Visitamos a Física clássica de I. Newton a J.C. Maxwell até o aparecimento do problema de "corpo negro". Apresentamos a solução deste problema proposta por M. Planck, levando ao nascimento da Física Quântica. Mostramos a evolução da velha para a nova Mecânica Quântica.

1. Nascimento da Mecˆnica Quˆntica
a a
Maria Teresa Thomaz
Roteiro da apresenta¸˜o:
ca
1. A pergunta milenar ...
2. As certezas, novidades e d´ vidas da F´
u ısica do s´culo XIX
e
3. Desenhando o ´tomo: a descoberta do el´tron
a e
4. F´
ısica atˆmica fenomenol´gica
o o
5. Mecˆnica ondulat´ria × Mecˆnica das matrizes
a o a
6. Uma Mecˆnica Quˆntica
a a
7. A pergunta foi respondida? Uma estrada a percorrer...
8. Bibliografia

2. Jorge Andr´ Swieca
e A.F.R. de Toledo Piza
Este semin´rio ´ dedicado ao
a e
Prof. Jorge Andr´ Swieca e ao
e
Prof. Antˆnio Fernando R. de Toledo Piza,
o
meus professores de Mecˆnica Quˆntica.
a a

3. 1. A pergunta milenar ...
Uma proposta que veio antes da era de Cristo: o ´tomo.
a
“Por conven¸˜o existe a cor,
ca
por conven¸˜o existe a do¸ura,
ca c
por conven¸˜o existe o amargo,
ca
mas na realidade existe
´tomos e espa¸o”
a c
Dem´crito (400 A.C.)
o
O que ´ o ´tomo?
e a

4. 2. As certezas, novidades e d´ vidas da F´
u ısica do
s´culo XIX
e
As certezas:
Mecˆnica:
a
“Principia, The Mathematical
Principle of Natural of
Phylosophy” (1687)
As 3 leis de Newton:
descrevem o movimento de
part´
ıculas pontuais
⇒ Corpo r´
ıgido: conjunto
de part´
ıculas pontuais.

5. As leis de Newton descrevem exatamente a Natureza.
Sir Isaac Newton
Eletricidade: fil´sofos gregos 600 A.C. sabiam que
o
esfregando peda¸os de ˆmbar eles atraiam peda¸os de palha.
c a c
Eletrost´tica: Lei de Coulomb (1785)
a
Charles Augustin de Coulomb

6. Lei de Coulomb: intera¸˜o entre duas cargas el´tricas
ca e
pontuais.
q1 q2
|F | = k
r2

7. Magnetismo: a magnetita era conhecida pelos gregos
antes da era de Cristo. Esta pedra vinha de regi˜o da
a
Gr´cia chamada de Magn´sia.
e e
• 2.700 A.C.: b´ ssula r´ stica dos chineses feitas de
u u
“lodestone”.
• 1.000 D.C. - 1.200 D.C.: b´ ssulas para navega¸˜o
u ca
• 1.600 D.C.: William Gilbert, o “Pai do Magnetismo”
“A Terra ´ um grande ´ a.”
e ım˜
William Gilbert

8. ´
Optica geom´trica:
e
Euclides ( 280 A.C.): a luz se propaga em linha reta. Ele
tamb´m formulou a lei da reflex˜o.
e a
Willebrod Snell (1621) e Ren´ Descartes (1637): lei da
e
refra¸˜o.
ca

9. Lei da refra¸˜o de Snell:
ca
n1 sen(θ1 ) = n2 sen(θ2 ).

10. As novidades do s´culo XIX:
e
Teoria cin´tica dos gases:
e tratamento estat´
ıstico
das mol´culas que comp˜em os gases (∼ 1866).
e o
Esta teoria foi formulada independentemente por L.
Boltzmann e J.C. Maxwell ⇒ nascimento da Mecˆnicaa
Estat´
ıstica, que foi proposta separadamente por Ludwig
Boltzmann e Josiah W. Gibbs.
Ludwig Boltzmann Josiah W. Gibbs

11. Eletromagnetismo:
Lei de indu¸˜o de Faraday (1831): varia¸˜o de fluxo de
ca ca
campo magn´tico no tempo geram campos el´tricos.
e e
Lei de Amp`re (1835): campos magn´ticos s˜o gerados por
e e a
cargas el´tricas em movimento.
e
James Clerk Maxwell (1855- 1856): formula¸˜o matem´tica
ca a
da lei de indu¸˜o de Faraday e introduziu o termo de
ca
corrente de deslocameno na lei de Amp`re =⇒ a unifica¸˜o
e ca
dos fenˆmenos el´tricos e magn´ticos explicados pelas 4 eqs.
o e e
do Eletromagnetismo.
James Clerk Maxwell

12. Consequˆncias das 4 equa¸˜es de Maxwell:
e co
• Em 1862, Maxwell mostra que a velocidade de
propaga¸˜o das ondas eletromagn´ticas ≈ velocidade da luz
ca e
=⇒ a luz ´ uma onda eletromagn´tica.
e e
• Em 1866, Heinrich Hertz detectou as ondas de r´dio.
a
◮ No entanto: mesmo Maxwell supunha a existˆncia do ´ter
e e
como meio de propaga¸˜o das ondas eletromagn´ticas no
ca e
v´cuo.
a

13. Tabela Peri´dica de Elementos (1869):
o
Dmitri I. Mendeleiev dispˆs os elementos qu´
o ımicos
conhecidos num quadro em ordem crescente de suas massas
atˆmicas e segundo suas propriedades. Ele previu a
o
existˆncia de novos elementos.
e
Dmitri Ivanovitch Mendeleiev

14. Radioatividade espontˆnea: foi descoberta por Antoine H.
a
Becquerel em 1896.
Antoine Henri Becquerel
Em 1898, atrav´s dos estudos dos ”raios de Becquerel”,
e
Pierre e Marie Curie descobriram o radium e o polonium, que
possuem radioatividade natural.
Pierre e Marie Curie

15. Problemas em aberto no s´culo XIX:
e
• Radia¸˜o de corpo negro: a radia¸˜o emitida por fornos
ca ca
tem a seguinte distribui¸˜o por comprimento de onda:
ca
A F´ısica Cl´ssica prevˆ que a intensidade da radia¸˜o
a e ca
emitida cresce com a frequˆncia (”cat´strofe do
e a
ultravioleta”, ν → ∞ e λ → 0):

16. • Linhas espectrais: linhas de emiss˜o e absor¸˜o do ´tomo
a ca a
de hidrogˆnio.
e
Johann Balmer (1885): “adivinhou“ a f´rmula que descreve
o
um conjunto de linhas de absor¸˜o/ emiss˜o do ´tomo de
ca a a
hidrogˆnio:
e
cte × m2
λ= 2−4
, m = 3, 4, 5, 6 e 7, cte = 3654, 6 × 10−8 cm
m

17. 3. Desenhando o ´tomo: a descoberta do el´tron
a e
Joseph J. Thomson estudando os raios cat´dicos, descobriu
o
o el´tron em 1897.
e
Joseph John Thomson
Proposta de Thomson para o ´tomo: pudim de ameixas
a

18. Espalhamento de part´ ıculas α por filmes finos de ouro:
No per´ıodo de 1909-1911, Ernest Rutherford, Hans Geiger e
Ernest Marsden realizaram a experiˆncia do espalhamento
e
de part´
ıculas α por filmes finos de ouro:
A interpreta¸˜o de Rutherford dos dados experimentais
ca
permitiu a resposta a pergunta milenar: O que ´ oe
´tomo?
a
Ernest Rutherford

19. Modelo planet´rio de Rutherford para o ´tomo de
a a
hidrogˆnio:
e
Raio atˆmico: 10−10 m ,
o Raio nuclear: 10−15 a 10−14 m.
Instabilidade do ´tomo de Rutherford:
a
Eletromagnetismo Cl´ssico: cargas el´tricas aceleradas
a e
irradiam. Tempo para o el´tron cair no n´ cleo no modelo
e u
planet´rio de Rutherford: 10−9 s!!!!!!
a

20. Ap´s a interpreta¸˜o de Rutherford dos resultado
o ca
experimentais, passamos a “conhecer“ o que ´ o ´tomo, mas
e a
que teoria descreve corretamente a
dinˆmica dos fenˆmenos na escala de
a o
10−10 m (dentro do ´tomo) ?
a
A descri¸˜o completa das part´
ca ıculas que comp˜em o ´tomo
o a
s´ ocorreu quando foram descobertos:
o
• Pr´ton em 1918 por Ernest Rutherford
o
• Neutron em 1932 por James Chadwick

21. 4. F´
ısica atˆmica fenomenol´gica
o o
• Max Planck em 1900: prop˜e a quantiza¸˜o da energia dos
o ca
osciladores harmˆnicos que descrevem as paredes internas
o
do corpo negro para resolver o problema da radia¸˜o do
ca
corpo negro: En = hνn .
Max Planck
Na express˜o da quantiza¸˜o da energia do oscilador
a ca
harmˆnico, nasce uma nova constante na F´
o ısica:
−34
h = 6, 63 × 10 Js.
A constante h tem dimens˜o de momento angular.
a

22. Express˜o de Planck
a
para a densidade de
energia da cavidade:
8πhc 1
E(λ, T ) = λ5 hc
e λkT −1

23. • Efeito Fotoel´trico: A corrente medida possui uma
e
frequˆncia de corte e esta n˜o depende da intensidade da
e a
luz incidente.
Em 1905 Albert Einstein usa a quantiza¸˜o da energia
ca
proposta por Planck para tratar a luz como part´
ıcula
(f´ton). Ele prop˜e que o f´ton ´ absorvido completamente
o o o e
e instantaneamente pelo el´tron do meio material.
e

24. Energia do f´ton:
o E = hν , sendo ν a frequˆncia da luz.
e
Ec : energia cin´tica do el´tron ejetado do metal.
e e
W : fun¸˜o trabalho do metal (independente de ν).
ca
V0 : ddp para que o el´tron ejetado alcance a placa do
e
amper´
ımetro com velocidade zero.
Express˜o de Einstein para o efeito fotoel´trico:
a e
conserva¸˜o de energia.
ca
Ec = hν − W
hν
= eV0 =⇒ V0 = −W
e
A dependˆncia linear do efeito fotoel´trico com a
e e
frequˆncia da luz incidente foi obtida experimentalmente
e
por R. A. Millikan em 1916.

25. ´
• Atomo de Bohr- Rutherford:
Em 1913 Niels Henrick
David Bohr, propˆs
o
4 postulados para
garantir a estabilidade do
modelo planet´rio de
a
Rutherford para o ´tomo
a
de hidrogˆnio.
e
Postulados de Bohr:
1o : Existe um conjunto discreto de energias estacion´rias, calculadas
a
pela F´ısica Cl´ssica. As ´rbitas dos el´trons s˜o circulares.
a o e a
2o : O el´tron atˆmico s´ pode fazer transi¸˜o entre 2 ´rbitas de
e o o ca o
energia estacion´ria (salto quˆntico).
a a
3o : A energia se conserva nos fenˆmenos atˆmicos. A frequˆncia de
o o e
Bohr ν: ν = En −Em .
h
4o : Quantiza¸˜o do momento angular: l = nh , n = 1, 2, 3 · · · .
ca z 2π

26. As energias estacion´rias do
a
´tomo de Bohr-Rutherford
a
para o hidrogˆnio:
e
me4
En = − 2n2 2 , n = 1, 2, 3, · · ·
h
sendo = 2π , e h a constante de Planck.
Acertos do ´tomo de Bohr-Rutherford:
a
⇑ obt´m as linhas espectrais da s´rie de Balmer.
e e
4
⇑ o ´tomo ´ est´vel: possui um estado fundamental, Ef un = − me2 .
a e a 2
Desacertos do ´tomo de Bohr-Rutherford:
a
⇓ n˜o explica as linhas de absor¸˜o do ´tomo de hidrogˆnio sob a a¸˜o
a ca a e ca
de um campo el´trico (efeito Stark).
e
⇓ a intensidade I da luz emitida numa transi¸˜o eletrˆnica entre dois
ca o
ıveis ´: I ∝ r1 . Qual raio usar se temos 2 raios de trajet´ria num
n´ e 2 o
salto quˆntico?
a

27. Um meio conserto para o modelo de Bohr-Rutherford:
W. Wilson (1915) e Arnold J.W. Sommerfeld (1916):
trajet´rias el´
o ıpiticas s˜o tamb´m poss´
a e ıveis para o el´tron no
e
´tomo de hidrogˆnio:
a e
Arnold J.W. Sommerfeld
Regra de quantiza¸˜o de Sommerfeld
ca
para o momento angular:
pi dqi = ni h, i = x, y, z.
=⇒ as linhas de absor¸˜o do efeito Stark s˜o obtidas pela
ca a
nova regra de quantiza¸˜o do momento angular.
ca

28. O templo da F´
ısica Atˆmica:
o
O Instituto de F´
ısica Te´rica foi inaugurado por Niels Bohr
o
em Mar¸o de 1921 em Copenhagen.
c
Hoje ´:
e
Niels Bohr Institute
Blegdamsvej 17
2100 Copenhagen ∅
Dinamarca

29. • A onda de mat´ria de Louis de Broglie
e
Na tese de doutorado do Pr´ıncipe Louis Victor de Broglie
(1924): os el´trons se comportam como ondas, com
e
comprimento λ:
h
mv = .
λ

30. As ´rbitas de Bohr no
o
´tomo de hidrogˆnio s˜o
a e a
aquelas cujo o comprimento
corresponde a um n´ mero
u
inteiro de comprimentos de
ondas de mat´ria (λ).
e
A tese de doutorado de de Broglie era t˜o original, que foi
a
solicitada a avalia¸˜o de Albert Einstein. A sua opini˜o
ca a
sobre a tese: ”Ela levanta uma ponta do grande v´u.”
e
=⇒ a tese foi aprovada!!!!

31. Com Einstein em 1905 e de Broglie em 1924 passamos a
saber que a Natureza ´ sim´trica/dual:
e e
luz : onda ⇋ part´
ıcula
el´trons : part´
e ıcula ⇋ onda
Aqui termina a era da fenomenologia da
F´
ısica para distˆncias
a 10−10 m.

32. Reconhecimento da comunidade cient´ ıfica aos primeiros
desbravadores do interior do ´tomo: concess˜o de Prˆmios
a a e
Nobel:
• Joseph J. Thomson: F´ ısica (1906)- pelas investiga¸˜es te´ricas e
co o
experimentais sobre a condu¸˜o de eletricidade nos gases.
ca
• Ernest Rutherford: Qu´ımica (1908)- pelas investiga¸˜es sobre a
co
desintegra¸˜o de elementos e a qu´
ca ımica de materias radioativos.
• Max Planck: F´
ısica (1918) - pela descoberta dos quanta de energia.
• Albert Einstein: F´
ısica (1921) - descoberta da lei do efeito
fotoel´trico.
e
• Niels H. D. Bohr: F´
ısica (1922) - pelas investiga¸˜es sobre a
co
estrutura dos ´tomos e a radia¸˜o emitida por eles.
a ca
• Pr´
ıncipe Louis V. de Broglie: F´
ısica (1929)- pela descoberta da
natureza ondulat´ria dos el´trons.
o e

33. 5. Mecˆnica ondulat´ria × Mecˆnica das matrizes
a o a
ısica Cl´ssica: nasce a F´
Uma ruptura com a F´ a ısica
Quˆntica!!!!
a
• Erwin Rudolf Josef Alexander Schr¨dinger
o
Em novembro de 1925 Schr¨dinger apresenta um semin´rio
o a
sobre a tese de doutorado de de Broglie. Schr¨dinger
o
relembra a observa¸˜o de Peter Debye: “... aquela forma de
ca
fazer as coisas lhe parece algo infantil; como aluno de
Sommerfeld, tinha aprendido que, para lidar decentemente
com ondas, ´ preciso que se tenha uma equa¸˜o de ondas.“
e ca

34. Em 1926, Schr¨dinger (35 anos) prop˜e sua equa¸˜o de
o o ca
ondas de mat´ria:
e
2
2 ∂ψ(x, t)
− ∇ ψ(x, t) + V (x)ψ(x, t) = i , Mecˆnica Ondulat´ria
a o
2m ∂t
sendo ψ(x, t) uma onda de mat´ria.
e
A partir desta equa¸˜o, Schr¨dinger obt´m o espectro de
ca o e
energia do ´tomo de hidrogˆnio:
a e
13.6
En = − 2
eV, n = 1, 2, 3 · · ·
n
assim como o espectro de energia do efeito Stark.
A Mecˆnica Ondulat´ria parece n˜o ter saltos quˆnticos.
a o a a
Em 1926, na solu¸˜o do efeito Stark, Schr¨dinger
ca o
reinterpreta |ψ(x, t)|2 como a densidade espacial de carga
el´trica.
e

35. • Werner Karl Heisenberg
W. Heisenber foi orientado por
A. Sommerfeld na sua gradua¸˜o
ca
na Univ. de Munique.
Sommerfeld convida Heisenberg em 1922 para ir na Univ. de
G¨ttingen, onde N. Bohr vai apresentar um conjunto de palestras.
o
Neste encontro, N. Bohr convida Heisenberg (21 anos) para passar
uma temporada no Instituto de F´ısica Te´rica em Copenhagen.
o
Visita de Heisenberg ` Bohr em Copenhagen:
a
• primavera de 1924
• ano de 1924: setembro de 1924 a maio de 1925 (Bolsa da Funda¸˜o
ca
Rockfeller)

36. Id´ia central de Heisenberg: abandonar os conceitos
e
cl´ssicos, substituindo-os por ingredientes novos com rela¸˜o
a ca
direta com as propriedades observ´veis dos ´tomos.
a a
Candidato: saltos quˆnticos
a
Em junho de 1925, Heisenberg (23 anos) decide trabalhar
com objetos com 2 ´
ındices e formula a dinˆmica de sistemas
a
quˆnticos:
a
• distˆncia: rEn ,Em ⇒ rn,m
a Mecˆnica das Matrizes:
a
=⇒ o espectro do pˆndulo
e
• momento: pEn ,Em ⇒ pn,m quˆntico
a
Max Born e Pascual Jordan reconhecem que os objetos que
Heisenberg usava para descrever a F´
ısica do ´tomo eram
a
matrizes!!!!!

37. Em novembro de 1925, Wolfgang Pauli obteve o espectro do
´tomo de hidrogˆnio a partir da Mecˆnica de Matrizes de
a e a
Heisenberg.
De janeiro a fevereiro de 1926: Schr¨dinger mostrou a
o
equivalˆncia matem´tica de sua Mecˆnica Ondulat´ria com
e a a o
a Mecˆnica das Matrizes de Heisenberg.
a
O primeiro encontro entre Schr¨dinger e Heisenberg ocorre
o
em 1926: Sommerfeld convida Schr¨dinger para apresentar
o
um semin´rio na Univ. de Munique. Heisenberg est´ na
a a
plat´ia com cr´
e ıticas!!!
O ponto da disc´rdia: os saltos quˆnticos
o a

38. 6. Uma Mecˆnica Quˆntica
a a
Interpreta¸˜o de G¨ttingen- Copenhagen: Max Born (1926)
ca o
|ψ(x, t)|2 : densidade de probabilidade
associada ` posi¸˜o do el´tron.
a ca e
Os el´trons s˜o encontrados
e a
pontos definidos no espa¸o.
c
Max Born
Com a interpreta¸˜o de Born a Mecˆnica Quˆntica passa a
ca a a
ser uma teoria probabil´
ıstica.

39. Rea¸˜o de Schr¨dinger ` interpreta¸˜o de G¨ttingen-
ca o a ca o
Copenhagen: rejei¸˜o. Para Schr¨dinger as ondas
ca o
representadas por ψ(x, t) deveriam representar uma
realidade f´
ısica compar´vel ` dos campos eletromagn´ticos.
a a e
1927: Heisenberg demonstrou o Princ´
ıpio da Incerteza a
partir da Mecˆnica de Matrizes:
a
∆x ∆p ≥ =⇒ n˜o existem trajet´rias na MQ!!!!!
a o
2
Desde a d´cada de 30 sabemos que a Mecˆnica Ondulat´ria
e a o
e a Mecˆnica das Matrizes s˜o duas maneiras diferentes de
a a
escrever a mesma dinˆmica da F´
a ısica do ´tomo!!!!
a

40. 7. A pergunta foi respondida? Uma estrada a
percorrer...
Hoje temos a Mecˆnica Quˆntica que descreve a dinˆmica
a a a
de sistemas quˆnticos na escala atˆmica (∼ 10−10 m).
a o
Ser´ que Dem´crito est´ satisfeito
a o a
com a nossa resposta ` pergunta:
a
O que ´ o ´tomo?
e a

41. Para Dem´crito a palavra ´tomo significa o indivis´
o a ıvel.
A busca ao indivis´
ıvel continua...
“Quando os reis constroem, os oper´rios tˆm o que fazer.“
a e
F. von Schiller

42. 8. Bibliografia
Este semin´rio ´ baseado nos livros:
a e
Agrade¸o as horas agrad´veis de leitura que tive aos autores
c a
amigos!!!