Este documento presenta un problema de maximización de volumen al construir una caja rectangular a partir de una pieza de cartón de 40x30 cm realizando recortes cuadrados en cada esquina. Se explora el efecto del tamaño de los recortes en el volumen mediante mediciones experimentales y el uso de funciones. Finalmente, se resuelve el problema mediante cálculo diferencial, encontrando que los recortes óptimos miden 5.65741454 cm, dando una caja de 28.6851709x18.6851709x5.65741454 cm

1. ¡MATEMÁTICAS!
La caja .
P ro b l e m a d e r a z o n a m i e n to.
Se dispone de una pieza
rectangular, de cartón de
40x30 cm .
Con este material se va a
construir una caja sin tapa ,
para ello se recortaran 4
cuadrados en cada esquina
Y se doblaran las piezas
resultantes.
¿ cuanto deben de medir los
cuadros a recortar para que
el volumen de la caja sea el
mayor posible?
¿ cuales serán las medidas
de la caja ?
¿Cuál será el volumen
máximo de la caja.?
Así es como que daría nuestra caja ya lista para formarse.
Puntos de interés
especial:

Volumen


Ancho


Altura
Largo
Medidas.

2. PÁGINA
2
LA CAJA .
Problema de la caja
Al hacer recortes en cada una de las
esquinas el problema es el que resulta
y el que se plantea :
40 cm
¿ crees que el tamaño del recorte del
cuadrado influya en el volumen total
de la caja.
30
cm
40 cm
Para comprobar si en
comprobar con distintas
verdad cambia el
medidas a ver que tal:
volumen con lo que se
recorta en
El tamaño de los cuadrados que se
cada
recortaran verdaderamente influyen en el
cuadrado .
Vamos a
volumen de la caja ?
Al efectuar un recorte en
la caja de 2 cm
cuadrados en la
siguiente imagen nos
damos cuenta del las
dimensiones
Longitud es : 36 cm y el
ancho
es : 26
cm.
Pie de imagen o gráfico.
Para saber si el
tamaño del cuadro que
se va a recortar en
cada esquina influye
en el volumen de la
caja comprobaremos
con distintas medidas
en el tamaño del
recorte que aremos.

3. CAJA.
PÁGINA
3
Cual es el volumen de la caja?
El volumen de la caja es el
que necesitamos para saber
si cambia con el tamaño del
corte para esto necesitamos
hacer una simple operación.
Largo: 36 cm
Tenemos el ancho, la
longitud y la altura.
La multiplicación de
estos 3 resultados nos
arroja el resultado de :
1872 cm3 y este es
nuestro volumen .
Y al conocer estas 3
cantidades el volumen lo
obtenemos simplemente
multiplicando estas tres
dimensiones entre si .
¡ s i c a m b i a m o s e l ta m a ñ o
d e l c u a d r a d o qu e s e
Al realizar la operaciones
correspondientes nos damos
cuenta de que efectivamente
cambia el
resultado de
Aumentamos la medida del
las
dimensiones .
cuadrado de recorte a 3 cm .
Nuestro volumen
efectivamente
aumento.
Que pasara?
Lo i n t e n ta r e m o s c o n m a s m e d i da s .
Para facilitar nuestro trabajo lo aremos
con una tabla y a continuación les
mostramos los resultados .
Esta es nuestra tabla obtenida.
Ancho: 26 cm
Altura: 2 cm

4. PROBLEMA DE LA CAJA.
En nuestra tabla nos damos cuenta que entre el
5 y el 6 anda nuestro volumen máximo . Pero
necesitamos integrar algunos decimales al
integrar 5.5 y 6.5. nos damos cuenta que nuestro
valor máximo es en el 5.5.
Pero no tendrá mas decimales; así no podremos
seguir necesitamos un método mas eficaz para
hacer nuestra comprobación.
Este es un problema difícil de resolver necesitaremos un
método mejor para tener el resultado mas concreto.
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Título del artículo de la página
posterior
Si podemos determinar que se
trata de una parábola, será
sencillo encontrar la solución,
ya que el volumen máximo se
encontraría en el vértice de la
parábola.
Vamos a determinar la ecuación
que describe el volumen en
función del tamaño del
cuadrado que se recorta para
construir la caja.
Las dimensiones de la caja tomando la
medida del cuadrado que se recorta como
“x”.

5. Procediendo a la solución :
Nos falta el volumen, este se obtiene multiplicando el largo, por el ancho y por la altura.
Este quedaría así ;
No es una parábola, ya que la ecuación de esta curva es de segundo grado y se obtuvo una
cúbica.
La estrategia de determinar el punto máximo mediante el vértice no puede aplicarse en
este problema.

6. Problema de la caja.
Aquí en esta grafica
podemos observar que
efectivamente no es una
parábola ya que no es
simétrica.
Seguiremos tabulando con
mayores valores solo para
comprobar:
En la siguiente imagen nos
constatamos de que no es una
parábola.
Esta es la grafica
con una función
cubica que nos da 3
respuestas ;
X1: 0
X2: 15
X3: 20

7. La función cubica nos a ayudado a comprender un poco mas el problema
pero aun no hemos podido resolverlo solo tenemos una aproximación y esto
no es suficiente para nosotros.
Que herramienta podríamos utilizar.
El calculo diferencial.
que ya
El calculo diferencial es nuestra
opción para resolver este problema
nos esta sacando canas verdes.
El procedimiento para resolver este problema mediante
derivadas recibe el nombre de máximos y mínimos
relativos.
En un ´proceso sencillo lograremos resolver este
problema a continuación se les brinda los pasos a
seguir;
1.Obtener la función que describe el
fenómeno en estudio
2.Determinar la primera derivada
3.Igualar a cero la derivada

8. Primer paso;
Este paso ya lo realizamos
, se trata de la función que expresa el volumen en
función de la medida del cuadrado que se va a recortar:
3
2
y = 4x – 140x + 1200x
Segundo paso ;
Determinamos la primer derivada;
Empleando y aplicando las formulas obtenemos;
Tercer paso ;
Igualamos la derivada a cero;
Al igualar a cero la derivada estamos tratando de encontrar los puntos críticos del problema.

9. La ecuación que se obtuvo es una ecuación de segundo grado esta se puede resolver por la
formula general:
Al resolver la ecuación sustituimos en la formula general y efectuamos operaciones para
resolver.
Obtenemos 2 resultados pero
debemos interpretar estos
mismos para saber cual es el
correcto.

10. Los resultados los interpretamos y nos damos cuenta que nos da estos 2 resultados ya que nosotros
buscamos los máximos y mínimos relativos.
Nosotros buscábamos solo el volumen máximo pero en el problema también nos da el mínimo.
Nuestra solución al problema es la x2 :ya nosotros buscamos maximizar el volumen.
Lo que nos preguntan es:
¿Cuánto deben medir los cuadrados que se recorten?
¿Cuáles deben ser las dimensiones de la caja?
¿Cuánto es el volumen máximo?
El valor de x2 responde solamente a la primera pregunta.
Se deben recortar cuadrados que midan 5.65741454 cm por lado.
Las dimensiones de la caja serán:
Longitud = 28.6851709
Ancho = 18.6851709
Altura = 5.65741454
Para así conseguir un volumen máximo de ;
3032.3024606
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