$
E T = 16.000 + 223,6 ⋅ T 0.5 + ∫ 0,3 ⋅ (T ⋅ t − t 2 )dt + ∫ 0,002 ⋅ (2.000 ⋅ (T − t ))dt
0 0
ciclo
Integrando, se tiene:
T3 1
E T = 16.000 + 223,6 ⋅ T 0.5 + 0,3 + 2T 2 ⋅
6 T
$
E d = 16.000 ⋅ T −1 + 223,6 ⋅ T − 0,5 + 0,05 ⋅ T 2 + 2 ⋅ T
día
dE d
= −16.000 ⋅ T − 2 − 0,5 ⋅ 223,6 ⋅ T −1,5 + 2 ⋅ 0,05 ⋅ T + 2 = 0
dT
= − 16.000 ⋅ T −2 − 111,8 ⋅ T −1,5 + 0,1 ⋅ T + 2 = 0
Mediante iteración se obtiene aproximadamente:
T* = 49 días/orden
EA = 576,5 $/día · 365 días/año = 210.422,5 $/año
Q* = 2.000·49 = 98.000 unidades/orden
22) Consideremos una situación en la que se le ofrece una oportunidad única de
adquirir un artículo a un precio unitario reducido (éste es el caso cuando hay un
aumento de precio y se da la última oportunidad para comprar al precio antiguo).
Debido al cambio de uno de los parámetros, Q varía y el método general basado
en analizar lo que ocurre en un horizonte ilimitado a través del promedio anual no
sirve. Las alternativas deben compararse dentro de un horizonte finito en el que
alcancen un estado idéntico.
Desarrolle un modelo matemático que determine el tamaño óptimo en este tipo de
decisiones.
Solución:
Sean Q el tamaño de lote, el costo variable unitario de adquisición (precio) actual
Ca1 y el futuro Ca2 (Ca1 < Ca2). Después del aumento de precio el lote será:
40

42. 2 ⋅ D ⋅ Co
Q2 = , y el costo anual será:
i ⋅ C a2
E A (Q 2 ) = 2 ⋅ C o ⋅ D ⋅ i ⋅ C a 2 + D ⋅ C a 2
Si aprovechamos la oportunidad se pide un lote de tamaño Q, durante un tiempo
Q/D y el costo total del periodo será de:
Q Q i ⋅ C a1 ⋅ Q 2
E T (Q ) = C o + Q ⋅ C a1 + ⋅ i ⋅ C a1 ⋅ = C o + Q ⋅ C a1 +
2 D 2⋅ D
Si Q fuese cero, deberíamos pagar Ca2 y el costo correspondiente a un periodo de
tiempo T sería ET (Q2 )
Parece razonable seleccionar Q que maximiza:
i ⋅ C a1 ⋅ Q 2
F (Q ) = ⋅ E A (Q2 ) − ET (Q ) = ⋅ 2 ⋅ C o ⋅ D ⋅ i ⋅ C a 2 + Q ⋅ C a 2 − C o − Q ⋅ C a1 −
Q Q
D D 2⋅ D
Derivamos e igualamos a cero:
dF (Q ) 1 i ⋅ C a1 ⋅ Q
= ⋅ 2 ⋅ C o ⋅ D ⋅ i ⋅ C a 2 + C a 2 − C a1 − =0
dQ D D
Despejando, obtenemos:
2 ⋅ Co ⋅ D ⋅ i ⋅ C a2 C a 2 − C a1 D C a 2 ⎡C ⎤ D
Q* = + ⋅ = ⋅ Q 2 + ⎢ a 2 − 1⎥ ⋅
i ⋅ C a1 C a1 i C a1 ⎣ C a1 ⎦ i
23) La tienda de electrodomésticos ELCOM se ha especializado en la
comercialización de sus productos estrella A y B. El costo por realizar un pedido
de cualquiera de estos productos es de 50 $/orden, mientras que el costo anual
por almacenarlos corresponde a un 20% del precio de compra, siendo éste igual a
50 $/unidad para el artículo A y 80$/unidad para el artículo B. Se sabe además
que la demanda anual por el producto A es de 250 unidades, y para el producto B
es de 484 unidades.
Por otra parte, la tienda se ha visto restringida económicamente ya que la
inversión en artículos A y B no puede superar los 5000 $/orden, y además ha visto
restringida su capacidad en bodega, la cual es de un máximo de 500 m2 y en
donde cada producto A y B ocupa 10 y 8 m2/unidad, respectivamente. Se pide
determinar el tamaño a ordenar de los artículos A y B.
41

43. Solución:
Datos:
$
Co = 50
orden
i = 20%
P1 = $50
P2 = $80
$
Ci1 = $50 ⋅ 0.2 = 10
año ⋅ unid
$
Ci 2 = $80 ⋅ 0.2 = 16
año ⋅ unid
unid
D1 = 250
año
unid
D2 = 484
año
Restricciones:
Restriccion de presupuesto
50 ⋅ Q1 + 80 ⋅ Q2 ≤ 5000
Restriccion de volumen
10 ⋅ Q1 + 8 ⋅ Q2 ≤ 500
Se calcula el EOQ para cada lectora, es decir, se resuelve el problema no
restringido:
2 ⋅ Co ⋅ D1 2 ⋅ 50 ⋅ 250
Q1 = = = 50
Ci1 10
2 ⋅ Co ⋅ D2 2 ⋅ 50 ⋅ 484
Q2 = = = 55
Ci2 16
Se verifica si estos valores cumplen con las restricciones:
Restricción de Inventario:
50 ⋅ 50 + 80 ⋅ 55 = 6900 > 5000
Los valores determinados no satisfacen la restricción de inventario, por lo tanto
se aplica el método de multiplicadores de Lagrange:
42

44. Para resolver el problema se escoge la restricción de espacio para utilizar
Lagrange, puesto que a primera vista parece ser la más restrictiva.
2 ⎛ Co ⋅ Di Cii ⋅ Qi ⎞
K (Q1 , Q2 ) = ∑i =1 ⎜ Pi ⋅ Di +
⎜ + ⎟
⎟
⎝ Qi 2 ⎠
⎛ 50 ⋅ 250 10 ⋅ Q1 ⎞ ⎛ 50 ⋅ 484 16 ⋅ Q2 ⎞
K (Q1 , Q2 ) = ⎜ 50 ⋅ 250 +
⎜ + ⎟ + ⎜ 80 ⋅ 484 +
⎟ ⎜ + ⎟
⎟
⎝ Q1 2 ⎠ ⎝ Q2 2 ⎠
2 ⎛ Co ⋅ Di Cii ⋅ Qi ⎞ ⎛ 2 ⎞
K (Q1 , Q2 , λ 2 ) = ∑i =1 ⎜ Pi ⋅ Di +
⎜ + ⎟ + λ 2 ⋅ ⎜ ∑ f i ⋅ Qi − C ⎟
⎟
⎝ Qi 2 ⎠ ⎝ i =1 ⎠
⎛ 50 ⋅ 250 10 ⋅ Q1 ⎞ ⎛ 50 ⋅ 484 16 ⋅ Q2 ⎞
K (Q1 , Q2 , λ 2 ) = ⎜ 50 ⋅ 250 +
⎜ + ⎟ + ⎜ 80 ⋅ 484 +
⎟ ⎜ + ⎟
⎟
⎝ Q1 2 ⎠ ⎝ Q2 2 ⎠
+ λ 2 ⋅ (10 ⋅ Q1 + 16 ⋅ Q2 − 500 )
Obteniendo las derivadas parciales respecto a las variables:
∂ ( K (Q1 , Q 2 , λ 2 )) 2 ⋅ Co ⋅ D1 50
= 0 ⇒ Q1* = =
∂ Q1 Ci 1 + 2 ⋅ λ 2 ⋅ f 1 1 + 2 ⋅ λ*
2
∂ ( K (Q1 , Q 2 , λ 2 )) 2 ⋅ Co ⋅ D 2 55
= 0 ⇒ Q2 =
*
=
∂Q 2 Ci 2 + 2 ⋅ λ 2 ⋅ f 2 1 + λ*
2
∂ ( K (Q1 , Q 2 , λ 2 ))
= 0 ⇒ 10 ⋅ Q1 + 16 ⋅ Q 2 = 500
∂λ 2
Con el sistema anterior se obtiene:
⎛ ⎞ ⎛ 55 ⎞
10⎜ ⎟ + 8⎜ ⎟ = 500
50
⎜ 1 + 2 ⋅ λ* ⎟ ⎜ 1 + λ* ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
λ* ≈ 1.76
2
Q1* = 23.51 ≈ 23
Q2 = 33.11 ≈ 33
*
Se verifica esta solucion con la restriccion de presupuesto :
23 ⋅ 50 + 33 ⋅ 80 = 3790 < 5000
Luego, dado que no se viola la restricción, dicha solución es la óptima.
43

45. Nota: Si se viola la restricción de presupuesto, se debería comenzar a aplicar
Lagrange nuevamente pero tomando ahora la restricción de presupuesto para
escribir la ecuación de Lagrange. Al obtener los nuevos valores de Q1* y Q2* se
debe verificar la restricción de espacio con esta solución. He aquí la importancia
de seleccionar bien la restricción a utilizar en la ecuación de Lagrange.
Si ahora se viola esta restricción de espacio, no habría otro remedio que utilizar
Lagrange con 2 multiplicadores λ1 y λ2 para la restricción 1 y 2, respectivamente,
pero lo más probable es que al derivar respecto a Q1, Q2, λ1 y λ2 se llegue a un
sistema de ecuaciones no lineales, por lo que habría que resolver este sistema
con un método matemático más avanzado.
Otra opción, en vez de utilizar Lagrange con 2 multiplicadores, es formular el
modelo como un Problema de Programación Lineal, minimizando el costo anual
total y sujeto a ambas restricciones, tras lo cual debería solucionarse este
problema a través de, por ejemplo, el Método Simplex.
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