1. Aspectes energètics del corrent continu
Energia i potència elèctrica
La potència elèctrica es pot calcular mitjançant l'expressió: P = V·I
; fent servir, és clar, les unitats SI: P(W) = V(V)·I(A)
Aquesta expressió és conseqüència de les definicions d'intensitat del corrent elèctric i de
diferència de potencial: I(A)=Q(C)/t(s) ; V=E(J)/Q(C)
Per a calcular l'energia, E = P·t . En unitats del SI: E(J) = P(W)·t(s). L'energia elèctrica sol expressar-se
en quilowatts-hora (kWh) perquè el Joule és una unitat massa petita: E(kWh) = P(kW)·t(h).
Efecte Joule
L'energia elèctrica pot transformar-se en els receptors en d'altres formes d'energia útil (mecànica,
lluminosa, ...), però sempre es converteix, en part, en calor degut als xocs dels electrons amb els ions
metàl·lics dels conductors. Es produeix, per tant, un augment de temperatura del conductor, conegut
com efecte Joule.
En una resistència R: Apliquem la llei d'Ohm: V = R·I → per obtenir P = V·I = R·I2
= V2
/R
I és el corrent que travessa la resistència, i V és la tensió mesurada en borns de la
resistència, o la d.d.p. entre els seus extrems.
Generadors
Un generador és un dispositiu capaç de transformar algun tipus d'energia no elèctrica (química,
mecànica, lluminosa) en energia elèctrica per subministrar-la a les càrregues que el travessen.
Resistència interna d'un generador
Qualsevol generador s'escalfa en ser travessat per un corrent elèctric. Això demostra, segons la llei de
Joule, que ofereix una resistència al pas del corrent. Aquesta resistència rep el nom de resistència
interna “r”.
A efectes de càlcul, podem considerar un generador ideal (sense resistència interna) en sèrie amb una
resistència de valor r (la resistència interna).
Força electromotriu d'un generador
En qualsevol generador existeix proporcionalitat entre l'energia no elèctrica consumida i la càrrega
elèctrica que subministra al circuit:
W = ε·Q = ε·I·t
La constant de proporcionalitat ε s'anomena força electromotriu (f.e.m). La unitat de mesura de la f.e.m.
és el Volt. Es pot definir la f.e.m. com la quantitat d'energia consumida pel generador per unitat de
càrrega que el travessa.
Potència d'un generador
La potència d'un generador es pot calcular mitjançant l'expressió P = ε·I
És igual a l'expressió de la potència elèctrica vista inicialment, però referida a la f.e.m.
Caldrà tenir en compte, però, que una part es transforma en calor en el mateix generador, degut a la
seva resistència interna. Podem dir, per tant, que es perd perquè no arriba a la resta del circuit.
Fent el balanç energètic, i dividint entre I:
P = Pu + Pp → ε·I = V·I + r·I2
→ ε = V + r·I → V = ε – r·I
, essent P la potència total o la consumida pel generador.
2. Tensió en borns d'un generador
Depèn de la càrrega que s'hi connecta. És menor ( V = ε – r·I ) que la que es mesuraria en buit, que
seria igual a la f.e.m. ε del generador.
Aquesta diferència és negligible si la resistència interna r del generador és molt més petita que la
resistència R de la càrrega; seria nul·la si r=0.
Com ja s'ha dit, també coincideixen la d.d.p. en borns del generador, V, i la f.e.m. ε si I=0, condició que
només és dóna quan el circuit està obert.
Rendiment d'un generador
També a partir de l'anterior: η = Pu / Ptotal= V/ ε.
Seria del 100% per a un generador (ideal) sense resistència interna.
Receptors
Són els elements del circuit elèctric que reben l'energia elèctrica del generador i la transformen en un
altre tipus d'energia.
Força contraelectromotriu
Igual que per als generadors, també en els receptors existeix una proporcionalitat entre l'energia útil (no
calorífica) que subministren i la quantitat de càrrega que els travessa.
W = ε'·Q = ε'·I·t
La constant de proporcionalitat ε' s'anomena força contraelectromotriu (f.c.e.m).
També es mesura en Volt.
Receptors sense f.c.e.m.
Són aquells que transformen íntegrament l'energia elèctrica en calor (estufes elèctriques, ...). Els
anomenem receptors purament resistius. Són les resistències.
Potència i f.c.e.m. d'un motor
Un motor és un generador que transforma l'energia elèctrica en mecànica. La potència útil d'un motor es
pot calcular mitjançant l'expressió: Pu = ε'·I → ε'=Pu/I
; de manera que la força contraelectromotriu d'un motor és la relació entre la seva potència útil i la
intensitat del corrent elèctric que el travessa.
Resistència interna d'un receptor (motor)
Igual que per als generadors, qualsevol receptor s'escalfa en ser travessat per un corrent elèctric; dit
d'una altra manera, segons la llei de Joule té una resistència interna, que designem per r'. En el cas d'un
motor, la resistència interna seria igual a la resistència dels fils dels bobinats, les escombretes, ....
En aquesta resistència interna es produeixen pèrdues per efecte Joule: Pp = r'·I2
Fent el balanç energètic, i dividint entre I:
P = Pu + Pp → V·I = ε'·I + r'·I2
→ V = ε' + r'·I → ε' = V – r'·I
, en aquest cas P=V·I és la potència elèctrica consumida pel motor.
Òbviament, un motor ideal seria aquell que no té resistència interna i transforma íntegrament l'energia
elèctrica en energia mecànica.
A efectes de càlcul, podem considerar un motor ideal (sense resistència interna) de f.c.e.m. ε' en sèrie
amb una resistència de valor r' (la resistència interna del motor).
3. Tensió en borns d'un motor
V = ε' +r'·I . La d.d.p. entre els borns d'un receptor és més gran que la seva f.c.e.m.
Rendiment d'un motor També a partir de l'anterior: η = Pu / Ptotal= ε' / V (=1 si r'=0)
Llei d'Ohm generalitzada
En un circuit elèctric, podem calcular la intensitat del corrent elèctric dividint la suma de
totes les f.e.m. I f.c.e.m. entre la resistència total del circuit.
Signes Cal tenir en compte que les f.c.e.m. tenen signe contrari al de la suma de les f.e.m. i
que les f.e.m. tenen signe positiu o negatiu segons com es connectin els generadors al circuit: un
generador tindrà f.e.m. positiva si el corrent surt del pol positiu.
Exemple Considerem un generador no ideal (amb resistència interna r) i un
circuit que consta únicament d'una resistència R com a receptor. En aquest
cas:
que equival a un circuit sèrie.
Diferència de potencial
Podem calcular la diferència de potencial (d.d.p.) entre dos punts qualsevol d'un circuit elèctric mitjançant
l'expressió: UA - UB = IΣR - Σε
Cal tenir en compte els següents criteris de signes:
• El corrent és positiu si circula de A a B, i negatiu en cas contrari.
• Les resistències són sempre positives.
• Les f.c.e.m. són de signe contrari al de la suma de les f.e.m.
• Un generador tindrà f.e.m. positiva si el corrent surt del pol +; o, el que és el mateix, si el corrent
el travessa per dins del pol – al +.
Són els mateixos criteris de signes que s'utilitzaran en aplicar la segona llei de Kirchhoff a la resolució de
circuits més complexos.
La suma de les d.d.p. en un camí tancat (malla) és igual a zero (2ª llei de Kirchoff)
Exemples:
1.- Per al circuit anterior: El corrent surt del pol + de la pila, perquè sempre circula des dels punts de
potencial alt als de potencial baix per l'exterior dels generadors (sentit convencional del corrent; els
electrons que tenen càrrega negativa es mouen en sentit contrari). És VB>VA (VA =0). Volem calcular
VA -VB.
La I (A→B) és positiva. La f.e.m. és positiva La I (B→A) és negativa, no hi ha cap f.e.m. ni f.c.e.m
VA -VB = r·I-ε
VB -VA = ε-r·I
VA -VB = -R·I
VB -VA = R·I =V(R)
Simplement, hem calculat la d.d.p. entre els pols d'un generador: VB -VA = ε-rI < ε.
I igualant, recuperem la llei d'Ohm: ε = (R+r)·I
2.- Per a un circuit sèrie, sense considerar la resistència interna del generador:
4. VB -VA = ε
VB -VC = R1·I = VR1
VC -VD = R2·I = VR2
VD -VA = R3·I = VR3
Per a un circuit paral·lel:
VB -VA = ε
VB -VA = R1·I1 = VR1
VB -VA = R2·I2 = VR2
3.- Per a obtenir la d.d.p. entre els borns d'un receptor (motor):
Tal com s'ha dibuixat, el corrent circula de B a A (+ de la pila a B).
Llavors, de A a B, I negativa. La f.c.e.m també és negativa (?).
VA -VB = - r'·I - ε'
VB -VA = ε' + r'·I > ε'
Caiguda de tensió i pèrdues en els conductors
El transport d'electricitat es fa a alta tensió per minimitzar les pèrdues per efecte Joule.
Imaginem una línia elèctrica que ha de transportar una potència P a una distància L,
Sigui I la intensitat que circula pels cables i V la tensió de transport.
La potència P és proporcional a V·I:
P=V·I en CC; P=V·I·cosφ en CA monofàsic; i en CA trifàsic P=√3·V·I·cosφ
cosφ s'anomena factor de potència,
φ és l'angle de desfasament entre tensió i corrent.
En qualsevol cas, donat P: si V augmenta I disminueix.
Sigui Rc la resistència dels cables (2 o 3).
La potència dissipada per efecte Joule, perduda en forma de calor, als cables és igual a Pp=Rc·I2
.
La resistència dels cables depèn del material del que estan fets (resistivitat), de la longitud i de la seva
secció.
Per a un cable donat, les pèrdues seran menors si la intensitat és menor; i la manera de fer que I sigui
més petita és augmentat la tensió V del transport.
La caiguda de tensió (c.d.t.) als cable es pot calcular aplicant la llei d'Ohm: e = Rc·I
,almenys en el cas de CC o de CA monofàsic sense desfasament.
Resistivitat i resistència
A temperatura constant*, la resistència d'un conductor és directament proporcional a la
seva longitud (l) i inversament proporcional a la seva secció (S). Depèn, a més, del
material del que està fet el conductor.
La constant de proporcionalitat (ρ) s'anomena resistivitat i depèn del material i de la temperatura :
ρ es mesura en Ω·m.
5. Càlcul de la secció dels conductors d'una línia
Es pot calcular la secció mínima dels conductors a partir de la caiguda de tensió màxima permesa, que
acostuma a expressar-se com a % de la total.
Ve determinada pel REBT per exemple és del 3 % per a les instal·lacions domèstiques, del 5 % en
alguns casos, de l'1 % per a les línies repartidores d'un edifici,... i altres normes.
En el cas simple d'un circuit de CC, o de CA monofàsic sense desfasament, n'hi ha prou amb resoldre un
circuit sèrie (veure exemples).
Tanmateix, hi ha altres factors a tenir en compte en el dimensionament de línies:
• La densitat de corrent (J=I/S en A/mm2
) màxima permesa per un cable.
Depèn del material i del tipus d'aïllament.
Se sol obtenir de taules proporcionades pels fabricants o els organismes de normalització.
• En el cas de línies de transport aèria, la resistència mecànica.
Potencial elèctric:
El concepte de potencial elèctric està lligat al de camp elèctric. Es defineix com l'energia potencial
elèctrica per unitat de càrrega i es mesura en V=J/C.
Camp elèctric és la regió de l'espai on una càrrega elèctrica estaria sotmesa a forces electrostàtiques (1)
d'atracció o repulsió originades per la presència d'una o diverses càrregues elèctriques. Els camps
elèctrics es representen mitjançant línies de força, que són línies imaginàries tangents al vector intensitat
del camp elèctric en cada punt. La intensitat del camp elèctric en un punt es defineix com la força que
actuaria sobre la unitat de càrrega positiva (1 Coulomb) situada en aquell punt vector E=F/Q . En el
cas de camps electrostàtics, es pot calcular la força electrostàtica d'atracció o repulsió mitjançant la llei
de Coulomb, el principi de superposició, etc.
Com per al camp gravitatori, perquè tant el camp elèctric com el gravitatori són conservatius (2)
, es pot
definir l'energia potencial elèctrica d'una càrrega Q com l'energia que aquesta càrrega situada en un punt
del camp elèctric (V=E/Q). No es pot calcular l'energia en un punt sinó la diferència entre dos punts A i B
com el treball que cal per dur Q des de A fins a B fent una força oposada a la del camp (EB-EA=WA→B).
Seguint amb l'analogia amb el camp gravitatori. Prop de la superfície terrestre: el camp gravitatori força
gravitatòria per unitat de massa és pràcticament constant i igual a g=9,8 m/s2
; la força gravitatòria és
F=m·g=Pes; l'energia potencial gravitatòria es calcula com Epg=m·g·h, referida a un punt arbitrari, el terra
o un altre d'origen de h; i el potencial gravitatori definit com l'energia potencial gravitatòria de la unitat de
massa seria igual a g·h. Per elevar una massa m des d'un punt A fins a un punt B situat més amunt, cal
fer un treball WA→B=mg(hB-hA)=EpgB-EpgA.
En el cas dels camps electrostàtics, l'origen de potencial se situa a l'infinit, on el camp és nul. En el cas
dels circuits de CC amb una única font, V=0 al pol negatiu de la pila o en la connexió a terra o a massa.
Llavors, en travessar la pila de – a + augmenta el potencial, perquè la pila transmet energia a les
càrregues (positives, sentit convencional del corrent) i al llarg del recorregut per fora de la pila disminueix
el potencial, perquè es va transformant l'energia elèctrica en d'altres formes. Es pot calcular el potencial
en cada punt d'un circuit, o la diferència de potencial entre dos punts del mateix: augment en les fonts,
almenys quan només n'hi ha una, i caiguda de tensió als receptors.
(1)
En el cas de càrregues en moviment, tenim camps electromagnètics.
(2)
El treball necessari per desplaçar un cos (càrrega o massa) entre dos punts dels camp no depèn del
camí.
