1. NGUYỄN DUY PHÚC
Phân loại và phương pháp giải
TOÁN 9
Tái bản lần 2
(Có chỉnh sửa bổ sung)
HÀ NỘI - 2014
2. LỜI MỞ ĐẦU
Để giúp các em ôn thi môn toán vào lớp 10 ,tôi biên soạn cuốn "Phân loại và phương
pháp giải toán lớp 9".Trong cuốn sách này được phân thành các chương ,mỗi chương là
các loại toán thường xuất hiện trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 của các tỉnh trong cả
nước,cuốn sách gồm rất nhiều các bài tập từ dễ đến khó giúp các em ôn lại, hệ thống hoá
kiến thức của mình ,và hình thành cho các em một tư duy toán học phục vụ sau này,một
số bài có đáp số và hướng dẫn giải chi tiết để các em tiện đối chiếu kết quả.
Do thời gian thực hiện không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi biên soạn không
tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tôi mong nhận được sự góp ý và những ý kiến
phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.Mọi góp ý đóng góp xin gửi theo địa chỉ:
Email: ndphuc910@gmail.com
Mobile: 0169.668.9392
Website:nguyenduyphuc.wordpress.com
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 15 tháng 06 năm 2014
Tác giả
1
10. 1.2. Rút gọn phân thức
Bài tập 1.4. Tính giá trị của biểu thức
D=x 1 + y2 + y
√
1 + x2 biết xy + (1 + x2)(1 + y2) = a
Hướng dẫn
D2 = x2 1 + y2 + y2 1 + x2 + 2xy (1 + x2)(1 + y2)
D2 = x2 + y2 + 2x2y2 + 2xy (1 + x2)(1 + y2)
D2 = x2 + y2 + 2x2y2 + 2xy(a − xy)
D2 = x2 + y2 + 2axy (1)
Từ điều kiện: xy + (1 + x2)(1 + y2) = a
⇒ (1 + x2)(1 + y2) = a − xy;xy ≤ a
1 + x2 + y2 + x2y2 = a2 − 2axy + x2y2
x2 + y2 + 2axy + 1 − a2 = 0
x2 + y2 + 2axy = a2 − 1 (2)
Thay (2) vào (1) ta được:
D2 = a2 − 1 ⇒ D = ±
√
a2 − 1 với |a| ≥ 1
Bài tập 1.5. Tính giá trị của biểu thức
E=
√
16 − 2x + x2 +
√
9 − 2x + x2 biết
√
16 − 2x + x2 −
√
9 − 2x + x2 = 1
Đáp số: 7
Bài tập 1.6. Cho biểu thức B = 1 + 20142
20152 + 20142
+ 2014
2015
Chứng minh rằng B∈ Z
Hướng dẫn
Đặt x = 2014; thì B = 1 + x2
(x+1)2 + x2 + x
x+1
B = x − x
x+1
2
+ 2x2
x+1 + 1 + x
x+1
B = x4
(x+1)2 + 2x2
x+1 + 1 + x
x+1
B = x2
x+1 + 1
2
+ x
x+1
B = x2
x+1 + 1 + x
x+1
B = x + 1 mà x ∈ Z nên B∈ Z
1.2. Rút gọn phân thức
Bài tập 1.7. (2014)
1.Tính giá trị của biểu thức A =
√
x+1√
x−1
khi x=9
9
11. 1.2. Rút gọn phân thức
2.Cho biểu thức P = x−2
x+2
√
x
+ 1√
x+2
.
√
x+1√
x−1
với x>0 và x= 1
(a) Chứng minh rằng P =
√
x+1√
x
(b) Tìm giá trị của x để 2P = 2
√
x + 5
Đáp số: (1) A=2 (2.b) x = 1
4
Bài tập 1.8. Cho A =
√
x+2√
x−1
và B =
√
x−1√
x
+ 1√
x−x
a.Tính giá trị của A biết x = 6 − 4
√
2
b.Rút gọn B.
c.Tìm x nguyên để giá trị biểu thức A
B là số nguyên dương.
Đáp số: (a) A = −2 − 3
√
2 (b) B=
√
x−2√
x−1
(c) x={9;16;36}
Bài tập 1.9. Cho A =
√
x−1√
x+1
và B =
√
x+1√
x
− 3
√
x+2
2
√
x−x
a.Tính giá trị của A biết x = 2
2+
√
3
b.Rút gọn B
c.Tìm x để A
B = 1
10
Đáp số: (a)A=3−2
√
3
3 (b) B =
√
x+2√
x−2
(c) x = 9 hoặc x = 4
9
Bài tập 1.10. Cho A =
√
x+2√
x−2
và B =
√
x−2√
x
+ 3
√
x+2
x+
√
x
a.Tính giá trị của A biết x = 8
b.Rút gọn B
c.Tìm x để A
B ≤ 1
2
Đáp số: (a) A=3 + 2
√
2 (b) B =
√
x+2√
x+1
(c) 0 < x < 4
Bài tập 1.11. Cho A=2+
√
x√
x
và B=
√
x−1√
x
+ 2
√
x+1
x+
√
x
a.Tính giá trị của A khi x = 64
b.Rút gọn B
c.Tìm x để A
B > 3
2
Đáp số: (a) A=5
4 (b) B =
√
x+2√
x+1
(c) 0 < x < 4
Bài tập 1.12. Cho A=
√
x+4√
x+2
và B=(
√
x√
x+4
+ 4√
x−4
) : x+16√
x+2
a.Tính giá trị của A biết x = 36
b.Rút gọn B
c.Tìm x nguyên để giá trị của biểu thức B(A − 1) là số nguyên
Đáp số: (a) A=5
4 (b) B =
√
x+2
x−16 (c) x={14;15;17;18}
Bài tập 1.13. A=
√
x+2√
x+3
− 5
x+
√
x−6
+ 1
2−
√
x
a.Rút gọn A
b.Tính giá trị của A biết x = 2
2+
√
3
Đáp số: (a) A=
√
x−4√
x−2
(b) A=6+
√
3
3
10
12. 1.2. Rút gọn phân thức
Bài tập 1.14. Cho P =
√
a+1√
ab+1
+
√
ab+
√
a√
ab−1
− 1 :
√
a+1√
ab+1
−
√
ab+
√
a√
ab−1
+ 1
a.Rút gọn P
b.Tính giá trị của P biết a = 2 −
√
3 và b =
√
3−1
1+
√
3
c.Tìm min P biết
√
a +
√
b = 4
Đáp số: a)P=−
√
ab b)P=−2 +
√
3 c) minP = 2 khi a = b = 4
Bài tập 1.15. Cho P = 2
√
a+3
√
b√
ab+2
√
a−3
√
b−6
− 6−
√
ab√
ab+2
√
a+3
√
b+6
a.Rút gọn P
b.Cho P=b+10
b−10 (b = 10).Chứng minh a
b = 9
10
Đáp số: a)P=a+9
a−9
Bài tập 1.16. Cho P = (1 +
√
a
a+1 ) : ( 1√
a−1
− 2
√
a
a
√
a+
√
a−a−1
)
a.Rút gọn P
b.Tìm a để P>1
c.Tính giá trị của P biết a = 19 − 8
√
3
Đáp số: a) P = a+
√
a+1√
a−1
b) a>1 c) P=15−
√
3
2
Bài tập 1.17. Cho P = (
√
x√
x+2
+ 8
√
x+8
x+2
√
x
−
√
x+2√
x
) : (x+
√
x+3
x+2
√
x
+ 1√
x
)
a.Rút gọn P
b.Chứng minh P≤1
c.Tìm x thoả mãn (
√
x + 1)P = 1
Đáp số: (a) P = 4(
√
x+1)
x+2
√
x+5
(b) x ≥ 0 (c) x = 7−4
√
3
3
Bài tập 1.18. Cho A = 2+
√
x
2−
√
x
− 2−
√
x
2+
√
x
− 4x
x−4 :
√
x−3
2
√
x−x
a.Rút gọn A
b.Tính giá trị của A biết
√
x − 5 = 2
Đáp số: (a) A= 4x√
x−3
(b) A=49
Bài tập 1.19. Cho P = 2+
√
x
2−
√
x
+
√
x
2+
√
x
− 4x+2
√
x−4
x−4 : 2
2−
√
x
−
√
x+3
2
√
x−x
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P>0
c.Tìm x để P=-1
Đáp số: (a) P= 4x√
x−3
(b) x > 9 (c) x = 9
16
Bài tập 1.20. Cho P = 2
√
x
x
√
x−x+
√
x−1
− 1√
x−1
: 1 +
√
x
x+1
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P<0
Đáp số: (a) P = 1−
√
x
x+
√
x+1
(b)x > 1
11
13. 1.2. Rút gọn phân thức
Bài tập 1.21. Cho P = 1 −
√
x√
x+1
:
√
x+3√
x−2
+
√
x+2
3−
√
x
+
√
x+2
x−5
√
x+6
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P<0
c.Tìm các giá trị của m để có giá trị của x thoả mãn P(
√
x + 1) = m(x + 1) − 2
Đáp số: (a)P =
√
x−2√
x+1
(b)0 ≤ x < 4 (c) m≥ 0
Bài tập 1.22. Cho P = 1√
x−1−
√
x
+ 1√
x−1+
√
x
+
√
x3−x√
x−1
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P>0
c.Tính giá trị của P biết x = 53
9−2
√
7
Đáp số: (a) P = x − 2
√
x − 1 (b)1 < x < 2 hoặc x > 2 (c) P=7
Bài tập 1.23. Cho P =
√
x+1√
x−1
+
√
x√
x+1
+
√
x
1−x :
√
x+1√
x−1
+ 1−
√
x√
x+1
a.Rút gọn P
b.Tính giá trị của P biết x = 2−
√
3
2
c.So sánh P với 1
2
Đáp số: (a) P = 2x+1
4
√
x
(b) P =
√
3
2 (c) P > 1
2
Bài tập 1.24. Cho P = 2
√
x−9
x−5
√
x+6
−
√
x+3√
x−2
− 2
√
x+1
3−
√
x
a.Rút gọn P
b.Tìm giá trị của x để P<1
c.Tìm x nguyên để P∈ Z
Đáp số: (a)P =
√
x+1√
x−3
(b) {0 ≤ x < 9 và x = 4} (c) x={1;16;25;49}
Bài tập 1.25. Cho P = 2
√
x+13
x+5
√
x+6
+
√
x−2√
x+2
− 2
√
x−1√
x+3
a.Rút gọn P
b.Tìm giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.
Đáp số: (a)P =
√
x+1√
x−3
(b) x = {1;4;16;36;49}
Bài tập 1.26. Cho P = a
√
a−1
a−
√
a
− a
√
a+1
a+
√
a
+
√
a − 1√
a
. 3
√
a√
a−1
− 2+
√
a√
a+1
a.Rút gọn P
b.Với giá trị nào của a thì P=
√
a + 7
c.Chứng minh với mọi a > 0,a = 1 thì P>6
Đáp số: (a) P =
2(
√
a+1)
2
√
a
(b) a=4
Bài tập 1.27. Cho P =
√
x+1√
x−1
−
√
x−1√
x+1
: 1√
x+1
−
√
x
1−
√
x
+ 2
x−1
a.Rút gọn P
b.Tính giá trị của P biết x =
√
7−4
√
3
2
12
14. 1.2. Rút gọn phân thức
c.Tìm x để P=1
2
Đáp số: (a) P = 4
√
x
(
√
x+1)
2 (b)P=−20 + 12
√
3 (c) x = 17 ± 12
√
2
Bài tập 1.28. Cho P = 2a+1√
a3−1
−
√
a
a+
√
a+1
: 1+
√
a3
1+
√
a
−
√
a
a.Rút gọn P
b.Xét dấu của biểu thức Q = P.
√
1 − a
Đáp số: (a) P = 1
(a−1)3 (b)Q<0
Bài tập 1.29. Cho P =
√
x(1−x)2
1+
√
x
: 1−x
√
x
1−
√
x
+
√
x 1+x
√
x
1+
√
x
−
√
x
a.Rút gọn P
b.Xác định các giá trị của x để (x + 1)P = x − 1
Đáp số: (a) P =
√
x
1+
√
x
(b)x = 3 + 2
√
2
Bài tập 1.30. Cho P = x−3
√
x
x−9 − 1 : 9−x
x+
√
x−6
−
√
x−3
2−
√
x
−
√
x−2√
x+3
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P ≤ −1
2
Đáp số: (a) P = 3√
x−2
(b) 0 ≤ x < 4
Bài tập 1.31. Cho P = 2
√
x√
x+3
+
√
x√
x−3
− 3x+3
x−9 : 2
√
x−2√
x−3
− 1
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P<1
2
c.Tìm min P
Đáp số: (a) P = −3√
x+3
(b)x ≥ 0 (c) minP=-1 khi x=0
Bài tập 1.32. Cho P = 1 : x+2
x
√
x−1
+
√
x+1
x+
√
x+1
− 1√
x−1
a.Rút gọn P
b.Tính giá trị của P biết x = 5 − 2
√
6
c.So sánh P với 3
Đáp số: (a) P =
√
x
x+
√
x+1
(b) P = 2
√
3−1
11 (c) P<3
Bài tập 1.33. Cho P = 3x+
√
9x−3
x+
√
x−2
−
√
x+1√
x+2
+
√
x−2√
x
1
1−
√
x
− 1
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P∈ Z
Đáp số: (a) P =
√
x+1√
x−1
(b) x={0;4;9}
Bài tập 1.34. Cho P = x
√
x+26
√
x−19
x+2
√
x−3
− 2
√
x√
x−1
+
√
x−3√
x+3
a.Rút gọn P
b.Tính giá trị của P tại x = 7 − 4
√
3
13
15. 1.2. Rút gọn phân thức
c.Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Đáp số: (a) P = x+16√
x+3
(b) P = 103+3
√
3
22
(c) Đặt t =
√
x + 3 → minP = 4 khi x = 4
Bài tập 1.35. Cho P =
√
x−1
3
√
x−1
− 1
3
√
x+1
+ 8
√
x
9x−1 : 1 − 3
√
x−2
3
√
x+1
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P=6
5
Đáp số: (a) P =
√
x(
√
x+1)
3
√
x−1
(b) x={ 9
25 ;4}
Bài tập 1.36. Cho P = 4
√
x
2+
√
x
+ 8x
4−x :
√
x−1
x−2
√
x
− 2√
x
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P=-1
c.Tìm m để với mọi giá trị của x > 9 ta có :m(
√
x − 3)P = x + 1
Đáp số: (a) P = 4x√
x−3
(b)x = 9
16 (c) 1
4 < m < 5
18
Bài tập 1.37. Cho A= 2
√
x
2x−5
√
x+3
− 5
2
√
x−3
: 3 + 2
1−
√
x
a.Rút gọn A
b.Tìm x để A= 1
6−x
c.Tìm x để A > 0
Đáp số: (a) A= 1
3−2
√
x
(b) x=9 (c) 0 ≤ x < 9
4
Bài tập 1.38. Cho P =
√
x√
x+2
− x
√
x−8
x
√
x+8
.x−2
√
x+4
x−4 : 4√
x+2
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P = −2
5
c.Tìm x để P < −1
3
Đáp số: (a) P = − 1√
x+2
(b) x = 1
4 (c) {0 ≤ x < 1}
Bài tập 1.39. Cho P = 3a+
√
9a−3
a+
√
a−2
−
√
a−2√
a−1
+ 1√
a+2
− 1
a.Rút gọn P
b.Tìm a để |P| = 1
c.Tìm các giá trị của a ∈ N sao cho P∈ N
Đáp số: (a)P =
√
a+1√
a−1
(b) a=0 (c) a = {4;9}
Bài tập 1.40. Cho P =
√
x−2
x−1 −
√
x+2
x+2
√
x+1
: 2
1−2x+x2
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P > 0
Đáp số: (a)P = −
(
√
x−1)
√
x
(
√
x+1)
2 (b) 0<x<1
14
16. 1.2. Rút gọn phân thức
Bài tập 1.41. Cho P =
√
a√
a+3
− a
√
a−27
a
√
a+27
.a−3
√
a+9
a−9 : 9√
a+3
a.Rút gọn P
b.Tìm a để P < −1
4
c.Tìm a để P = −2
7
Đáp số: (a) P = −1√
x+3
(b) {0 ≤ a < 1} (c) a = 1
4
Bài tập 1.42. Cho P = x
√
x−1
x−
√
x
− x
√
x+1
x+
√
x
+ x+1√
x
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P=9
2
c.Tìm x ∈ Z để P∈ Z
d.Tính giá trị của P biết x = 2−
√
3
2
e.So sánh P với 4
Đáp số: (a)P =
(
√
x+1)
2
√
x
(b) x=1
4 hoặc x = 4 (c) x=1
(d) P=5+3
√
3
2 (e)P>4
Bài tập 1.43. Cho P =
√
x−1√
x+1
−
√
x+1√
x−1
. 1
2
√
x
−
√
x
2
2
a.Rút gọn P
b.Tính giá trị của P tại x = 3 − 2
√
2
c.Tìm x để P>0
d.Tìm x để P=3
√
x + 12
Đáp số: (a)P = 1−x√
x
(b)P=2 (c) 0 < x < 1 (d) x = 19−6
√
10
4
Bài tập 1.44. Cho P = 2x+1√
x3−1
− 1√
x−1
: 1 − x+4
x+
√
x+1
(a) Rút gọn P
(b) Tìm giá trị của x để P nguyên dương
Đáp số: (a) P=
√
x√
x−3
(b) x={16;36}
Bài tập 1.45. Cho P =
√
x√
x−1
− 1
x−
√
x
: 1√
x+1
+ 2
x−1
(a) Rút gọn P
(b) Tìm x để P > 0
(c) Tìm các giá trị của m để có các giá trị của x thỏa mãn P
√
x = m −
√
x
Đáp số: (a) P=x−1√
x
(b) x>1 (c) m > −1
Bài tập 1.46. Cho P =
√
x − x+2√
x+1
:
√
x√
x+1
−
√
x−4
1−x
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P<0
c.Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Đáp số: (a) P =
√
x−1√
x+2
(b) {0 ≤ x < 1} (c) minP=−1
2 khi x=0
15
17. 1.2. Rút gọn phân thức
Bài tập 1.47. Cho P =
√
x − 1√
x
:
√
x−1√
x
+ 1−
√
x
x+
√
x
a.Rút gọn P
b.Tính P biết x = 2
2+
√
3
c.Tìm GTNN của x thoả mãn P
√
x = 6
√
x − 3 −
√
x − 4
Đáp số: (a)P =
(
√
x+1)
2
√
x
(b) P=3
√
3+3
2 (c) x = 4
Bài tập 1.48. Cho P = 1√
x−2
+ 5
√
x−4
2
√
x−x
: 2+
√
x√
x
−
√
x√
x−2
a.Rút gọn P
b.Tính giá trị P biết x = 3−
√
5
2
c.Tìm m để có x thoả mãn P=mx
√
x − 2mx + 1
Đáp số: (a) P =
√
x − 1 (b) P =
√
5−3
2 (c) m > 0
Bài tập 1.49. Cho P = a+3
√
a+2
(
√
a+2)(
√
a−1)
− a+
√
a
a−1 : 1√
a+1
+ 1√
a−1
a.Rút gọn P
b.Tìm a để 1
P −
√
a+1
8 ≥ 1
Đáp số: (a) P =
√
a+1
2
√
a
(b) a=9
Bài tập 1.50. Cho P =
√
x√
x−1
+ 3√
x+1
− 6
√
x−4
x−1
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P <1
2
Đáp số: (a) P =
√
x−1√
x+1
(b) {0 ≤ x < 9 và x = 1}
Bài tập 1.51. Cho biểu thức A =
√
x√
x−5
− 10
√
x
x−25 − 5√
x+5
(a) Rút gọn A
(b) Tính giá trị của A biết x = 9
(c) Tìm x để A < 1
3
Đáp số: (a) A =
√
x−5√
x+5
(b) A = −1
4 (c) 0 ≤ x < 100
Bài tập 1.52. Cho biểu thức A = x
x−4 + 1√
x−2
+ 1√
x+2
(a) Rút gọn A
(b) Tính giá trị của A biết x = 25
(c) Tìm x để A = −1
3
Đáp số: (a) A =
√
x√
x−2
(b) A = 5
3 (c) x = 1
4
Bài tập 1.53. Cho biểu thức A =
√
x√
x+3
+ 2
√
x√
x−3
− 3x+9
x−9
(a) Rút gọn A
(b) Tìm giá trị của x để A = 1
3
(c) Tìm giá trị lớn nhất của A
Đáp số: (a) A = 3√
x+3
(b) x = 36 (c) maxA = 1 khi x = 0
16
18. 1.2. Rút gọn phân thức
Bài tập 1.54. Cho P = 2√
x−1
+
2(
√
x+1)
x+
√
x+1
+ x−10
√
x+3√
x3−1
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P=1
c.Tìm max P
Đáp số: (a) P = 5
√
x−3
x+
√
x+1
(b) x = 4 (c) maxP = 1 khi x = 4
Bài tập 1.55. ChoP = x2−
√
x
x+
√
x+1
− 2x+
√
x√
x
+ 2(x−1)√
x−1
a.Rút gọn P
b.Tìm min P
c.Tìm x để Q = 2
√
x
P nhận giá trị nguyên.
Đáp số: (a) P = x −
√
x + 1 (b) minP=3
4 khi x=1
4 (c) x = 7±3
√
5
2
Bài tập 1.56. Cho P =
√
x√
x−2
− 3
√
x+1√
x+2
− 3
√
x+2
x−4 + 1
a.Rút gọn P
b.Tìm x để P ≥ 1
2
c.Tìm x nguyên để P nguyên dương
d.Tìm giá trị lớn nhất của P
Đáp số: (a)P = −
√
x−2√
x+2
(b) 0 ≤ x ≤ 4
9 (c) x=1 (d) maxP=1 khi x=0
Bài tập 1.57. Cho P = 6x+4
3
√
3x3−8
−
√
3x
3x+2
√
3x+4
1+3
√
3x3
1+
√
3x
−
√
3x
(a) Rút gọn P
(b) Xác định x nguyên sao cho P nguyên.
Đặt a=
√
3x thì
P = 2(a2+2)
a3−8
− a
a2+2a+4
a3+1
1+a − a = ··· = (a−1)2
a−2
Đáp số: (a)P =
(
√
3x−1)
2
√
3x−2
(b) x = 3
Bài tập 1.58. Cho P =
√
a3−
√
b3
a−b − a√
a+
√
b
− b√
b−
√
a
(a) Rút gọn P
(b) Tính giá trị của biểu thức P khi a = 8 − 2
√
15;b = 8 + 2
√
15
Đáp số: (a)P =
√
ab√
a−
√
b
(b) P=−
√
3
3
Bài tập 1.59. Cho các số thực dương a,b với a=b. Chứng minh rằng
(a−b)3
(
√
a−
√
b)
3 − b
√
b + 2a
√
a
a
√
a − b
√
b
+
3a + 3
√
ab
b − a
= 0
Bài tập 1.60. Cho biểu thức:
A =
1
√
x
+
1
√
y
2
√
x +
√
y
+
1
√
x
+
1
√
y
:
√
x3 + y
√
x + x
√
y + y3
xy3 + x3y
17
19. 1.2. Rút gọn phân thức
(a) Rút gọn A
(b) Tìm x,y biết xy = 1
36 ; A=17
5
Đáp số: (a) A=
√
x+
√
y+2
√
x+
√
y
(b) (x;y) = 1
4 ; 1
9 , 1
9 ; 1
4
Bài tập 1.61. Cho Q = 2√
x
− x
x+
√
xy − x−y
√
xy − y
√
xy+y .
√
x+
√
y
x+
√
xy+y
(a) Rút gọn Q
(b) Tính giá trị của Q biết x = 5 − 2
√
6;y = 5 + 2
√
6
Đáp số: (a) Q =
√
x+
√
y
√
xy (b) Q = 2
√
3
Bài tập 1.62. Cho B=
x−y
√
x−
√
y
+
√
x3−
√
y3
y−x :
(
√
x−
√
y)
2
+
√
xy
√
x+
√
y
(a) Rút gọn B
(b) Chứng minh rằng B≥ 0
(c) So sánh B với
√
B
Đáp số: (a)B =
√
xy
x−
√
xy+y (b) B =
√
xy
√
x−
√
y
2
2
+
3y
4
≥ 0
(c) Ta có
x −
√
xy + y = (x + y) −
√
xy ≥ 2
√
xy −
√
xy =
√
xy ≥ 0,∀x,y ≥ 0,x = y
⇒ 0 ≤
√
xy
x+y−
√
xy ≤ 1
⇒ 0 ≤ B ≤ 1
⇒ B ≤
√
B
Bài tập 1.63. Cho A=
√
a√
ab−1
−
√
a√
ab+1
+
√
a(b−2)
ab−1 :
√
b
1−ab
(a) Rút gọn A
(b) Cho
√
a +
√
b = 6. Tìm giá trị của a và b để A đạt GTNN.
Đáp số: (a)A = −
√
ab (b) minP=-3 khi a=b=9
Bài tập 1.64. Cho M = 3√
1+a
+
√
1 − a : 3√
1−a2
+ 1
(a) Rút gọn M
(b) Tính giá trị của M nếu a =
√
3
2+
√
3
(c) Tìm a để
√
M > M
Đáp số: (a) M=
√
1 − a (b) M=
√
3 − 1 (c) 0<a<1
Bài tập 1.65. Cho P = a√
a2−b2
− 1 + a√
a2−b2
: b
a−
√
a2−b2
(a) Rút gọn P
(b) Tính giá trị của P biết a
b = 3
2
(c) Tìm điều kiện của a,b để P<1
Đáp số: (a) P= a−b√
a2−b2
(b) P = 1√
5
khi a > b > 0,P = −1√
5
khi a < b < 0
(c) ab>0
18
20. 1.2. Rút gọn phân thức
Bài tập 1.66. Cho P = 2
√
x√
x+m
+
√
x√
x−m
− m2
4x−4m2
(a) Rút gọn P
(b) Tính x theo m để P=0
(c) Xác định giá trị của m để x tìm được ở câu (b) thỏa mãn điều kiện x>1
Đáp số: (a) P=m2+4m
√
x−12x
4(m2−x)
(b) x = m2
36 ; m2
4 (c) |m| > 6
Bài tập 1.67. Cho P = 1 + 2a+
√
a−1
1−a − 2a
√
a−
√
a+a
1−a
√
a
. a−
√
a
2
√
a−1
(a) Rút gọn P
(b) Tìm a khi P=
√
6
1+
√
6
(c) Chứng minh P>2
3
Đáp số: (a) P = a+1
a+
√
a+1
(b)x = 4±
√
12
2
Bài tập 1.68. Cho P =
(
√
a−
√
b)
2
+4
√
ab
√
a+
√
b
.a
√
b−b
√
a√
ab
(a) Rút gọn P
(b) Tính P biết a = 2
√
3;b =
√
3√
3−1
Đáp số: (a) P=a − b (b) P=3
√
3−3
2
Bài tập 1.69. Cho P = 3
√
a
a+
√
ab+b
− 3a
a
√
a−b
√
b
+ 1√
a−
√
b
:
(a−1)(
√
a−
√
b)
2a+2
√
ab+2b
(a) Rút gọn P
(b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.
Đáp số: (a) P= 2
a−1
Bài tập 1.70. Cho P = 1√
a+
√
b
+ 3
√
ab
a
√
a+b
√
b
. 1√
a−
√
b
− 3
√
ab
a
√
a−b
√
b
: a−b
a+
√
ab+b
(a) Rút gọn P
(b) Tính P khi a = 16;b = 4
Đáp số: (a) P=
(
√
a+
√
b)
2
a−
√
a
√
b+b
(b) P=3
Bài tập 1.71. Chứng minh các đẳng thức sau:
1.
√
x√
x+2
√
y
−
√
x+2
√
y
2
√
y
√
x√
x−2
√
y
− 1 +
8
√
y3
8
√
y3−
√
x3
=
√
x
2
√
y−
√
x
2. 99
√
x+1
5x−5 + 1
5+5
√
x
+ 20
1−
√
x
: 4√
x3y−
√
xy
= −5
√
xy
3.
√
y−
√
x
√
xy :
y
(
√
x−
√
y)
2
(
√
x+
√
y)
−
2x
√
y
x2−2xy+y2 + x
(y−x)(
√
x+
√
y)
=
(
√
x−
√
y)
2
√
xy
4.
√
x+
√
y
2(
√
x−
√
y)
−
√
x−
√
y
2(
√
x+
√
y)
− y+x
y−x =
√
x+
√
y
√
x−
√
y
với x ≥ 0;y ≥ 0;x = y
5. 2√
ab
: 1√
a
− 1√
b
2
− a+b
(
√
a−
√
b)
2 = −1 với a > 0;b > 0;a = b
19
21. 1.2. Rút gọn phân thức
Bài tập 1.72. Cho biểu thức P = 1√
x+1−2
− 1
x−3
√
x+1+3
(a) Rút gọn P
(b)Tìm x để P=1
Đáp số: (a)P =
√
x+1−2
x+3−3
√
x+1
(b) x = ∅
Bài tập 1.73. Cho A = 1
x+
√
x
+ 2
√
x
x−1 − 1
x−
√
x
(a) Rút gọn A
(b) Tìm x để A=
√
x − 5 − 4
3
(c) Tìm x để biểu thức P= A√
4−x
là số nguyên
Đáp số: (a)A = 2√
x
(b) x = 9 (c) x = 2;2 ±
√
3
Bài tập 1.74. Cho A = 2−
√
x
1+
√
x
;B =
√
x+3
x−1 +
√
x+1
1−
√
x
(a) Tính giá trị của A biết x = 9
4
(b) Rút gọn B
(c) Tìm x để biểu thức A
B là số tự nhiên.
Đáp số: (a)A = 1
5 (b) B =
−(
√
x+2)√
x+1
(c) x = {4}
Bài tập 1.75. Cho A =
√
x−2√
x+2
;B = 3
√
x−2√
x−2
+ 8
√
x
4−x
(a) Tính giá trị của A biết x = 9
25
(b) Rút gọn B
(c) Tìm x để biểu thức B
A ≤ 3
2 .
Đáp số: (a)A = −1
4 (b) B = 3
√
x+2√
x+2
(c)0 ≤ x < 4
Bài tập 1.76. Rút gọn biểu thức:P = 1 + 1
a2 + 1
(a+1)2 với a > 0
20
22. Chương 2
Giải bài toán bằng cách lập
phương trình
2.1. Dạng toán chuyển động
Quãng đường =Vận tốc . Thời gian
Bài tập 2.1. Một người đi xe đạp dự định đi từ A đến B dài 60km trong một thời gian
nhất định.Sau khi đi được một nửa quãng đường AB,người đó nhận thấy vận tốc thực
tế chỉ bằng 2
3 vận tốc dự định,nên trên quãng đường còn lại người đó tăng vận tốc thêm
3 km/h so với vận tốc dự định.Tuy vậy người đó vẫn đến B chậm mất 40 phút so với dự
kiến.Tính vận tốc dự định của người đi xe đạp ,biết vận tốc người đó không nhỏ hơn 10
km/h.
Hướng dẫn
Gọi vận tốc dự định :x km/h,x>10
Thời gian dự định đi quãng đường AB là 60
x h
Vận tốc thực tế trên nửa quãng đường đầu là 2
3 .x km/h
Thời gian đi nửa quãng đường đầu là 30:2
3 x h
Vận tốc thực tế trên nửa quãng đường sau là x+3 km/h
Thời gian đi nửa quãng đường sau là 30:(x+3) h
Ta có phương trình: 45
x + 30
x+3 = 60
x + 2
3 ⇔
x = 9
2 (loại)
x = 15 thoả mãn
21
23. 2.1. Dạng toán chuyển động
Bài tập 2.2. Lúc 6 giờ 30 phút một người đi xe máy từ A đến B dài 75 km với vận tốc
dự định.Đến B người đó nghỉ lại 20 phút rồi quay về A với vận tốc lớn hơn dự định là 5
km/h.Người đó về đến A lúc 12 giờ 20 phút .Tính vận tốc dự định của người đó.
Hướng dẫn
Gọi vận tốc dự định : x km/h,x>0
Thời gian xe máy đi từ A đến B: 75
x h
Thời gian xe máy đi từ B đến A : 75
x+5 h
Ta có phương trình:75
x + 75
x+5 + 1
3 = 35
6 ⇔
x = 25
x = −30
11 (loại)
Bài tập 2.3. Hai ôtô khởi hành cùng một lúc từ A đến B cách nhau 300 km .Ôtô thứ nhất
mỗi giờ chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai là 1 giờ.Tính
vận tốc mỗi xe ?
Hướng dẫn
Gọi vận tốc ô tô thứ 2 là x km/h,x>0
Vận tốc ô tô thứ nhất : x+10 km/h
Thời gian ô tô thứ nhất đi : 300
x+10 h
Thời gian ô tô thứ 2 đi : 300
x h
Ta được phương trình:300
x − 300
x+10 = 1 ⇔
x = −60 (loại)
x = 50
Bài tập 2.4. Một người đi xe đạp từ A đến B dài 78 km.Sau 1h ,người thứ 2 đi từ B đến
A .Hai người gặp nhau tại C cách B 36 km.Tính thời gian mỗi người đã đi từ lúc khởi
hành đến lúc gặp nhau,biết vận tốc người thứ 2 lớn hơn vận tốc người thứ nhất là 4
km/h
Hướng dẫn
Gọi thời gian người thứ 1 đi từ A đến chỗ gặp nhau: x ,x>0
Thời gian người thứ 2 đi từ B đến chỗ gặp nhau là x-1
Vận tốc người thứ 1 và thứ 2 lần lượt là:78−36
x ; 36
x−1
Ta có phương trình: 36
x−1 − 78−36
x = 4 ⇔
x = −7
2 (loại)
x = 3
Bài tập 2.5. Một ô tô từ Hà Nội đến Hải Phòng dài 100km.Lúc về vận tốc ô tô đó tăng
thêm 10km/h,do đó thời gian về ít hơn thời gian đi 30 phút .Tính vận tốc của ô tô lúc đi
?
22
24. 2.1. Dạng toán chuyển động
Hướng dẫn
Gọi vận tốc của ô tô lúc đi là x (km/h)
Thời gian đi: 100
x (h)
Vận tốc lúc về: x+10 (km/h)
Thời gian về : 100
x+10 (h)
Ta có phương trình:100
x − 100
x+10 = 1
2 ⇔
x = −50 (loại)
x = 40
Bài tập 2.6. Một ô tô đi quãng đường AB dài 150km với thời gian đã định.Sau khi đi
1
2 quãng đường ,ô tô dừng lại 10 phút ,do đó để đến B đúng hẹn ,xe phải tăng vận tốc
thêm 5 km/h trên quãng đường còn lại .Tính vận tốc dự định cỉa ô tô ?
Hướng dẫn
Gọi vận tôc dự định của ô tô là x km/h
Thời gian dự định :150
x (h)
Thời gian đi 1
2 quãng đường đầu là 75
x (h)
Thời gian đi 1
2 quãng đường sau: 75
x+5 (h)
Vì ô tô đến đúng hẹn nên ta có phương trình : 150
x = 75
x + 75
x+5 + 1
6
⇔
x = −50 (loại)
x = 45
Bài tập 2.7. Một nhóm bạn đi du khảo bằng xe đạp từ A đến B cách nhau 24 km.Khi trở
về thì bị gió ngược nên tốc độ trung bình của nhóm bạn giảm đi 4km/h và thời gian di
chuyển về A lâu hơn thời gian di chuyển từ A đến B là 1h.Tính tốc độ trung bình ở lượt
đi của nhóm bạn nói trên?
Hướng dẫn
Gọi vận tốc trung bình lượt đi là x km/h
Thời gian đi từ A đến B: 24
x h
Vận tốc đi từ B về A là x-4 km/h
Thời gian đi từ B về A : 24
x−4 h
Ta có phương trình: 24
x−4 = 24
x + 1 ⇔
x = −8 (loại)
x = 12
Bài tập 2.8. Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định .Khi còn cách
B 30km nhận thấy nếu không tăng vận tốc thì sẽ đến B chậm nửa giờ,do đó người đó đã
tăng vận tốc thêm 5km/h nên tới B sớm hơn dự định nửa giờ .Tính vận tốc ban đầu của
người đi xe đạp?
23
25. 2.1. Dạng toán chuyển động
Hướng dẫn
Gọi vận tốc ban đầu của người đi xe đạp là x km/h
Thời gian dự định đi 30km lúc đầu là 30
x (h)
Khi tăng vận tốc thì thời gian đi 30 km lúc sau là 30
x+5 (h)
Vì nếu không tăng vận tốc thì đến muộn nửa giờ ,còn nếu tăng vận tốc thì lại đến sớm
nửa giờ nên ta có phương trình :30
x − 1
2 = 30
x+5 + 1
2
x=10 km/h
Bài tập 2.9. Một ca nô đi xuôi dòng từ bến A đến bến B cách nhau 60km và quay trở lại
A,cả đi và về hết 12 giờ 30 phút .Biết vận tốc nước là 2km/h.Tính vận tốc thực của ca
nô?
Hướng dẫn
Gọi vận tốc thực của ca nô là x km/h,x>2
Vận tốc ca nô lúc đi là x+2 (km/h),lúc về là x-2 (km/h)
Thời gian ca nô đi là 60
x+2 (h)
Thời gian ca nô về là 60
x−2 (h)
Ta có phương trình: 60
x+2 + 60
x−2 = 12,5 ⇔
x = 10
x = −2
5 (loại)
Bài tập 2.10. Hai bến sông A và B cách nhau 40km.Cùng một lúc một chiếc ca nô xuôi
từ A đến B và một chiếc bè cũng trôi từ A đến B với vận tốc 3km/h.Sau khi đến B,ca nô
quay về A và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách A là 8km.Tính vận tốc thực của ca nô.
Hướng dẫn
Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h),x>3
Vận tốc xuôi dòng:x+3 (km/h)
Vận tốc ngược dòng: x-3 (km/h)
Thời gian ca nô đi từ A đến B là : 40
x+3 (h)
Thời gian ca nô đi từ B đến khi gặp bè :40−8
x−3 (h)
Thời gian chiếc bè trôi từ A đến khi gặp ca nô là :8
3 (h)
Ta có phương trình: 40
x+3 + 32
x−3 = 8
3
x=27 km/h
Bài tập 2.11. Quãng đường sông từ bến A đến bến B dài 48 km.Một ca nô xuôi dòng từ
A đến B rồi ngược dòng từ B về. Thời gian lúc về lâu hơn thời gian lúc đi là 30 phút ,biết
vận tốc thực của ca nô là 28km/h.Tính vận tốc dòng nước.
24
26. 2.1. Dạng toán chuyển động
Hướng dẫn
Gọi vận tốc dòng nước là x (km/h),0<x<28
Vận tốc xuôi: 28+x km/h
Vận tốc ngược:28-x km/h
Thời gian xuôi: 48
28+x h
Thời gian ngược: 48
28−x h
Ta có : 48
28−x − 48
28+x = 1
2
x=4 km/h
Bài tập 2.12. Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90 km,rồi ngược về 36 km.Biết thời gian
xuôi dòng nhiều hơn thời ngược dòng là 2h và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi
ngược dòng là 6km/h.Tính vận tốc ca nô lúc xuôi và ngược dòng.
Hướng dẫn
Gọi vận tốc lúc ngược dòng là x (km/h)
Vận tốc lúc xuôi dòng là x+6 (km/h)
Thời gian xuôi: 90
x+6
Thời gian ngược:36
x
Ta có phương trình: 90
x+6 − 2 = 36
x
x=9 hoặc x=12
Bài tập 2.13. Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120km với vận tốc dự định.Sau
khi đi được 1
3 quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10km/h trên quãng đường
còn lại,vì vậy người đó đến B sớm hơn dự định là 24 phút.Tìm vận tốc dự định và thời
gian xe lăn bánh trên đường.
Hướng dẫn
Gọi vận tốc dự định là x (km/h)
Ta có phương trình:40
x + 80
x+10 + 24
60 = 120
x
x=40 hoặc x=-50 (loại)
Bài tập 2.14. Một người dự định đi xe đạp từ A đến B dài 45 km.Khi đi được 1
3 quãng
đường thì xe bị hỏng nên người đó chờ ô tô hết 20 phút và đi tiếp bằng ô tô trên quãng
đường còn lại, vì vậy người đó đến B sớm hơn dự định là 1h20 phút. Tính vận tốc dự
định của người đi xe đạp biết vận tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe đạp 24km/h.
Hướng dẫn
25
27. 2.1. Dạng toán chuyển động
Gọi vận tốc dự định của người đi xe đạp là x (km/h),x>0
Ta có phương trình:45
x − (15
x + 30
x+24 + 1
3 ) = 4
3
x=-36 (loại) hoặc x=12
Bài tập 2.15. Hai địa điểm A và B cách nhau 200 km.Một ô tô đi từ A đến B, một xe máy
đi từ B về A cùng xuất phát một lúc và gặp nhau tại C cách A 120km. Nếu ô tô đi chậm
1h thì gặp xe máy tại D cách C là 24 km.Tìm vận tốc mỗi xe
Hướng dẫn
Gọi vận tốc ô tô là x (km/h),x>0
Gọi vận tốc xe máy là y (km/h),y>0
Ta có hệ:
120
x = 80
y
96
x + 1 = 104
y
x=60 và y=40
Bài tập 2.16. Một ca nô chạy trên một khúc sông trong 8h,xuôi dòng 125 km và ngược
dòng 60 km.Một lần khác ca nô cũng chạy trên sông đó trong 6h , xuôi dòng 50 km và
ngược dòng 80 km. Tính vận tốc khi xuôi dòng và ngược dòng của ca nô, biết rằng vận
tốc dòng nước và vận tốc của ca nô không đổi .
Hướng dẫn
Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h)
Gọi vận tốc dòng nước là y (km/h),x>y>0
Ta có hệ:
125
x+y + 60
x−y = 8
50
x+y + 80
x−y = 6
x=22,5km/h và y= 2,5km/h
Vận tốc xuôi dòng:22,5+2,5=25km/h
Vận tốc ngược dòng:22,5-2,5=20km/h
Bài tập 2.17. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 84 km đi ngược
chiều nhau.Sau 1h45phút thì chúng gặp nhau .Tìm vận tốc riêng của mỗi ca nô ,biết vận
tốc riêng của ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc riêng của ca nô đi ngược là 6km/h và vận tốc
dòng nước là 2km/h.
Hướng dẫn
Gọi vận tốc riêng của ca nô đi ngược dòng là x (km/h),x>2
Vận tốc riêng của ca nô đi xuôi dòng là: x+6 (km/h)
26
28. 2.1. Dạng toán chuyển động
Vận tốc ca nô xuôi dòng: x+6+2=x+8 (km/h)
Vận tốc ca nô ngược dòng: x-2 (km/h)
Vì chúng khời hành cùng một lúc ,đi ngược chiều và sau 1 giờ 45 phút= 7
4 h chúng gặp
nhau nên:
(x + 8 + x − 2).7
4 = 84
x=21 km/h suy ra
Vận tốc riêng của ca nô đi ngược dòng là: 21km/h
Vận tốc riêng của ca nô đi xuôi dòng là:27 km/h
Bài tập 2.18. Một tàu thủy chạy trên một khúc sông dài 80 km ,cả đi cả về mất
8h20phút.Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng ,biết vận tốc dòng nước là 4km/h
Hướng dẫn
Gọi vận tốc riêng của tàu thủy là :x (km/h),x>4
Vận tốc tàu khi xuôi dòng: x+4
Vận tốc tàu khi ngược dòng: x-4
Thời gian xuôi dòng : 80
x+4
Thời gian ngược dòng: 80
x−4
Ta có phương trình: 80
x+4 + 80
x−4 = 25
3
x=20 km/h
Bài tập 2.19. Một ca nô dự định đi từ A đến B trong thời gian đã định.Nếu vận tốc ca nô
tăng 3km/h thì đến nơi sớm 2h.Nếu vận tốc ca nô giảm 3km/h đến nơi chậm 3h.Tính
chiều dài khúc sông.
Hướng dẫn
Gọi vận tốc dự định của ca nô : x (km/h),x>3
Gọi thời gian dự định đi hết quãng đường AB: y (h)
Quãng đường sông AB : xy (km)
Vận tốc ca nô khi tăng 3 km/h là x+3 (km/h)
Thời gian đi hết quãng đường sông AB lúc này : y-2 (h)
(x + 3)(y − 2) = xy
Vận tốc ca nô khi giảm 3 km/h là x-3 (km/h)
Thời gian đi hết quãng đường sông AB lúc này: y+3 (h)
(x − 3)(y + 3) = xy
Khi đó ta có hệ :
(x + 3)(y − 2) = xy
(x − 3)(y + 3) = xy
x=15 và y=12 suy ra: SAB = 15.12 = 180km.
27
29. 2.1. Dạng toán chuyển động
Bài tập 2.20. Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc và một đoạn xuống dốc dài
5km.Một người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B trở về A hết 41 phút .
Tính vận tốc lúc lên dốc và xuống dốc, biết vận tốc lên dốc lúc đi và về như nhau,vận
tốc xuống dốc lúc đi và về như nhau.
Hướng dẫn
Gọi đỉnh dốc là C.
Gọi vận tốc lên dốc là x (km/h)
Gọi vận tốc xuống dốc là y (km/h)
Thời gian lên dốc AC là: 4
x (h)
Thời gian xuống dốc CB là 5
y (h)
Tổng thời gian đi từ A đến B là : 4
x + 5
y = 2
3
Thời gian lên dốc CB là: 5
x (h)
Thời gian xuống dốc CA là 4
y (h)
Tổng thời gian đi từ B đến A là : 5
x + 4
y = 41
60
x=12 và y=15
Bài tập 2.21. Một ca nô xuôi một khúc sông dài 40km rồi ngược khúc sông ấy hết 4 giờ
rưỡi .Biết thời gian ca nô xuôi 5km bằng thời gian ca nô ngược 4 km.Tính vận tốc dòng
nước.
Hướng dẫn
Gọi vận tốc riêng của ca nô là x (km/h)
Gọi vận tốc dòng nước là : y (km/h),x>y>0
40
x+y + 40
x−y = 4,5
5
x+y = 4
x−y
x=18 và y=2
Bài tập 2.22. Một ca nô dự định xuôi và ngược một con sông với vận tốc và thời gian
nhất định .Khi khởi hành vận tốc nước lớn gấp đôi lúc dự định,ca nô đó chạy trong 8h
xuôi dòng 84km ngược dòng 100km.Một lần khác ca nô cũng chạy trên sông đó với vận
tốc dòng nước giống lần đầu.Ca nô chạy trong 9h xuôi dòng 140 km ngược dòng 80
km.Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước lúc dự định.
Hướng dẫn
Gọi vận tốc riêng ca nô là x (km/h)
Gọi vận tốc dòng nước lúc dự định đi là: y (km/h),x>y>0
28
30. 2.1. Dạng toán chuyển động
Vận tốc dòng nước thực tế: 2y (km/h)
84
x+2y + 100
x−2y = 8
140
x+2y + 80
x+2y = 9
x=24 và y=2
Bài tập 2.23. Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 40 km/h.Lúc đầu ô tô đi với vận
tốc đó khi còn 60 km nữa thì được một nửa quãng đường AB,người lái xe tăng vận tốc
thêm 10km/h trên quãng đường còn lại,do đó ô tô đến B sớm hơn dự định 1 giờ.Tính
quãng đường AB.
Hướng dẫn
Gọi độ dài quãng đường AB là :x (km/h)
Thời gian dự định đi hết quãng đường AB là x
40 h
Gọi C là điểm chính giữa quãng đường AB nên AC=CB=x
2 km
Gọi D là điểm nằm giữa quãng đường AC sao cho quãng đường DC bằng 60 km
Quãng đường AD dài là x
2 − 60 km
Quãng đường DB dài là x
2 + 60 km
Thời gian đi hết quãng đường AD là
x
2 −60
40 h
Thời gian đi hết quãng đường DB là
x
2 +60
50 h
x
40 −
x
2 −60
40 +
x
2 +60
50 = 1
x=280 km
Bài tập 2.24. Trên quãng đường AB dài 200km.Một xe tải và xe con cùng khởi hành từ A
đến B ,xe tải đi với vận tốc ít hơn xe con 20km/h.Sau khi mỗi xe đi được nửa đường,xe
con nghỉ 40 phút rồi chạy tiếp đến B,xe tải trên quãng đường còn lại đã tăng vận tốc
thêm 10km/h xong vẫn đến B chậm hơn xe con nửa giờ.Tính vận tốc mỗi xe trên nửa
quãng đường đầu.
Hướng dẫn
Gọi vận tốc của xe tải trên 1
2 quãng đường đầu: x (km/h),x>10
Vận tốc xe con trên toàn bộ quãng đường AB là x+20 (km/h)
Thời gian xe con đi hết quãng đường AB : 200
x+20 h
Thời gian xe tải đi hết 1
2 quãng đường đầu: 100
x h
Vận tốc của xe tải trên 1
2 quãng đường sau: x+10
Thời gian xe tải đi hết 1
2 quãng đường sau: 100
x+10 h
100
x + 100
x+10 − 200
x+20 + 2
3 = 1
2
x=40 km/h.
29
31. 2.1. Dạng toán chuyển động
Vận tốc xe tải : 40 km/h
Vận tốc xe con: 60 km/h
Bài tập 2.25. Hai xe khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 50 km
theo hai hướng vuông góc với nhau,chúng gặp nhau sau 2 giờ.Tìm vận tốc mỗi xe ,biết
mỗi giờ xe đi từ A đi nhanh hơn xe đi từ B là 5km/h.
Hướng dẫn
Gọi vận tốc xe đi từ B là x (km/h),x>0
Vận tốc xe đi từ A là x+5 (km/h)
Sau 2h xe đi từ B đi được số km là: 2x
Sau 2h xe đi từ A đi được số km là: 2(x+5)
Theo pitago:(2x)2 + (2(x + 5))2 = 502
x=15 km/h suy ra vận tốc xe đi từ A là 20 km/h
Bài tập 2.26. Một xe lửa đi từ ga A đến ga B.Sau đó 1h40 phút,một xe lửa khác đi từ A
đến B với vận tốc lớn hơn xe lửa thứ nhất là 5km/h.Hai xe lửa gặp nhau tại địa điểm G
cách B là 300km.Tìm vận tốc mỗi xe,biết quãng đường AB dài 650 km.
Hướng dẫn
Gọi vận tốc xe lửa thứ nhất là x (km/h),x>0
Vận tốc xe lửa thứ hai : x+5 (km/h)
Quãng đường AG dài là : 650-300=350 km.
Thời gian xe lửa thứ nhất đi hết quãng đường AG:350
x h
Thời gian xe lửa thứ hai đi hết quãng đường AG: 350
x+5 h
350
x − 350
x+5 = 5
3
x=30 km/h.
Bài tập 2.27. Hai xe ô tô cùng khởi hành đi từ A đến B ,xe thứ hai đến B sớm hơn xe thứ
nhất 1h.Lúc trở về xe thứ nhất tăng vận tốc thêm 5 km/h,xe thứ hai vẫn giữ nguyên vận
tốc cũ,nhưng dừng lại nghỉ ở một địa điểm trên đường hết 40 phút,sau đó về A cùng lúc
với xe thứ nhất .Tìm vận tốc ban đầu của mỗi xe, biết quãng đường AB dài 120 km,khi
đi và về hai xe đều xuất phát cùng một lúc.
Đáp số: xe thứ nhất:40km/h,xe thứ hai 60km/h
Bài tập 2.28. Hai người đi xe đạp từ A đến B dài 60 km với cùng một vận tốc. Khi đi
được 2
3 quãng đường người thứ nhất bị hỏng xe nên dừng lại 20 phút đón ô tô quay về
30
32. 2.1. Dạng toán chuyển động
A.Người thứ hai tiếp tục đi với vận tốc cũ và tới B chậm hơn người thứ nhất về tới A là
40 phút.Hỏi vận tốc người đi xe đạp ,biết ô tô đi nhanh hơn xe đạp là 30 km/h.
Đáp số: 10km/h
Bài tập 2.29. Quãng đường sông AB dài 78 km. Một thuyền máy đi từ A đến B. Sau 1h,
một ca nô đi từ B đến A, thuyền và ca nô gặp nhau tại C cách B là 36 km. Tính thời gian
của thuyền và ca nô đã đi được từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau, biết vận tốc ca nô
lớn hơn vận tốc của thuyền là 4 km/h.
Đáp số: Thời gian thuyền và ca nô đi từ lúc khởi hành tới lúc gặp nhau lần lượt: 3h và 2h
Bài tập 2.30. Trên quãng đường AB dài 156 km, một người đi xe máy từ A đến B và một
người đi xe đạp từ B về A. Hai xe cùng xuất phát thì sau 3h gặp nhau, biết vận tốc xe
máy lớn hơn vận tốc xe đạp là 28 km/h. Tính vận tốc mỗi xe.
Đáp số: xe đạp:12km/h; xe máy:40km/h
Bài tập 2.31. Quãng đường AB dài 120km. Lúc 7h sáng, một xe máy đi từ A đến B, đi
được 3
4 quãng đường thì xe bị hỏng phải dừng lại sửa mất 10 phút rồi đi tiếp đến B với
vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đầu là 10 km/h. Biết xe máy đến B lúc 11h40 phút trưa cùng
ngày. Giả sử vận tốc xe máy trên 3
4 quãng đường đầu không thay đổi và vận tốc xe máy
trên 1
4 quãng đường còn lại cũng không thay đổi. Hỏi xe bị hỏng lúc mấy giờ.
Đáp số: Xe hỏng lúc 10h
Bài tập 2.32. (2013) Quãng đường AB dài 90 km. Một người đi xe máy từ A đến B, khi
đến B người đó nghỉ 30 phút rồi quay về A với vận tốc lớn hơn lúc đi là 9 km/h. Thời
gian kể từ lúc bắt đầu đi từ A cho đến lúc trở về A là 5 giờ. Tính vận tốc lúc đi từ A đến
B.
Đáp số: 36km/h
Bài tập 2.33. Một ca nô chuyển động xuôi dòng từ bến A đến bến B sau đó chuyển động
ngược dòng từ B về A hết tổng thời gian là 5 giờ .Biết quãng đường sông từ A đến B dài
60 km và vận tốc dòng nước là 5 km/h.Tính vận tốc thực của ca nô ?.
Đáp số: 25km/h
Bài tập 2.34. Quãng đường sông AB dài 78km một chiếc thuyền đi từ A đến B. Sau 1h,
1 cano đi từ B đến A. Thuyền và cano gặp nhau tại C cách B 36km. Tính thời gian đi của
thuyền và cano, biết vận tốc cano lớn hơn vận tốc thuyền là 4km/h.
Đáp số: Thời gian đi của thuyền :3h Thời gian đi của cano: 2h
Bài tập 2.35. Một chiếc xe khởi hành từ A đến B cách nhau 240km.Sau đó 1h ,một chiếc
xe thứ hai cũng khởi hành từ A đến B với vận tốc lớn hơn xe thứ nhất 10km/h nên đã
đuổi kịp xe thứ nhất ở chính giữa quãng đường AB. Tính vận tốc của mỗi xe.
31
33. 2.2. Dạng toán năng suất
Hướng dẫn
Điểm chính giữa cách A số km là: 240 : 2 = 120 km
Gọi vận tốc xe thứ nhất là: x (km/h) (x > 0)
Vận tốc xe thứ 2 là: x + 10 (km/h)
Thời gian xe thứ nhất đi là: 120
x (giờ)
Thời gian xe thứ 2 đi là: 120
x+10 (giờ)
Xe thứ 2 đi sau xe thứ nhất 1 giờ nên ta có phương trình:120
x - 120
x+10 = 1
⇔ 120(x + 10) − 120x = x(x + 10)
⇔ x2 + 10x − 1200 = 0 ⇔ x = 30(TM);x = −40( loại )
2.2. Dạng toán năng suất
Khối lượng công việc=Năng suất . Thời gian
Bài tập 2.36. (2014)
Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy
định . Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã
hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch , mỗi ngày
phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Đáp số: 50 sản phẩm/ngày
Bài tập 2.37. Một người dự định làm 72 sản phẩm trong một thời gian nhất định .Sau
khi làm được 1 giờ 30 phút,người đó bị mệt nên làm giảm năng suất 8 sản phẩm/giờ.
Do đó đã hoàn thành công việc chậm hơn dự định 2 giờ. Tính năng suất dự kiến.
Đáp số: 18 sản phẩm/giờ
Bài tập 2.38. Một công nhân dự định làm 192 sản phẩm trong một thời gian nhất định
.Sau khi làm được 3h với năng suất dự kiến người đó đã cải tiến thao tác nên đã tăng
năng suất được 2 sản phẩm mỗi giờ, vì vậy đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định
là 36 phút. Tính năng suất dự kiến.
Đáp số: 20 sản phẩm/giờ
Bài tập 2.39. Một người thợ dự định làm 100 sản phẩm trong một thời gian đã
định.Trong 2 giờ đầu người đó làm với năng suất dự kiến,các giờ còn lại người đó làm
chưa nghiêm túc nên đã giảm năng suất 5 sản phẩm/giờ, vì vậy đã hoàn thành chậm
hơn dự định 1 giờ.Tính năng suất dự kiến.
Đáp số: 20 sản phẩm/giờ
32
34. 2.2. Dạng toán năng suất
Bài tập 2.40. Một công nhân phải làm một số dụng cụ trong một thời gian nhất định.
Nếu mỗi ngày làm thêm 3 dụng cụ thì hoàn thành sớm 2 ngày. Nếu mỗi ngày làm giảm
3 dụng cụ thì thời gian phải kéo dài 3 ngày. Tính số dụng cụ được giao.
Đáp số: 180 dụng cụ
Bài tập 2.41. Để sửa một con đường cần huy động một số người làm trong một số ngày.
Nếu bổ sung thêm 3 người thì thời gian hoàn thành công việc được rút ngắn 2 ngày.
Nếu rút bớt 3 người thì thời gian hoàn thành công việc phải kéo dài dài thêm 3 ngày.
Tính số người dự định huy động và số ngày dự định hoàn thành công việc.
Đáp số: Số người dự kiến là 15 người; số ngày dự kiến hoàn thành:12 ngày
Bài tập 2.42. Trong một phòng có 80 người họp ,được xếp ngồi đều trên các dãy ghế.
Nếu ta bớt đi hai dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm 2 người mới đủ chỗ.
Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế,mỗi dãy ghế được xếp bao nhiêu người.
Đáp số: 10 dãy, mỗi dãy xếp 8 người
Bài tập 2.43. Hai công nhân phải làm một số dụng cụ bằng nhau trong cùng một thời
gian. Người thứ nhất mỗi giờ làm tăng 2 dụng cụ nên đã hoàn thành công việc trước
thời hạn 2h. Người thứ hai mỗi giờ làm tăng 4 dụng cụ nên không những hoàn thành
công việc trước thời hạn 3h mà còn làm thêm được 6 chiếc nữa. Tính số dụng cụ mỗi
người được giao.
Hướng dẫn
Gọi x,y lần lượt là năng suất và thời gian dự kiến hoàn thành công việc
Ta có hệ:
(x + 2)(y − 2) = xy
(x + 4)(y − 3) = xy + 6
x=10;y=12
Số dụng cụ mỗi người được giao: 10.12=120 dụng cụ
Bài tập 2.44. Trong hội khỏe Phù Đổng lần thứ 4 của trường THCS Đình Xuyên đội thể
dục nhịp điệu của trường gồm 180 học sinh của 3 khối 7,8,9 được xếp vào hàng . Nếu
tăng 3 hàng thì mỗi hàng phải rút đi 3 em. Tính số hàng dọc và hàng ngang lúc đầu.
Hướng dẫn
Gọi x,y lần lượt là số hàng dọc và số hàng ngang lúc đầu,x>0,y>0,x,y ∈ N
xy = 180
(x + 3)(y − 3) = 180
Số hàng dọc: 12; Số hàng ngang: 15
33
35. 2.2. Dạng toán năng suất
Bài tập 2.45. Một đội xe vận tải phải vận chuyển 28 tấn hàng đến một địa điểm quy
định. Vì trong đội có 2 xe phải điều đi làm việc khác nên mỗi xe phải trở thêm 0,7 tấn.
Tính số xe của đội lúc đầu.
Đáp số: 10 xe
Bài tập 2.46. Một tập đoàn đánh cá dự định đánh bắt 480 tạ cá trong một thời gian nhất
định. Nhưng do vượt mức 5 tạ mỗi tuần nên chẳng những hoàn thành kế hoạch sớm 2
tuần mà còn vượt mức kế hoạch 10 tạ cá. Tính xem theo dự định tập đoàn đó đánh bắt
được bao nhiêu tạ cá mỗi tuần.
Đáp số: 30 tạ/tuần
Bài tập 2.47. Một tổ sản xuất có kế hoạch sản xuất 720 sản phẩm theo năng suất dự
kiến. Thời gian làm theo năng suất tăng 10 sản phẩm mỗi ngày kém 4 ngày so với thời
gian làm giảm năng suất 20 sản phẩm mỗi ngày. Tính năng suất dự kiến theo kế hoạch.
Đáp số: 80 sản phẩm/ngày
Bài tập 2.48. Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại để vận chuyển 40
tấn hàng . Lúc sắp khởi hành đoàn được giao thêm 14 tấn hàng , do đó phải điều thêm 2
xe cùng loại nên mỗi xe phải trở thêm 0,5 tấn. Tính số lượng xe phải điều theo dự định,
biết rằng mỗi xe chở số lượng như nhau.
Đáp số: Số lượng xe phải điều theo dự định:10 xe hoặc 16 xe
Bài tập 2.49. Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại để vận chuyển 56
tấn hàng . Lúc sắp khởi hành đoàn được giao thêm 16 tấn hàng , do đó phải điều thêm
1 xe cùng loại nên mỗi xe phải trở thêm 1 tấn. Tính số lượng xe phải điều theo dự định,
biết rằng mỗi xe chở số lượng như nhau.
Đáp số: Số lượng xe phải điều theo dự định: 7 xe hoặc 8 xe
Bài tập 2.50. Một học sinh lớp 9 dự định làm xong 30 bộ đề toán để chuẩn bị cho vừa
kịp kì thi tuyển vào lớp 10 trong một số ngày nhất định. Nhưng vì ngày thi tuyển sớm
hơn 2 ngày so với dự định, vì thế học sinh này đã làm thêm 2 đề mỗi ngày nên chẳng
những đã làm hết các bộ đề toán kể trên mà còn dành được 2 ngày để nghỉ ngơi trước
ngày thi tuyển. Tính số bộ đề toán học sinh đó dự định làm trong 1 ngày.
Hướng dẫn
Gọi x là số bộ đề học sinh đó dự định làm trong một ngày, x∈N*
Ta có phương trình:30
x − 30
x+2 = 4 → x = 3
34
36. 2.2. Dạng toán năng suất
Bài tập 2.51. Hai công nhân nhận giao làm mỗi người 60 dụng cụ. Mỗi ngày người thứ
nhất làm nhiều hơn người thứ hai là 2 dụng cụ, nên đã hoàn thành công việc với thời
gian ít hơn người thứ hai là 1 ngày. Tính thời gian mỗi người đã làm.
Đáp số: Người thứ nhất đã làm trong 5h, người thứ hai làm trong 6h
Bài tập 2.52. Một công nhân phải làm 420 dụng cụ . Do mỗi ngày người đó làm tăng
năng suất 5 dụng cụ nên đã hoàn thành công việc sớm 7 ngày. Tính số ngày người đó
đã làm.
Đáp số: 21 ngày
Bài tập 2.53. Một tổ sản suất phải làm 300 dụng cụ. Nếu số công nhân giảm đi 5 người
thì số giờ làm việc phải tăng thêm 2 giờ. Tính số công nhân của tổ.
Đáp số: 30 công nhân
Bài tập 2.54. Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản suất 360 sản phẩm. Đến khi
làm việc do phải điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm
nhiều hơn dự định 4 sản phẩm. Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân, coi năng suất
mỗi người là như nhau.
Đáp số: 18 công nhân
Bài tập 2.55. Một xí nghiệp dự định điều một số xe để chuyển 120 tấn hàng . Nếu mỗi
xe chở thêm 1 tạ so với dự định thì số xe giảm đi 4 chiếc . Tính số xe dự định điều động.
Đáp số: 24 xe
Bài tập 2.56. Có hai đội công nhân , mỗi đội phải sửa 10 km đường . Thời gian đội I
làm nhiều hơn đội II là 1 ngày. Trong một ngày , mỗi đội làm được bao nhiêu km đường
biết rằng cả hai đội làm được 4,5 km đường trong một ngày?
Đáp số: Đội I: 2km/ngày ;Đội II: 2,5 km/ngày
Bài tập 2.57. Hai đội thủy lợi tổng cộng có 25 người đào đắp một con mương. Đội I đào
được 45m3 đất ,đội II dào được 40m3 đất, mỗi công nhân đội II đào được nhiều hơn mỗi
công nhân đội I là 1m3. Tính số đất mỗi công nhân đội I đào được?
Đáp số: 3m3
Bài tập 2.58. Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng trong một số tuần lễ. Do mỗi
tuần trồng vượt mức 5 ha so với kế hoạch nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm
hơn dự định 1 tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha?
Đáp số: 15ha/tuần
Bài tập 2.59. Một xí nghiệp đánh cá theo kế hoạch phải đánh được 800 tấn cá. Nhờ tăng
năng suất 20 tấn một tháng nên đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 2 tháng. Tính năng
35
37. 2.3. Dạng toán làm chung, làm riêng
suất mỗi tháng theo kế hoạch của xí nghiệp.
Đáp số: 80 tấn/tháng
Bài tập 2.60. Một công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong thời gian đã định. Nhưng
thực tế xí nghiệp lại giao 80 sản phẩm, vì vậy mặc dù người đó đã làm thêm mỗi giờ 1
sản phẩm xong thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm hơn so với dự định là 12 phút.
Tính năng suất dự kiến, biết rằng mỗi giờ người đó làm không quá 20 sản phẩm.
Đáp số: 15 sản phẩm/giờ
Bài tập 2.61. Có hai phân xưởng , phân xưởng I làm trong 20 ngày , phân xưởng II làm
trong 15 ngày được tất cả 1600 sản phẩm. Biết số sản phẩm của phân xưởng I làm trong
4 ngày bằng số sản phẩm phân xưởng II làm trong 5 ngày. Tính số sản phẩm mỗi phân
xưởng đã làm.
Đáp số:
Phân xưởng I làm được:1000 sản phẩm
phân xưởng II làm được:600 sản phẩm
Bài tập 2.62. Một phòng họp có một số dãy ghế , tổng cộng 40 chỗ. Do phải xếp 55 chỗ
nên người ta phải kê thêm 1 dãy ghế và mỗi dãy ghế xếp thêm 1 chỗ. Hỏi lúc đầu có
mấy dãy ghế trong phòng.
Đáp số: 4 dãy hoặc 10 dãy
Bài tập 2.63. Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày,
tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo.Biết rằng một ngày tổ
thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ may được bao nhiêu
chiếc áo.
Đáp số: Tổ 1 may được:510 chiếc; Tổ 2 may được 800 chiếc
2.3. Dạng toán làm chung, làm riêng
Đối với loại này ta coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị và biểu thị bằng 1. Nếu thực hiện xong
một công việc hết x ngày (giờ,phút...) thì trong một ngày (giờ, phút...) làm được 1
x công việc và
tỉ số 1
x chính là năng suất lao động làm trong một ngày (giờ, phút ...)
Bài tập 2.64. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 7h12phút thì xong. Nếu
người thứ nhất làm trong 5 giờ người thứ hai làm trong 6 giờ cả hai người làm được
3
4 công việc. Hỏi mỗi người làm một mình xong công việc đó thì hết bao nhiêu thời gian
?
Đáp số:
36
38. 2.3. Dạng toán làm chung, làm riêng
Người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 12h
Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 18h
Bài tập 2.65. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể trong 4
giờ 48 phút. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 4 giờ.
Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu?
Đáp số:
Vòi 1 chảy một mình trong 8h thì đầy bể
Vòi 2 chảy một mình trong 12h thì đầy bể
Bài tập 2.66. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 6h đầy bể. Nếu vòi I chảy
20 phút và vòi II chảy 30 phút thì được 1
15 bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì bao
lâu mới đầy bể.
Đáp số:
Vòi I chảy một mình trong 10h thì đầy bể
Vòi II chảy một mình trong 15h thì đầy bể
Bài tập 2.67. Để hoàn thành một công việc , hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2
giờ làm chung thì tổ II bị điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành nốt công việc còn lại
trong 10h. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Đáp số:
Tổ I làm một mình xong công việc trong 15h
Tổ II làm một mình xong công việc trong 10h
Bài tập 2.68. Hai người cùng làm chung một công việc trong 12
5 giờ thì xong. Nếu mỗi
người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người
thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để
xong công việc?
Đáp số:
Người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 4h
Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 6h
Bài tập 2.69. Hai vòi nước chảy vào hai bể có dung tích như nhau là 2400 lít. Mỗi phút
vòi thứ hai chảy nhiều hơn vòi thứ nhất là 8 lít nên thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể
ít hơn vòi thứ nhất là 10 phút. Tính xem trong mỗi phút mỗi vòi chảy được bao nhiêu
lít.
Đáp số:
Mỗi phút vòi 1 chảy được 40 lít
Mỗi phút vòi 2 chảy được 48 lít
37
39. 2.3. Dạng toán làm chung, làm riêng
Bài tập 2.70. Hai công nhân nếu làm chung thì hoàn thành công việc trong 4 ngày.
Người thứ nhất làm một nửa công việc, sau đó người thứ hai làm nốt công việc còn lại
thì toàn bộ công việc được hoàn thành trong 9 ngày. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sẽ
hoàn thành công việc đó trong bao nhiêu ngày.
Đáp số:
Người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 6 ngày
Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 12 ngày
hoặc
Người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 12ngày
Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 6 ngày
Bài tập 2.71. Hai công nhân nếu làm chung thì hoàn thành công việc trong 3 giờ 36
phút. Người thứ nhất làm 1
3 công việc, sau đó người thứ hai làm nốt công việc còn lại
thì toàn bộ công việc sẽ được hoàn thành trong 7 giờ. Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì
sẽ hoàn thành công việc đó trong bao lâu.
Đáp số:
Người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 9h
Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 6h
hoặc
Người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 8h24phút
Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 6h18phút
Bài tập 2.72. Hai công nhân nếu làm chung trong 4 ngày hoàn thành được 2
3 công việc.
Nếu làm riêng thì người thứ nhất xong trước người thứ hai là 5 ngày. Hỏi nếu mỗi người
làm riêng thì sẽ hoàn thành công việc đó trong bao lâu.
Đáp số:
Người thứ nhất làm một mình xong công việc trong 10 ngày
Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 15 ngày
Bài tập 2.73. Hai vòi nước cùng chảy vào 1 cái bể sau 2 giờ 24 phút thì đầy bể. Nếu chảy
riêng vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy
riêng đầy bể.
Đáp số:
Vòi 1 chảy một mình trong 4h thì đầy bể
Vòi 2 chảy một mình trong 6h thì đầy bể
Bài tập 2.74. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy bể trong
4 giờ 48 phút. Mỗi giờ lượng nước của vòi II chảy được bằng 2
3 lượng nước vòi I chảy
được. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng sau bao lâu đầy bể.
38
40. 2.3. Dạng toán làm chung, làm riêng
Đáp số:
Vòi I chảy một mình trong 8h thì đầy bể
Vòi II chảy một mình trong 12h thì đầy bể
Bài tập 2.75. Hai đội thủy lợi cùng đào một con mương. Nếu mỗi đội làm một mình cả
con mương thì thời gian tổng cộng hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm thì
công việc hoàn thành trong 6 giờ. Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con mương
trong bao lâu.
Đáp số:
Đội I làm một mình xong công việc trong 15h
Đội II làm một mình xong công việc trong 10h
hoặc
Đội I làm một mình xong công việc trong 10h
Đội II làm một mình xong công việc trong 15h
Bài tập 2.76. Hai vòi mước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 9h36phút sẽ đầy. Nếu hai
vòi chảy chung trong 8h rồi thôi không cho vòi thứ nhất chảy thì sau 4 giờ vòi thứ hai
sẽ chảy đầy bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể.
Đáp số:
Vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 16h
Vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong 24h
Bài tập 2.77. Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong
12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi làm việc khác.
Tuy chỉ còn một mình đội II làm việc, nhưng do cải tiến cách làm , năng suất của đội II
tăng gấp đôi, nên họ đã làm xong phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất
ban đầu, nếu mỗi đội làm một mình thì phải làm trong bao nhiêu ngày mới xong công
việc trên.
Hướng dẫn
Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là x (giờ)
Thời gian đội II làm một mình xong công việc là y (giờ)
Trong 1 giờ, đội I làm được: 1
x (công việc)
Trong 1 giờ, đội II làm được 1
y (công việc)
⇒ Trong 1 giờ, 2 đội làm được: 1
x + 1
y (công việc)
Cả 2 đội cùng làm thì sau 12 giờ xong công việc nên trong 1 giờ cả 2 đội làm được:
1
12 (công việc)
39
41. 2.4. Dạng toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm
Ta có: 1
x + 1
y = 1
12 (1)
Sau 8 giờ, đội I và đội II làm được là: 8
x + 8
y (công việc)
Đội II tăng năng suất lên gấp đôi nên trong một giờ, đội II làm được 2
y (công việc)
⇒ Trong 3,5 giờ, đội II làm được 3,5 .2
y = 7
y (công việc)
Khi đó,xong toàn bộ công việc nên ta có PT: 8
x + 8
y + 7
y = 1 (2)
Từ (1)(2)⇒ x = 28;y = 21
Đáp số:
Đội I làm riêng xong công việc trong 28 ngày
Đội II làm riêng xong công việc trong 21 ngày
2.4. Dạng toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm
Bài tập 2.78. Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định.
Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy
trong trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản
phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch.
Đáp số: Tổ I được giao 200 sản phẩm;Tổ II được giao 400 sản phẩm
Bài tập 2.79. Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm 360 sản phẩm. Thực tế do đổi mới
kĩ thuật xí nghiệp I đã vượt mức kế hoạch 12%, xí nghiệp II đã vượt mức kế hoạch 10%
, do đó cả hai xí nghiệp làm được tổng cộng 400 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi xí
nghiệp phải làm theo kế hoạch.
Đáp số: Tổ I được giao 200 sản phẩm;Tổ II được giao 160 sản phẩm
Bài tập 2.80. Hai trường A và B của một phường có 480 học sinh thi tốt nghiệp lớp 9, tỉ
lệ trúng tuyển là 95%. Tính riêng thì trường A đỗ 90%, trường B đỗ 98%. Tính xem mỗi
trường có bao nhiêu học sinh dự thi.
Đáp số:
Số học sinh dự thi của trường A:180 học sinh
Số học sinh dự thi của trường B:300 học sinh
Bài tập 2.81. Hai trường A và B của một phường có 480 học sinh thi tốt nghiệp lớp 9, tỉ
lệ trúng tuyển là 96%. Tính riêng thì trường A đỗ 94%, trường B đỗ 99%. Tính xem mỗi
trường có bao nhiêu học sinh dự thi.
Đáp số:
Số học sinh dự thi của trường A:288 học sinh
Số học sinh dự thi của trường B:192 học sinh
40
42. 2.5. Dạng toán có nội dung hình học
Bài tập 2.82. Hai khối 8 và 9 của một trường THCS có 420 học sinh có học lực trên trung
bình đạt tỉ lệ 84%. Khối 8 đạt tỉ lệ 80% là học sinh trên trung bình, khối 9 đạt 90%. Tính
số học sinh của mỗi khối.
Hướng dẫn
Số học sinh khối 8 và 9 là : 420 : 84% = 500 học sinh
Gọi x; y lần lượt là học sinh khối 8; 9
⇒ x + y = 500 (1)
Số học sinh trung bình khối 8 là : 80%x = 0,8 x (học sinh)
Số học sinh khối 9 là : 90%y = 0,9 y (học sinh)
Ta có: Tổng số học sinh trung bình khối 8 và 9 là: 0,8x + 0,9 y = 420 (2)
Giả hệ (1)(2) ⇒ x=300; y=200
Bài tập 2.83. Mức sản xuất của một xí nghiệp cách đây 2 năm là 75000 sản phẩm trong
một năm, hiện nay là 90750 sản phẩm trong một năm. Hỏi trung bình năm sau xí nghiệp
làm tăng hơn năm trước bao nhiêu phần trăm.
Đáp số: Mức tăng trung bình 10% /năm
Hướng dẫn
Gọi mức tăng của xí nghiệp năm sau so với năm trước là: x%
(75000 + 750x) + (75000 + 750x). x
100 = 90750
Bài tập 2.84. Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả
thuế giá trị gia tăng(VAT) với mức 10% với loại hàng thứ nhất và 8% với loại hàng thứ
hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại mặt hàng thì người đó phải trả tổng cộng
2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không tính thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho
mỗi loại.
Đáp số: Nếu không tính thuế VAT thì phải trả 0,5 triệu đồng cho mặt hàng thứ nhất và
1,5 triệu đồng cho mặt hàng thứ hai.
2.5. Dạng toán có nội dung hình học
Bài tập 2.85. Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng một nửa chiều dài. Biết rằng nếu
giảm mỗi chiều đi 2 m thì điện tích hình chữ nhật đã cho giảm đi một nửa. Tính chu vi
và diện tích của hình chữ nhật đã cho.
Đáp số: Chu vi :12m Diện tích:4m2
41
43. 2.5. Dạng toán có nội dung hình học
Bài tập 2.86. Mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100m. Nếu tăng chiều rộng 3m giảm
chiều dài 4m thì diện tích mảnh vườn giảm 2 m2. Tính diện tích của mảnh vườn đó.
Đáp số: 600m2
Bài tập 2.87. Một tam giác vuông có chu vi là 30 cm và hai cạnh góc vuông hơn kém
nhau 7 cm. Tính diện tích tam giác vuông đã cho.
Đáp số: 30m2
Bài tập 2.88. Tính kích thước của một hình chữ nhật có chu vi 110 m và diện tích là 700
m2
Đáp số: Chiều dài:35m; chiều rộng:20m
Bài tập 2.89. Tính kích thước của hình chữ nhật có chu vi là 34 m, đường chéo bằng 13
m.
Đáp số: Chiều dài:12m; chiều rộng:5m
Bài tập 2.90. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 1m. Nếu chiều
dài tăng 8m chiều rộng tăng 5m thì diện tích tăng gấp đôi. Tính chu vi và diện tích của
mảnh đất trên.
Đáp số: Chu vi :62m Diện tích:240
Bài tập 2.91. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 30 m, chiều rộng 20 m. Ở xung
quanh về phía trong mảnh vườn người ta để một lối đi có chiều rộng không đổi , phần
còn lại là một hình chữ nhật trồng hoa. Biết diện tích trồng hoa bằng 84% diện tích mảnh
vườn. Tính chiều rộng lối đi ?
Đáp số: Chiều rộng lối đi:1m
Bài tập 2.92. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Ở xung quanh về phía
trong mảnh vườn người ta để một lối đi có chiều rộng 2 m , phần còn lại là một hình
chữ nhật trồng hoa có diện tích 4256 m2.Tìm kích thước của vườn.
Đáp số: Chiều dài:80m; chiều rộng:60m
Bài tập 2.93. Một hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng gấp đôi và giảm
chiều dài đi 10 m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 200m2. Tính chiều rộng của hình
chữ nhật ban đầu.
Đáp số: Chiều rộng:10m hoặc 20m
Bài tập 2.94. Một sân hình tam giác có diện tích 180 m2. Tính cạnh đáy của hình tam
giác biết nếu tăng cạnh đáy 4 m và giảm chiều cao tương ứng 1 m thì diện tích không
đổi.
Đáp số: Cạnh đáy:36m
42
44. 2.6. Dạng toán tìm số
Bài tập 2.95. Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26 cm. Hai cạnh góc vuông hơn
kém nhau 14 cm. Tính chu vi của tam giác vuông đó.
Đáp số: Chu vi tam giác:60m
Bài tập 2.96. Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13 m và chiều dài
lớn hơn chiều rộng là 7 m. Tính kích thước của mảnh đất đó.
Đáp số: Chiều dài:12m; chiều rộng:5m
Bài tập 2.97. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m và bình
phương độ dài đường chéo gấp 5 lần chu vi. Xác định chiều dài và chiều rộng hình chữ
nhật.
Đáp số: Chiều dài:12m; chiều rộng:6m
Bài tập 2.98. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông , biết nếu tăng
mỗi cạnh lên 3m thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36m2, và nếu một cạnh giảm đi
2m, cạnh kia giảm đi 4m thì diện tích tam giác giảm đi 26m2.
Đáp số: Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông:9m và 12m
Bài tập 2.99. Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích bằng 600m2.Do thực hiện quy
hoạch chung người ta đã cắt giảm chiều dài mảnh đất 10m nên phần còn lại của mảnh
đất trở thành hình vuông.Tính chiều rộng và chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật ban
đầu.
Hướng dẫn
Gọi chiều dài của hình chữ nhật là a; chiều rộng là b.(Điều kiện a,b > 0).
Diện tích hình chữ nhật là 600 m2 nên a.b = 600 ⇒ b = 600
a (1)
Do thực hiện quy hoạch chung người ta cắt giảm chiều dài 10 m thì chiều dài còn lại là:
a-10 nên mảnh đất trở thành hình vuông a − 10 = b (2)
Từ (1) và (2) ta có phương trình:
600
a = a − 10 ⇔ a2 − 10a = 600 ⇔ a2 − 10a − 600 = 0
⇔ (a + 20)(a − 30) = 0
⇔ a = 30 (thỏa mãn điều kiện) hoặc a = −20 (loại vì a<0)
Vậy chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật là 30m và 20m
2.6. Dạng toán tìm số
Bài tập 2.100. Tìm một số có hai chữ số biết rằng gấp 2 lần chữ số hàng chục thì lớn hơn
chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta sẽ được số mới lớn
43
45. 2.7. Dạng toán có nội dung vật lí và hóa học
hơn số ban đầu là 27 đơn vị.
Đáp số: Số 47
Bài tập 2.101. Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 7. Nếu thêm chữ số
0 vào giữa hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn số đã cho là 180. Tìm số đã cho?
Đáp số: Số 25
Bài tập 2.102. Một số tự nhiên có hai chữ số , tổng các chữ số là 9. Nếu thêm chữ số 7
vào giữa hai chữ số của nó thì ta được một số mới lớn hơn số ban đầu 340 đơn vị. Tìm
số ban đầu.
Đáp số: Số 36
Bài tập 2.103. Tìm số có hai chữ số , biết hiệu chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị
là 1. Nếu thêm chữ số 9 vào giữa hai chữ số của nó thì ta được số mới lớn hơn số đã cho
900 đơn vị.
Đáp số: Số 98
Bài tập 2.104. Tìm số có hai chữ số , biết rằng lấy số đó chia cho bình phương của tổng
hai chữ số của nó thì được 1 dư 12. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn
vị cho nhau ta được số mới nhỏ hơn số ban đầu 45 đơn vị.
Đáp số: Số 61
Bài tập 2.105. Tìm một số có hai chữ số, biết rằng nếu lấy số đó chia cho tích hai chữ số
của nó thì được thương là 3 và dư 9, còn nếu lấy bình phương của tổng hai chữ số của
nó trừ đi tích hai chữ số của nó thì ta được lại số đã cho.
Đáp số: Số 63
Bài tập 2.106. Tìm phân số dương có tử lớn hơn mẫu 1 đơn vị. Nếu tăng tử và mẫu
thêm 2 đơn vị ta được một phân số mới có giá trị bằng 9
10 giá trị của phân số cần tìm.
Đáp số: 4
3
Bài tập 2.107. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông, biết độ dài ba cạnh lần lượt
là ba số chẵn liên tiếp.
Đáp số: 6;8;10
2.7. Dạng toán có nội dung vật lí và hóa học
Bài tập 2.108. Hòa lẫn 7 kg chất lỏng I với 5kg chất lỏng II thì được hỗn hợp có khối
lượng riêng là 600 kg/m3. Biết khối lượng riêng của chất lỏng I lớn hơn khối lượng
44
46. 2.7. Dạng toán có nội dung vật lí và hóa học
riêng của chất lỏng II là 200 kg/m3. Tính khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
Đáp số:
Khối lượng riêng của chất lỏng I:700 kg/m3
Khối lượng riêng của chất lỏng II:500 kg/m3
Bài tập 2.109. Cho hai điện trở R1,R2, nếu mắc nối tiếp hai điện trở trên thì điện trở
tương đương là 32Ω,nếu mắc song song hai điện trở trên thì điện trở tương đương là
6Ω.Tính điện trở của R1,R2.
Đáp số: R1 = 8Ω;R2 = 24Ω hoặc R1 = 24Ω;R2 = 8Ω
Bài tập 2.110. Một vật có khối lượng là 124 g và thể tích 15cm3 là hợp kim của đồng
và kẽm. Tính xem trong đó có bao nhiêu gam đồng và bao nhiêu gam kẽm, biết cứ 89g
đồng thì có thể tích là 10cm3 và 7g kẽm có thể tích là 1cm3.
Đáp số: 89g đồng;35g kẽm
45
47. Chương 3
Hàm số
3.1. Hàm số bậc nhất
Bài tập 3.1. Xác định tham số m để hàm số
(a) y = (m2 − 4)x − 5 nghịch biến trên R
(b) y = (m2 − 1)x + 2 đồng biến với mọi x>0
Bài tập 3.2. Cho hàm số y = ax + 1 (d)
a.Xác định hàm số, biết (d) đi qua A(2;0)
b.Hãy vẽ (d) gọi A,B là giao của (d) với hệ trục tọa độ, tính diện tích tam giác ABC.
Bài tập 3.3. Cho hàm số y = 2x (d)
a.Vẽ đồ thị hàm số
b.Điểm A thuộc đồ thị của hàm số có khoảng cách đến gốc O bằng 3
√
5. Tìm tọa độ của
A.
Bài tập 3.4. Cho hàm số y = 2x + b hãy xác định hệ số b trong các trường hợp sau :
a) Đồ thị hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -3
b) Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1,5
Bài tập 3.5. Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị hàm số của nó cắt trục hoành tại
điểm có hoành độ là 3, cắt trục tung tại điểm có tung độ là -2.
Bài tập 3.6. Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị của nó song song với đường
thẳng y = −2
3 x + 1 và đi qua điểm A(3;-1).
46
48. 3.1. Hàm số bậc nhất
Bài tập 3.7. Cho điểm A(2;3) .Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó đi qua B(2;1)
và song song với đường thẳng OA , với O là gốc tọa độ.
Bài tập 3.8. Cho (d):y = (m + 2)x + m và (d’): y = (2m + 1)x + m2
Tìm m để (d) và (d’) cắt nhau? song song ? trùng nhau ? vuông góc?
Bài tập 3.9. Cho hàm số y=ax có đồ thị đi qua điểm A(3;
√
3).Xác định hệ số a và tính
góc tạo bởi đường thẳng và tia Ox.
Bài tập 3.10. Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có
tung độ bằng -3 và tạo với tia Ox góc α = 600.
Bài tập 3.11. Cho(d1) : y = 3x + 2,(d2) : y = x + 1,(d3) : y = mx − 2
Tìm m để ba đường thẳng trên đồng quy.
Bài tập 3.12. Cho đường thẳng (d):y = 2
3 x + 2
(a) Vẽ (d). Tìm giao điểm của (d) với Ox.
(b) Tìm m,n để đồ thị hàm số y=mx+n (d’) vuông góc với (d) và cắt trục tung tại điểm B
sao cho OAB vuông cân tại O,(O là gốc tọa độ)
Bài tập 3.13. Trong mặt phẳng (Oxy) cho
(d) : y = (a2 − 3a)x + 2a − 1 và (d ) : y = −2x + 1
Xác định a biết (d) // (d’)
Bài tập 3.14. Viết phương trình đường thẳng (d) qua hai điểm A(−5;2005),B(2;2019)
Bài tập 3.15. Cho điểm A(-2;2) và đường thẳng (d1) : y = 2x + 2
a, Điểm A có thuộc (d1) không?
b, Viết phương trình đường thẳng (d2) qua A và vuông góc với (d1)
c, Tìm a để đồ thị (P) và (d2), C là giao điểm của (d1) và Oy. tìm tọa độ B,C và tính diện
tích tam giác ABC
Bài tập 3.16. Cho đường thẳng y = (m − 1)x + 2.
Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đó là lớn nhất.
Gợi ý: Đường thẳng (d) : y = (m − 1)x + 2 ⇔ mx = y + x − 2 đi qua điểm cố định A(0;2).
Do đó OA=2. Khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là OA=2, xảy ra
khi d vuông góc với OA hay hệ số góc đường thẳng d là 0 tức là m − 1 = 0 ⇔ m = 1.
Bài tập 3.17. Tìm m để hệ:
mx + 4y = 10
6x + 3y = m
a.Có nghiệm duy nhất
b.Vô nghiệm
c.Vô số nghiệm
47
49. 3.1. Hàm số bậc nhất
Bài tập 3.18. Giải hệ phương trình:
1.
x
y = 4
5
x + 20 = 2(y − 20)
2.
3(x + 1) + 2(x + 2y) = 4
4(x + 1) − (x + 2y) = 9
(2013)
3.
3
√
x −
√
y = 5
2
√
x + 3
√
y = 18
4.
2x2 + 3y2 = 66
3x2 + 7y2 = 139
5.
(x − 2)(y + 1) = xy
(x + 8)(y − 2) = xy
6.
(x + 1)(y − 1) = xy + 1
(x − 2)(y + 1) = xy − 1
7.
x − y = 10
(x + 6)(y − 3) = xy + 12
8.
x + y = 50
130%x + 120%y = 63
9.
x + y = 140
x − y
8 = y − x
8
10.
x
2 = y
3
x+4
x+y = 3
4
11.
2
x + 1
y = 2
6
x − 2
y = 1
12.
x
2 − y
3 = 1
x
4 + 2y
3 = 8
13.
3y
x+2y + 4x
y−1 = −1
4y
x+2y − 3x
y−1 = 2
14.
x + 3y + z = −2
x − y + 2z = 9
z = 3x
15.
1
x + 1
y = 1
1
y + 1
z = 2
1
z + 1
x = 5
16.
x + y = xy − 1
x + 2y = xy + 1
17.
3(x + y) + 4
2x−3y = 19
y + 2
3y−2x = 3 − x
18.
2(x + y) = 5(x − y)
20
x+y + 20
x−y = 7
19.
xy + 2x − 2y = 4
x2 + y2 + xy = 12
20.
3x2 − 4y2 + 2(3x − 2y) = −11
x2 − 5y2 + 2x − 5y = −11
21.
2|x| + 3y = 13
3x − y = 3
22.
(x + y)2
− (x − y)2
= 8
7x − 2y = 3
23.
x2 − 2xy + 3y2 = 9
x2 − 4xy + 5y2 = 5
24.
x + y + xy = 7
x2 + y2 + xy = 13
25.
x
y − y
x = 5
6
x2 − y2 = 5
26.
x2 = 3x + 2y
y2 = 3y + 2x
27.
4
x+y + 1
y−1 = 5
1
x+y − 2
y−1 = −1
(2014) 28.
x2 + 4y2 − 8xy = 2
x = 2y + 4xy
48
51. 3.1. Hàm số bậc nhất
21. {x = 2,y = 3}
22. {x = −4
7 ,y = −7
2 },{x = 1,y = 2}
23. {x = 3,y = 2},{x = −3,y = −2},{x =5
√
2
2 ,y =
√
2
2 },{x = −5
√
2
2 ,y = −
√
2
2 }
24. {x = 3,y = 1},{x = 1,y = 3}
25. {x = 3,y = 2},{x = −3,y = −2}
26. {x = 0,y = 0},{x = 5,y = 5},{x = −1,y = 2},{x = 2,y = −1}
27. {x = −1,y = 2}
28. {x = 1+
√
2,y =
√
2−1
2 },{x = 1−
√
2,y = −
√
2+1
2 }
29. {x = 2,y = 1},{x = 1,y = 2}
30. x = 1
12 ,y = − 5
24
Bài tập 3.19. Cho hệ:
2(a − 1)x + by = −4
bx − ay = 5 − 2b
Tìm a,b để hệ có nghiệm duy nhất là (x;y) = (−1;2)
Đáp số: {a = −8,b = −11}
Bài tập 3.20. Cho
kx − y = 2
3x + ky = 5
a.Giải hệ khi k = −1
b.Tìm k để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn x + y = 1 − k2
k2+3
Đáp số: (a) x = 3
4 ,y = −11
4 (b) k = 4
7
Bài tập 3.21. Cho
(a + 1)x − y = 3
ax + y = a
a.Giải hệ với a=−
√
2
b.Xác định a để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện x + y > 0
Đáp số: (a) x = 1−5
√
2
7 ,y = −6
√
2+10
7 (b) a > −1
2
Bài tập 3.22. Xác định a,b để hệ phương trình :
2x − ay = b
ax + by = 1
a.Có nghiệm là x = −
√
2,y =
√
2
b.Có vô số nghiệm
Đáp số: (a) a = 5
√
2
2 − 5,b = −5 + 3
√
2 (b) a2 + 2b = 0,a = 0
50
52. 3.1. Hàm số bậc nhất
Bài tập 3.23. Tìm giá trị của m để hệ
(m + 1)x − y = m + 1
x + (m − 1)y = 2
có nghiệm duy nhất
thỏa mãn điều kiện x+y nhỏ nhất.
Đáp số: m = −4
Bài tập 3.24. Giải biện luận hệ sau
a.
mx + (m − 1)y = m + 1
2x + my = 2
b.
mx + (m − 2)y = 5
(m + 2)x + (m + 1)y = 2
c.
(m − 1)x + 2y = 3m − 1
(m + 2)x − y = 1 − m
d.
(m + 4)x − (m + 2)y = 4
(2m − 1)x + (m − 4)y = m
Đáp số:
(a) Với mọi m hệ có nghiệm duy nhất : x = m2−m+2
m2−2m+2
,y = − 2
m2−2m+2
(b) Với m = 4 có nghiệm : x = 3(m+3)
m+4 ,y = −3m+10
m+4
Với m=-4 thì hệ vô số nghiệm.
(c) Với m = −1 thì hệ có nghiệm: x = 1
3 ,y = 4m−1
3
Với m = −1 hệ vô số nghiệm.
(d) Với m = 2 và m = −3 hệ có nghiệm x = m+8
3(m+3)
,y = m−2
3(m+3)
Với m = 2 hoặc m = −3 hệ vô nghiệm
Bài tập 3.25. Cho hệ
mx + 2y = m + 1
2x + my = 2m + 5
a.Giải và biện luận hệ trên
b.Khi hệ có nghiệm (x;y) tìm hệ thức giữa x và y độc lập đối với m.
Đáp số:
(a) Với m = ±2 hệ có nghiệm x = m−5
m−2 ,y = 2m−1
m−2 (b) x + y − 3 = 0
Với m=2 hệ vô nghiệm
Với m=-2 hệ vô số nghiệm
Bài tập 3.26. Cho hệ
mx + y = 2m
x + my = m + 1
a.Giải biện luận hệ trên
b.Khi hệ có nghiệm (x0;y0), tìm hệ thức liên hệ giữa x0 và y0 độc lập với m.
c.Khi hệ có nghiệm duy nhất (x0;y0) tìm giá trị nguyên của m sao cho x0 và y0 là những
số nguyên.
Đáp số:
(a) Với m = ±1 hệ có nghiệm x = 2m+1
m+1 ,y = m
m+1
51
53. 3.2. Hàm số bậc hai y = ax2
Với m=-1 hệ vô nghiệm
Với m=1 hệ vô số nghiệm
(b) x − y − 1 = 0
(c) m = {0;−2}
Bài tập 3.27. Cho hệ
mx − y = 1
x
2 − y
3 = 335
(a) Giải hệ PT khi m=1
(b) Tìm m để hệ vô nghiệm
Đáp số: (a) {x = 2008,y = 2007} (b) m = 3
2
Bài tập 3.28. Cho hệ:
2x − y = m − 2
x + 2y = 3m + 4
(a) Giải hệ trên khi m=1
(b) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn :x2 + y2 = 10
Đáp số: (a){x = 1,y = 3} (b) m = {1;−3}
Bài tập 3.29. Cho hệ:
mx + 2y = 1
2x − 4y = 3
(1)
(a) Giải hệ (1) khi m=1
(b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm duy nhất.
Đáp số: (a){x = 5/4,y = −1/8} (b) m = −1
Bài tập 3.30. Cho hệ:
2x − y + m − 5 = 0
(m − 1)x + y − 6 = 0
(a) Giải hệ khi m=4
(b) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) với x bằng y. Tìm nghiệm đó.
Đáp số:
(a){x = 7/5,y = 9/5}
(b) m = {2;3}
Với m = 2 thì hệ có nghiệm {x = 3,y = 3}
Với m = 3 thì hệ có nghiệm {x = 2,y = 2}
3.2. Hàm số bậc hai y = ax2
Bài tập 3.31. Cho (P):y = ax2
(a) Tìm a để (P) đi qua điểm M(−2,1)
(b) Với a tìm được ở trên ,hãy vẽ (P)
52
