SlideShare ist ein Scribd-Unternehmen logo
1 von 71
Downloaden Sie, um offline zu lesen
Лекц №1Бодит тоо, функц,[object Object]
Бодит тоо нь эрэмбэлэгдсэн олонлог юм. Хэрэв a,bгэсэн дурын хоёр бодит тоо авахад  a=b, a>b, a<b гэсэн гурван харьцааны зөвхөн нэг нь биелэнэ. Хэрэв a<b бол тоон тэнхлэг дээр A цэг B-ийн зүүн талд оршино.,[object Object],				               A        B,[object Object],           1                a                 b,[object Object],(Зураг 1),[object Object]
Бодит тооны абсолют хэмжигдэхүүн (модуль) гэж,[object Object],	нөхцлөөр тодорхойлогдсон сөрөг биш тоог хэлнэ.,[object Object]
	 Бодит тооны абсолют хэмжигдэхүүн дараахи чанаруудтай байдаг. Үүнд:,[object Object],.,[object Object],.,[object Object],.,[object Object],.,[object Object]
Хувьсах хэмжигдэхүүн ба функц,[object Object]
Бидний өдөр тутмын амьдралд урт, өндөр, хугацаа, масс, хурд, хурдатгал гэх мэт янз бүрийн хэмжигдэхүүнүүд тохиолддог. Тэдгээрийг ажиглахад зарим нь үргэлж хувьсан өөрчлөгдөж байхад, зарим нь өөрчлөгддөггүй. Тоон утга нь өөрчлөгдөхгүй хэмжигдэхүүнийг тогтмол хэмжигдэхүүн гэх бөгөөд a,b,c,d, …жижиг үсгээр тэмдэглэнэ.,[object Object]
Янз бүрийн тоон утга хүлээн авдаг хэмжигдэхүүнийг хувьсах хэмжигдэхүүн гэх ба x, y, z, v, u, w, …гэх мэт үсгүүдээр тэмдэглэнэ. Хувьсах хэмжигдэхүүний хүлээн авч болох бүх боломжит утгуудын олонлогийг түүний хувирах муж гэнэ. Авч үзэж буй бодлогын онцлогоос хамаарч хувирах муж янз бүр байдаг. Хувирах мужийг тоон тэнхлэг дээр дүрслэж болдог.,[object Object]
Тодорхойлолт: Хэрэв хувьсах хэмжигдэхүүн          -ийн тодорхой утга бүхэнд ямар нэг хууль, дүрмээр хувьсах хэмжигдэхүүн     -ийн тодорхой нэг утгыг харгалзуулж байвал y-ийг x-ээс хамаарсан функц гээд          гэж тэмдэглэнэ. Энэ үед x-ийг үл хамаарах хувьсагч буюу аргумент гэнэ. ,[object Object]
	Ж: Функцийн аргумент x нь x0гэсэн утга авч байх үед    функцийн авах тоон утга y0–ийг,[object Object],гэж бичдэг.,[object Object]
	Функцийг өгөх гурван арга байдаг.,[object Object],Аналитик арга. Хэрэв функц ямар нэг томъёогоор өгөгдсөн бол түүнийг аналитик аргаар өгөгдсөн функц гэдэг.,[object Object],Ж: ,[object Object],.,[object Object],.,[object Object]
Тодоройлолт: Функцийг тодорхой, бодит утгатай байлгах аргументын утгуудын олонлогийг функцийн тодорхойлогдох муж гэнэ.,[object Object],Ж:          функцийн               ,[object Object],			 функцийн,[object Object]
Хэрэв функц   хэлбэрээр өгөгдсөн байвал түүнийг ил функцгэдэг.,[object Object],	Харин томъёо нь у-ийн хувьд бодогдоогүй,Ө.х:      	    хэлбэртэй өгөгдсөн бол түүнийг далд функц гэнэ. Далд хэлбэрээр өгөгдсөн функцээс у- ийг олох замаар ил хэлбэрт шилжүүлдэг.,[object Object]
	2.Хүснэгтийн арга.   Функц ба аргументийн хоорондын хамаарал шууд томъёогоор илэрхийлэгдээгүй харин аргументын тодорхой холбогдлууд дахь функцийн утгууд мэдэгдэж байвал түүнийг хүснэгтийн аргаар өгөгдсөн функц гэнэ. Логарифм ба тригонометрийн функцүүдийн таблиц нь хүснэгтийн аргын жишээ юм.,[object Object]
3.  Графикийн арга. Функц ба аргументын хоорондын хамааралыг  үзүүлсэн муруй зурагдсан байвал түүнийг графикийн аргаар өгөгдсөн функц гэнэ.,[object Object]
Функцийг ангилах,[object Object]
	Аналитик аргаар өгөгдсөн функцийг алгебрын ба трансцендент функц гэж ангилдаг.,[object Object],	Аргумент ба тогтмол тоон дээр төгсгөлөг тооны алгебрын үйлдлүүд хийх замаар функцийн утгыг олж байвал түүнийг алгебрын функц гэнэ.,[object Object]
Алгебрын функцийг дотор нь рациональ ба иррациональ функц гэж хуваана. Бүхэл рационал функц нь ерөнхий дүрсээр,[object Object],	гэсэн олон гишүүнт байна. Энд a0, a1, …, anнь тогтмол тоонууд.,[object Object],Хоёр олон гишүүнтийн харьцаа хэлбэрээр өгөгдсөн функцийг бутархай рационал функц гэдэг.,[object Object]
	Алгебрын биш функцүүдийг трансцендент функц гэнэ. Транс-цендент функцэд логарифм, илтгэгч, тригонометрийн функцүүд ба түүний урвуу функцүүд ордог. ,[object Object],Хэрэв аргумент х ба функц у нь гурав дахь хэмжигдэхүүн t -ийн ил функц маягаар илэрхийлэгдэж байвал, Ө.х: ,[object Object],	бол функцийг параметрт хэлбэрээр өгөгдсөн гэнэ. ,[object Object]
	Параметрийг зайлуулах замаар параметрт функцийг далд хэлбэрийн функцэд шилжүүлж болдог.,[object Object],Бид нартz=F(у)функц Ү муж дээр өгөгдсөн. Мөн у=f(х) функц X дээр тодорхойлогдсон байг. Энэ үед z=F(f(x))функцийг X муж дээр тодорхойлогдсон давхар функц гэнэ.,[object Object]
Хэрэв аргументын дурын х1<х2 утгын хувьд,[object Object],тэнцэтгэл биш биелж байвал f(х) функцийг өсөх (буурах) функц гэнэ. Өсөх, буурах функцүүдийг хамтад нь монотон функц гэдэг.,[object Object]
Функцийн аргументын тэмдгийг эсрэгээр өөрчлөгдөхөд функцийн утга хэвээр байвал:,[object Object],түүнийг тэгш функц гэнэ. ,[object Object],Харинбайвал уг функцийг сондгой функц гэнэ.,[object Object]
	Тэгш функцийн график ординат тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэй, сондгой функцийн график координатын эхийн хувьд тэгш хэмтэй байрлана.,[object Object],	Функцийн аргументын дурын холбогдол дээр нэмэхэд функцийн утга өөрчлөгдөхгүй байх тэгээс ялгаатай тогтмол тоо С олдож байвал түүнийг үет функц гэнэ.,[object Object]
	Ийм чанартай хамгийн бага тоог үе гэдэг. Үет функцийн график үетэйгээ тэнцүү урттай хэрчим бүхэн дээр дахин давтагдана. Тригонометрийн бүх функц үетэй функцүүд юм.,[object Object]
Функц нь эдийн засгийн онол болон практик өргөн хэрэглээтэй байдаг. Хамгийн өргөн ашиглагддаг нь дараахи функцүүд юм.,[object Object],Ашгийн функц(Аливаа нөлөөллийн түвшнээс үүдсэн үр ашгийн үр дүн),[object Object],Үйлдвэрлэлийн функц(Үйлдвэрлэлийн үйл ажиллагааны үр дүн, түүнийг нөхцөлдүүлэгч хүчин зүйлсээс хамаарсан хэлбэр),[object Object],Гаргалтын функц(Үйлдвэрлэлийн хэмжээ нь бэлэн буюу хэрэглээний нөөцөөс хамаарсан хамаарал ),[object Object]
4.	Зардлын функц(үйлдвэрлэлийн зардал нь бүтээгдэхүүний хэмжээнээс хамаарах хамаарал),[object Object],5.Эрэлт ба нийлүүлэлтийн функц(Тухайн бараа ба үйлчилгээний эрэлт ба нийлүүлэлтийн хэмжээ нь янз бүрийн хүчин зүйлүүдээс хамаарсан хамаарал (ж: үнэ, орлого гэх мэт)),[object Object],Функцийн аргумент нь нарийвчлал сайн биш өгөгдсөн тохиолдолд функцийн үл мэдэгдэх утгуудыг мэдэгдэж байгаа цэгүүд дээрхи утгуудаар нь ойролцоогоор бодох (интерполяцичлах) аргыг хэрэглэдэг.,[object Object]
	Хамгийн энгийн арга нь шугаман интерполяц бөгөөд энэ үед функцийн өөрчлөлт нь аргументийн өөрчлөлттэй пропорциональ байна.,[object Object],	Хэрэв х-ийн өгөгдсөн утга нь хүснэгт дэх х0ба x1=x0+h-ын хооронд орших бөгөөд y0==f(x0) ба y1=f(x1)=f0+∆f бол уг функцийн х цэг дээрхи утга нь ,[object Object],	байна.,[object Object],			         -ийг интерполяцийн загвар гэнэ.,[object Object]
	Энэ хэмжигдэхүүнийг хүснэгтийн тусламжтайгаар буюу хүснэгтийн нэмэлтийг ашиглан боддог. Хэрэв функцийн өгөгдсөн утгаар аргументын ойролцоо утгыг олох шаардлагатай бол урвуу интерполяц үйлдэл хийдэг.,[object Object]
	Жишээ: y=f(x) функц хүснэгтээр өгөгдөв.,[object Object],	Шугаман интерполяц ашиглан f(2.008)-ыг олъё.,[object Object]
Жишээ: y=f(x)функц хүснэгтээр өгөгдөв.,[object Object],	Шугаман интерполяц ашиглан f(x)=3.1 бол х-ийг олъё.,[object Object]
Лекц №2Тоон дараалал ба функцийн хязгаар,[object Object]
Натурал тоо n бүхэнд хnтоо харгалзуулвал,[object Object],х1, х2,…,хп,...(1),[object Object],гэсэн тоон олонлог үүснэ. Үүнийг тоон дараалал гэх ба хn-г дарааллын ерөнхий гишүүн гэнэ.,[object Object],Жишээ нь: 1,8,27,...,n3,... дарааллын ерөнхий гишүүн хn=n3 байна. ,[object Object]
Тодорхойлолт: Дурын бага      авахад          		гэсэн бүх дугааруудад,[object Object],	тэнцэтгэл биш үргэлж биелэгдэж байх 		дугаар олдож байвал а тоог (1) дарааллын хязгаар гэж нэрлээд,[object Object],гэж тэмдэглэнэ.,[object Object]
	(1) дарааллын хязгаар а байна гэдгийг уг дараалал а руу тэмүүлж байна гэх бөгөөд заримдаа          үед 		  гэж тэмдэглэдэг.,[object Object],	Дарааллын хязгаар төгсгөлөг байвал түүнийг нийлдэг дараалал гэнэ.,[object Object],	     цэгийг агуулж байгаа дурын (а,b) завсрыгцэгийн орчин гэдэг. ,[object Object]
	Хэрэв (1) дараалал а гэсэн төгсгөлөг хязгаартай бол                 -ийн хувьд,[object Object],			     тэнцэл биш биелэгдэх ёстой. Эндээс 			      буюу,[object Object],				    гэсэн тэнцэл биш гарна.,[object Object]
	Тодорхойлолт: у =f(х) функц а цэгийн ямар нэг орчинд тодорхойлогдсон байг. Хэрвээ хичнээн ч бага байж болох         тоо авахад                  ,[object Object],			                  (2)   тэнцэтгэл бишийг хангасан бүх  х-ийн хувьд,[object Object],					    (3),[object Object],биелэгдэж байхаар тоо олдох бол А тоог f(х) функцийн  үеийн хязгаар гэнэ.,[object Object]
	Жишээ: у = 3х+1 функц       үед 7 уруу тэмүүлнэ.,[object Object],	Бодолт: ,[object Object]
	Зарим функцийн хувьд х нь а уруу нэг талаас нь тэмүүлэхэд нэг янз, нөгөө талаас нь тэмүүлэхэд өөр янзын хязгаартай байдаг.   Иймд өрөөсгөл хязгаар гэдэг ойлголт орж ирдэг.,[object Object],	Хэрэв у=f(х) функцийн х нь аруу зөвхөн баруун талаас нь тэмүүлэхэд b1гэсэн хязгаартай байвал түүнийг у=f(х) функцийн a цэг дээрхи баруун өрөөсгөл хязгаар гэж нэрлээд,[object Object],гэж тэмдэглэнэ.,[object Object]
	Үүнтэй нэгэн адилаар зүүн өрөөсгөл хязгаар                               байна. ,[object Object],Хэрэв у=f(х) функц үед төгсгөлөг A хязгаартай байвал,[object Object],                                              байна. ,[object Object],	Үүний урвүу өгүүлбэр мөн хүчинтэй.,[object Object]
	Тодорхойлолт: Тэг рүү тэмүүлдэг хувьсах хэмжигдэхүүнийг багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн гэнэ.,[object Object],	Хэрэв хувьсах хэмжигдэхүүн  	багасаж барагдашгүй бол,[object Object]
	Багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн ба хувьсах хэмжигдэхүүний хязгаарын хоорондын холбоог тогтоосон теоремыг авч үзье.,[object Object],	Теорем:Хэрэв хувьсах хэмжигдэхүүн u ба тогтмол тоо а хоёрын ялгавар нь багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн байвал а нь u-ийн хязгаар болох ба урвуугаар, хэрэв    бол,[object Object],(4)байна. Энд а нь багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн.,[object Object]
	Багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүний зарим чанарыг дурдъя.,[object Object],	1. Төгсгөлөг тооны багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүний алгебрын нийлбэр багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн байна.,[object Object]
	2. Дурын тооны багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүний үржвэр багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн байна.,[object Object],Тодорхойлолт:  Хувьсах хэмжигдэхүүн u-ийн бүх утгууд абсолют хэмжээгээрээ ямар нэг төгсгөлөг тоо М-ээс ихгүй бол u-г зааглагдсан хувьсах хэмжигдэхүүн гэнэ.,[object Object]
	3.Багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүнийг зааглагдсан хэмжигдэхүүнээр үржихэд багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн гарна.,[object Object],Тодорхойлолт: Хязгааргүй   уруу   тэмүүлж   байгаа хувьсах хэмжигдэхүүнийг ихсэж барагдашгүй хэмжигдэхүүн гэнэ.,[object Object]
	4. Хэрэв u ихсэж барагдашгүй хэмжигдэхүүн бол түүний урвуу хэмжигдэхүүн    нь багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн байна.,[object Object]
Хязгаарын тухай үндсэн теоремууд,[object Object]
Теорем: Хэрэв хувьсах хэмжигдэхүүн хязгаартай байвал тэр нь цор ганц байна.,[object Object],Теорем: Хувьсах хэмжигдэхүүн төгсгөлөг хязгаартай бол зааглагдсан байна.,[object Object]
Теорем: Тус  бүрдээ   төгсгөлөг   хязгаартай   тодорхой   тооны функцүүдийн алгебрын нийлбэрийн хязгаар нэмэгдэхүүн тус , бүрийн хязгаарын алгебрын нийлбэртэй тэнцүү байна.,[object Object]
Теорем: Бүгдээрээ төгсгөлтэй хязгаартай төгсгөлөг тоон функцийн үржвэрийн хязгаар үржигдэхүүн тус бүрийн хязгаарын үржвэртэй тэнцэнэ.,[object Object]
Мөрдлөгөө: Тогтмол тоон үржигдэхүүнийг хязгаарын тэмдгийн өмнө гаргаж болно.,[object Object],	Теорем: Хэрэв                         бол   ,[object Object],      		ноогдворын хязгаар хүртвэрийн хязгаарыг хуваарийн хязгаарт харьцуулсантай тэнцүү.,[object Object]
	Ж:  ,[object Object]
Теорем: Хэрэв u, v, w хувьсах хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд ,[object Object],				гэсэн тэнцэтгэл биш биелэгдэх бөгөөд u,vнь нэгэн ижил атоо руу тэмүүлж байвал wнь мөн а хязгаартай байна.                                                                                 ,[object Object],Теорем: Монотон зааглагдсан хувьсах хэмжигдэхүүн хязгаартай байна.,[object Object]
	Хязгаарын онолд 1 ба 2-р гайхамшигт хязгаар гэж нэрлэгддэг дараахь хоёр хязгаар чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.,[object Object]
	етоог бактерийн үржил, цацрагийн задрал, хүн амын өсөлт зэрэг процессуудад шинжилгээ хийх, статистик, физик, биологи, химийн болон бусад хэрэглээний олон бодлого бодоход хэрэглэдэг.,[object Object],	Тасралтгүй оногдох хүүгийн бодлогыг авч үзье.,[object Object],	Банкны хадгаламжинд анх Q0нэгж мөнгө хийв. Банк жил тутамд р%хүү төлдөг. T жилийн дараахи Qtхадгаламжийн хэмжээ олох шаардлагатай.,[object Object]
Энгийн хүүг ашиглах үед хадгаламжийн хэмжээ жил бүр адилхан хэмжээгээр өснө. Ө.х:,[object Object],	Практикт  ихэвчлэн давхар хүүгхэрэглэдэг. Хэрэв хадгаламжийн хүүг жилд нэг удаа бус харин n удаа бодвол жил бүр p%-иар өсөж байгаа учир жилийн хэсэгт        -иар өснө. ,[object Object],	t жилийн хувьдntудаа өсөхөд хадгаламжийн хэмжээ   		     болно.,[object Object],	Хадгаламжийн хүүг сар болгон (n=12), улирал тутамд (n=4)…г.м  (n->) бодож болно.,[object Object]
	Хүү тооцох аргуудаас хамаарсан тооцооны үр дүнг ойлгомжтой болгохын тулд Qtхадгаламжийн хэмжээг Q0=1 нэгж мөнгө, p=5%, t=20 жил байх үед хүснэгтэнд оруулъя.,[object Object],Практикт тасралтгүй оногдох хүүг хэрэглэх нь ховор, нарийн төвөгтэй санхүүгийн асуудлуудын шинжилгээнд  болон тухайн тохиолдолд  хөрөнгө оруулалтын бодлогыг авч үзэхэд чухал үүрэгтэй.,[object Object]
Функцийн тасралтгүй чанар,[object Object]
у=f(х) функц х = х0 цэг дээр ба түүний орчинд тодорхойлогдсон бөгөөд y0=f(x0) байг.,[object Object],[а,b] хэрчим дээр тодорхойлогдсон у=f(х) функц авч цэг дээр утгыг бодвол y0=f(x0) болох ба х0–д                         байхаар  	өөрчлөлт өгвөл функцийнн утга нь ,[object Object],					     болно. Энэ үед,[object Object],ялгаврыг у = f(x) функцын x0цэг дээрхи өөрчлөлт гэнэ.,[object Object]
Тодорхойлолт1:  Хэрэв у = f(х) функц х = х0 цэг ба түүний орчинд тодорхойлогдож,[object Object],	байвал у  =  f(х)  функцыг х  =  х0  цэг дээр тасралтгүй функц гэнэ. Ө.х: аргументын багасаж барагдашгүй өөрчлөлтөнд функцын багасаж барагдашгүй өөрчлөлт харгалзаж байвал у = f(х) функцыг х = х0 цэг дээр тасралтгүй гэдэг.,[object Object]
Тодорхойлолт2: Хэрэв у = f(х) функцын х аргументх0уруутэмүүлэхэд                                                                                                   ,[object Object],	байвал уул функцыг х = х0цэг дээр тасралтгүй гэнэ.,[object Object],	Хэрэв                                        ,[object Object],нөхцөл биелэгдэж байвал f(х)-ыг х = х0цэг дээр баруун талаасаатасралтгүй,[object Object],бол зүүн талаасаа тасралтгүй функц гэнэ.,[object Object]
Тодорхойлолт3: Хэрэв у = f(х) функц ямар нэг (а,b) завсрын бүх цэгүүд дээр тасралтгүй бөгөөд х = а цэг дээр баруун талаасаа, х = b дээр зүүн талаасаа тасралтгүй байвал түүнийг [а,b] хэрчим дээр тасралтгүй гэдэг.,[object Object],	Хэрэв х = х0 цэг дээр у = f(х) функцын тасралтгүй чанар алдагдаж байвал х0 цэгийг уг функцын тасралтын цэг гэнэ.,[object Object]
Теорем 1 Хэрэв [а,b] хэрчим дээр монотон ,[object Object],у = f(х) функц утгуудын олонлог ямар нэг Ү завсрыг бүхэлд нь дүүргэж байвал у = f(х) нь [а,b] хэрчим дээр тасралтгүй байна.,[object Object],	Энэ теоремыг ашиглан үндсэн элементар функцүүд тодорхойлогдох муж дээрээ тасралтгүй, мөн тасралтгүй функцүүд дээр үйлдэл хийхэд мөн тасралтгүй функц гарна.,[object Object]
Теорем 2: Хэрэв f(х), g(х) функцүүд х = х0 цэг дээр тасралтгүй болf(х) ± g(х), f(х) • g(х) ба хэрэв байвал           функцүүд x =x0цэг дээр тасралтгүй байна.,[object Object],Теорем 3: Хэрэв функц х = х0 цэг дээр тасралтгүй  u =  f(у) функц ,[object Object],дээр тасралтгүй байвал давхар функц х = х0 цэг дээр тасралтгүй байна,,[object Object]
Чанар1. Хэрэв (а,b) хэрчим дээр тодорхойлогдсон тасралтгүй y=f(x)функц хэрчмийн төгсгөлийн цэгүүд дээр эсрэг тэмдэгтэй утга авдаг бол f(с) = 0 байх х = с цэг [а,b] хэрчмээс ядаж нэг олдоно.,[object Object],Энэ чанарыг геометр утга нь тасралтгүй муруй Оx тэнхлэгийн нэг талаас нөгөөд гарахдаа түүнийг ядаж нэг удаа огтлоно. ,[object Object],y,[object Object],                         a                        b            x,[object Object]
Чанар2:Хэрэв[а,b]хэрчим дээр тодорхойлогдсон у = f(х) функц тасралтгүй бөгөөд,[object Object],бол А,В хоёрын хоорондох дурын с утгыг функц (а, b) хэрчмийн ямар нэг С цэг дээр заавал авна.,[object Object],Чанар3: Хэрэв у = f(х) функц [а, b] дээр тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй бол энэ хэрчим дээр зааглагдсан байна. Ө.х,[object Object],байх m,М тоонууд олдоно.,[object Object]
Чанар4: Битүү завсар дээр тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй функц энэ завсар дээр хамгийн их ба бага утгаа заавал авна.,[object Object]
Багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүнийг ,[object Object],жиших,[object Object],	Багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн α,β-г нэгэн ижил х аргументын функцүүд бөгөөд ,[object Object],	х->а үед тэг рүү тэмүүлдэг гэж үзье.,[object Object],Тодорхойлолт1: Хэрэв харьцаа тэгээс ялгаатай хязгаартай, өөрөөр хэлбэл:,[object Object],			    байвал тэдгээрийг ижил эрэмбийн багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн гэнэ.,[object Object]
Жишээ1. α=sin x,β= 2х ба х->0 гэе.,[object Object],Бодолт. Тэгвэл,[object Object],болох тул sinx, 2x нь х->0 үед ижил эрэмбийн багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн байна.,[object Object]
Тодорхойлолт 2: Хэрэв    харьцаа тэг рүү тэмүүлж байвал,,[object Object],	Ө.х           бол β-г α-аас дээд эрэмбийн багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн гэнэ.,[object Object],	Хэрэв                     бол α-г β-тэй харьцуулахад к эрэмбийн багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн гэнэ.,[object Object]
Тодорхойлолт 3: Хэрэв багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн  α,β хоёрын харьцааны хязгаар 1-тэй тэнцүү бол тэдгээрийг эн чацуу багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн гэх бөгөөд α ~ β гэж тэмдэглэнэ.,[object Object],Теорем1 Хэрэв α,βхоёр эн чацуу багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүн бол α-β нь α-аас ч, β-аас ч дээд эрэмбийн багасаж барагдашгүй байна.,[object Object]
Хэрэв α ~ α1, β~β1 бабол ,[object Object],байна.   ,[object Object],Өөрөөрхэлбэл багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүнүүдийн харьцааны хязгаар тэдгээрийг эн чацуу хэмжигдэхүүнээр солиход өөрчлөгдөхгүй.,[object Object]
	Жишээ:                 хязгаарыг олъё.,[object Object],	Бодолт. х->0 үедtg3x~3х, sin4х ~ 4х,[object Object],учирэнчацуу багасаж барагдашгүй хэмжигдэхүүнээр соливол,[object Object],болно.,[object Object]

Más contenido relacionado

Was ist angesagt?

Урвуу матриц
Урвуу матрицУрвуу матриц
Урвуу матрицBolorma Bolor
 
математик анализ лекц№5
математик анализ лекц№5математик анализ лекц№5
математик анализ лекц№5narangerelodon
 
Lekts01
Lekts01Lekts01
Lekts01Ankhaa
 
функц шинжлэх график байгуулах
функц шинжлэх график байгуулахфункц шинжлэх график байгуулах
функц шинжлэх график байгуулахKhishighuu Myanganbuu
 
манжийн эрхшээлийн үеийн монгол улс
манжийн эрхшээлийн үеийн монгол улсманжийн эрхшээлийн үеийн монгол улс
манжийн эрхшээлийн үеийн монгол улсBaterdene Tserendash
 
функцийн тодорхойлогдох муж ба утгын муж
функцийн тодорхойлогдох муж ба утгын мужфункцийн тодорхойлогдох муж ба утгын муж
функцийн тодорхойлогдох муж ба утгын мужHorloo Ebika
 
Уламжлал
УламжлалУламжлал
УламжлалМарт
 
математик анализ лекц№3
математик анализ лекц№3математик анализ лекц№3
математик анализ лекц№3narangerelodon
 
Тоон цуваа
Тоон цувааТоон цуваа
Тоон цувааBattur
 
Монополь пүүсийн үйл ажиллагаа
Монополь пүүсийн үйл ажиллагааМонополь пүүсийн үйл ажиллагаа
Монополь пүүсийн үйл ажиллагааJust Burnee
 

Was ist angesagt? (20)

Урвуу матриц
Урвуу матрицУрвуу матриц
Урвуу матриц
 
математик анализ лекц№5
математик анализ лекц№5математик анализ лекц№5
математик анализ лекц№5
 
Ediin zasgiin matematic hicheeliin lekts
Ediin zasgiin matematic hicheeliin lektsEdiin zasgiin matematic hicheeliin lekts
Ediin zasgiin matematic hicheeliin lekts
 
Lekts01
Lekts01Lekts01
Lekts01
 
функц шинжлэх график байгуулах
функц шинжлэх график байгуулахфункц шинжлэх график байгуулах
функц шинжлэх график байгуулах
 
Lekts 1
Lekts 1Lekts 1
Lekts 1
 
семинар2
семинар2семинар2
семинар2
 
манжийн эрхшээлийн үеийн монгол улс
манжийн эрхшээлийн үеийн монгол улсманжийн эрхшээлийн үеийн монгол улс
манжийн эрхшээлийн үеийн монгол улс
 
функцийн тодорхойлогдох муж ба утгын муж
функцийн тодорхойлогдох муж ба утгын мужфункцийн тодорхойлогдох муж ба утгын муж
функцийн тодорхойлогдох муж ба утгын муж
 
Lection 1
Lection 1Lection 1
Lection 1
 
Лекц №3
Лекц №3Лекц №3
Лекц №3
 
хөдөлмөрийн нийлүүлэлт
хөдөлмөрийн нийлүүлэлтхөдөлмөрийн нийлүүлэлт
хөдөлмөрийн нийлүүлэлт
 
Уламжлал
УламжлалУламжлал
Уламжлал
 
Lekts 4
Lekts 4Lekts 4
Lekts 4
 
математик анализ лекц№3
математик анализ лекц№3математик анализ лекц№3
математик анализ лекц№3
 
Тоон цуваа
Тоон цувааТоон цуваа
Тоон цуваа
 
Lecture 16
Lecture 16Lecture 16
Lecture 16
 
семинар4
семинар4семинар4
семинар4
 
Монополь пүүсийн үйл ажиллагаа
Монополь пүүсийн үйл ажиллагааМонополь пүүсийн үйл ажиллагаа
Монополь пүүсийн үйл ажиллагаа
 
Lection 2
Lection 2Lection 2
Lection 2
 

Andere mochten auch

Дээд математик 3 MT103 бодлого
Дээд математик 3 MT103 бодлогоДээд математик 3 MT103 бодлого
Дээд математик 3 MT103 бодлогоTemuulen Nyamdorj
 
математик анализ лекц№9
математик анализ лекц№9математик анализ лекц№9
математик анализ лекц№9narangerelodon
 
логик 2
логик 2логик 2
логик 2doljoo79
 
хавтгайн аналитик геометрийн бодлогууд
хавтгайн аналитик геометрийн бодлогуудхавтгайн аналитик геометрийн бодлогууд
хавтгайн аналитик геометрийн бодлогуудE-Gazarchin Online University
 
цэгээс шулуун хүртлэх зай
цэгээс шулуун хүртлэх зайцэгээс шулуун хүртлэх зай
цэгээс шулуун хүртлэх зайdonmany2323
 
МУБИС олонлог, логикийн элементүүд
МУБИС олонлог, логикийн элементүүд МУБИС олонлог, логикийн элементүүд
МУБИС олонлог, логикийн элементүүд Shaagaa Shs
 
олонлог, логикийн элементүүд
олонлог, логикийн элементүүдолонлог, логикийн элементүүд
олонлог, логикийн элементүүдShaagaa Shs
 

Andere mochten auch (10)

Дээд математик 3 MT103 бодлого
Дээд математик 3 MT103 бодлогоДээд математик 3 MT103 бодлого
Дээд математик 3 MT103 бодлого
 
математик анализ лекц№9
математик анализ лекц№9математик анализ лекц№9
математик анализ лекц№9
 
логик хичээлийн хөтөлбөр
логик хичээлийн хөтөлбөрлогик хичээлийн хөтөлбөр
логик хичээлийн хөтөлбөр
 
логик 2
логик 2логик 2
логик 2
 
хавтгайн аналитик геометрийн бодлогууд
хавтгайн аналитик геометрийн бодлогуудхавтгайн аналитик геометрийн бодлогууд
хавтгайн аналитик геометрийн бодлогууд
 
цэгээс шулуун хүртлэх зай
цэгээс шулуун хүртлэх зайцэгээс шулуун хүртлэх зай
цэгээс шулуун хүртлэх зай
 
МУБИС олонлог, логикийн элементүүд
МУБИС олонлог, логикийн элементүүд МУБИС олонлог, логикийн элементүүд
МУБИС олонлог, логикийн элементүүд
 
Analitek geometrhicheeliin lektsiin huraangui.odon
Analitek geometrhicheeliin lektsiin huraangui.odonAnalitek geometrhicheeliin lektsiin huraangui.odon
Analitek geometrhicheeliin lektsiin huraangui.odon
 
Bvleg1 set
Bvleg1 setBvleg1 set
Bvleg1 set
 
олонлог, логикийн элементүүд
олонлог, логикийн элементүүдолонлог, логикийн элементүүд
олонлог, логикийн элементүүд
 

Ähnlich wie математик анализ лекц№1

Lecture 1,2
Lecture 1,2Lecture 1,2
Lecture 1,2bubulgaa
 
Lecture 1,2
Lecture 1,2Lecture 1,2
Lecture 1,2bubulgaa
 
Lecture 1,2
Lecture 1,2Lecture 1,2
Lecture 1,2bubulgaa
 
математик анализ лекц№10
математик анализ лекц№10математик анализ лекц№10
математик анализ лекц№10narangerelodon
 
матщматик анализ 6
матщматик анализ 6матщматик анализ 6
матщматик анализ 6narangerelodon
 
функцийн хязгаар
функцийн хязгаарфункцийн хязгаар
функцийн хязгаарynjinlkham
 
математик анализ№7
математик анализ№7математик анализ№7
математик анализ№7narangerelodon
 
математик анализ лекц№7
математик анализ лекц№7математик анализ лекц№7
математик анализ лекц№7narangerelodon
 
мат анализ №8
мат анализ №8мат анализ №8
мат анализ №8narangerelodon
 
функцийн хязгаарийн тодорхойлолтууд
функцийн хязгаарийн тодорхойлолтуудфункцийн хязгаарийн тодорхойлолтууд
функцийн хязгаарийн тодорхойлолтуудynjinlkham
 
функцийн хязгаарийн тодорхойлолтууд
функцийн хязгаарийн тодорхойлолтуудфункцийн хязгаарийн тодорхойлолтууд
функцийн хязгаарийн тодорхойлолтуудHorloo Ebika
 
Algebr ba-geometr-n1-hargalzaa
Algebr ba-geometr-n1-hargalzaaAlgebr ba-geometr-n1-hargalzaa
Algebr ba-geometr-n1-hargalzaaamartuvshind
 
Lekts9 shugaman regress korr shinjilgee
Lekts9 shugaman regress korr shinjilgeeLekts9 shugaman regress korr shinjilgee
Lekts9 shugaman regress korr shinjilgeeAnhaa8941
 
мат бие даалт ньютон лейбницийн томъёо
мат бие даалт ньютон лейбницийн томъёомат бие даалт ньютон лейбницийн томъёо
мат бие даалт ньютон лейбницийн томъёоNBDNKWS Bujee Davaa
 
олонлог
олонлоголонлог
олонлогOlonlog
 
U.cs101 алгоритм программчлал-4-zasah
U.cs101   алгоритм программчлал-4-zasahU.cs101   алгоритм программчлал-4-zasah
U.cs101 алгоритм программчлал-4-zasahBadral Khurelbaatar
 

Ähnlich wie математик анализ лекц№1 (20)

мат анализ 1
мат анализ 1мат анализ 1
мат анализ 1
 
бодит тоо
бодит тоободит тоо
бодит тоо
 
Lecture 1,2
Lecture 1,2Lecture 1,2
Lecture 1,2
 
Lecture 1,2
Lecture 1,2Lecture 1,2
Lecture 1,2
 
Lecture 1,2
Lecture 1,2Lecture 1,2
Lecture 1,2
 
математик анализ лекц№10
математик анализ лекц№10математик анализ лекц№10
математик анализ лекц№10
 
матщматик анализ 6
матщматик анализ 6матщматик анализ 6
матщматик анализ 6
 
функцийн хязгаар
функцийн хязгаарфункцийн хязгаар
функцийн хязгаар
 
математик анализ№7
математик анализ№7математик анализ№7
математик анализ№7
 
математик анализ лекц№7
математик анализ лекц№7математик анализ лекц№7
математик анализ лекц№7
 
мат анализ №8
мат анализ №8мат анализ №8
мат анализ №8
 
функцийн хязгаарийн тодорхойлолтууд
функцийн хязгаарийн тодорхойлолтуудфункцийн хязгаарийн тодорхойлолтууд
функцийн хязгаарийн тодорхойлолтууд
 
функцийн хязгаарийн тодорхойлолтууд
функцийн хязгаарийн тодорхойлолтуудфункцийн хязгаарийн тодорхойлолтууд
функцийн хязгаарийн тодорхойлолтууд
 
Lekts 6
Lekts 6Lekts 6
Lekts 6
 
Algebr ba-geometr-n1-hargalzaa
Algebr ba-geometr-n1-hargalzaaAlgebr ba-geometr-n1-hargalzaa
Algebr ba-geometr-n1-hargalzaa
 
Lekts9 shugaman regress korr shinjilgee
Lekts9 shugaman regress korr shinjilgeeLekts9 shugaman regress korr shinjilgee
Lekts9 shugaman regress korr shinjilgee
 
Lekts 5
Lekts 5Lekts 5
Lekts 5
 
мат бие даалт ньютон лейбницийн томъёо
мат бие даалт ньютон лейбницийн томъёомат бие даалт ньютон лейбницийн томъёо
мат бие даалт ньютон лейбницийн томъёо
 
олонлог
олонлоголонлог
олонлог
 
U.cs101 алгоритм программчлал-4-zasah
U.cs101   алгоритм программчлал-4-zasahU.cs101   алгоритм программчлал-4-zasah
U.cs101 алгоритм программчлал-4-zasah
 

Mehr von narangerelodon

математик анализ лекц№5
математик анализ лекц№5математик анализ лекц№5
математик анализ лекц№5narangerelodon
 
математик анализ лекц№10
математик анализ лекц№10математик анализ лекц№10
математик анализ лекц№10narangerelodon
 
математик анализ хичээлийн лекц № 2
математик анализ хичээлийн лекц № 2математик анализ хичээлийн лекц № 2
математик анализ хичээлийн лекц № 2narangerelodon
 
математик анализ лекц №1
математик анализ лекц №1математик анализ лекц №1
математик анализ лекц №1narangerelodon
 
матемтик анализ лекц№ 2
матемтик анализ лекц№ 2матемтик анализ лекц№ 2
матемтик анализ лекц№ 2narangerelodon
 
математик анализ лекц№ 1
математик анализ лекц№ 1математик анализ лекц№ 1
математик анализ лекц№ 1narangerelodon
 
математик анализ лекц№2
математик анализ лекц№2математик анализ лекц№2
математик анализ лекц№2narangerelodon
 

Mehr von narangerelodon (7)

математик анализ лекц№5
математик анализ лекц№5математик анализ лекц№5
математик анализ лекц№5
 
математик анализ лекц№10
математик анализ лекц№10математик анализ лекц№10
математик анализ лекц№10
 
математик анализ хичээлийн лекц № 2
математик анализ хичээлийн лекц № 2математик анализ хичээлийн лекц № 2
математик анализ хичээлийн лекц № 2
 
математик анализ лекц №1
математик анализ лекц №1математик анализ лекц №1
математик анализ лекц №1
 
матемтик анализ лекц№ 2
матемтик анализ лекц№ 2матемтик анализ лекц№ 2
матемтик анализ лекц№ 2
 
математик анализ лекц№ 1
математик анализ лекц№ 1математик анализ лекц№ 1
математик анализ лекц№ 1
 
математик анализ лекц№2
математик анализ лекц№2математик анализ лекц№2
математик анализ лекц№2
 

математик анализ лекц№1

  • 1.
  • 2.
  • 3.
  • 4.
  • 5.
  • 6.
  • 7.
  • 8.
  • 9.
  • 10.
  • 11.
  • 12.
  • 13.
  • 14.
  • 15.
  • 16.
  • 17.
  • 18.
  • 19.
  • 20.
  • 21.
  • 22.
  • 23.
  • 24.
  • 25.
  • 26.
  • 27.
  • 28.
  • 29.
  • 30.
  • 31.
  • 32.
  • 33.
  • 34.
  • 35.
  • 36.
  • 37.
  • 38.
  • 39.
  • 40.
  • 41.
  • 42.
  • 43.
  • 44.
  • 45.
  • 46.
  • 47.
  • 48.
  • 49.
  • 50.
  • 51.
  • 52.
  • 53.
  • 54.
  • 55.
  • 56.
  • 57.
  • 58.
  • 59.
  • 60.
  • 61.
  • 62.
  • 63.
  • 64.
  • 65.
  • 66.
  • 67.
  • 68.
  • 69.
  • 70.
  • 71.