1. Método de las imágenes
Elías Natanael Polanco Euán
Curso de Electrodinámica
CINVESTAV Unidad Mérida

3. Chapter 1
Antecedentes.
1.1 Métodos especiales en electrostática
Para hallar el potencial esscalar se puede realizar una integración sobre una distribu-
ción dada de cargas fuente por medio de
ϕ(r) =
1
4πε0 V ′
ρ(r′
)dτ ′
R
(1.1)
Después se puede obtener el campo eléctrico a partir de E = − ϕ. Algunos
problemas están enunciados de tal modo que este método no es factible, por lo que
es conveniente contar con otros métodos alternativos. Se puede abordar el problema
resolviendo la ecuación diferencial con derivadas parciales que satisface ϕ. Esta es
la ecuación de Poisson
2
ϕ = −ρ/ε0
donde ρ es la densidad total de carga.
Si las densidades relevantes de carga son iguales a cero, estas dos ecuaciones se
reducen a la ecuación de Laplace:
2
ϕ = 0
Debido a la relativa simplicidad de la ecuación de Laplace, el énfasis estará en
resolverla.
A través de los años se han diseñado muchos métodos para resolver estas ecua-
ciones. Algunos de estos métodos son muy generales y sistemáticos, mientras que
otros son extremadamente especializados y de aplicación y justificación rigurosa. Lo
que se hará en este ensayo se centra en un teorema muy importante que se analiza
a continuación.
1.2 Teorema de Unicidad
Este teorema es una herramienta de mucha utilidad, ya que permite el empleo
de muchas vías para la determinación de los potenciales en un región, entre ellas
el método de imágenes que veremos mas adelante. Vamos a demostrar que en un
potencial V que satisface la ecuación de Poisson y las condiciones de contorno per-
tinentes a un campo determinado es el único posible.
3

4. Este es un teorema importante porque nos da total libertad para emplear
cualquier método, incluso la intuición, para determinar un campo electrico, Si
de alguna forma podemos encontrar un campo que satisface ambas condiciones,
entonces ese es el único posible.
Consideremos una región finita del espacio que puede contener conductores
cargados a potenciales especificados, dieléctricos clase A de propiedades dadas, y
distriuciones volúmicas de cargas libres de densodades conocidas, Para demostrar
el teorema de unicidad supondremos que en cada punto existen dos soluciones posi-
bles, V1 y V2, que satisfacen la ecuación de Poisson y que ambas se reducen a
los potenciales especificados sobre las superficies de los conductores. Esto no implica
que un punto dado pueda estar, al mismo tiempo, a dos potenciales diferentes.
Nuestra hipótesis es que uno u otro de los dos campos diferentes puede existir
en la región para la que se especifican las condiciones de contorno. Encontraremos
que V1 ≡ V2. Este es el teorema de unicidad.
Correspondiendo a V1 y V2, tenemos en cada punto dos intensidades de campo
eléctrico:
E1 = −
2
V1, E2 = −
2
V2, (1.2)
Hemos supuesto que en todos los puntos, tanto V1 como V2 satisfacen la ecuación
de Poisson. Entonces:
·D1 = ρf, ·D2 = ρf (1.3)
donde ρf es la densidad de carga libre.
Nos vamos a fijar en la diferencia entre las dos soluciones que llamaremos V3:
V3 = V2 − V1 (1.4)
En estas condiciones, los correspondientes D1, D2, D3 son tales que, en cada
punto,
D3 = D2 − D1 (1.5)
y
·D3 = ·D2 − ·D1 = 0 (1.6)
Sobre las superficies de los conductores V3 = 0, ya que ambos V1 y V2 se reducen a
los valores de contorno especificados.
Utilizando la identidad vectorial:
·V3D3 = V3 ·D3 + D3 · V3 (1.7)
e integrando sobre un volumen τ y aplicando el teorema de la divergencia, ten-
dremos:
S
V3D3 · da =
τ
V3 ·D3 dτ +
τ
D3 · V3 dτ (1.8)
4 Antecedentes.

5. donde la integral de superficie del primer miembro se calcula sobre todas las super-
ficies que limitan el volumen τ. Tomemos este volumen como el exterior a los
conductores, que se extiende hasta el infinito en todas las direcciones.
La integral de superficie se tiene que calcular sobre las superficies de los conduc-
tores y sobre una esfera omaginaria de radio infinito. La primera contribución se
anula por ser V3 cero sobre todas las superficies conductoras. Para obtener la integral
sobre la superficie de radio infinito, vamos a calcular su valor sobre una esfera finita,
que después extenderemos hasta el infinito. Tanto V1 como V2, a distancias suficiente-
mente grandes, deben disminuir según 1/r, ya que toda la carga del sistema aparece
como una carga puntual para distancias grandes comparadas con las dimensiones del
sistema. Entonces V3, la diferencia entre V2 y V1, debe también decrecer como 1/r.
Según esto, D3 debe decrecer como V3, esto es, como 1/r2
. Por crecer el área S
sobre la que se realiza la integración como r2
, toda la integral decrece según 1/r y
tiende a cero en el infinito. El primer término de la ecuación es, por tanto, nulo.
El primer término del segundo miembro también es cero, por ser ·D3 = 0 en
cada punto. Nos hemos quedado solamente con el segundo término del segundo
miembro, que debe ser idénticamente nulo. Entonce,
τ
(D3•E3) dτ = 0. (1.9)
En dieléctricos homogéneos, isotrópicos y lineales, la magnitud D3•E3 = εE2
es
positiva, y la única forma para que se anule la integral es que sean, en cada punto,
D3 y E3 iaguales a cero.
Por tanto, se deduce que:
V2 = V1 (1.10)
o que V2 sólo puede diferir de V1 en una constante. Como V1 y V2 deben ser iguales
sobre las superficies de los conductores, también lo deben ser en todos los puntos.
En consecuencia, V1 = V2 y sólo existe un posibile potencial V
Hemos demostrado, por tanto, que para unas condiciones dadas de contorno,
la solución de la ecuación de Poisson es única, siempre que el producto D•E sea
positivo en todo el material dieléctrico del sistema
1.2 Teorema de Unicidad 5

7. Chapter 2
Método de las imágenes
El método de las imágenes implica la conversión de un campo eléctrico en otro
equivalente más fácil de calcular. En ciertos casos es posible sustituir un conductor
por una o más cargas puntuales, de modo que las superficies conductoras se susti-
tuyen por superficies equipotenciales a los mismos potenciales.
q q-q
Figure 2.1.
Recuérdese que la ley de Coulomb fue la base para obtener la expresión
ϕ(r) =
i=1
N
qi
4πε0Ri
para el potencial de un sistema de cargas, en las que la contribución de cada una de
las cargas es proporcional a 1/R, siendo R la distancia de la carga al punto de campo.
Por lo tanto, dicha expresión debe satisfacer la ecuación de Laplace necesariamente;
también se puede observar esto explícitamente de
2 1
|r − r′|
=
′2 1
|r − r′|
7

8. En otras palabras, la suma de los potenciales individuales de un conjunto de cargas
puntuales es, automáticamente, una solución de la ecuación de Laplace. Este hecho
constituye base del método de las imágenes. El objetivo es encontrar un conjunto de
cargas ficticias (cargas imágenes) las que, junto con cualesquiera cargas reales que
se encuentren presentes, harán posible satisfacer las condiciones de frontera y así
obtener la función única del potencial. Es decir, se intenta escribir el potencial como
ϕ =
real
qa
4πε0Ra
+
imagen
qi
4πε0Ri
(2.1)
y encontrar la mejor combinación posible. La idea básica es que las cargas imagen
simularán de alguna manera el comportamiento de las otras cargas fuente o del
material presente; de acuerdo con esto, las cargas imagen se situarán fuera de la
región para la que se está tratando de encontrar ϕ. Este método quedará mejor
ilustrado por medio de ejemplos específicos.
Example 2.1.
Carga puntual y plano infinito conectado a tierra. Como se muestra en la figura
(), la carga q se encuentra a una distancia
Figure 2.2.
Problema de una carga puntual y de un plano conductor resuelto me-
diante el método de la carga imagen: (a) problema original; (b) situa-
ción de la carga imagen; (c) líneas de fuerza ( líneas punteadas ) y
superficies equipotenciales (líneas continuas).
Como se muestra en la figura 2.2, la carga puntual q se encuentra a una distancia
d del plano yz, que a su vez es la superficie de un conductor que ocupa todo el
espacio a la izquierda de este plano, es decir, para todos los valores negativos de x.
La otra mitad del espacio está vacía. La condición de frontera es que ϕ = cte. en
x = 0, de acuerdo a las condiciones de discontinuidad. Por simplicidad, se toma el
valor constante igual a cero (el conductor está conectado a tierra); si el valor real es
una constante diferente, se le puede simplemente sumar al resultado final. Así, la
condición de frontera es
ϕ(0, y, z) = 0 (2.2)
8 Método de las imágenes

9. para todas las y y z. Se intentrá usar (2.1) para satisfacer (2.2) con una sola carga
imagen, q′
, localizada también sobre el eje x a una distancia d′
dentor del conductor
(y por ello reeemplazando al conductor en lo que respecta a la región al vacío). Dado
que las coordenadas de q y q′
son (d,0, 0) y (−d,0, 0) respectivamente, se encuentra
que (2.2) resulta como
ϕ(x, y, z) =
1
4πε0
q
[(x − d)2 + y2 + z2]1/2
+
q′
[(x + d′)2 + y2 + z2]1/2
(2.3)
Cuando esto se combina con (2.2), se observa que se debe satisfacer la condición de
que
q
[(x − d)2 + y2 + z2]1/2
+
q′
[(x + d)2 + y2 + z2]1/2
= 0 (2.4)
Resulta claro que esto queda satisfecho siempre que d′
= d y q′
= −q. Por lo tanto,
q′
se encuentra tan «atrás» de la frontera como q se encuentra «adelante» de ella,
de tal forma que el término «imagen» le queda muy bien; nótese que durante enste
proceso el signo cambió, esto es algo muy característico. Si ahora se sustituyen en
(2.3) los valores recién encontrados, se obtiene la expresión única del potencial:
ϕ(x, y, z) =
1
4πε0
q
[(x − d)2 + y2 + z2]1/2
−
q
[(x − d)2 + y2 + z2]1/2
(2.5)
que viene a ser la solución completa del problema. Se utiliza (2.5) únicamente para
x 0; en el caso de x < 0, ϕ tiene el mismo valor igual a cero que en la superficie
del conductor, tal como resulta de las propiedades de un conductor, que dice que no
hay campo dentro de él.
Se pueden ahora calcular las componentes del campo eléctrico a partir de E =
− 2ϕ:
Ex = −
∂ϕ
∂x
=
q
4πε0
(x − d)
[(x − d)2 + y2 + z2]3/2
−
(x + d)
[(x − d)2 + y2 + z2]3/2
Ey = −
∂ϕ
∂y
=
qy
4πε0
1
[(x − d)2 + y2 + z2]3/2
−
1
[(x − d)2 + y2 + z2]3/2
(2.6)
Ez = −
∂ϕ
∂z
=
qz
4πε0
1
[(x − d)2 + y2 + z2]3/2
−
1
[(x − d)2 + y2 + z2]3/2
Se puede verificar el resultado viendo si posee las propiedades correctas. Ey y Ez
son componentes tangenciales en la superficie del conductor, por lo que, de acuerdo
con las condiciones de frontera para un conductor deben anularse; al observar (2.6)
se puede apreciar fácilmente que es así, ya que Ey(0, y, z) = Ez(0, y, z) = 0. En la
Método de las imágenes 9

10. superficie del conductor, la componente normal de E es En = nS •E = xS •E = Ex,
resultando
En = Ez(0, y, z) = −
qd
2πε0(d2 + y2 + z2)3/2
=−
qd
2πε0R0
2 (2.7)
donde R0 es la distancia desde q al punto correspondiente del plano x = 0, como
también se muestra en la figura. Pero ya se sabe que si En no es cero, implica la
existencia de una densidad superficial de carga (en este caso, carga libre), la que, de
(2.7) y Esuperficie = −nS · ϕ =
σ
ε0
resulta ser
σf(y, z) = −
qd
2πε0(d2 + y2 + z2)3/2
(2.8)
Se dice que esta carga superficial fue inducida por la carga puntual q. Se puede
observar que σf no es constante en el plano; su magnitud es máxima en el origen,
directamente bajo q, y es igual a q/(2πd2
), y σf →0 a medida que y y z se aproximan
al infinito. Se puede encontrar la carga total inducida sobre el plano yz si se integra
(2.8) sobre toda la superficie del plano:
qind =
qd
2π −∞
∞
−∞
∞
dydz
(d2 + y2 + z2)3/2
=
qd
2π 0
2π
0
∞
dydz
(d2 + y2 + z2)3/2
qind =
qd
2π 0
2π
0
∞
̺d̺dθ
(d2 + ̺2)3/2
= qd
0
∞
̺d̺
(d2 + ̺2)3/2
= qd
−1
(d2 + ̺2)1/2
0
∞
qind = qd
1
d
− lim
̺→∞
1
(d2 + ̺2)1/2
= q (2.9)
Así la carga total inducida resulta ser igual y opuesta a la carga inductora y, por lo
tanto, igual a la carga imagen, lo cual es lógico suponer ya que esta última simula
el comportamiento total del conductor.
Para encontrar la fuerza que actúa sobre q se requiere saber el valor de E en este
punto. sin embargo, no se pueden utilizar los primeros 8tperminos entre corchetes de
(2.6) porque representa la contribución de la propia q, según (2.4), lo que signifcará
que ejerce una fuerza sobre sí misma, -posibilidad que se ha excluido constante-
mente-. Si se sustituyen las coordenadas de q, (d, 0, 0), en los demás términos de
(2.6) se encuentra que Ey = Ez = 0 y Ex = −q/(16ε0d2
), de modo que la fuerza sobre
q resulta ser
F = qE = −
q2
16πε0d2
xS (2.10)
y está dirigida hacia el concuctor. Es obvio que esto representa la fuerza de atracción
resultante entre q y la carga superficial inducida σf, como puede comprobarse por
integración directa. Si se expresa la ecuación anterior como
F = −
q2
16πε0(2d)2
xS (2.11)
10 Método de las imágenes

11. se puede observar que concuerda cexactamente con la forma de la ley de Coulomb
para la atracción entre q y la carga imagen −q, ya que se encuentran separadas por
una distancia total 2d.
Al hacer que ϕ sea igual a una constante en (2.5) se obtiene la ecuación de las
superficies equipotenciales en la región x 0, y al hacer que z =0 se obtiene las curvas
equipotenciales en el plano xy. Según (2.5), la ecuación de la superficie equipotencial
en función de las distancias R y R′
de la figura 2.2 es
1
R
−
1
R′
=
4πε0ϕ
q
= cte (2.12)
La figura 2.3 muestra algunas de estas curvas con líneas contínuas. Las líneas
punteadas vienen a ser las líneas de E. Su ecuación puede encontrarse por medio
de ds1f = kE y (2.6), donde ds1f representa un pequeño desplazamiento a lo largo
de una línea de E (línea de fuerza), necesariamente paralela a E en ese punto, k es
una constante de proporcionalidad de dimensiones apropiadas.
Figure 2.3. Equipontenciales (líneas llenas) y líneas de campo eléctrico (punteadas) para
el sistema de la figura 2.2
.
Método de las imágenes 11

12. Figure 2.4. Equipotenciales (rojas punteadas) y líneas de campo
eléctrico (negras sólidas) para dos cargas lineales de
signo opuesto paralelas al eje z
Example 2.2.
Carga puntual y esfera conductora conectada a tierra. Véase la figura 2.5. Se
utilizan coordenadas esféricas con origen en el centro de la esfera de radio a, y se
toma q a una distancia d del centro, en una posición por la que pasa el eje z. La
condición de frontera consiste en que el potencial sea igual a cero en la superficie de
la esfera, es decir, que:
ϕ(a, θ, φ) = 0 (2.13)
Se intentará resolver este problema por medio de una sola carga imagen, q′
situada
a una distancia d del centro de la esfera; es necesario que d′
< a, de manera que q′
se encuentre fuera de la reagión al vacío. El potencial en cualquier punto de campo,
P, se obtiene a partir de (2.1), la ley de los cosenos y la figura; esto resulta en
ϕ(r, θ, φ) =
1
4πε0
q
R
+
q′
R′
(2.14)
ϕ(r, θ, φ) =
1
4πε0
q
(r2 + d2 − 2rd cosθ)1/2
+
q′
(r2 + d′2
− 2rd′ cosθ)1/2
(2.15)
12 Método de las imágenes

13. Figure 2.5. Carga puntual y esfera conductora conectada a tierra.
Al combinar esto con la condición de que el potencial sea cero en la superficie
de la esfera se obtiene la condición
q
(r2 + d2 − 2rd cosθ)1/2
+
q′
(r2 + d′2
− 2rd′ cosθ)1/2
= 0 (2.16)
de la que deben encontrarse q′
y d′
. Ya que por lo general se necesitan dos ecuaciones,
y dado que (2.16) debe ser verdadera para todos los valores de θ, se pueden obtener
dichas ecuaciones al tomar dos valores de θ particularmente útiles, es decir, 0 y π.
Cuando se les sustituye en (2.16) se obtienen la ecuaciones
q
d − a
−
q′
a − d′
= 0
q
d + a
+
q′
a + d′
= 0
Haciendo un poco de álgebra:
(a − d′
)q
d − a
− q′
= 0
(a + d′
)q
d + a
+ q′
= 0
Resulta entonces
aq
d − a
−
q
d − a
d′
− q′
= 0 (2.17)
aq
d + a
+
q
d + a
d′
+ q′
= 0 (2.18)
Método de las imágenes 13

14. En forma matricial se tiene:



q
d − a
1
−
q
a + d
1



d′
q′ =




1
d − a
1
d + a



aq



q
d − a
1
−
q
a + d
−1



d′
q′ =




1
d − a
1
d + a



aq
Llamemos D =
q
d − a
1
−
q
a + d
−1
= −q
1
d − a
+
1
a + d
= −q
2d
d2 − a2
Resolviendo el sistema por el método de Kramer:
⇒
d′
=
aq
d − a
1
aq
d + a
1
D
=
aq
1
d − a
−
1
d + a
−2dq
a2 − d2
= −
2a2
d2 − a2
2d
a2 − d2
=
a2
d
sustituyendo d′
en la ecuación (2.18) tenemos:
q′
= −
aq
d + a
−
q
d + a
a2
d
= −aq
1
d + a
+
a
(d + a)d
= −aq
d
d(d + a)
+
a
(d + a)d
⇒
q′
= −
a
d
q
En este caso, la carga imagen es también de signo opuesto a la carga inductora, pero
esta vez sus magnitudes no son iguales sino que, de hecho |q′
| < |q|. Si se sustituye
este resultado en (2.15) se puede obtener el potencial que satisface las condiciones
de frontera y que, por lo tanto, da el valor correcto en todos los puntos fuera de la
esfera:
ϕ(r, θ, φ)
=
q
4πε0
1
(r2 + d2 − 2rd cosθ)1/2
+
(a/d)
(r2 + (a2/d)2 − 2r (a2/d) cosθ)1/2
(2.19)
14 Método de las imágenes

15. Se pueden calcular las componentes del campo eléctrico a partir de E=−∇ϕ en
coordenadas esféricas y resulta:
Er =
q
4πε0
(r − d cosθ)
R3
−
(a/d)[r − (a2
/d) cosθ]
R′3 (2.20)
Eθ =
qd senθ
4πε0
1
R3
+
(a/d)3
R′3 (2.21)
Por ser una componente tangencial, Eθ(a) = 0 en la superficie de la esfera; sin
embargo, Er 0 y, ya que se trata de una componente normal a la superficie, debe
existir una densodad superficial dada por
σf(θ) = ε0En = ε0Er(a, θ) =
−q(d2
− a2
)
4π(a2 + d2 − 2ad cosθ)3/2
Puede demostrarse de nuevo que la carga total inducida es igual a la carga imagen.
Por medio de integrar sobre toda la superficie esférica:
qind = −
q(d2
− a2
)
4πa 0
2π
0
π
a2
senθdθdφ
4π(a2 + d2 − 2ad cosθ)3/2
=−
q(d2
− a2
)a
2 −1
1
dµ
4π(a2 + d2 − 2adµ)3/2
La integral se puede resolver por medio de tablas y resulta ser:
1
ad(a2 + d2 − 2adµ)1/2
−1
1
=
1
ad
1
|d − a|
−
1
|d + a|
En este caso, d > a y tenemos
1
ad
1
|d − a|
−
1
|d + a|
=
2
d(d2 − a2)
de modo que
qind = −
q(d2
− a2
)a
2
2
d(d2 − a2)
= −
a
d
q = q′
como debería ser.
La carga q será atraída hacia la esfera por una fuerza que viene a ser la fuerza
de Coumolb entre q y su imagen q′
. Su distancia de separación es D = d − d′
=
(d2
− a2
)/d, de tal manera que, según la lay de Coulomb
F =
adq2
zS
4πε0(d2 − a2)2
Si d ≫ a, la variación de la fuerza será de aproximadamente la inversa del cubo de
la distancia de separación.
La figura 2.6 muestra el aspecto general de las equipontenciales y de las líneas
de campo para este caso.
Método de las imágenes 15

16. Figure 2.6. Equipotenciales y líneas de campo eléctrico para el sistema
En el siguiente capítulo se abordarán los problemas del método de las imágenes
pero con herramientas matemáticas más avanzadas.
16 Método de las imágenes

17. Chapter 3
Funciones de Green para método de
imágenes
En particular, el método de las imágenes permitirá el cálculo sencillo de la fun-
ciónn de Green para geometrías simples. Esencialmente, la solución del problema de
contorno se consigue substituyendo dicho contorno por un espacio imagen, consti-
tuido por medios y fuentes imagen y situados en el exterior del volumen de interés, o
volumen problema, de forma tal que sigan cumpliťendose las condiciones de contorno
impuestas y que en el interior no se alteren las fuentes D especificadas.
Figure 3.1.
En la figura 3.1 se presenta un caso simple consistente en un sistema de cargas
ρ(rR ′
) frente a un plano conductor a potencial nulo.
El volumen de interés es el semiespacio a la derecha del plano conductor y
el contorno del problema es la superficie S. Las condiciones que se cumplen en
este problema son de tipo Dirichlet. En el semiespacio de la izquierda no se han
especificado ni los medios ni las fuentes, lo que no nos permite decir nada acerca
del potencial existente en dicha región. Si nosotros nos figuramos ahora a este
semiespacio como lleno de un medio con constante ε y con una distribuciťon de
cargas de signo contrario a las especificadas (ρI es la imagen especular de ρ)
ρ dR = −ρI −dR , εI = ε
17

18. por simetría, el potencial VS =0 y, puesto que no hemos alterado la regiťon (I) ni el
potencial de su contorno, el campo producido en esta nueva situación es el mismo
que existía en el problema primitivo en dicha región. La soluciťon obtenida no es
válida para la región (II) puesto que en ella hemos fijado arbitrariamente los medios
y las fuentes.
Figure 3.2.
En la figura 3.2 se plantea un problema típico de electrodos en medios de con-
ductividad infinita. En este caso, un electrodo (conductor ideal con σ →∞) inyecta
una intensidad I a un medio de conductividad infinita, separado por un plano del
medio de la izquierda, que es no conductor (σ=0). Resolvemos el problema en el
medio de conductividad infinita, cuyo contorno es S=S1 +S2, donde S1 es la interfaz
con el medio no conductor y S2 la superficie del electrodo. Dado que la corriente
no fluye en el medio no conductor, en S1 puede imponerse la condición de tipo
Neumann (En =0)S1 . El electrodo es equipotencial, por lo que en su superficie
puede imponerse la condición de tipo Dirichlet (V )S2 =VE, con lo que, en conjunto,
las condiciones son mixtas.
El espacio imagen estaría constituido por un electrodo simétrico con respecto a
S1 inmerso en un medio de la misma conductividad σ0.
Algo parecido, figura 3.3, podemos hacer con sistemas de corrientes frente a
materiales magnéticos ideales. En virtud de la ley de refracción, las líneas de campo
serán perpendiculares a la superficie externa S1 del medio. Por lo tanto, el potencial
magnťetico US1 =cte y puede tomarse como nulo. El espacio imagen estaría consti-
tuido por un medio de permeabilidad µo y una espira simétrica de la primitiva con
respecto a S1, pero recorrida en sentido contrario.
No abordaremos el tema en extenso [Lorrain y Corson, Reitz et al., Jackson];
nos limitaremos a describir la aplicación del método al cálculo del potencial elec-
trostático producido por cargas en presencia de superficies conductoras.
18 Funciones de Green para método de imágenes

19. Figure 3.3.
3.1 Imágenes sobre un plano conductor; función de
Green
Consideremos a una carga puntual situada en el punto (d, 0, 0) frente al plano
conductor x=0 que está a potencial nulo.
Figure 3.4.
La carga q atraerá, por influencia, cargas de signo contrario estableciendo en S
una densidad de carga ρs(y, z) que apantalla al campo dentro del conductor.
ρ(y, z) = εER (0, y, z) · nS
Segťun vemos en la figura 3.4, para la regiťon (I) tendremos un campo que será el
resultado de superponer el coulombiano de q con el de su imagen −q.
ER =
q
4πε0
R1
R1
3 −
R2
R2
3 , ϕ =
q
4πε0
1
R1
3 −
1
R2
3
3.1 Imágenes sobre un plano conductor; función de Green 19

20. donde
R1 = (x − d, y, z), R1 = (x + d, y, z)
La fuerza que la carga ejerce sobre el plano, o la que el plano ejerce sobre el
conductor, serťa la de atracciťon entre q y su imagen.
FR = qER −q =
q2
4πε0
1
(2d)2
xS
Es interesante resaltar que el trabajo necesario para traer a la carga q desde el
infinito a su posiciťon final no puede obtenerse como producto de dicha carga por el
potencial V−q( dR ) que produce la imagen en d porque al mover q se mueve también
su imagen.
Figure 3.5.
Para obtener la funciťon de Green GD(rR , rR )=GD(rR , rR ) colocaríamos una carga
q=ε en rR y calcularíamos el potencial en rR . Si, como se muestra en la figura 3.5,
colocamos al plano en el plano yz y la carga a una distancia x del mismo
rR = (x, y, z), rR ′
= (x′
, y′
, z′
), RR 1 = rR − rR ′
rR ′
= (−x′
, y′
, z′
), RR 1 = rR − rRI
′
Luego
GD(rR , rR ′
) =
1
4π
1
|rR − rR ′
|
−
1
|rR − rRI
′
|
3.2 Imágenes sobre una esfera
20 Funciones de Green para método de imágenes

21. Podemos también demostrar que la imagen de una carga q, frente a una esfera
con potencial nulo, es otra carga q′
de signo contrario y de distinta magnitud. Si
la esfera estuviese a un potencial no nulo, bastaría con hacer uso de una segunda
imagen q′′
y situarla en el centro de la esfera.
Figure 3.6.
Empezaremos considerando el primer caso. Supongamos, figura 3.6, un par de
cargas q y q situadas en z=d y z=b respectivamente. El potencial creado en un
punto de la esfera será
V (a) =
1
4π
q
R1(a)
−
q′
R2(a)
= 0
donde A ≡
q
R1(a)
−
q′
R2(a)
= 0 y
R1(a) = a2
+ d2
− 2ad cosθ
√
, R2(a) = a2
+ b2
− 2ab cosθ
√
Elevando (A) al cuadrado y agrupando términos, tenemos que
q′2
(a2
+ d2
) − q2
(a2
+ d2
) + 2a(bq2
− dq′2
) cosθ = 0
Llamemos: B = q′2
(a2
+ d2
) − q2
(a2
+ d2
), C = (bq2
− dq′2
)
Para que esto sea cierto en toda la superficie de la esfera, es decir para cualquier
θ, será necesario que B = 0, C = 0. Dado que, para que el potencial de la esfera sea
nulo, es preciso que las cargas sean de signo contrario y que la imagen debe estar
en el interior de la esfera, b < a, los parámetros de la imagen son
q′
= −
a
d
q, b =
a2
d
Estas relaciones siguen siendo válidas si intercambiamos la region I por la II y
q por q′
. Es decir, son válidas para cargas q en el interior de una esfera (d < a).
3.2 Imágenes sobre una esfera 21

22. Podemos calcular el potencial producido por una carga q frente a una esfera
conductora, a potencial producido por una carga q frente a una esfera conductora,
a potencial V0 sin más que añadir una carga en el origen de magnitud
q′′
= V04πεa, V (rR ) =
1
4πε0
q
|rR − dzS |
+
q′
|rR − bzS |
−
q′′
r
Figure 3.7.
22 Funciones de Green para método de imágenes

23. Chapter 4
Problemas resueltos
4.1 Plano conductor a potencial V0
Calcular la fuerza de un plano conductor a potencial V0 sobre una carga a una
distancia d.
V0 V0
q-q q-q
d d
Figure 4.1.
El problema se divide en dos partes, primero el de un plano a potencial cero más
una carga y despues se suma la fuerza debida al plano a potencial V0.
Ya se ha resuelto el problema del plano a potencial cero,
ϕ(x, y, z) =
1
4πε0
q
[(x − d)2 + y2 + z2]1/2
−
q
[(x − d)2 + y2 + z2]1/2
(4.1)
La fuerza que ejerce el plano conectado a tierra sobre la carga q está dada por:
F = qE = −
q2
16πε0d2
xS (4.2)
Ahora recordemos que el campo ejercido por un plano infinito está dado por:
Eplano =
σ
2ε0
xS
Pero el podencial a una distancia x del plano está dado por:
V (x) = Eplanox
23

24. En este caso la carga a una distancia d del plano:
V0 = Eplanod
⇒
Eplano =
V0
d
La fuerza que se ejerce sobre la carga q debida a Eplano es
Fplano = q
V0
d
xS
La fuerza total será entonces la suma de F+Fplano
Ftot = −
q2
16πε0d2
xS + q
V0
d
xS
4.2 Fuerza entre una carga puntual frente a una
esfera aislada y cargada
Supongamos una esfera conductora no está a potencial constante, sino que se
conoce su carga Q está colocada frente a una carga puntual q
Figure 4.2. Esfera con carga Q frente a una carga puntual
El prblema se resuelve como la superposición de una esfera conectada a tierra
frente a una cara q más una esfera con carga Q.
Los valores de q′
y d se calculan resolviendo las ecuaciones 2.17 y 2.18 como se
vio en el ejemplo 2.2 los cuales resultaron:
q′
= −q
R
r0
d = R2
/r0
24 Problemas resueltos

25. Figure 4.3.
Como hemos visto en el ejemplo 2.2 la carga fuera de la esfera producirá una
carga imagen q′
a una distancia d = R2
/r0 dentro de la esfera conductora, además
de que el potencial V0 hace otra carga imagen q′′
en el centro de la esfera. Sumando
las cargas imágenes tenemos:
Q=q′ + q′′=−q
R
r0
+4πε0RV0 (4.3)
Despejamos V0
V0 =
1
4πε0
q
r0
+
Q
R
La solución de este problema se reduce a una esfera conectada a tierra frente una
carga q más el de una esfera con un potencial V0
Despejamos q′′
de (4.3)
q′′
= Q +
q
r0
Si tenemos una carga q frente a una esfera aislada con carga Q la fuerza es
F =
q
4πε0
q′
(r − r0
′
)
|r − r0
′
|3
+
q′′
r0
r3
Sustituyendo los valores:
F =
q
4πε0



−q
R
r0
r0 − R2/r0
+
Q +
q
r0
r0
3


xS
4.2 Fuerza entre una carga puntual frente a una esfera aislada y cargada 25

26. 4.3 Una carga dentro y otra fuera de una corteza
esférica
Una corteza esférica, aislada y descargada, tiene en su interior a una carga q1 y
en su exterior a una carga q2, ¿cuánto vale ϕ?
Figure 4.4. Una carga dentro y otra fuera de una corteza esférica
Primero, suponemos la esfera a potencial V, que habrá que calcular más tarde.
Esto separa el problema en dos Una carga frente a una esfera. Una carga en un hueco.
Figure 4.5. Una carga frente a una esfera(Izquierda). Una carga en un hueco (derecha)
26 Problemas resueltos

27. Ahora realizamos la solución de los dos problemas
Primero resolvemos el problema exterior que se resuelve con dos cargas imagen
(figura 4.6)
Figure 4.6.
El potencial en este caso está dado por
ϕ(r) =
1
4πε0
q2
|r − r2|
+
q2
′
|r − r2
′
|
−
q2
′′
r
, (r > R)
donde por el procedimiento del problema anterior (sección 4.2):
q2
′
= −q2
R
r0
, q2
′′
= 4πε0RV
El problema interior se resuelve con una carga imagen y una constante
ϕ(r) =
1
4πε0
q1
|r − r2|
+
q2
′
|r − r2
′
|
−
q2
′′
r
, (r < R)
q1
′
= −q1
R
r1
Figure 4.7.
Ahora hacemos los cálculos para la corteza y las dos cargas:
4.3 Una carga dentro y otra fuera de una corteza esférica 27

28. Figure 4.8.
Por aplicación de la ley de Gauss
ε0
S
E · ds = Qint = Q + q1 = q1
Pero el flujo se calcula empleando el campo exterior
ε0
S
Eext · ds = ε0
S
Eq2
+ Eq′2
+ Eq′′2
· ds = q1
′
+ q′
2
′
Igualando hallamos V
q1 = q1
′
+ q′
2
′
= −q1
R
r2
+ 4πε0RV
Despejando V
V =
1
4πε0
q1
R
+
q2
r2
Ya tenemos el potencial completo
ϕ(r) =



1
4πε0


 q2
|r − r2|
+
−q2
R
r0
|r − r2
′
|
−
q1
′
+ q2
R
r0
r


 (r < R)
1
4πε0


 q1
|r − r1|
+
−q1
R
r2
|r − r1
′
|
+
q1
R
+
q2
r2


 (r < R)
28 Problemas resueltos

29. Sustituyendo los valores primados:
ϕ(r) =



1
4πε0
q2
r − r2
+
q2
′
r − R2/r2
−
q1−q2
′
r
(r < R)
1
4πε0
q1
r − r1
+
q1
′
r − R2/r1
+
q1
R
+
q2
r2
(r < R)
4.4 Cilindro conductor indefinido con potencial V0
Una línea de carga con densidad λ se halla paralela al eje de un cilindro conductor
con potencial V0 en su superficie. Encontrar el potencial total y el campo eléctrico.
Tomando como referencia el plano X = 0, el potencial vale:
ϕ(rR ) =
λ
2πε0
ln
(x+d)2
+y 2
(x−d)2 +y 2
=
λ
4πε0
ln
(x+d)2
+y 2
(x−d)2 +y 2
Figure 4.9.
La superficie de ϕ(rR ) = V0:
V
4πε0
λ
= ln
(x+d)2
+y2
(x−d)2 +y2
⇒ e
V 4πε0
λ =
(x+d)2
+y2
(x−d)2 +y2
= k2
⇒x2
+d2
+2xd + y 2
=k2
(x2
+d2
+2xd + y2
)
⇒x2
( k2
− 1) − 2xd(k2
+ 1) + y2
( k2
− 1) = −d2
( k2
− 1)
⇒x2
− 2xd
k2
+ 1
k2 − 1
+ y2
+ d2 k2
+ 1
k2 − 1
2
= −d2 k2
+ 1
k2 − 1
2
− d2
=
4k2
d2
(k2 − 1)2
⇒ x − d
k2
+ 1
k2 − 1
2
+ y2
=
2kd
k2 − 1
2
4.4 Cilindro conductor indefinido con potencial V0 29

30. donde: k = e
V 4πε0
λ
Podemos observar que es la ecuación de la circunferencia
Tomando en cuenta los parámetros de superficie de ϕ = V0:
con centro en: xC = d
k2 + 1
k2 − 1
yC = 0 y radio a =
2kd
k2 − 1
Se encuentra una propiedad interesante:
d2
+ a2
= d2
+
2kd
k2 − 1
2
=
d2
[(k2
− 1)2
+ 4k2
]
(k2 − 1)2
=d2 k2
+ 1
k2 − 1
2
= xC
2
Figure 4.10.
Si trasladamos el origen de coordenadas al eje del cilindro:
x′
= x − xC ⇒



xλ
′
= d − d
k2
+ 1
k2 − 1
= −
2d
k2 − 1
x−λ
′
= −d − d
k2
+ 1
k2 − 1
= −
2dk2
k2 − 1
a =
2kd
k2 − 1
⇒



xλ
′
=
a
k
x−λ
′
= −ka



⇒ xλ
′
x−λ
′
= a2
30 Problemas resueltos

31. Figure 4.11.
Se llega así a la conclusión de que el radio de cada cilindro equipotencial es la
media geoétrica de las distancias a su centro de las líneas de carga.
Figure 4.12.
La distribución de carga imagen de una línea de carga constante, paralela a un
cilindro conductor indefinido de radio a y a una distancia b, es otra línea del mismo
valor y signo contrario situada a una distancia:
c =
a2
b
4.4 Cilindro conductor indefinido con potencial V0 31

32. El potencial es:
ϕ(rR ) =
λ
4πε0
ln
(x − a2
/b )2
+y 2
(x−b)2 +y 2
=
λ
4πε0
ln
ρ2
+(a2
/b )2
− 2ρ(a2
/b )cosφ
ρ2 +b2 − 2ρb cosφ
Ahora se calcula el campo eléctrico:
ER (rR ) = −∇ϕ(rR ) =
λ
4πε0
∇ln
ρ2
+(a2
/b )2
− 2ρ(a2
/b )cosφ
ρ2 +b2 − 2ρb cosφ
Lo cual implica que:
ER (rR ) = −∇ϕ(rR ) = −
∂ϕ
∂ρ
ρS −
1
ρ
∂ϕ
∂ρ
ϕS
ER (rR ) =
λ
2πε0
ρ − b cosφ
ρ2 +b2 − 2ρb cosφ
−
ρ2
−(a2
/b )cosφ
ρ2 +(a2/b )2 − 2ρ(a2/b )cosφ
ρS
+
λ
πε0
b senφ
ρ2 +b2 − 2ρb cosφ
−
(a2
/b )sen φ
ρ2 +(a2/b )2 − 2ρ(a2/b )cosφ
φS
V0
Figure 4.13.
4.5 Línea bifilar
Calcular el potencial debido a dos cilindros conductores, indefinidos, iguales y
paralelos.
32 Problemas resueltos

33. Figure 4.14.
Cada cilindro hace una línea de carga dentro del otro de tal manera que el
potencial en la superficie de ambos cilindros resulte ser siempre cero. Primero se
halla la distancia a la cual colocan las líneas de carga. De la figura 4.14 se puede
notar que 2D=R+r. Además sabiendo la propiedad a 2
=rR
Combinando las ecuaciones:
r2
−2Dr+a2
=0
⇒
r = D ± D2
− a2
√
R = D ∓ D2
− a2
√
De donde es inmediato que:
d = D2
− a2
√
Luego, por útlimo ya se puede llegar a la expresión del potencial
ϕ(rR ) =
λ
4πε0
ln
(x + d )2
+y 2
(x−d)2 +y 2
⇒
V0
2
=
λ
4πε0
ln
D − a + d
D − a − d
2
=
λ
4πε0
ln
D + D2
− a2
√
D − D2 − a2
√
2
4.5 Línea bifilar 33

35. Chapter 5
Conclusiones
• El Método de las imágenes está basado en el Teorema de unicidad del poten-
cial nos indica que, dada una distribución de cargas o densidades de carga
iniciales, si podemos encontrar una distribución alternativa en todo el espacio
de más sencilla resolución en la región de interés que verifique la igualdad de
la ecuación de Poisson/Laplace en dicha región para ambas distribuciones.
• El valor general del potencial de ambas distribuciones para la región es el
mismo, y por tanto puede reducirse la distribución inicial a la planteada de
más sencilla resolución.
• Las aplicaciones del método son múltiples. La más clara es la posibilidad
de sustitución de un conductor por una distribución de carga que es posible
en algunos casos gracias al mismo. También es útil en la resolución de otros
estudios electrostáticos tales como conductores a tierra frente a cargas pun-
tuales, conductores a potencial V0 frente a cargas puntuales.
35