กฎของ Hamilton และ Lagrange’s Equations
•Als PPTX, PDF herunterladen•
10 gefällt mir•9,632 views
1. บทนำ 2. Hamilton Principle 3. การเคลื่อนที่ของแสง ตามแนวคิดของ Alexander มหาราช 4. การเคลื่อนที่ของแสง ตามแนวคิดของ Fermat 5. การเคลื่อนที่ของวัตถุ ตามแนวคิดของ Hamilton 6. คณิตศาสตร์เกี่ยวกับ Euler’s Equation 7. คณิตศาสตร์เกี่ยวกับ Euler’s Equation แบบมีเงื่อนไข 8. โมเดลปัญหาแบบ “Catenary” 9. สมการการเคลื่อนที่ของ Lagrange 10. ความหมายของ 𝝀 𝝏𝒈/(𝝏𝒒_𝒊 )
Empfohlen
Weitere ähnliche Inhalte
Was ist angesagt?
Was ist angesagt? (20)
Andere mochten auch
Andere mochten auch (20)
Ähnlich wie กฎของ Hamilton และ Lagrange’s Equations
Ähnlich wie กฎของ Hamilton และ Lagrange’s Equations (20)
Mehr von Thepsatri Rajabhat University
Mehr von Thepsatri Rajabhat University (20)
กฎของ Hamilton และ Lagrange’s Equations
- 1. กฎของ Hamilton และ Lagrange’s Equations ณภัทรษกร สารพัฒน์
- 2. วัตถุประสงค์ 1. เพื่อศึกษาการคานวณกลศาสตร์แบบลากรางจ์ 2. เพื่อนากลศาสตร์แบบลากรางจ์ ไปประยุกต์ใช้กับการเคลื่อนที่แบบ ต่างๆ ที่มีความซับซ้อนและแก้ปัญหาด้วยกลศาสตร์นิวตันได้ยาก For What !!!
- 3. Outline : กฎของ Hamilton และ Lagrange’s Equations • 1. บทนา • 2. Hamilton Principle • 3. การเคลื่อนที่ของแสง ตามแนวคิดของ Alexander มหาราช • 4. การเคลื่อนที่ของแสง ตามแนวคิดของ Fermat • 5. การเคลื่อนที่ของวัตถุ ตามแนวคิดของ Hamilton • 6. คณิตศาสตร์เกี่ยวกับ Euler’s Equation • 7. คณิตศาสตร์เกี่ยวกับ Euler’s Equation แบบมีเงื่อนไข • 8. โมเดลปัญหาแบบ “Catenary” • 9. สมการการเคลื่อนที่ของ Lagrange • 10. ความหมายของ 𝝀 𝝏𝒈 𝝏𝒒 𝒊
- 4. 1. บทนา ทบทวน กฎของนิวตัน (Newton’s laws) กฎข้อที่ 1 กฎของความเฉื่อย (Inertia) หรือ 𝜮𝑭 = 𝟎 “วัตถุที่หยุดนิ่งจะพยายามหยุดนิ่งอยู่กับที่ ตราบที่ไม่มีแรงภายนอกมากระทา ส่วนวัตถุที่ เคลื่อนที่จะเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงด้วยความเร็วคงที่ ตราบที่ไม่มีแรงภายนอกมากระทาเช่นกัน“ กฎข้อที่ 2 กฎของแรง (Force) หรือ 𝜮𝑭 = 𝒎𝒂 “ความเร่งของวัตถุจะแปรผันตามแรงที่กระทาต่อวัตถุ แต่จะแปรผกผันกับมวลของวัตถุ” กฎข้อที่ 3 กฎของแรงปฏิกิริยา (Action = Reaction) หรือ 𝑭 = −𝑭 “แรงที่วัตถุที่หนึ่งกระทาต่อวัตถุที่สอง ย่อมเท่ากับ แรงที่วัตถุที่สองกระทาต่อวัตถุที่หนึ่ง แต่ ทิศทางตรงข้ามกัน” 𝑚 𝑭 𝟏𝑭 𝟐 𝜮𝑭 = 𝑭 𝟏 + 𝑭 𝟐 = 𝟎 𝑚 𝑭 𝟏𝑭 𝟐 𝜮𝑭 = 𝑭 𝟏 + 𝑭 𝟐 ≠ 𝟎 𝑚𝑭 −𝑭
- 5. 1. บทนา จากที่ผ่านมา เราได้ศึกษาถึงกฏของนิวตัน (กฎข้อที่ 2ของนิวตัน) ซึ่งสามารถนามาใช้ใน การ ทานายการเคลื่อนที่ ของวัตถุต่างๆ ในกรณีที่ผู้สังเกตอยู่นิ่ง (หรือมีความเร็วคงที่) จะ ได้ว่า สมการ (1.1)Σ 𝐹 = 𝑚 𝑎 = 𝑚 𝑣 = 𝑚 𝑥 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑣 𝑑𝑡 = 𝑎 𝑥 คือ ระยะทางที่วัถุเคลื่อนที่ได้ 𝑣 คือ ความเร็วของวัตถุ 𝑎 คือ ความเร่งของวัตถุ
- 6. 1. บทนา 𝑚 𝐹 เวลา 𝑡1 𝑚 𝐹 เวลา 𝑡2 ตาแหน่ง 𝑥1 ตาแหน่ง 𝑥2 𝑦 𝑥 ∆𝒙 = 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 ∆𝑡 = 𝒕 𝟐 − 𝒕 𝟏ความเร็ว 𝑣2 ความเร็ว 𝑣1 ระยะทางที่เปลี่ยนไปต่อเวลาก็คือ “ความเร็ว” เป็น 𝑣 = ∆ 𝑥 ∆𝑡 เมื่อ 𝑣 = lim ∆𝑡→0 ∆ 𝑥 ∆𝑡 = 𝑑 𝑥 𝑑𝑡 ระยะทางที่เปลี่ยนไปต่อเวลาก็คือ “ความเร่ง” เป็น 𝑎 = ∆𝑣 ∆𝑡 เมื่อ 𝑎 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑣 ∆𝑡 = 𝑑𝑣 𝑑𝑡 ∆𝒗 = 𝒗 𝟐 − 𝒗 𝟏
- 7. 1. บทนา ภาพที่ (1) ในขณะที่วัตถุกาลังเลื่อนลงมาก็ย่อม มีความเร่งในทิศขนานกับพื้นลาดหรืออีกนัย หนึ่ง Σ 𝐹 = 𝑇 + 𝑓𝑘 + 𝑚 𝑔 + 𝑁 สมการ (1.2) 𝑁 𝑓𝑘 𝑇 𝑚 𝑔 𝜃 𝜇 𝑘 𝑥 𝑦 หาสมการการเคื่อนที่ตามแบบของ กฎของนิวตัน ยกตัวอย่าง กล่องกระดาษที่เลื่อนลงมาตามพื้นลาด ดังจะเห็นในภาพที่ (1)
- 8. 1. บทนา ถ้ากล่องเริ่มเคลื่อนที่ด้วยความเร็วต้นเป็นศูนย์ และสัมประสิทธิ์ของแรงเสียดทาน จลย์เป็น 𝜇 𝑘 จงทานายตาแหน่งของกล่อง ณ เวลาใดๆ เนื่องจากวัตถุไม่มีการเคลื่อนที่ตามแนวแกน 𝑦 𝑁 = 𝑚 𝑔 cos 𝜃 โดยธรรมชาติของแรงเสียดทานนั้น แปรผันตรง กับแรง 𝑁 𝑓𝑘 = 𝜇 𝑘 𝑁 = 𝜇 𝑘 𝑚 𝑔 cos 𝜃 แรงที่เกิดจากน้าหนักวัตถุตามแนวแกน 𝑥 𝑇 = 𝑚 𝑔 sin 𝜃 สมการ (1.3) สมการ (1.4) สมการ (1.5) 𝑁 𝑓𝑘 𝑇 𝑚 𝑔 𝜃 𝜇 𝑘 𝑥 𝑦
- 9. 1. บทนา Σ𝐹𝑥 = 𝑇 − 𝑓𝑘 = 𝑚 𝑔 sin 𝜃 − 𝜇 𝑘 𝑚 𝑔 cos 𝜃 = 𝑚 𝑔(sin 𝜃 − 𝜇 𝑘 cos 𝜃) ดังนั้น แรงลัพท์ที่กระทากับวัตถุตามแนวแกน 𝑥 คือ จากสมการการเคลื่อนที่ของนิวตัน จะได้ว่า 𝑥 = Σ𝐹𝑥 𝑚 ตาแหน่งของกล่อง ณ เวลาใดๆ ก็คือ 𝑑 𝑑𝑡 𝑑 𝑥 𝑑𝑡 = 𝑔 sin 𝜃 − 𝜇 𝑘 cos 𝜃 𝑥(𝑡) = 1 2 𝑔(sin 𝜃 − 𝜇 𝑘 cos 𝜃)𝑡2 สมการ (1.7) สมการ (1.9) สมการ (1.6) 𝑑 𝑑 𝑥 = 𝑔 sin 𝜃 − 𝜇 𝑘 cos 𝜃 𝑑𝑡 𝑑 𝑡 𝑁 𝑓𝑘 𝑇 𝑚 𝑔 𝜃 𝜇 𝑘 𝑥 𝑦 สมการ (1.8)
- 10. 1. บทนา 𝑚 𝑔 𝑚 𝑔 𝑁1 𝑁2 𝑁1 𝑁2 ภาพที่ (1.2) แสดงการเคลื่อนที่ของกล่องใน รางที่เป็นเส้นโค้ง เนื่องจากตัวกล่องมีจุดสัมผัส กับรางอยู่ 2 จุด แรงที่ตัวรางกระทากับกล่อง จึงมีความซับซ้อน อีกทั้งตัวรางที่โค้ง ทาให้ ทิศทางของแรง 𝑁1 และ 𝑁2 เปลี่ยนแปลงไป ตามแหน่งของกล่อง เมื่อการคานวนหาแรงลัพท์เป็นไปด้วยความลาบาก กฏ ของนิวตันตามสมการที่ (1.1) ในบางครั้งอาจไม่สามารถ นามาศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุในระบบนั้นๆได้ ตามตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่า กลศาสตร์ของนิวตันนั้นมีหัวใจสาคัญ ก็คือการหา แรงลัพท์ที่กระทา กับวัตถุใดๆ แต่ในบางกรณี การคานวนหาแรงลัพท์ อาจจะกระทาได้ลาบาก ดังจะเห็นในภาพที่ (1.2)
- 11. 1. บทนา กฏของ Hamilton เป็นอีกมุมมองหนึ่งที่สามารถใช้ในการทานาย การเคลื่อนที่ของวัตถุ ได้ คล้ายๆ กับกฏของนิวตัน ซึ่งทั้ง 2 ทฤษฏีนี้ มีประวัติความเป็นมา ยาวนานไม่แพ้กัน Newton ริเริ่ม Calculus of Variations 1686 Johann and Jacob Bernoulli 1696 Euler 1744 ขยายขอบเขต Legendre 1786 Lagrange 1788 Hamilton 1833 Jacobi 1837 ต่อยอด อย่างไรก็ตาม กฏของ Hamilton นั้น นอกจากจะนามาใช้ในแง่ของกลศาสตร์ กล่าวคือ ว่าด้วย การเคลื่อนที่ของอนุภาค แล้วนั้น กฏของ Hamilton ยังสามารถนามาประยุกต์ใช้ในการศึกษา สาขาอื่นๆของฟิสิกส์ ยกตัวอย่างเช่น Optics สนามแม่เหล็กไฟฟ้า ทฤษฏีสัมพัธภาพทั่วไป quantum electrodynamics และอื่นๆ
- 12. 2. Hamilton Principle เพื่อที่จะหากฏเกณฑ์ทางฟิสิกส์ที่สามารถอธิบายปรากฏการณ์ต่างๆ ของธรรมชาตินั้น เริ่มมา ตั้งแต่อดีต นักวิทยาศาสตร์มีแนวความคิดเกี่ยวกับ Minimum Principle กล่าวคือ การ เคลื่อนไหวของสรรพสิ่งนั้น เกิดจากการที่ธรรมชาติพยามที่จะทาให้ปริมาณในทางฟิสิกส์ มีค่าต่า ที่สุด (หรือสูงที่สุด) ยกตัวอย่างเช่น (1) ลูกบอล พยามจะอยู่ใน สถานะที่มี “พลังงาน ต่าที่สุด” (2) นักธุรกิจวางแผนการตลาด เพื่อให้ได้ “กาไร สูงที่สุด” (3) การเดินทางไปยังที่ต่าง โดยเลือก “ระยะทางที่ สั้นที่สุด”
- 13. 3. การเคลื่อนที่ของแสง ตามแนวคิดของ Alexander มหาราช พระองค์ทรงสังเกตว่า มุมสะท้อนของแสงนั้น จะเท่ากับมุมตกทบ ซึ่งปรากฏการณ์ดังกล่าวนี้ สามารถอธิบายโดยหลักการที่ว่า การที่ แสงเดินทางจาก A ไป B โดยผ่านกระจกนั้น มันจะเลือก “เส้นทาง ที่สั้นที่สุด” เสมอ เมื่อกาหนดให้กระจกวางในแนวแกน x ดังภาพ สมมุติว่าแสงเริ่ม เดินทางออกจากจุด A กระทบกับกระจกที่จุด C และพุ่งมายังจุด B ตามลาดับ ดังนั้น ระยะทางทั้งหมดที่แสงจะต้องเดินทางนั้น มีค่า เป็น 𝑆 = 𝑎2 + 𝑥2 + 𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2 𝑏 𝑎 A B 𝜃 𝑟 𝜃𝑖 b a d d-xx C C C y x สมการ (3.1)
- 14. 3. การเคลื่อนที่ของแสง ตามแนวคิดของ Alexander มหาราช ทั้งนี้ พิสูจน์ได้ว่า ระยะทาง S จะมีค่าน้อยที่สุด ก็ต่อเมื่อ 𝑑𝑆 𝑑𝑥 = 0 สรุปได้ว่า ระยะทางที่แสงเดินทางจาก A B “เป็นระยะทางสั้น ที่สุด” เมื่อ มุมตกกระทบ(𝜽𝒊) เท่ากับ มุมสะท้อน(𝜽 𝒓) 𝑑𝑆 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑎2 + 𝑥2 + 𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2A B y x 𝜃 𝑟 𝜃𝑖 b a d d-xx C C C ดังนั้น 𝑥 𝑎2+𝑥2 = (𝑑−𝑥) 𝑏2+ 𝑑−𝑥 2 0 = 1 2 2𝑥 𝑎2 + 𝑥2 + 1 2 2(𝑑 − 𝑥)(−1) 𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2 กล่าวคือ sin 𝜃𝑖 = sin 𝜃𝑟 หรือได้ว่า 𝜃𝑖 = 𝜃𝑟 ตามแนวคิดของ Alexander แสงเลือกที่จะเดินตามเส้นทางดังกล่าวนี้ ก็เพราะเป็น ระยะทางที่สั้นที่สุด นั่นเอง สมการ (3.4) สมการ (3.3) สมการ (3.2)
- 15. 4. การเคลื่อนที่ของแสง ตามแนวคิดของ Fermat B 𝜃2𝑛2 อย่างไรก็ตาม หลักการของ Alexander นั้น ไม่สามารถอธิบาย การหักเหของแสงได้ ดังจะเห็นในภาพ ถึงแม้ว่า เส้นทางที่สั้น ที่สุดจากจุด A ไปยัง B นั้น ก็คือเส้นตรงสีฟ้า แต่ในความเป็นจริงตามธรรมชาติแล้ว แสงจะมีการหักเหเมื่อมัน เดินทางผ่านรอยต่อของวัสดุต่างชนิดกัน กล่าวคือ แสงจะ เดินทางตามเส้นทางสีเขียวนั่นเอง Fermat มีแนวความคิดที่แตกต่างออกไป จาก Alexander กล่าวคือ Fermat คิดว่าแสงจะเลือก เดินทางจากจุด A ไปยังจุด B โดยเลือก “เส้นทางที่ใช้เวลาน้อยที่สุด” ถ้าสมมุติว่า ดัชนีหักเหของแสงในตัวกลางทั้งสองมีค่าเป็น 𝑛1 และ 𝑛1 ดังที่เห็นในภาพ เมื่อนา หลักการของ Fermat พิสูจน์ให้เห็นจริงว่า 𝑛1 sin 𝜃1 = 𝑛2 sin 𝜃2 A 𝑛1 𝜃1 ซึ่งสมการข้างต้นนี้ เป็น สมการการหักเหของแสงตามกฏของ Snell’s นั่นเอง สมการ (4.1)
- 16. 4. การเคลื่อนที่ของแสง ตามแนวคิดของ Fermat B 𝜃2𝑛2 A 𝑛1 Δ𝑆2 = 𝑣2 𝑡2 Δ𝑆1 = 𝑣1 𝑡1 ตามแนวความคิด Fermat คิดว่าแสงจะเลือก เดินทางจากจุด A ไปยังจุด B โดยเลือก “เส้นทางที่ใช้เวลาน้อยที่สุด” 𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑡1 + 𝑡2 จากความสัมพันธ์ระหว่าง เวลา ระยะทาง และ ความเร็ว 𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = Δ𝑆1 𝑣1 + Δ𝑆2 𝑣2 y x 𝜃1𝑎 𝑏 𝑑 𝑥 𝑑 − 𝑥 𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑎2 + 𝑥2 𝑣1 + 𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2 𝑣2 สมการ (4.2) สมการ (4.3) สมการ (4.4)
- 17. 4. การเคลื่อนที่ของแสง ตามแนวคิดของ Fermat B 𝜃2𝑛2 A 𝑛1 จากตามแนวความคิด “เส้นทางที่ใช้เวลาน้อย ที่สุด” ก็ต่อเมื่อ 𝑑𝑡 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑥 = 0 y x 𝜃1𝑎 𝑏 𝑑 𝑥 𝑑 − 𝑥 𝑑𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑎2 + 𝑥2 𝑣1 + 𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2 𝑣2 0 = 1 2𝑣1 2𝑥 𝑎2 + 𝑥2 + 1 2𝑣2 2(𝑑 − 𝑥)(−1) 𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2 1 𝑣1 𝑥 𝑎2 + 𝑥2 = 1 𝑣2 (𝑑 − 𝑥) 𝑏2 + 𝑑 − 𝑥 2 Δ𝑆2 = 𝑣2 𝑡2 Δ𝑆1 = 𝑣1 𝑡1 สมการ (4.5) สมการ (4.6) สมการ (4.7)
- 18. 4. การเคลื่อนที่ของแสง ตามแนวคิดของ Fermat B 𝜃2𝑛2 A 𝑛1 จากความสัมพันธ์ 𝑛1 = 𝑐0 𝑣1 และ 𝑛2 = 𝑐0 𝑣2 เมื่อ 𝑐0 ความเร็วของคลื่นแสงในสูญญากาศ y x 𝜃1𝑎 𝑏 𝑑 𝑥 𝑑 − 𝑥 𝑐0 𝑣1 sin 𝜃1 = 𝑐0 𝑣2 sin 𝜃2 𝑛1 sin 𝜃1 = 𝑛2 sin 𝜃2 ดังนั้นจะได้ กฎการหักเหแสง Snell’s คือ Δ𝑆2 = 𝑣2 𝑡2 Δ𝑆1 = 𝑣1 𝑡1 1 𝑣1 sin 𝜃1 = 1 𝑣2 sin 𝜃2จาก (4.7) จะได้ว่า สมการ (4.8) สมการ (4.9)
- 19. 5. การเคลื่อนที่ของวัตถุ ตามแนวคิดของ Hamilton ในการศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุใดๆนั้น Hamilton ตีพิมพ์ผลงาน 2 ฉบับในปี 1834 และ 1835 ซึ่งต่อมาภายหลังเป็นพื้นฐานของทฤษฏีในทางกลศาสตร์อีกหลายสาขา โดยมีใจความว่า การที่วัตถุจะเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B นั้น มันจะเลือกเส้นทางที่ 𝑡1 𝑡2 𝐿 𝑥𝑖, 𝑥𝑖 𝑑𝑡 มีค่าน้อยที่สุด ซึ่งจะได้ขยายความดังต่อไปนี้ A ยกตัวอย่าง 𝑇 = 1 2 𝑚𝑣2 𝑈 = 𝑚𝑔𝑦 1) เมื่อวัตถุมีการเคลื่อนที่ก็ย่อมจะมีพิกัด 𝑥𝑖 และ ความเร็ว 𝑥𝑖 ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา 2) ในขณะที่เคลื่อนไหววัตถุมีพลังงานจลย์ ซึ่งขึ้นอยู่กับ ความเร็ว 𝑇 = 𝑇 𝑥𝑖 3) ถ้าวัตถุอยู่ท่ามกลางสนาม เช่น สนามโน้มถ่วงของ โลก สนามไฟฟ้า มันก็ย่อมมีพลังงานศักย์ 𝑈 = 𝑈 𝑥𝑖 4) ให้คานิยามของผลต่างระหว่างพลังงานจลย์และ พลังงานศักย์เป็น 𝐿 = 𝑇 𝑥𝑖 − 𝑈 𝑥𝑖 B 5) ถึงแม้ว่าการเคลื่อนที่จาก A ณ เวลา t1 ไปยัง B ณ เวลา t2 จะเป็นไปได้หลายเส้นทาง เส้นทาง ที่จริงนั้นจะมีค่า 𝑡1 𝑡2 𝐿 𝑥𝑖, 𝑥𝑖 𝑑𝑡 น้อยที่สุดเสมอ
- 20. 5. การเคลื่อนที่ของวัตถุ ตามแนวคิดของ Hamilton ตัวอย่าง การเคลื่อนที่ของวัตถุในสนามแรงโน้มถ่วง บนพื้นผิวโลก พลังงานจลย์ 𝑇 𝑥, 𝑦 = 1 2 𝑚 𝑥2 + 1 2 𝑚 𝑦2 พลังงานศักย์ 𝑈 𝑦 = 𝑚𝑔𝑦 𝑡 -4162 Js X-Axis A B Y-Axis 100 0 𝑇 𝑑𝑡 1 2 𝑚 𝑥2 + 1 2 𝑚 𝑦2 − 𝑚𝑔𝑦 𝑡 𝑥 𝑡 = 𝑡 𝑦 𝑡 = 50𝑡 − 1 2 𝑔𝑡2 5 Js 𝑥 𝑡 = 𝑡 𝑦 𝑡 = 0 1548 Js 𝑥 𝑡 = 𝑡 𝑦 𝑡 = 40 sin 2𝜋 𝑇 𝑡 -2995 Js 𝑥 𝑡 = 𝑡 𝑦 𝑡 = 30𝑡 30 𝑇 − 𝑡 𝑡 < 𝑇 2 𝑡 ≥ 𝑇 2 2 4 6 8 10
- 21. 6. คณิตศาสตร์เกี่ยวกับ Euler’s Equation สมมุติว่าเรามีค่าของ J ซึ่งอยู่ในรูปของ Integral J = 𝛼1 𝛼2 𝑑𝛼 𝑓 𝑞, 𝑞 โดยที่ 𝑓 𝑞, 𝑞 เป็นฟังชันส์ใดๆ 𝑞 ≡ 𝑞 𝛼 𝑞 ≡ 𝑑𝑞 𝑑𝛼 ถ้าเราต้องการจะหา 𝑓 𝑞, 𝑞 ที่ทาให้ J มีค่าต่าที่สุด จะทาอย่างไร? Euler ค้นพบวิธีเป็นครั้งแรกเมื่อปี 1774 โดยกล่าวว่า 𝑓 𝑞, 𝑞 ที่ทาให้ J มีค่าต่า ที่สุดนั้น เป็นคาตอบของ สมการ 𝜕𝑓 𝜕𝑞 − 𝑑 𝑑𝛼 𝜕𝑓 𝜕 𝑞 = 0 สมการ (6.1)
- 22. 6. คณิตศาสตร์เกี่ยวกับ Euler’s Equation ตัวอย่าง จงหาเส้นทางที่สั้นที่สุด ระหว่างจุดสองจุด โดยใช้สมการของ Euler y x A (x1,y1) y(x) 1) กาหนดให้ y(x) เป็นสมการของเส้นทางที่เชื่อม ระหว่าง จุด A และ จุด B 2) ดังนั้นระยะทางทั้งหมดในการเคลื่อนที่เท่ากับ จาก Pythagorean differential B (x2,y2) 𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 1 + 𝑑𝑦2 ระยะทางการเคลื่อนทั้งหมดคือ 𝑆 = 𝑥1 𝑥2 𝑑𝑥 1 + 𝑑𝑦2 และกาหนด 𝑑𝑦 เป็น 𝑦 เมื่อเขียนใหม่จะได้สมการ คือ 𝑆 = 𝑥1 𝑥2 𝑑𝑥 1 + 𝑦2 สมการ (6.2) สมการ (6.3) สมการ (6.4)
- 23. 6. คณิตศาสตร์เกี่ยวกับ Euler’s Equation y x A (x1,y1) y(x) 3) เมื่อเปรียบเทียบกับสมการของ Euler จะได้ ว่า 4) เมื่อสร้างสมการของ Euler ได้ดังนี้ แทนค่าฟังก์ชัน 𝑓 𝑦, 𝑦 ในสมการ Euler B (x2,y2) 𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑦 J = 𝑥1 𝑥2 𝑓 𝑦, 𝑦 𝑑𝑥 จะได้ว่า 𝑓 𝑦, 𝑦 = 1 + 𝑦2 𝜕𝑓 𝑦, 𝑦 𝜕𝑦 − 𝑑 𝑑𝑥 𝜕𝑓 𝑦, 𝑦 𝜕 𝑦 = 0 𝜕 1 + 𝑦2 𝜕𝑦 − 𝑑 𝑑𝑥 𝜕 1 + 𝑦2 𝜕 𝑦 = 0 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 1 + 𝑦2 = 0 เมื่อ 𝜕 1+ 𝑦2 𝜕𝑦 = 0 ดังนั้นจะได้ว่า สมการ (6.5) สมการ (6.6) สมการ (6.7)
- 24. 6. คณิตศาสตร์เกี่ยวกับ Euler’s Equation y x A (x1,y1) y(x) เมื่อพิจารณาสมการ (6.7) ที่ 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 1+ 𝑦2 = 0 B (x2,y2) 𝑑𝑠 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑘 1 + 𝑦2 ดังนั้นจะได้สมการ คือ 𝑦 1+ 𝑦2 = 𝑘 ก็ต่อเมื่อ 𝑦 1+ 𝑦2 = ค่าคงที่ จัดรูปสมการใหม่ได้ว่า 𝑦2 = 𝑘2 1 + 𝑦2 𝑦2 = 𝑘2 + 𝑘2 𝑦2 𝑦2 − 𝑘2 𝑦2 = 𝑘2 𝑦2 1 − 𝑘2 = 𝑘2 𝑦2 = 𝑘2 1 − 𝑘2 เมื่อ 𝑦 = 𝑘2 1−𝑘2 ซึ่งเทียบเท่า 𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 สมการ (6.8) สมการ (6.9)
- 25. 6. คณิตศาสตร์เกี่ยวกับ Euler’s Equation y x A (x1,y1) B (x2,y2) เมื่อ 𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = ค่าคงที่ ดังนั้นแทน 𝑚 ค่าคงที่ ใดๆ𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑚 𝑑𝑦 = 𝑚𝑑𝑥 𝑦 = 𝑚 𝑑𝑥 จะได้สมการเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุด คือ 𝑦 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑐 ซึ่งเป็นเส้นตรง เมื่อ 𝑚 คือ ค่าความชันของสมการเส้นตรง 𝑐 คือ ค่าคงที่ใดๆตามขอบเขตสมการ 𝑦 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑐 สมการ (6.10) สมการ (6.11) สมการ (6.12)
- 26. 7. คณิตศาสตร์เกี่ยวกับ Euler’s Equation แบบมี เงื่อนไขในบางครั้ง การที่จะหาจุดสูงสุง หรือต่าสุดของฟังชันส์ ก็มีสมการของเงื่อนไข เข้ามาเกี่ยวข้อง ข้อจากัด : ความยาวรอบรูป 2 เมตร ฟังชันส์ที่ต้องการ Optimize : พื้นที่ ตัวอย่าง มีเชือกยาว 2 เมตร จะขดให้เป็นวงรูปทรงใด จึงจะได้พื้นที่สูงที่สุด 0 ) วาดรูปให้สวยงาม และ เลือกพิกัดที่ เหมาะสม (r,q) Polar Coordinate r=r(q) (x,y) Cartesian y=y(x) r q ในกรณีของรูปทรงข้างต้น 𝜃 ∈ 0,2𝜋
- 27. 2) สร้างสมการเงื่อนไข 2) กาหนดให้สมการเงื่อนไข (Constraint Equations) 1) กาหนดสิ่งที่ต้องการ Optimize Lagrange เผยแพร่วิธีการแก้เมื่อปี 1788 (44 ปีหลังจากสมการของ Euler ในข้างต้น)3) สร้างระบบของ Lagrange undetermined multiplier และแก้สมการ เรียกว่า Lagrange undetermined multiplier ซึ่งเป็นค่าคงที่ กรณีตัวอย่าง กรณีใดๆ ในภาษาแบบ Euler-Lagrange 𝐽 = 𝛼1 𝛼2 𝑓 𝑞, 𝑞 𝑑𝛼𝐴 = 0 2𝜋 1 2 𝑟 𝜃 2 𝑑𝜃𝑑𝐴 = 1 2 𝑟 𝜃 2 𝑑𝜃 𝑑𝑆 = 𝑟 𝜃 𝑑𝜃 𝑆 = 0 2𝜋 𝑟 𝜃 𝑑𝜃 = 𝐿 0 = 0 2𝜋 𝑟 𝜃 𝑑𝜃 − 𝐿 0 = 𝑔 𝑞 𝑔 𝑞 → 0 2𝜋 𝑟 𝜃 𝑑𝜃 − 𝐿 𝑞 → 𝑟 𝛼 → 𝜃 𝑓 → 1 2 𝑟2 𝑞 → 𝑟 ≡ 𝑑𝑟 𝑑𝜃 λ 𝜕𝑓 𝜕𝑞 − 𝑑 𝑑𝛼 𝜕𝑓 𝜕 𝑞 + 𝜆 𝜕𝑔 𝜕𝑞 = 0 สมการ (7.1) สมการ (7.2) สมการ (7.3)
- 28. 4) ตระเตรียมความพร้อมของเทอมต่างๆ 5) จากนั้นอ้างถึงสมการของ Lagrange Undetermined Multiplier Equation แล้วสร้างสมการของระบบที่กาลังศึกษาอยู่ 6) ลุย! (โดยใช้ทักษะทาง คณิตศาสตร์) 𝑔 𝑟 = 0 𝜕𝑓 𝜕𝑟 − 𝑑 𝑑𝜃 𝜕𝑓 𝜕 𝑟 + 𝜆 𝜕𝑔 𝜕𝑟 = 0 𝜕𝑓 𝜕𝑟 = 𝜕 𝜕𝑟 1 2 𝑟2 = 𝑟 𝜕𝑓 𝜕 𝑟 = 𝜕 𝜕 𝑟 1 2 𝑟2 = 0 𝜕𝑔 𝜕𝑟 = 𝜕 𝜕𝑟 0 2𝜋 𝑟𝑑𝜃 − 𝐿 = 𝜕 𝜕𝑟 0 2𝜋 𝑟𝑑𝜃 − 𝜕 𝜕𝑟 𝐿 = 0 2𝜋 𝜕 𝜕𝑟 𝑟 𝑟𝑑𝜃 = 0 2𝜋 𝑑𝜃 𝜕𝑔 𝜕𝑟 = 2𝜋 𝑟 − 𝑑 𝑑𝜃 0 + λ2𝜋 = 0 0 2𝜋 𝑟𝑑𝜃 − 𝐿 = 0 สมการ (7.4) สมการ (7.5) สมการ (7.6) สมการ (7.7) สมการ (7.8) สมการ (7.9)
- 29. จากสมการ Euler-Lagrange ลดรูปให้ง่ายขึ้น สมการ (7.10) สมการ (7.11) แทนค่าของ 𝑟 ในสมการ (7.10) เข้าไปในสมการ (7.11) แทนค่าของ λ คือเข้าไปในสมการ (7.10) 𝑟 − 𝑑 𝑑𝜃 0 + λ2𝜋 = 0 0 2𝜋 𝑟𝑑𝜃 − 𝐿 = 0 𝑟 = −λ2𝜋 0 2𝜋 𝑟𝑑𝜃 = 𝐿 0 2𝜋 −λ2𝜋 𝑑𝜃 = 𝐿 −λ2𝜋 0 2𝜋 𝑑𝜃 = 𝐿 𝑟 = − − 𝐿 4𝜋2 2𝜋 ซึ่งเป็นสมการของวงกลม ที่มีรัศมีเท่ากับ 𝐿 2𝜋 จึงจะเป็นรูปที่มีพื้นที่มากที่สุด 𝜆 = − 𝐿 4𝜋2 𝑟 𝜃 = 𝐿 2𝜋 สมการ (7.14) สมการ (7.12) สมการ (7.13)
- 30. 8. โมเดลปัญหาแบบ “Catenary” Catenary มีรากศัพท์มาจากคาภาษาลาตินว่า “Catena” ซึ่งแปลว่า โซ่ มีที่มาจากการศึกษา ลักษณะความโค้งของโซ่ ที่ปลายทั้งสองข้างขึงอยู่ในระดับเดียวกัน ปี1638 - Galileo “claims (ขี้เดา)” ว่าโซ่จะห้อยเป็นรูป Parabola ปี1669 - Joachim Jungius พิสูจน์ให้เห็นจริงว่าไม่ใช่ Parabola แต่ทว่ารูปทรงจริงจะเป็นอย่างไร นั้น ไม่ทราบ “แล้วรู้ได้ไงว่าไม่ Parabola” ปี1671 - Robert Hook ประกาศอย่างเป็นทางการว่าต่อราชวงศ์อังกฤษว่า สามารถออกแบบ รูปทรงของโดม ที่มีความแข็งแรงที่สุด แต่ไม่บอกวิธีการทา (ปล่อยให้งง…) ปี 1697 - Jacob Bernoulli ” ถ้าลูกศิษย์ตัวเองให้แก้โจทย์ข้อนี้ “ - Leibneiz, Huygens และ Johann Bernoulli แก้สมการรูปทรงของโซ่ได้สาเหร็จ
- 31. 3 ) Euler-Lagrange สาหรับการแก้ปัญหา Isoperimetric กรณีที่ไม่มี 𝑥 ในสมการ 𝑈∗ 1 ) กาหนดสิ่งที่ต้องการของ Euler- Lagrange x y (+a,0)(-a,0) y(x) คืออะไร? 𝑈∗ = 𝑈 + 𝜆𝑔 𝑈∗ = −𝑎 +𝑎 𝜌𝑔𝑦 1 + 𝑦 2 + 𝜆 1 + 𝑦 2 𝑑𝑥 ตัวอย่าง : Catenary 𝑈∗ = −𝑎 +𝑎 𝐹 𝑦, 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 2 ) เขียนตามแบบ Euler-Lagrange 𝜕𝐹 𝜕𝑦 − 𝑑 𝑑𝑥 𝜕𝐹 𝜕 𝑦 = 0 𝐹 − 𝑦 𝜕𝐹 𝜕 𝑦 = 𝐷 𝐷 คือ เป็นค่าคงที่ ใดๆ สมการ (8.2) สมการ (8.2) สมการ (8.1) สมการ (8.3) สมการ (8.4)
- 32. 4) ตระเตรียมความพร้อมของเทอมต่างๆ 5) ลุย!! อีกแล้วครับ…(โดยใช้ทักษะทาง คณิตศาสตร์) 𝐹 = 𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 1 + 𝑦 2 𝑦 𝜕𝐹 𝜕 𝑦 = 𝑦 𝜕 𝜕 𝑦 𝑦 + 𝜆 𝜌𝑔 𝜌𝑔 1 − 𝑦 2 𝐹 − 𝑦 𝜕𝐹 𝜕 𝑦 = 𝐷 แทนค่าในสมการ Euler-Lagrange สาหรับ การแก้ปัญหาแบบ Isoperimetric 𝐹 = 𝜌𝑔 𝑦 + 𝜆 𝜌𝑔 1 + 𝑦 2 𝑦 𝜕𝐹 𝜕 𝑦 = 𝑦 𝑦 + 𝜆 𝜌𝑔 𝜌𝑔 𝑦 1 + 𝑦 2 𝑦 + 𝜆 𝜌𝑔 𝜌𝑔 1 + 𝑦 2 − 𝑦 𝑦 + 𝜆 𝜌𝑔 𝜌𝑔 𝑦 1 + 𝑦 2 = D 𝜌𝑔 𝑦 + 𝜆 𝜌𝑔 1 + 𝑦 2 − 𝑦 2 1 + 𝑦 2 = D 𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 1 1 + 𝑦 2 = D สมการ (8.5) สมการ (8.6) สมการ (8.7) สมการ (8.9) สมการ (8.11) สมการ (8.10)
- 33. 6 ) แก้สมการในรูปของ 𝑦 จากสมการ 1 𝑦 = 1 𝐷2 𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 2 − 1 เมื่อความสัมพันธ์ของ 𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ดังนั้น 𝑥 = 𝐷 𝑑𝑦 𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 2 − 1 𝑥 = 𝐷 𝜌𝑔 𝑙𝑛 𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 + 𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 2 − 1 + 𝐶 𝑥 = 𝐷 𝜌𝑔 cosh−1 𝜌𝑔𝑦 + 𝜆 + 𝐶 หรือในแบบของ cosh−1 𝜃 y(x) = 1 𝜌𝑔 cosh 𝜌𝑔 𝑥 − 𝐶 𝐷 − 𝜆 𝜌𝑔 สมการ (8.12) สมการ (8.13) จัดให้อยู่ในรูปของ y(x) สมการ (8.15) สมการ (8.14)
- 34. ลักษณะความโค้งแบบ Catenary เป็นความโค้งของโดมที่ให้ความ “แข็งแรงสูง ที่สุด” The Gateway ณ เมือง St.Louis, USA สะพาน Golden Gate Bridge แบบ Catenary Why isn't Parabola?
- 35. 9. สมการการเคลื่อนที่ของ Lagrange ตามหลักการของ Hamilton วัตถุจะเคลื่อนที่ตามเส้นทางที่ทาให้ 𝑡1 𝑡2 𝐿 𝑞𝑖, 𝑞𝑖 𝑑𝑡 มีค่าน้อย ที่สุด โดยที่ 𝐿 𝑞𝑖, 𝑞𝑖 ก็คือผลต่างของพลังงานศักย์และพลังงานจลย์ หรือ 𝐿 𝑞𝑖, 𝑞𝑖 ≡ 𝑇 𝑞𝑖 − 𝑈 𝑞𝑖 คาถามก็คือว่า แล้วเส้นทางที่ว่านี้ จะหาได้อย่างไร? คาตอบคือ เราสามารถใช้หลักการของ Euler มาแก้หาจุดต่าสุดได้ดังต่อไปนี้ ซึ่ง g 𝑞𝑖 คือ สมการข้อจากัด (equations of constraint) ที่แสดงถึงความสัมพันธ์ระหว่า พิกัดต่างๆ ที่เขียนให้อยุ่ในรูปมาตรฐาน g 𝑞𝑖 = 0 สมการนี้เรียกว่า Lagrange Equation 𝜕𝐿 𝜕𝑞𝑖 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 𝑞𝑖 + 𝜆 𝜕𝑔 𝜕𝑞𝑖 = 0
- 36. ตัวอย่าง พิจารณาระบบที่มีพิกัดแบบทรงกระบอก ถ้าเรางอลวดเป็นทรงพาราโบล่า ที่มีสมการ 𝑧 = 𝑐𝑟2 จากนั้นนาลูกปัดมวล 𝑚 ไปเสียบไว้ที่ข้างไดข้างหนึ่ง เส้นลวดจะต้องหมุนด้วย ความเร็วเชิงมุม 𝜔 เท่าได้ ลูดปัดจึงจะไม่หล่นลงพื้น แต่อยู่นิ่งกับที่? วิธีทา พิจารณาพลังงานของระบบทั้งหมด และ พร้อมพิจารณาเงื่อนไขการเคลื่อนที่ 𝑇 = 1 2 𝑚 𝑟2 + 𝑟 𝜃2 + 𝑧2 𝑈 = 𝑚𝑔𝑧 𝑧 = 𝑐𝑟2 ตามแบบ Lagrange ได้ดังนี้ 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 𝑧 = 2𝑐 𝑟𝑟 𝜃 = 𝜔𝑡 𝜃 = 𝜔 𝐿 = 𝑚 2 𝑟2 + 𝑟2 𝜔2 + 4𝑐2 𝑟2 𝑟2 − 𝑚𝑔𝑐𝑟2 สมการ (9.5) สมการ (9.4) สมการ (9.3) สมการ (9.2) สมการ (9.1) สมการ (9.6) 𝑧 = 𝑐𝑟2 𝜔 𝜃 𝑟 𝑧 𝑅 𝑥 𝑧 𝑦
- 37. จะได้สมการพลังงานของ Lagrange 𝜕𝐿 𝜕𝑟 = 𝑚 4𝑐2 𝑟 𝑟2 + 𝑟𝜔2 − 2𝑔𝑐𝑟 แท่นค่าลงในสมการ Lagrange 𝐿 = 𝑚 2 𝑟2 + 𝑟2 𝜔2 + 4𝑐2 𝑟2 𝑟2 − 𝑚𝑔𝑐𝑟2 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 𝑟 = 𝑚 2 2 𝑟 + 16𝑐2 𝑟 𝑟2 + 8𝑐2 𝑟2 𝑟 𝜕𝐿 𝜕 𝑟 = 𝑚 2 2 𝑟 + 8𝑐2 𝑟2 𝑟 𝜕𝐿 𝜕𝑟 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 𝑟 = 0 สมการ (9.6) สมการ (9.7) สมการ (9.8) สมการ (9.9) สมการ (9.10) 𝑧 = 𝑐𝑟2 𝜔 𝜃 𝑟 𝑧 𝑅 𝑥 𝑧 𝑦
- 38. จะได้สมการ สมการการเคลื่อนที่ในรูปทั่ว คือ เมื่อพิจารณาที่ลูกปัดลอยนิ่งและไม่ตก จะเห็น ได้ว่า 𝑟 = R = ค่าคงที่ ดังนั้น 𝑟 = 𝑟 = 0 จาก สมการข้างต้นทาให้เราสามารถหาค่า 𝜔 ที่จะ ลูกปัดลอยนิ่งและไม่ตก คือ 𝑟 1 − 4𝑐2 𝑟2 + 𝑟2 4𝑐2 𝑟 + 𝑟 2𝑔𝑐 − 𝜔2 = 0 𝑅 2𝑔𝑐 − 𝜔2 = 0 𝜔 = 2𝑔𝑐 สมการ (9.11) สมการ (9.11) 𝑧 = 𝑐𝑟2 𝜔 𝜃 𝑟 𝑧 𝑅 𝑥 𝑧 𝑦 จะได้ค่า 𝜔 ที่น้อยที่สุดลูกปัดลอยนิ่งได้ คือ 2𝑔𝑐
- 39. 10. ความหมายของ 𝜆 𝜕𝑔 𝜕𝑞 𝑖 จากสมการของ Lagrange ในระบบแบบมีข้อจากัด Force of Constrain แปลว่าแรง ที่มีผลทาให้วัตถุเคลื่อนที่ตามข้อจากัดนั้นๆ ตัวอย่าง การเคลื่อนที่ของวัตถุตามแนวราบ กาหนดให้ตัวแปรอิสระเป็น 𝑥, 𝑦 จะได้ว่า 𝜆 𝜕𝑔 𝜕𝑞 𝑖 = 𝑚𝑔 𝜕𝐿 𝜕𝑞𝑖 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 𝑞𝑖 + 𝜆 𝜕𝑔 𝜕𝑞𝑖 = 0 𝑚 เราสามารถที่จะตีความได้ว่า 𝝀 𝝏𝒈 𝝏𝒒 𝒊 ก็คือ Force of Constrain นั่นเอง
- 40. ตัวอย่าง วัตถุที่เคลื่อนที่บนทรงกลม จงหามุม 𝜃0 ที่วัตถุเริ่มเคลื่อนที่ออกจากพื้นผิว สร้างสมการการ เคลื่อนที่ได้ดังนี้ 𝑔 𝑟, 𝜃 = 𝑟 − 𝑎 = 0𝑚 𝜃0 𝑟 = 𝑎 พิจารณาเงื่อนไขข้อจากัดวัตถุเคลื่อนที่มวล 𝑚 ในที่นี้ คือ พิจารณาพลังงานจลน์ และ พลังงานศักดิ์ 𝑇 = 𝑚 2 𝑟2 + 𝑟2 𝜃2 𝑈 = 𝑚𝑔𝑟 cos 𝜃 𝐿 = 𝑇 − 𝑈 𝐿 = 𝑚 2 𝑟2 + 𝑟2 𝜃2 − 𝑚𝑔𝑟 cos 𝜃 𝜕𝐿 𝜕𝑟 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 𝑟 + 𝜆 𝜕𝑔 𝜕𝑟 = 0 𝜕𝐿 𝜕𝜃 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 𝜃 + 𝜆 𝜕𝑔 𝜕𝜃 = 0 𝜕𝑔 𝜕𝑟 = 1 𝜕𝑔 𝜕𝜃 = 0 สมการ (10.1) สมการ (10.2) สมการ (10.3) สมการ (10.4) สมการ (10.5) สมการ (10.6) สมการ (10.7) สมการ (10.8) สมการ (10.9)
- 41. 𝑚 𝜃0 𝑟 = 𝑎 เมื่อแทนค่า 𝐿 ลงในสมการการเคลื่อนที่ของ Lagrange ได้ดังนี้ 𝑚𝑟 𝜃2 − 𝑚𝑔 cos 𝜃 − 𝑚 𝑟 + 𝜆 = 0 𝑚𝑔𝑟 sin 𝜃 − 𝑚𝑟2 𝜃 − 2𝑚𝑟 𝑟 𝜃 = 0 เมื่อแทนค่า 𝑟 = 𝑎 ดังนั้น 𝑟 = 𝑟 = 0 𝑚𝑎 𝜃2 − 𝑚𝑔 cos 𝜃 + 𝜆 = 0 𝑚𝑔𝑎 sin 𝜃 − 𝑚𝑎2 𝜃 = 0 𝜃 = 𝑔 𝑎 sin 𝜃 จากสมการ (10.13) จะได้ว่า จาก Chain rule จะได้ 𝜃 = 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 𝑑 𝜃 𝑑𝑡 = 𝑑 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 𝜃 𝑑 𝜃 𝑑𝜃 สมการ (10.10) สมการ (10.11) สมการ (10.12) สมการ (10.13) สมการ (10.14) สมการ (10.15)
- 42. 𝑚 𝜃0 𝑟 = 𝑎 จากเงื่อไขของการเคลื่อน 𝜃 = 0 ที่ t = 0 เมื่อ 𝜃 = 0 แทนค่า 𝜃 ในสมการของ 𝜆 ได้ดังนี้ 1 2 𝑚𝑎 − 𝑔 𝑎 cos 𝜃 + 𝑔 𝑎 − 𝑚𝑔 cos 𝜃 + 𝜆 = 0 𝜃 𝑑 𝜃 = 𝑔 𝑎 sin 𝜃 𝑑𝜃 จะได้ว่า 𝜆 = 𝑚𝑔 3 cos 𝜃 − 2 เมื่อแทนค่า 𝜃 = 𝜃 𝑑 𝜃 𝑑𝜃 กลับไปในสมการ (10.14) 𝜃 2 = − 𝑔 𝑎 cos 𝜃 + 𝑔 𝑎 จากเงื่อไขมวลจะหลุดจากผิวโครงเมื่อ 𝜆 = 0 ดังนั้นจะค่า 𝜃 ที่มากที่สุดที่ คือ 𝜆 = 0 = 𝑚𝑔 3 cos 𝜃 − 2 𝜃0 = cos−1 2 3 สมการ (10.16) สมการ (10.17) สมการ (10.18) สมการ (10.19) สมการ (10.20)
- 43. ตัวอย่าง ที่นิยมกันในการแก้ปัญหาแบบ Lagrange ตัวอย่าง 10.1 𝜃 𝑅 𝑦 𝛼 𝑔 𝑦 𝑥 𝑚1 𝑚1 ตัวอย่าง 10.2 𝜃1 𝜃2 𝑔
- 44. ตัวอย่าง ที่นิยมกันในการแก้ปัญหาแบบ Lagrange ตัวอย่าง 10.3 𝑔 𝑚1 𝑚3𝑚3 𝛼 𝑔 𝑀 ตัวอย่าง 10.4 𝑣
- 45. 1. Σ 𝐹 = 0 2. Σ 𝐹 = 𝑚 𝑥 3. 𝐹 = − 𝐹 Sir Isaac Newton 𝜕𝐿 𝜕𝑞𝑖 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 𝑞𝑖 + 𝜆 𝜕𝑔 𝜕𝑞𝑖 = 0 Joseph-Louis Lagrange สรุป : Newton’s Law และ Lagrange’s Equations แรง พลังงาน เวกเตอร์ สเกลาร์
- 46. ณภัทรษกร สารพัฒน์ E-Mail : napatsakons@nu.ac.th Thank you for your attention.