Prueba de Hipótesis: Errores, Región de Rechazo y Potencia

Introducciń Errores Regiń de Rechazo Potencia de un Prueba Funciń Cr´
o o o ıtica Teorema de Neyman-Pearson Prueba de hip´te
o

Prueba de Hip´tesis
o

Lic. Fernando J. Cedeõ P.
n

30 de junio de 2009

Lic. Fernando J. Cedeõ P.: Prueba de Hip´tesis
n o

o

Hip´tesis
o

Enunciado sobre par´metro desconocido θ.
a

Ejemplo: θ ≥ 100

En general θ ∈ Θ0

n o

o

La hip´tesis se contrasta con una alternativa.
o

H0 : θ ∈ Θ0 versus H1 : θ ∈ Θ1

con Θ0 , Θ1 ⊂ Θ y Θ0 Θ1 = ∅

Elegir entre H0 y H1 la hip´tesis m´s razonable basado en
o a
X1 , . . . , Xn

n o

o

Hip´tesis Simples:
o

H0 : θ = θ0 ´ H1 : θ = θ1 ; θ0 , θ1 conocidos
o

Hip´tesis compuesta Unilateral:
o

H1 : θ ≥ θ1

Hip´tesis compuesta bilateral:
o

H1 : θ = θ1

n o

o

Errores

Tabla de Errores

Resultado o Decisi´n
o Naturaleza
H0 verdadera H1 verdadera
Acepto H0 No hay error Error tipo II
Acepto H1 Error tipo I No hay Error

n o

o

Regiń de Rechazo
o

Muestra X = (X1 , . . . , Xn ) en espacio muestral X n , Rechazar
H0 en funciń de la muestra.
o
Particiń del espacio muestral en dos regiones:
o
R → Regiń rechazo.
o
Si X en R rechazo H0
Rc → Regiń Aceptaciń
o o
Si X en Rc no puedo rechazar H0 , debo aceptarlo

n o

o

α = P {Cometer error Tipo I}→ Rechazar H0 cuando H0 es cierto
→ X en R cuando H0 es cierto

β = P {Cometer error Tipo II}→ Aceptar H0 cuando H1 es cierto
→ X en Rc cuando H0 es falso

n o

o

Ejemplo

X1 . . . , X9 ∼ N(θ, 1); θ desconocido

PRUEBA: se sugiere H0 : θ = 5,5, H1 : θ = 8
R : se sugiere Rechazar H0 sii X1 > 7; es decir,

R1 = {x = (x1 , . . . , x9 ) : x1 > 7}
R : se sugiere rechazar H0 sii 1 (X1 + X2 ) > 7; es decir,
2

1
R2 = {x = (x1 , . . . , x9 ) : (x1 + x2 ) > 7}
2

n o

o

X1 . . . , X9 ∼ N(θ, 1); θ desconocido

PRUEBA: se sugiere H0 : θ = 5,5, H1 : θ = 8
¯
R : se sugiere Rechazar H0 sii X > 6; es decir,

R3 = {x = (x1 , . . . , x9 ) : x1 > 6}
¯
¯
R : se sugiere rechazar H0 sii X > 7,5; es decir,

R4 = {x = (x1 , . . . , x9 ) : x > 7,5}
¯

n o

o

Errores prueba 1

α = P(X1 > 7|θ = 5,5)
X1 − θ 7−θ
= P > |θ = 5,5
1 1
= P(X1 − 5,5 > 7 − 5,5)
= P(Z > 1,5) = 0,06681

n o

o

β = P(X1 ≤ 7|θ = 8)
X1 − θ 7−θ
= P ≤ |θ = 8
1 1
= P(X1 − 8 ≤ 7 − 8)
= P(Z ≤ 1) = 0,15866

n o

o

2
¯
Si Xi ∼ N(θ, 1) entonces X ∼ N θ, σ = N θ, 1
n 9

¯
α = P(X > 6|θ = 5,5)
¯
X −θ 6−θ
= P 1
> 1 |θ = 5,5
3 3
¯
= P(3(X − 5,5) > 3(6 − 5,5))
= P(Z > 1,5) = 0,06681

n o

o

Calculo de Errores

R1 R2 R3 R4
α 0.06681 0.01696 0.06681 0.00000
β 0.15866 0.07865 0.00000 0.06681

Prueba 2 mejor a Prueba 1, errores menores
Prueba 2 mejor en tipo I a Prueba 3, pero peor en tipo II
Prueba 4 mejor en tipo I a Prueba 3, pero peor en tipo II

n o

o

Potencia de un Prueba

Q(θ) : Probabilidad de rechazar H0 cuando θ ∈ Θ es el verdadero
par´metro.
a

Ejemplo: H0 : θ = θ0 ; H1 : θ = θ1

Por deﬁnici´n:
o

Q(θ0 ) = α → Probabilidad de rechazar θ = θ0 cuando θ0 es el
verdadero par´metro.
a

Q(θ1 ) = 1 − β → Probabilidad de rechazar θ = θ0 cuando θ1 es el
verdadero par´metro, es decir, aceptar θ = θ1 cuando θ1 es el
a
verdadero par´metro.
a

n o

o

en general, para Prueba 4

Q(θ∗ ) = P(X > 7,5|θ = θ∗ )
X −θ 7,5 − θ
= P 1
> 1
|θ = θ∗
3 3
= P(3(X − θ∗ ) > 3(7,5 − θ∗ ))
= P(Z > 22,5 − 3θ∗ )

n o

o

Para Prueba 1

Q(θ∗ ) = P(X1 > 7|θ = θ∗ )
X1 − θ 7−θ
= P > |θ = θ∗
1 1
= P(X1 − θ∗ ) > (7 − θ∗ ))
= P(Z > 7 − θ∗ )

n o

o

1.0
0.8

Prueba 1
Prueba 4
0.6
Potencia

0.4
0.2
0.0

0 2 4 6 8 10

theta

n o

o

Prueba de Mayor Potencia (PM)

Prueba Uniforme de Mayor Potencia (UMP)

n o

o

Funciń Cr´
o ıtica

Definiciń:(Funciń Cr´
o o ıtica): Es la funciń Ψ : X n → [1, 0] que
o
establece cual es la probabilidad para la que H0 es rechazada
cuando se observa la muestra X .

As´
ı,
Q(θ) = E {Ψ(X )}

n o

o

Teorema de Neyman-Pearson
Se considera una prueba de hip´tesis H0 vs. H1 con regi´n de
o o
rechazo para H0 dada por,
x ∈ R si L(x; θ1 ) > kL(x; θ0 )

x ∈ Rc si L(x; θ1 ) < kL(x; θ0 ) ´ equivalentemente
o
Ψ(x) = 1 si L(x; θ1 ) > kL(x; θ0 )

Ψ(x) = 0 si L(x; θ1 ) < kL(x; θ0 )

donde k se determina mediante E {Ψ(X )} = α

Cualquier prueba que satisfaga ambos puntos es una Prueba
de Mayor Potencia (PM)

n o

o

Ejemplo

X1 , . . . , Xn ∼ N(µ, σ 2 ) con µ desconocido y σ conocido.

Prueba: H0 : µ = µ0 ;H1 = µ = µ1 , con µ1 > µ0

n
1 1
L(x; µ) = √ exp − 2 (xi − µ)2
( 2πσ)n 2σ
i=1
n
L(x; µ1 ) 1
= exp − (µ1 − µ0 ) xi exp(const)
L(x; µ0 ) σ2
i=1

n o

o

L(x;µ1 )
Rechazamos H0 si L(x;µ0 ) > k, k elegido a conveniencia
n
1
exp (µ1 − µ0 ) xi exp(c) > k
σ2
i=1

Basta con
n
xi > k
i=1
σ2 k
donde k = (µ1 −µ0 ) log ( e c )

n o

o

Preﬁero,

k
X >k ; k =
n
aun mas,
√ √
n n
Z= (X − µ0 > k ); k = (k − µ0 )
σ σ

Z ∼ N(0, 1) y P(Z > k )

n o

o

Elijo k para cola superior de la densidad dependiendo de α;
k = zα

entonces P(Z > zα ) = α

Si encuentro zα encuentro RR

n o

o

Prueba para una muestra
Sea X1 , X2 , .., Xn una muestra aleatoria de una distribuciń normal
o
con media µ desconocida.

H0 : µ = µ0 H0 : µ = µ0 H0 : µ = µ0
H1 : µ = µ0 H1 : µ > µ0 H1 : µ < µ0

Supńgase que la varianza poblacional σ 2 es conocida, y el
o
estad´ıstico de prueba es X bajo la hip´tesis nula, tiene una
o
√
distribuciń normal con media µ0 y desviaciń estńdar σ/ n, la
o o a
regiń de rechazo de tamaõ α para la hip´tesis bilateral es de la
o n o
forma

Rechazar H0 si X < x 1−α/2 o X > x α/2
Se tiene P(X < x 1−α/2 ) = α/2 y P(X > x α/2 ) = α/2

n o

o

√
Dado que bajo la hip´tesis nula, X ∼ N(µ0 , σ/ n), entonces de
o
forma equivalente
x 1−α/2 −µ0 x α/2 −µ0
P(Z > √
σ/ n
) = α/2 y P(Z < √ )=
σ/ n
α/2 o
x 1−α/2 −µ0 x −µ
z1−α/2 = √
σ/ n
y zα/2 = α/2√n 0
σ/

en donde z1−α/2 y zα/2 son los correspondientes valores de los
cuantiles d Z . Por lo tanto se debe rechazar H0 cuando un valor x
de X es tal que
σz1−α/2 σzα/2
x≥ √
n
o x≤ √
n

De manera equivalente se rechazar´ H0 cuando z ≥ z1−α/2 o
a
x−µ0
z ≤ zα/2 donde z = σ/√n

n o

o

Para la hip´tesis alternativa unilateral H1 : µ > µ0 , la regiń de
o o
rechazo de tamaõ α es el extremo derecho de la distribuciń de
n o
X ; esta es la forma

Rechazar H0 si X ≥ x 1−α

Donde x 1−α es el valor de cuantil de X tal que

P(X ≥ x 1−α ) = α

. En forma similar, para la hip´tesis alternativa H1 : µ < µ0 , la
o
regiń de rechazo es de la forma
o

Rechazar H0 si X ≤ x α

Donde x α es el valor de cuantil de X tal que

P(X ≤ x α ) = α

n o

o

En Resumen

Hip´tesis Nula
o Valor de la estad´
ıstica
de prueba bajo H0
x−µ0
H0 : µ = µ0 z = σ/√n
Hip´tesis Alternativa
o Criterio de Rechazo
H1 : µ = µ0 Rechazar H0 cuando z ≤ zα/2
o z ≥ z1−α/2

H1 : µ > µ0 Rechazar H0 cuando z ≥ z1−α

H1 : µ < µ0 Rechazar H0 cuando z ≤ zα

n o

o

Ejemplo 1
Los siguientes datos representan los tiempos de armado para 20
unidades seleccionadas aleatoriamente:

9.8 10.4 10.6 9.6 9.7
9.9 10.9 11.1 9.6 10.2
10.3 9.6 9.9 11.2 10.6
9.8 10.5 10.1 10.5 9.7

Supńgase que el tiempo necesario para armar una unidad es una
o
variable aleatoria normal con media µ y desviaciń estńdar
o a
σ = 0,6 minutos.
Con base a esta muestra, ¿Existe alguna razń para creer, a un
o
nivel de 0.05, que el tiempo de armado promedio es mayor a 10
minutos?
n o

o

H0 : µ = 10 vs. H1 = µ > 10

Rechazarse H0 con α = 0,05, entonces existe una raz´n para creer
o
que el tiempo necesario para armar una unidad es de 10 minutos.

Dado P(Z ≥ 1,645) = 0,05, el valor cr´ ıtico en t´rminos de la
e
variable aleatoria normal est´ndar es z0,95 = 1,645. De los datos de
a
la muestra, el valor x es igual a 10.2 minutos. Entonces:
¯
x − µ0
¯ 10,2 − 10
z= √ = √ = 1,4907
σ/ n 0,6/ 20

n o

o

Dado que z = 1,4907 < z0,95 = 1,645, no puede rechazarse la
hip´tesis nula, El valor de p en este caso es la probabilidad de que
o
la variable aleatoria est´ndar sea mayor o igual al valor de 1.4907,
a
dando como resultado que H0 sea cierta, puede verse que

P(Z ≥ 1,4907|µ = 10) = 0,0681

Puesto que p = 0,0681 > α = 0,05 se concluye que con base en la
muestra no existe la suﬁciente evidencia para rechazar la hip´tesis
o
de que el tiempo promedio necesario para armar una unidad es de
10 minutos.

n o

o

Cuando la σ 2 es desconocida, se estima utilizando el estimador
insesgado
n
(xi − x)2
S 2 = i=1
n−1
bajo la hip´tesis nula H0 : µ = µ0 el estad´
o ıstica de prueba es
x − µ0
T = √
S/ n
que tiene una distribuci´n t-student con n-1 grados de libertad.
o

n o

o

Hipotesis nula Valor de la estadistica
de prueba bajo H0

x −µ0
¯ √
H0 : µ = µ0 t= s/ n

Hipotesis Alternativa Criterios de rechazo

H1 : µ = µ0 Rechazar H0 cuando t ≤ tα/2,n−1
o cuando t ≥ t1−α,n−1

H1 : µ > µ0 Rechazar H0 cuando t ≥ t1−α,n−1

H1 : µ < µ0 Rechazar H0 cuando t ≤ tα,n−1

n o

o

Prueba para dos muestras

Sean X1 , X2 , . . . , Xn y Y1 , Y2 , . . . , Yn muestras aleatorias
provenientes de dos distribuciones normales independientes con
2 2
medias µX y µY y varianzas σX y σY , respectivamente. Supongase
que se desea probar que la hip´tesis nula:
o

H0 = µX − µY = δ0
contra una de las siguientes alternativas:

H1 : µX − µY = δ0 H1 : µX − µY > δ0 H1 : µX − µY < δ0

en donde δ0 es una cantidad que toma valores positivos o cero y la
cual representa diferencia propuesta entre los valores desconocidos
de las medias.

n o

o

Hipotesis nula Valor de la estadistica
de prueba bajo H0
H0 : µX − µY = δ0 z = x −¯−δ02
¯ y
2 σ σ
X + nY
nX Y
H1 : µX − µY = δ0 Rechazar H0 cuando z ≤ zα/2
o cuando z ≥ z1−α/2

H1 : µX − µY > δ0 Rechazar H0 cuando z ≥ z1−α

H1 : µX − µY < δ0 Rechazar H0 cuando z ≤ zα

n o

o

2 2
Si las varianzas σX y σY no se conocen pero se suponen iguales,
entonces para la hip´tesis nula
o

H0 : µX − µY = δ0

el estad´
ıstica prueba es

X − Y − δ0
T =
1 1
Sp nX + nY

Donde

Sp = 2 2
[(nX − 1)SX + (nY − 1)SY ]/(nX + nY − 2)

n o

o

Hip´tesis nula
o Valor de la estad´
ıstica
de prueba bajo H0

x −¯ −δ0
¯ y
H0 : µX − µY = δ0 t= 1
n
+ n1
X Y

Hip´tesis Alternativa
o Criterios de rechazo
H1 : µX − µY = δ0 Rechazar H0 cuando t ≤ tα/2,m
o cuando t ≥ t1−α/2,m
en donde m=nX − nY − 2

H1 : µX − µY > δ0 Rechazar H0 cuando t ≥ t1−α,m

H1 : µX − µY < δ0 Rechazar H0 cuando t ≤ tα,m

n o

o

Ejemplo 2

Se ha tomado el desempe˜o a un grupo de 32 trabajadores que son
n
capaces de realizar la misma tarea y de manera practica al mismo
tiempo. 16 fueron seleccionados al azar en un nivel modesto de
ruido (Nivel1), lo 16 restantes llevaran a cabo la misma tarea bajo
un ruido de nivel 2.
Asumiendo que estos datos constituyen dos muestra aleatoria
independientes con varianza iguales pero no conocidas.¿ Existe una
raz´n para creer que le tiempo promedio para el nivel 2 es mayor
o
que el de nivel 1 con α = 0,01

n o

o

Nivel 1 14 12 15 15 11 16 17 12
Nivel 2 20 22 18 18 19 15 18 15

Nivel 1 14 13 18 13 18 15 16 11
Nivel 2 22 18 19 15 21 22 18 16

n o

o

H0 : µ2 − µ1 = 0 vs. H1 = µ2 − µ1 > 0
Dado que las varianzas son desconocidas, α = 0,01,n1 = n2 = 16
el de t0,99,30 = 2,457. De los datos se tiene que x 1 = 14,375,
x 2 = 18,5, s 1 = 2,27 y s2 = 2,44.

(15)(2,27)2 + (15)(2,44)2
sp 2 = = 5,5917
16 + 16 − 2

sp = 2,3647

x2 − x1 − 0
T = = 4,933991
sp( (1/nx1 + 1/nx2 ))
Dado que T = 4,933991 es mayor que t0,99,30 = 2,457 se rechaza
H0

n o

o

Pruebas sobres las medias cuando las observaciones esta
pareadas

Numero de par Nivel I Nivel 2 Diferencia
(Persona ) (PS antes) (PS despu´s )
e Y − X∗
1 X1 Y1 D1 = Y1 − X1
2 X2 Y2 D2 = Y2 − X2
. . . .
. . . .
. . . .
n Xn Yn Dn = Yn − Xn

n o

o

H0 = µD = δD
la estad´
ıstica

D − δ0
T = √
SD / n
tiene una distribuci´n t de Student con n − 1 grados de libertad,
o
en donde
n
D= Di /n
i=1
y
n
2
SD = (Di − D)2 /(n − 1)
i=1

n o

o

Criterios de rechazo para las prueba de hip´tesis con respecto
o
a las medias cuando las observaciones estan pareadas

Hipotesis nula Valor de la estad´
ıstica
de prueba bajo H0

d−δ0
H0 : µD = δ0 t= √
sd / n

H1 : µD = δ0 Rechazar H0 cuando t ≤ tα/2,n−1
o cuando t ≥ t1−α,n−1

H1 : µD > δ0 Rechazar H0 cuando t ≥ t1−α,n−1

H1 : µD < δ0 Rechazar H0 cuando t ≤ tα,n−1

n o

o

(PS) (PS) Diferencias
(Sujeto) (antes) (despu´s)
e (despu´s-antes)
e
1 128 134 6
2 176 174 -2
3 110 118 8
4 149 152 3
5 183 187 4
6 136 136 0
7 118 125 7
8 158 168 10
9 150 152 2
10 130 128 -2
11 126 130 4
12 162 167 5

n o

o

¯
En la columna de diferencia se obtiene que d = 3,75 y
SD = 3,7929. De esta forma el valor del estad´
ıstico de prueba es:
3,75 − 0
T = √ = 3,425
3,7929/ 12
dado que el valor critico es t0,99,11 = 2,718 se rechaza la hip´tesis
o
nula de no efecto del medicamento.

n o

o

Prueba de hip´tesis con respecto a las varianzas cuando se
o
muestrean distribuciones normales

Prueba para una muestra: Sea X1 , X2 , . . . , Xn una muestra
aleatoria de una distribuci´n normal con media µ desconocida y
o
varianza σ 2 desconocida. Consid´rese nula la prueba de la siguiente
e
hip´tesis
o
H0 = σ 2 = σ0
2

contra una las siguientes alternativas:

H1 = σ 2 = σ0
2
H1 = σ 2 > σ0
2
H1 = σ 2 < σ0
2

n o

o

ıstica
de prueba bajo H0

(n−1)s 2
H0 = σ 2 = σ0
2 χ2 = 2
σ0

H1 = σ 2 = σ02 Rechazar H0 cuando χ2 ≥ χ2 1−α/2,n−1
o cuando χ2 ≤ χ2 α/2,n−1

H1 = σ 2 > σ0
2 Rechazar H0 cuando χ2 ≥ χ2
1−α,n−1

H1 = σ 2 < σ0
2 Rechazar H0 cuando χ2 ≤ χ2
α,n−1

n o

o

Prueba para dos muestras: Sea X1 , X2 , . . . , Xn y Y1 , Y2 , . . . , Yn
dos muestras aleatorias de dos distribuciones normales con medias
2 2
desconocidas µX y µY y varianzas σX y σY desconocidas.
Consid´rese la prueba de la siguiente hip´tesis nula
e o
2 2
H0 = σX = σY

contra las siguientes alternativas:

2 2 2 2 2 2
H1 = σX = σY H1 = σX > σY H1 = σX < σY

Las estad´ 2 2
ısticas de inter´s son las varianzas muestrales SX y SY .
e
Entonces
S 2 /σ 2
F = X X2 2
SY /σY

n o

o

ıstica
de prueba bajo H0

2 2
H0 = σX = σY 2 2
f = SX /SY

2
H1 = σX = σY 2 Rechazar H0 cuando f ≥ f1−α/2,nX −1,nY −1
o cuando f ≤ f1−α/2,nY −1,nX −1

2 2
H1 = σX > σY Rechazar H0 cuando f ≥ f1−α,nX −1,nY −1

2 2
H1 = σX < σY Rechazar H0 cuando f ≤ f1−α,nY −1,nX −1

n o

o

En el ejemplo 2 se asumi´ que la varianza en ambos niveles eran
o
iguales para veriﬁcar esa suposici´n a un nivel de α = 0,1 suponga
o
que se prueba la hip´tesis
o
2 2
H0 = σ1 = σ2

contra la alternativa
2 2
H1 = σ1 = σ2
Se observa que los valores cr´ ıticos, izquierdo y derecho, son
f0,95,15,15 = 2,40 y 1/f0,95,15,15 = 1/2,40 = 0,42 respectivamente.
2 2
Con base en los datos de la muestra S1 = 5,1833 y S2 = 6,0, De
esta forma el valor del estad´ ıstico de prueba es

f = 5,1883/6 = 0,8639

Dado que f=0.8639 no es ni mayor ni igual a 2.4, ni menor ni igual
a 0.42, no es posible rechazar la hip´tesis nula.
o
n o

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