1) O documento discute vetores colineares, linearmente dependentes e independentes no espaço tridimensional. 2) É introduzido o produto vetorial de dois vetores, que produz um vetor perpendicular aos dois. 3) Exemplos ilustram o cálculo do módulo, ângulo e produto vetorial entre vetores.

1. Aula 03
Dependência e Independência Linear e
Produto Vetorial

2. Vetores colineares
Dois vetores são colineares se tiverem a
mesma direção.
U
V
V
U V

3. Vetores LDs
Isso acontece se, e somente se, existe um
número real tal que ou .
Diremos, então, que um vetor é escrito
como combinação linear do outro, e neste
caso, os vetores e são ditos linearmente
dependentes.
 U V V U

4. Vetores LIs
Quando tomamos dois vetores nos quais não é
possível escrever um vetor como combinação
linear do outro, dizemos que os vetores são
linearmente independentes.
Neste caso os dois vetores não são colineares mas
são coplanares, isto é, possuem representantes
pertencentes a um mesmo plano .

U
V

5. Vetores LIs
Se e são linearmente independentes,
então, todos os vetores da forma
podem ser representados sobre um mesmo
plano, e reciprocamente.

U
V
W U V  U
V
U V
U V 

6. Vetores LIs
Toda combinação linear de dois vetores LIs
pode ser representada sobre o plano .
Por essa razão, se os dois vetores são
linearmente independentes, diremos que
eles geram um plano.

7. Componentes de um vetor
Se um vetor se escreve como uma
combinação linear , diremos que
os vetores e são componentes do
vetor na direção dos vetores e .
Os escalares e são as coordenadas de
em termos aos vetores e .
W
U V 
U V
W U V
  W
U V

8. Três vetores coplanares
Se os vetores , e possuem
representantes pertencentes em um
mesmo plano , dizemos que eles são
coplanares.
WU V

U
V
W

9. Observação
Dois vetores quaisquer são sempre
coplanares, pois sempre podemos tomar
um ponto do espaço e, com origem nele,
imaginar os dois representantes
pertencendo a um plano que passa por
esse ponto.
Três vetores podem ser ou não complanares.

10. Obeservação

U
V
W
1
V
W
3 vetores LDs 3 vetores LIs

11. Base
Se três vetores do espaço são linearmente
independentes, então eles geram o
espaço.
Um conjunto de três vetores linearmente
independentes chama-se uma base para
o espaço dos vetores.
A base que consiste dos vetores , e ,
nessa ordem, será indicada por .
WU V
{ , , }U V W

12. Base ortonormal
Uma base chama-se ortogonal se
os seus vetores são mutuamente
ortogonais, isto é, se
Se, além disso, os vetores são unitários, a
base chama-se ortonormal.
{ , , }U V W
0.U V U W V W     

13. Base canônica
A base canônica do espaço tridimensional é
formada pelos vetores ,
e , ou seja, é uma
base ortonormal.
Todo vetor pode ser escrito
como uma combinação linear de e .
(1,0,0)i  (0,1,0)j 
(0,0,1)k  { , , }B i j k
,i j k

14. Exemplo
Dados e
determine:
a) b) c) d)
Solução:
(1,2, 2)U   6 2 3V i j k  
|| ||U || ||V U V Vproj U
2 2 2
|| || 1 2 ( 2) 1 4 4 9 3U         
2 2 2
|| || 6 ( 2) 3 36 4 9 49 7V         
(1,2, 2).(6, 2,3) 6 4 6 4U V        
2 2
4 24 8 12
(6, 2,3) , ,
|| || 7 49 49 49
V
U V
proj U V
V
    
     
 

15. Produto vetorial
Nós iremos definir agora um tipo de
multiplicação vetorial que produz um
vetor como produto, mas que é aplicável
somente ao espaço tridimensional.

16. Definição
Se e são
vetores no espaço tridimensional, então o
produto vetorial é o vetor definido por
ou em notação de determinante,
1 2 3( , , )U u u u 1 2 3( , , )V v v v
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1( , , )U V u v u v u v u v u v u v    
2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
, , (1)
u u u u u u
U V
v v v v v v
 
   
 

17. Observação
Em vez de memorizar as fórmulas, você
pode obter os componentes de como
segue:
• Forme a matriz 2 x 3 dada por
cuja primeira linha contém os componentes
de e cuja segunda linha contém os
componentes de .
2 31
2 31
u uu
v vv
 
 
 

18. Observação
• Para obter o primeiro componente de ,
descarte a primeira coluna e tome o
determinante;
• Para obter o segundo componente,
descarte a segunda coluna e tome o
negativo do determinante;
• Para obter o terceiro componente,
descarte a terceira coluna e tome o
determinante.

19. Exemplo
Se e calcule
e .
Solução:
(2, 1, 1)U   V i j k   U V
V U
1 1 2 1 2 1
, , (0,3,3) 3 3
1 1 1 1 1 1
U V j k
  
      
  
1 1 1 1 1 1
, , (0, 3, 3) 3 3
1 1 2 1 2 1
V U j k
  
         
  

20. Abuso de notação
O produto vetorial de e
pode ser representado
simbolicamente como um determinante
3x3:
1 2 3( , , )U u u u
1 2 3( , , )V v v v
1 2 3
1 2 3
i j k
U V u u u
v v v
  2 3 1 3 1 2
2 3 1 3 1 2
u u u u u u
i j k
v v v v v v
  

21. Exemplo
Se e calcule .
Solução:
(2, 1, 1)U   V i j k   U V
2 1 1
1 1 1
i j k
U V  

3 3j k 

22. Observação
Os vetores canônicos satisfazem:

23. Propriedades do Produto Vetorial
Sejam U, V e W vetores no espaço e  um
escalar.

24. Relações entre Produtos
Escalar e Vetorial
Sejam U e V vetores do espaço, então:
) ( ) 0i U U V  
) ( ) 0ii V U V  
2 2 2 2
) || || || || || || ( )iii U V U V U V    (Id. de Lagrange)
) ( ) ( ) ( )iv U V W U W V U V W     
)( ) ( ) ( )v U V W U W V V W U     

25. Observação
mostram que o vetor é ortogonal
simultaneamente a e a .
De
obtemos
) ( ) 0i U U V   ) ( ) 0ii V U V  
U V
U V
2 2 2 2
) || || || || || || ( )iii U V U V U V   
2 2 2 2 2 2
|| || || || || || || || || || cosU V U V U V   
2 2 2
|| || || || (1 cos )U V  
2 2 2
|| || || || senU V 
|| || || || || || senU V U V  

26. Regra da mão direita
Se e são vetores não-nulos, pode ser
mostrado que o sentido de pode ser
determinado usando a "regra da mão
direita"!
u v
u v


27. Resumindo
Se U e V são vetores não-nulos, então:
I) O vetor é ortogonal simultaneamente
a e a .
II)
III) O sentido de pode ser determinado
usando a “regra da mão direita”.
U V
U V
|| || || || || || senU V U V  
U V

28. Interpretação Geométrica do
Produto Vetorial
U
V
parA base altura 
senparA U V 
parA U V 
2
tri
U V
A


senV 


29. Exemplo
Calcule a área do triângulo de vértices
A(-1, 0, 2), B(-4, 1, 1) e C(0, 1, 3).
Solução:
1
2
A AB AC  ( 3,1, 1)AB    ( 1,1,1)AC  
3 1 1
1 1 1
i j k
AB AC   

2 4 2i j k  
1
2 6
2
A  6 . .u a

31. Obrigado!