Matematika

1. 19. SOAL-SOAL MATRIKS
Jawab :
A.B = C
EBTANAS1998
⎛ 4 − 1⎞ ⎛ − 4 − 2 ⎞ ⎛ − 1 8 ⎞ ⎛ − 2 − 24 ⎞
1. Diketahui matriks A = ⎜
⎜− 2 7 ⎟ ;
⎟ ⎜ ⎟ .⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎜ 4 p ⎟ ⎜ 3 − 4 ⎟ ⎜ 14 8 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ −4 1 ⎞ ⎛ −8 a ⎞
B= ⎜ ⎜ 2 − 7 ⎟ dan C= ⎜ b − 14 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ − 4 − 2⎞ ⎛ −1 8 ⎞
⎜
⎜ 4 ⎟’ ⎜ ⎟
⎝ p ⎟ ⎜ 3 − 4⎟
⎠ ⎝ ⎠
Nilai a dan b yang memenuhi A + 3B = C
Berturut-turut adalah…
⎛ − 4.(−1) + (−2).3 − 4.8 + −2.(−4) ⎞
=⎜
⎜ 4.(−1) + p.3 ⎟
A. 2 dan 4 C. -8 dan -14 E. 8 dan 14 ⎝ 4.8 + p.(−4) ⎟ ⎠
B. -2 dan 4 D. 8 dan -14
⎛ −2 − 24 ⎞ ⎛ − 2 − 24 ⎞
=⎜
⎜ − 4 + 3. p 32 − 4 p ⎟ = ⎜ 14
⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 8 ⎟
⎠
Jawab:
A + 3B = C
-4 + 3p = 14 32 – 4p = 8
⎛ 4 − 1⎞ ⎛− 4 1 ⎞ ⎛−8 a ⎞
⎜ − 2 7 ⎟ +3 ⎜ 2 − 7 ⎟ = ⎜ b − 14 ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 3p = 18 32 – 8 = 4p
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =6 24 = 4p
p=6
⎛ 4 − 1⎞ ⎛− 4 1 ⎞
⎜ ⎟ + 3⎜
⎜− 2 7 ⎟ ⎜ 2 − 7⎟
⎟ jawabannya adalah E
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
UAN2004
⎛ 4 − 1⎞ ⎛ − 12 3 ⎞ ⎛8 − 5⎞ ⎛ x 2⎞
=⎜
⎜− 2 7 ⎟ + ⎜ ⎟ 3. Diketahui matriks A= ⎜
⎝
⎟
⎠
⎜ 6
⎝ − 21⎟
⎠ ⎜3 − 2⎟ , B =
⎟ ⎜
⎜ 3 2 ⎟ dan
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 4 − 12 − 1 + 3 ⎞ ⎛ − 8 2 ⎞ ⎛ 9 3y + 5⎞
⎜ − 2 + 6 7 − 21 ⎟ = ⎜ 4 − 14 ⎟
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ C= ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜3 4 ⎟
⎝ ⎠
Didapat a = 2 dan b = 4 Jika matriks A.B = A + C, maka nilai x + y = …
Jawabannya adalah A A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 E. 8
EBTANAS2000 jawab:
⎛ − 4 − 2⎞
2. Diketahui matrik A = ⎜
⎜ 4 ⎟
⎝ p ⎟
⎠ A.B = A + C
⎛−1 8 ⎞ ⎛ − 2 − 24 ⎞ ⎛8 − 5 ⎞ ⎛ x 2 ⎞ ⎛8 − 5 ⎞ ⎛ 9 3y + 5⎞
B= ⎜ ⎜
⎜3 − 2⎟ . ⎜ 3 2⎟ = ⎜3 − 2⎟ + ⎜ 3 ⎟
⎜ 3 − 4 ⎟ , dan C=
⎟ ⎜
⎜ 14 8 ⎟
⎟
⎝
⎟ ⎜
⎠ ⎝
⎟ ⎜
⎠ ⎝
⎟ ⎜
⎠ ⎝ 4 ⎟⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Jika AB=C, nilai p=… ⎛8 − 5⎞ ⎛ x 2⎞ ⎛ 8.x + (−5).3 8.2 + (−5).2 ⎞
⎜
⎜3 − 2⎟ . ⎜ 3 2⎟ =
⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎜ 3.x + (−2).3 3.2 + (−2).2 ⎟
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
10 1 10
A. -6 B. - C. D. E. 6
3 3 3 ⎛ 8.x − 15 6 ⎞
=⎜
⎜ 3.x − 6 2 ⎟ ….(1)
⎟
⎝ ⎠
www.matematika-sma.com - 1

2. ⎛8 − 5 ⎞ ⎛ 9 3y + 5⎞ ⎛8 + 9 − 5 + 3y + 5⎞ ⎛ 2 x + 6 y 3x + 12 y ⎞
⎜
⎜3 − 2⎟ + ⎜ 3
⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜
⎜ − x − 4 y − 2 x − 10 y ⎟ …(2)
⎝ ⎠ ⎝ 4 ⎟ ⎜3 + 3
⎠ ⎝ −2+4 ⎟ ⎠ ⎝
⎟
⎠
⎛17 3 y ⎞ (1) = (2)
=⎜
⎜ 6 2 ⎟ …(2)
⎟
⎝ ⎠
⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 2 x + 6 y 3x + 12 y ⎞
⎜
⎜ 0 1 ⎟ = ⎜ − x − 4 y − 2 x − 10 y ⎟
⎟ ⎜ ⎟
(1) = (2) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 8.x − 15 6 ⎞ ⎛17 3 y ⎞ 2x + 6y = 1 x 3 ⇒ 6x + 18y = 3
⎜
⎜ 3.x − 6 2 ⎟ = ⎜ 6 2 ⎟
⎟ ⎜ ⎟ 3x+12y = 0 x 2 ⇒ 6x+ 24 y = 0 -
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0 - 6y = 3
1
8x-15 = 17 3y = 6 y=-
8x = 32 y=2 2
x=4 6x+ 24 y = 0
6x = -24y
x+y=4+2=6 1
6x = -24 . (- )
2
jawabannya adalah D 6x = 12
x=2
EBTANAS2000 1
x. y = 2. - = - 1
⎛2 3 ⎞ ⎛ 6 12 ⎞ 2
4. Diketahui A = ⎜
⎜ − 1 − 2 ⎟ , B = ⎜ − 4 − 10 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ jawabannya adalah B
2
Dan A = x.A + y.B, nilai xy=…
UAN2004
⎛ 2 0⎞
A. -4 B. -1 C. -
1
D. 1
1
E. 2 5. Diketahui matriks S = ⎜ ⎜ − 1 3⎟
⎟
2 2 ⎝ ⎠
⎛1 2 ⎞
dan M = ⎜ ⎜ 0 − 3 ⎟ . Jika fungsi f(S,M) = S -M
⎟
2 2
jawab: ⎝ ⎠
matriks f(S+M, S-M) adalah…
A 2 = x.A + y.B
⇔ A. A = x.A + y.B ⎛ 4 20 ⎞ ⎛ 4 − 20 ⎞
A. ⎜
⎜ 4 − 40 ⎟
⎟ D. ⎜
⎜ − 4 − 40 ⎟
⎟
⎛2 3 ⎞ ⎛2 3 ⎞ ⎛2 3 ⎞ ⎛ 6 12 ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜
⎜ −1 − 2⎟ .
⎟ ⎜
⎜ − 1 − 2 ⎟ = x.
⎟ ⎜
⎜ − 1 − 2 ⎟ + y.
⎟ ⎜
⎜ − 4 − 10 ⎟
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 4 20 ⎞ ⎛ 4 − 8⎞
B. ⎜
⎜ 4 − 30 ⎟
⎟ E. ⎜
⎜ − 4 36 ⎟
⎟
⎛2 3 ⎞ ⎛2 3 ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜
⎜ −1 − 2⎟ . ⎜ −1 − 2⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛4 −8 ⎞
⎛ 2.2 + 3.(−1) 2.3 + 3.(−2) ⎞ C. ⎜
⎜ 4 − 38 ⎟
⎟
=⎜⎜ − 1.2 + (−2).(−1) − 1.3 + (−2).(−2) ⎟
⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
jawab:
⎛1 0⎞
=⎜
⎜ 0 1 ⎟ …(1)
⎟
⎝ ⎠ Karena fungsi f(S,M) = S 2 -M 2 maka
⎛2 3 ⎞ ⎛ 6 12 ⎞ Fungsi f(S+M, S-M) = (S+M) 2 - (S-M) 2
x. ⎜
⎜ − 1 − 2 ⎟ + y. ⎜ − 4 − 10 ⎟
⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 2 0⎞ ⎛1 2 ⎞ ⎛ 3 2⎞
⎛ 2 x 3x ⎞ ⎛ 6 y 12 y ⎞ S+M= ⎜
⎜ − 1 3 ⎟ + ⎜ 0 − 3⎟ = ⎜ − 1 0 ⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
=⎜⎜ − x − 2 x ⎟ + ⎜ − 4 y − 10 y ⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
www.matematika-sma.com - 2

3. ⎛ 3 2⎞ ⎛ 3 2⎞ ⎛ 7 6 ⎞ ⎛ 1 − 1⎞
(S+M) 2 = ⎜
⎜ −1 0⎟ ⎜ −1 0⎟ ⎜ − 3 − 2⎟
⎟ .⎜ ⎟ =⎜ A. ⎜ 1 ⎟ C. ⎛ 2 − 2 ⎞
⎜
⎛− 2 2 ⎞
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎟
⎠ ⎜− 3 4⎟ ⎜− 7 8 ⎟⎟ E. ⎜
⎜ 7 − 8⎟
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ − 2 − 2⎞ ⎛ 4 − 1⎞
⎛ 2 0⎞ ⎛1 2 ⎞ ⎛ 2 −1 0−2 ⎞
S–M= ⎜ B. ⎜
⎜ − 7 − 8⎟ D. ⎜ 1 ⎟
⎜ − 1 3 ⎟ ⎜ 0 − 3 ⎟ ⎜ − 1 − 0 3 − (−3) ⎟
⎟ -⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝
⎟
⎠ ⎜− 3 1⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ 1 − 2⎞
=⎜
⎜−1 6 ⎟⎟ Jawab:
⎝ ⎠
M=A+B
⎛ 1 − 2 ⎞ ⎛ 1 − 2 ⎞ ⎛ 3 − 14 ⎞
(S-M) = ⎜
⎜ − 1 6 ⎟ . ⎜ − 1 6 ⎟ = ⎜ − 7 38 ⎟
2
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛3 4⎞ ⎛ −1 − 2⎞ ⎛ 2 2⎞
= ⎜
⎜5 1⎟ + ⎜ 2
⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 7 ⎟ ⎜7 8⎟
⎠ ⎝ ⎠
⎛ 7 6 ⎞ ⎛ 3 − 14 ⎞ ⎛ 4 20 ⎞
(S+M) 2 - (S-M) 2 = ⎜
⎜ − 3 − 2 ⎟ - ⎜ − 7 38 ⎟ = ⎜ 4 − 40 ⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎛ d − b⎞
M −1 = .⎜ ⎟
ad − bc ⎜ − c a ⎟
⎝ ⎠
Jawabannya adalah A
1 ⎛ 8 − 2⎞
EBTANAS1997 = ⎜
⎜− 7 2 ⎟
⎟
⎛3 − x⎞ 2.8 − 2.7 ⎝ ⎠
6. Diketahui A = ⎜
⎜ 6 8 ⎟ adalah matriks singular.
⎟
⎝ ⎠
Nilai x = …. 1 ⎛ 8 − 2⎞ ⎛ 4 − 1⎞
= .⎜ ⎟=⎜ 1 ⎟
2 ⎜− 7 2 ⎟ ⎜− 3
⎝ ⎠ ⎝ 1⎟
A. -5 B. -4 C. -3 D. 3 E. 4 2 ⎠
Jawab: jawabannya adalah D
teori:
UAN2007
⎛a b ⎞ ⎛ 2 − 1⎞ ⎛x + y 2⎞
Jika A = ⎜ 8. Diketahui matriks A = ⎜
⎜1 4 ⎟ ; B = ⎜ ⎟
⎜c d ⎟ ⎟ ⎝
⎟
⎠
⎜ 3
⎝ y⎟
⎠
⎝ ⎠
Maka det(A) = |A| = ad – bc jika det(A) = 0 maka ⎛7 2⎞
dan C = ⎜⎜3 1⎟ ⎟
matriks A disebut matriks singular ⎝ ⎠
apabila B – A = C t dan C t = transpose matriks C,
⎛3 − x⎞
A= ⎜
⎜6 8 ⎟⎟
maka nilai x. y = …
⎝ ⎠
A. 10. B. 15 C. 20 D. 25 E. 30
Det(A) = ad – bc = 3.8 – (-x).6
= 24 + 6x =0 jawab:
6x = -24 ⎛a b ⎞ ⎛a c ⎞
x = -4 teori : Jika A = ⎜ ⎟ , maka At = ⎜
⎜c d ⎟ ⎜b d ⎟
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
jawabannya adalah B
⎛7 2⎞ ⎛ 7 3⎞
C= ⎜
⎜3 1⎟
⎟ Ct = ⎜
⎜ 2 1⎟
⎟
UAN2006 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛3 4⎞ ⎛ −1 − 2⎞
7. Diketahui matriks A= ⎜
⎜ 5 1 ⎟ dan B =
⎟ ⎜
⎜2 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ 7 ⎟
⎠
jika M = A + B, maka invers M adalah M −1 = ….
www.matematika-sma.com - 3

4. B – A = Ct
1 ⎛ 4 − 2⎞ 1 ⎛ 4 − 2⎞
A −1 = ⎜− 3 1 ⎟ = − 2
.⎜ ⎟ ⎜− 3 1 ⎟
⎜ ⎟
⎛x + y 2 ⎞ ⎛ 2 − 1⎞ ⎛ 7 3 ⎞ 4−6 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎜
⎜ 3 ⎟ -⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝ y ⎟ ⎜ 1 4 ⎟ ⎜ 2 1⎟
⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛− 2 1 ⎞
⎛x + y −2 3 ⎞ ⎛ 7 3⎞ = ⎜ 3 1⎟
⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ − ⎟
⎜ y − 4⎟ ⎜ 2 1⎟ ⎝ 2 2⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎠
y–4=1
y= 5 X = A −1 . C
x+y–2=7 ⎛ − 2 1 ⎞ ⎛ 4 3⎞ ⎛ − 6 − 5 ⎞
=⎜ 3 1⎟. ⎜ ⎟=⎜ ⎟
x+5–2 =7 ⎜ − ⎟ ⎜ 2 1⎟ ⎜ 5
⎝ ⎠ ⎝ 4 ⎟⎠
x = 7 – 5 +2 ⎝ 2 2⎠
x=4
Jawabannya adalah C
x . y = 4 . 5 = 20
UMPTN1990
jawabannya dalah C ⎛1 2⎞ ⎛ 2 1⎞
10. Jika B = ⎜ ⎟ dan AB −1 = ⎜
⎜3 5⎟ ⎜ 4 3 ⎟ , maka A =…
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
EBTANAS1992
9. Matriks X berordo 2 x 2 yang memenuhi persamaan
⎛5 9⎞ ⎛3 5 ⎞ ⎛ 9 5⎞
⎛1 2⎞ ⎛ 4 3⎞ ⎜13 23 ⎟
A. ⎜ ⎟ ⎜ 9 23 ⎟
C. ⎜ ⎟ ⎜12 3 ⎟
E. ⎜ ⎟
⎜
⎜ 3 4 ⎟ X = ⎜ 2 1 ⎟ adalah…
⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛5 3 ⎞ ⎛13 5 ⎞
⎛ 4 1⎞ ⎛ − 6 − 5⎞ ⎛ − 5 − 6⎞ ⎜ 9 13 ⎟
B. ⎜ ⎟ ⎜ 2 10 ⎟
D. ⎜ ⎟
A. ⎜
⎜ 0 1⎟
⎟ C. ⎜
⎜ 5 ⎟ E. ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ 4 ⎟
⎠
⎜ 4
⎝ 5 ⎟
⎠
⎛ 2 1⎞ ⎛ 2 − 1⎞ Jawab:
B. ⎜
⎜ 1 0⎟
⎟ D. ⎜ 1 1⎟
⎝ ⎠ ⎜− 1 ⎟
⎝ 2 2⎠ A.B −1 = C
A = C . (B −1 ) −1
Jawab:
Teori: (B −1 ) −1 = B −1x −1 = B
Jika A.B = C maka maka A = C .B
1. A = C . B −1 ⎛ 2 1⎞ ⎛1 2⎞ ⎛ 5 9 ⎞
⎜ 4 3 ⎟ . ⎜ 3 5 ⎟ = ⎜13 23 ⎟
= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
2. B = A −1 . C ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛1 2⎞ ⎛ 4 3⎞ Jawabannya adalah A
⎜
⎜3 4⎟ X =
⎟ ⎜
⎜ 2 1⎟
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
bukti:
⎛1 2⎞ ⎛ 4 3⎞
Misal A = ⎜
⎜ 3 4 ⎟ dan C =
⎟ ⎜
⎜ 2 1⎟
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 2 1⎞
AB −1 = ⎜
⎜ 4 3⎟ ,
⎟
⎝ ⎠
Maka X = A −1 . C
1 ⎛ 5 − 2⎞ ⎛ − 5 2 ⎞
1 ⎛ d − b⎞ B −1 = ⎜ − 3 1 ⎟ = ⎜ 3 − 1⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
A −1 = .⎜ ⎟ 5−6 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ad − bc ⎜ − c a ⎟
⎝ ⎠
www.matematika-sma.com - 4

5. ⎛5 9⎞ ⎛ − 5 2 ⎞ ⎛ 5(−5) + 9.3 5.2 + 9(−1) ⎞
⎜
⎜ ⎟.
⎟ ⎜ ⎟=⎜
⎜ 3 − 1⎟ ⎜13.(−5) + 23.3 13.2 + 23(−1) ⎟
⎟
⎝13 23 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ − 25 + 27 10 − 9 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞
⎜ − 65 + 69 26 − 23 ⎟ = ⎜ 4 3 ⎟
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ terbukti
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
www.matematika-sma.com - 5