1. MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA UN SISTEMA DE ECUACIONES DE 2X2

2. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (2X2) Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de expresiones algebraicas que se suelen representar de la siguiente forma: donde x e y son las incógnitas, a, a’, b y b’ son los coeficientes y c y c’ son los términos independientes.

3. Un ejemplo de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas 3x-y=9 2x +3y= 5 Cada una de las ecuaciones que componen el sistema, por separado, tendrían infinitas soluciones, ya que hay infinitas parejas de números que resten -9 y, por otro lado, infinitos pares de números cuya suma sea 5. Sin embargo, al considerar juntas ambas ecuaciones para formar el sistema, estaremos buscando un par de números (x, y) que cumplan a la vez las dos

4. POSIBILIDAD DE SOLUCIONES Una solución del sistema es un par de números “x” e “y” reales que al sustituirlos en las dos ecuaciones las verifiquen. Cuando un sistema tiene solución se dice que es compatible; en caso contrario será incompatible. Los sistemas compatibles pueden tener una única solución o infinitas soluciones.

5. El análisis de las diferentes soluciones de un sistema sería el siguiente:

6. a) Infinitas soluciones En este caso se llama sistema compatible indeterminado. Esto se producirá cuando todos los coeficientes que forman una y otra ecuación sean proporcionales, es decir : a/a’ = b/b’ = c/c’ ( con a’ ≠ 0, b’ ≠ 0 , c’ ≠ 0 porque no existe la división por cero ) Gráficamente significaría que ambas rectas son la misma, son coincidentes

7. b) Solución única En este caso se llama sistema compatible determinado. Los coeficientes de las incógnitas no serán proporcionales , es decir: a/a’ ≠ b/b’ ( con a’ ≠ 0 y b’ ≠ 0 ) Gráficamente significaría que ambas rectas se cortan en un único punto

8. c) No tenga solución En este caso se llama sistema incompatible. Los coeficientes de x e y serán proporcionales pero no a los términos independientes, es decir : a/a’ = b/b’ ≠ c/c’ ( con a’ ≠ 0, b’ ≠ 0 y c’ ≠ 0) Gráficamente esto ocurrirá cuando las dos rectas no tengan puntos comunes es decir sean paralelas

9. Existen cuatro métodos o técnicas básicas para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones:

10. MÉTODOS DE SOLUCIÓN MÉTODO DE SUSTITUCIÓN MÉTODO DE IGUALACIÓN MÉTODO DE REDUCCIÓN (+ y -) MÉTODO DE DETERMINANTES MÉTODO POR REPRESENTACION GRAFICA

11. Ejemplo Hallar el valor de “x” y de “y” que satisfaga este sistema 3x+y=7 X+2y=-1

12. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Despejando de la primer ecuación la variable “y” se obtiene: y = 7 − 3x (*) Sustituyendo en la segunda ecuación: x + 2.(7 − 3x) = −1 y aplicando distintas operaciones se llega: x+14-6x=1 => -5x+14=-1 -5 x--------- => x=3 -5

13. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN y = 7 – 3.3 ⇒ y = -2 volviendo a la ecuación (*) se obtiene que Entonces las soluciones son: x = 3 e y = -2 7=7 -1=-1 3x+y=7 x+2y=-1 3.3+(-2)=7 3+2.(-2)-1 se reemplaza por los valores obtenidos: ⇒ Verificación:

14. MÉTODO DE igualación Consiste en despejar de ambas ecuaciones una misma variable y luego igualar. 3x+y=7 X+2y=-1

15. MÉTODO DE igualación Despejando de la primer y segunda ecuación la variable “y” se obtiene: Y=7-3x Y= Igualando: multiplicando cruzado se llega a: -1-x(*) ______ 2.(7 − 3x) = −1− x 2 aplicando distributiva: 14 − 6x = −1− x agrupando variables: 14+1 = −x +6 x ⇒15 = x se llega a el valor __ 5 de: x = 3 volviendo a las ecuaciones (*) se obtiene el valor de y = -2

16. MÉTODO DE reducción + o - Consiste en multiplicar una (o ambas) ecuación (es) por números reales que permitan igualar los coeficientes de una de las variables, para luego sumar o restar las ecuaciones y anular dicha variable. Hallar el valor de “x” y de “y” que satisfaga este sistema: 3x+y=7 X+2y=-1

17. OPCIÓN I: Si quisiéramos anular la variable x, tendríamos que multiplicar a la segunda ecuación por “3” y luego restarlas. Es equivalente a multiplicarla por “-3” y sumar las ecuaciones. Multiplicando por “-3” a la segunda ecuación nos queda: 3x+y=7 -3x-6y=3 3x+y=7 10 ___ -3x-6y=3 ________ ⇒ y = y = -2 ⇒ Sumando ambas ecuaciones: 5 0x-5y=10

18. OPCIÓN I: Al valor de “y” se lo reemplaza en la primer o segunda ecuación y se obtiene el de “x”, ejemplo reemplazando en la segunda: x + 2.(−2) = −1⇒ x − 4 = −1⇒ x = −1+ 4 entonces x = 3

19. OPCIÓN ii: La otra posibilidad era la de cancelar la variable “y”, para ello convenía multiplicar a la primer ecuación por “-2” : -6x-2y=-14 X+2y=-1 sumando ambas ecuaciones 16x-2y=-14 X+2y=-1 -15 5 ___ _________ ⇒x = ⇒ x = 3 -5x- 0y =-15

20. OPCIÓN ii: Teniendo el valor de “x” se reemplaza en alguna de las ecuaciones como por ejemplo en la primer ecuación : 3.3 + y = 7⇒9 + y = 7⇒ y = 7 − 9 entonces y = -2

21. MÉTODO por determinantes Este método tiene una justificación teórica no tan sencilla como su resolución. En este nivel de conocimientos, adoptaremos la practicidad de hallar las soluciones de las variables a través del cálculo por determinantes sin entrar en el desarrollo formal de ellos. Partimos de un sistema de ecuaciones ordenado 3x+y=7 X+2y=-1 como el del ejemplo anterior:

22. MÉTODO por determinantes (en el miembro de la derecha de cada ecuación se encuentra los términos de la variable “x” e “y” , y en el miembro del lado derecho el término independiente) 3 1 1 2 =3.2-1.1=6-1=5 Δ= 1 2 3 1 Leyendo por columna son los coeficientes de “x” y son los coeficientes de “y”

23. MÉTODO por determinantes También se calculan otros dos determinantes x Δ y Δ y 3 7 1 -1 7 1 -1 2 Δy= =3.(-1)-1.7=-3-7=-10 =7.2-(-1).1=14-1=15 Δx= La columna de los coeficientes de “x” se reemplazó por la de los términos independientes La columna de los coeficientes de “y” se reemplazó por la de los términos independientes

24. MÉTODO por determinantes Δy Δx Ahora calculamos la variable “x” como y la variable “y” como y=-------- X=-------- Δ Δ Resulta en el ejemplo que las soluciones son: Δx 15 5 X=---------=-------=3 Δ Δy -10 5 Y=---------=-------=-2 Δ

25. MÉTODO grafico Un sistema puede resolverse en forma gráfica. Su solución resulta ser la intersección de dos rectas. De cada una de las ecuaciones se despeja la variable “y”, para transformar a la ecuación en una función de “y” dependiendo de “x”, se grafica cada función, que resulta ser una recta (por tener la variable “x” elevada a la primer potencia). ¿Cómo graficar estas rectas? █ Podemos armar una tabla de valores o graficarla usando el concepto de pendiente y ordenada al origen

26. MÉTODO grafico Resolver analítica y gráficamente el siguiente sistema: -2x+y=-7 X+y=2 Para resolverlo analíticamente podemos aplicar cualquiera de los métodos antes mencionados (Sustitución, igualación, reducción). Llegamos a obtener la siguiente solución: x = 3 e y = -1

27. MÉTODO grafico Resolución gráfica: Para este ejemplo armaremos dos sencillas tablas, recomendando representar por lo mínimo tres puntos (si bien una recta se determina con dos puntos, no es conveniente representar sólo dos, porque puede calcularse alguno mal y graficar en consecuencia incorrectamente) Despejando de ambas ecuación la variable “y” se obtiene: Y=-x+2 Y=2x-7

28. MÉTODO grafico Armando tablas de valores y graficando se obtiene:

29. MÉTODO grafico ( 3; -1) Es el punto de intersección de las rectas: es decir la solución gráfica, coincidente con la que se encontró en forma analítica.

30. Muchas gracias