1. TALLER SERIE DE TAYLOR
NORAIMA NAYARITH ZARATE GARCIA
COD. 2073173
ING. DE PETROLEOS
1. Determine el n-ésimo polinomio de Taylor centrado en c de:
Serie de Taylor
  f   xi
n
 
        xi1  xi   xi1  xi 
f '' xi 2 n
f x  f xi  f ' xi x  xi   ...  R
i1 i1 2! n!
1
a) f ( x)  , n=4, c = 1 = xi
x
Solución
Hallamos cada una de las derivadas de la función dada y la evaluamos en xi=1:
1 6
f ( xi )  1 f ' ' ' ( xi )  4
 6
xi xi
1 24
f ' ( xi )  2
 1 f IV ( xi )   24
xi xi 5
2
f ' ' ( xi )  3
2
xi
Reemplazamos estos valores en la serie de Taylor y resolvemos para encontrar el
polinomio:
         
2 2 (6) 3 24 4
f x  1  (1) x  1  x 1  x 1  x 1
i 1 i 1 2! i 1 3! i 1 4! i 1
         
2 3 4
f x  1 x 1  x 1  x 1  x 1
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
xx
i 1
 
f x  2  x  x 2  2 x  1  x3  3 x 2  3 x  1  x 4  4 x 3  6 x 2  4 x  1
f  x   x 4  5 x3  10 x 2  10 x  5

2. b) f ( x)  In( x) , n=4, c = 1 = xi
Solución
Hallamos cada una de las derivadas de la función dada y la evaluamos en xi=1:
f ( xi )  In(1)  0 2 2
f ' ' ' ( xi )  3
 3 2
( xi ) 1
1 1
f ' ( xi )   1
xi 1 6 6
f IV ( xi )   4
 4  6
( xi ) 1
1 1
f ' ' ( xi )   2
 2  1
( xi ) 1
Reemplazando en la serie de Taylor f(x) y sus derivadas nos queda el siguiente
polinomio:
( 1) 2 2 3 ( 6) 4
f (x )  0  (x  1)  (x  1)  ( x  1)  (x  1)
i 1 i 1 2! i 1 3! i 1 4! i 1
1 2 1 3 1 4
f (x )  (x  1)  ( x  1)  ( x  1)  ( x  1)
i 1 i 1 2 i 1 3 i 1 4 i 1
1
f (x )  12 x  12  6( x  1) 2  4( x  1)3  3( x  1) 4 
i 1 12  i 1 i 1 i 1 i 1 
Hacemos la sustitución x  x
i 1
1 12 x  12  6 x  12 x  6 x  4  12 x  12 x  4  3 x  12 x 
2 3 2 4 3
f ( x)   
12 18 x 2  12 x  3 
1
f ( x)  3 x 4  16 x3  36 x 2  48 x  25
12  
x 4 4 x3 2 25
f ( x)    3  3x  4 x 
3 12
2. Para f(x) = arcsen (x)
a) Escribir el polinomio de MclaurinP3(x) para f(x).
Solución.

3. f (0)( xi 1 ) 2 f (0)( xi 1 )3 f n (0)( xi 1 ) n
f ( x)  f ( xi 1 )  f (0)  f (0)( xi 1 )    .. 
2 ! 3! n!
Serie de de Mclaurin ( xi  0)
Hallamos cada una de las derivadas de la función dada y la evaluamos en xi=0:
1
f '( xi )   f '(0)  1

2
1  xi
xi
f ''( xi )   f ''(0)  0

3
2
(1  xi ) 2
2
1 3 xi
f ''( xi )     f '''(0)  1

3 5
2 2
(1  xi ) 2 (1  xi ) 2
Reemplazamos en la Serie de Mclaurin:
(1)(( xi 1 )  0)3
f ( xi 1 )  0  (1)(( xi 1 )  0)  0 
3!
Reduciendo los términos anteriores, el polinomio de Mclaurin para
f(x)=arcsen(x), es:
( xi1 )3
f ( xi1 )  ( xi1 ) 
6
c) Completar la siguiente tabla para P3(x) y para f(x) (Utilizar radianes).
Valorverdadero  Valoraproximado
 * 100
Valorverdadero
Los cálculos del error se realizan para cada uno de los valores de x de la Tabla 1:
 f ( x )  arcsen ( x )  arcsen ( 0.75)  0.8481
3 3
( xi 1 ) ( 0.75)
 f ( x )  ( xi 1 )   ( 0.75)   0.8203
i 1 6 6
Valor verdadero  Valor aproximado 0.8481  ( 0.8203)
  *100  *100  3.278
Valor verdadero 0.8481

4. X -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75
f(x) -0,8481 -0,5236 -0,2527 0 0,2527 0,5236 0,8481
P3(x) -0,8203 -0,5208 -0,2526 0 0,2526 0,5208 0,8203
%E 3,278 0,5348 0,03957 0 0,03957 0,5348 3,278
TABLA 1
c. Dibujar sus graficas en los mismos ejes coordenados.
3. Confirme la siguiente desigualdad con la ayuda de la calculadora y complete
la tabla para confirmar numéricamente.
S  Ln ( x  1)  S
2 3
Siendo Sn la serie que aproxima la f(x) dada.
Solución
Aproximamos la función por medio de la serie de Mclaurin, donde xi=0
1 1 2 2
f '( xi )   1 f '''( xi )   2
xi  1 0  1 ( xi  1)3 (0  1)3
1 1
f ''( xi )     1
( xi  1) 2
(0  1) 2
 Para S2 el polinomio es:

5. (1)(( xi 1 )  0) 2
f ( xi 1 )  ln(0  1)  (1)(( xi 1 )  0) 
2!
1
f ( xi 1 )  ( xi 1 )  ( xi 1 ) 2
2
 Para S3 el polinomio es:
(1)(( xi 1 )  0) 2 (2)(( xi 1 )  0)3
f ( xi 1 )  ln(0  1)  (1)(( xi 1 )  0)  
2! 3!
1 1
f ( xi 1 )  ( xi 1 )  ( xi 1 ) 2  ( xi 1 )3
2 3
 In (x+1)
f ( x)  ln( x  1)  ln(0.2  1)  0.1823
 S2
2 2
( xi1 ) (0.2)
f ( xi 1 )  ( xi 1 )   (0.2)   0.1800
2 2
 S3
2 2 2 2
( xi 1 ) ( xi 1 ) (0.2) (0.2)
f ( xi1 )  ( xi1 )    (0.2)    0.1826
2 3 2 3
Estos cálculos se realizan para cada uno de los valores de x en la Tabla 2:
x 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
S2 0 0,1800 0,3200 0,4200 0,4800 0,5000
In (x+1) 0 0,1823 0,3364 0,4700 0,5877 0,6931
S3 0 0,1826 0,3413 0,4920 0,6506 0,8333
Grafique y analice los resultados obtenidos
De acuerdo a los resultados obtenidos es claro que la función In (x+1) es mayor
que S3 pero menor que S2, por lo tanto la desigualdad no es correcta.

6. 4. A partir de la serie de Taylor demostrar las expresiones de diferencia finita
regresiva y diferencia finita centrada.
Serie de Taylor:
f ' ' xi  n 
f xi 1   f xi   f ' xi xi 1  xi   xi1  xi 2  ... f xi  xi1  xi n  R
2! n!
a. Diferencia finita regresiva:
Con la serie de Taylor truncamos en el segundo término, obteniendo:
f xi 1   f xi   f ' xi xi 1  xi 
Despejando la primera derivada:
(1) f  xi   f  xi 1 
f '  xi  
 xi 1  xi 
b. Diferencia finita centrada:
Para obtener la ecuación se requiere tener las series de diferencia finita regresiva
y diferencia finita progresiva.
Serie de Taylor para diferencias finitas progresivas:
f ' ' xi  2 f ' ' ' xi  3 f IV xi  4 f n  xi  n
f xi 1   f xi   f ' xi h   h  h  h  ... h  R
2! 3! 4! n!
Con la serie de Taylor truncamos en el segundo término, obteniendo:

7. f xi 1   f xi   f ' xi xi 1  xi 
Ecuación para diferencias finitas progresivas, despejando la primera derivada:
(2)
Restando la ecuación (1) de (2), obtenemos:
Despejando la primera derivada:
f xi 1   f xi 1 
f ' xi  
2( xi 1  xi 1 )
5. Usando los términos de la serie de Taylor, aproxime la función f(X)=cos(x) en
x0=π/3 con base en el valor de la función f y sus derivadas en el punto x1=π/4.
Empiece con solo el termino n=0 agregando sucesivamente un término hasta
que el error porcentual sea menor que la tolerancia, tomando 4 cifras
significativas.
Solución:
Tolerancia
E s   0.5x102n  % n = Cifras Significativas
n4
E s   0.5x102 4  %  5x105
De acuerdo al enunciado:
 
x  xi 
i 1 3 4
 Hallamos las derivadas de la función:
f  x   Cos  x  f ''  x   Cos  x 
f '  x    Sen  x  f '''  x   Sen  x 
 Reemplazando tenemos:
 
Sen  
  Cos  x    4   x     ...  f  xi   x   
2
     
3 n n
f  x   Cos    Sen   x     x      
4  4  4 2!  4 3!  4 n!  4

8.  Ahora empezamos a agregar término por término:
   
f    Cos    0.7071
3 4
 Siguiente término:
 
Cos   2
           3        0.5220
f    Cos    Sen       
3 4  4  3 4  2!  3 4 
Valornuevo  Valoranterior 0.5220  0.7071
a  *100%  *100%  35,5%
Valornuevo 0.5220
 Siguiente término:
   
Cos   2 Sen  
           3      4        0.4999
3
f    Cos    Sen         
3 4  4  3 4  2!  3 4  3!  3 4 
0.4999  0.5220
a  *100%  4, 42%
0.4999
Se continúa agregando términos hasta que  a   s como se muestra en la
tabla:
Términos Resultado εa(%)
1 0.7071
2 0.5220 35.46
3 0.4978 4.86
4 0,4999 0.42
5 0,5000 0.02
6 0.5000 0
La aproximación usando el sexto término de la serie cumple con la tolerancia
exigida.