1. La programación lineal trata de optimizar funciones lineales mediante el uso de variables de decisión y restricciones lineales para resolver problemas de asignación de recursos. 2. Incluye variables de decisión, función objetivo, coeficientes, restricciones y disponibilidad de recursos. 3. Se pueden usar métodos gráficos, el método simplex o software especializado para resolver problemas de programación lineal.
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INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación Superior.
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”.
Extensión Barinas
Barinas Estado Barinas
Autores:
Maria Batista 30.220.961
Luis Diaz 30.078.405
Rosana Torrivilla 24.122.275
Miguel Díaz 26.459.796
Tutor. Ing Roxana Rodríguez
Barinas, Mayo de 2021
2. La programación lineal corresponde a un algoritmo a través del cual se pueden resolver
situaciones reales en las que se pretende identificar y resolver dificultades para aumentar la
productividad respecto a los recursos (principalmente los limitados y costosos), aumentando
así los beneficios. El objetivo primordial de la programación lineal es optimizar, es decir,
maximizar o minimizar funciones lineales en varias variables reales con restricciones lineales
(sistemas de inecuaciones lineales) optimizando una función objetivo también lineal.
Objetivo de la programación lineal
Esta programación es un conjunto de técnicas de análisis y de resolución de problemas que
tiene la finalidad de facilitarle ayuda a los responsables en las decisiones relacionadas en
situaciones donde interviene una gran cantidad de variables. Dentro del desarrollo de la
investigación de operaciones en general y de una determinada programación en particular se
ha producido un impulso favorable debido a los ordenadores, como por ejemplo se encuentra
uno de gran importancia como lo es el método del simplex.
Entre los objetivos más importantes que se encuentran dentro de esta programación se
encuentran:
• Adquirir conocimiento sobre la programación lineal al igual que sus diferentes aplicaciones
en la vida cotidiana.
• Seguir determinados pasos para la construcción de un modelo.
• Realizar planteamientos con la finalidad de resolver diversas situaciones en relación a la
programación
3. Las variables de decisión:
Son las cantidades, volúmenes o comportamientos, que se intentan estimar, como resultado.
La función objetivo:
Es la expresión matemática que intenta optimizar (maximizar o minimizar), algún valor
numérico que representa ganancias, costos, cantidad de producción, volumen de inversión. Su
razón de ser es evaluar, en qué medida cada variable de decisión contribuye al valor neto de
una actividad económica especifica.
Coeficiente de la función:
Expresa la cantidad en la que el valor de la función objetivo cambiaría cuando se modifica una
unidad de una variable de decisión, viene dada por el coeficiente de función objetivo
correspondiente.
Restricciones:
Las restricciones son ecuaciones que limitan o definen la cantidad total de un recurso
particular, que es necesario o requerido para llevar a cabo las actividades que decidirían el
nivel de optimización de las variables de decisión.
4. Restricciones no negativas.
Una condición obligatoria de este tipo de restricciones, es que tienen que ser
positivas con independencia, de que el objetivo de la función sea maximizar o
minimizar el valor. La solución óptima de un problema de programación lineal, es
aquella que satisfaga mejor las restricciones.
Esto quiere decir que de todas las soluciones factibles, será óptima aquella que en
el caso de una necesidad de maximización, el valor de la función objetivo sea el
mayor posible, o sea el máximo. Por el contrario, si nos encontramos ante un
problema de minímización , la solución más adecuada será aquella donde la
función objetivo ofrezca el mínimo.
Recursos disponibles
Constituyen los materiales, recursos, o elementos que participan en la ecuación y
sobre los que se aplica la misma
Coeficientes tecnológicos
Cuando intentamos prever el futuro a través de la programación lineal, es
importante considerar las limitaciones técnicas que nos impone la realidad objetiva
y el entorno. Los coeficientes tecnológicos, son elementos de referencia que
conocemos y sobre los que se mueve el fenómeno que necesitamos estimar.
5. La estructura de un problema de programación lineal debería ser algo como esto
Aquí podemos identificar los diferentes componentes:
1. vd1 y vd2 son las variables de decisión
2. Maximize 20* vd1 + 18*vd2 es la función objetivo
3. 20* vd1 y 18*vd2 son los coeficientes de la función
4. 0.25*vd1 + 1*vd2 ≤ 60 es la primera restricción
5. 1.40*vd1 + 0.5*vd2 ≤ 90 es la segunda restricción
6. vd1 & vd2 ≥ 0 es la restricción negativa
7. 0.25, 1, 1.40, 0.5 son los coeficientes tecnológicos
8. 65, 90 es la disponibilidad de recursos
6. Método gráfico
Las rectas de nivel dan
los puntos del plano en
los que la función objetivo
toma el mismo valor. El
procedimiento gráfico
comienza elaborando una
gráfica que muestre las
soluciones posibles
(valores X1 y X2). La
gráfica tendrá valores los
valores X1 en el eje
horizontal y los valores
X2 en el eje vertical.
Métodos de solución en la programación lineal
Método Simplex
Constituye un procedimiento
iterativo algebraico que
resuelve cualquier problema
en un número finito de pasos.
Fue elaborado por George
Dantzing en 1947.La
concepción de este método ha
facilitados que otros
especialistas del tema
desarrollen otros métodos de
solución con la misma filosofía,
pero más adecuados para la
programación por
computadoras.
Esquema
práctico
Los problemas de
programación se
pueden mostrar de
manera estándar,
facilitando la función,
los objetivos y las
restricciones o
simplemente se
plantean a través de un
enunciado.
7.
8.
9. Tipos de Soluciones
Factibles
• Con solución única.
• Con solución múltiple
cuando se presenta más
de una solución.
• Con solución no acotada
en caso de que no exista
limitante para la función
objetivo.
No factible
• no existe el conjunto
de soluciones
• Dichas restricciones
son inconsistentes
10. 1. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser
funciones lineales. En este caso, la palabra programación no se refiere a programación en
computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación. Así la programación lineal trata
de planeación de las actividades para obtener un resultado optimo.
2. Aunque la asignación de recursos a las actividades es la aplicación mas frecuente la
programación lineal tiene muchas otras posibilidades. De hecho, cualquier problema cuyo
modelo matemático se ajuste al formato general del modelo de programación lineal es un
problema de programación lineal.
3. Proporcionalidad. Implica que la función objetivo Z, la cual queda reducida a Z = CrXr y la
utilización de cada recurso que sería AirXr(i = 1, 2,..., m), son directamente proporcionales
al valor de la actividad r determinada.
4. Aditivita. Dados los niveles de actividad, el uso total de cada recurso y el valor resultante
de Z deben igualar la suma correspondiente a las cantidades generadas por el valor de
cada actividad.
5. No negatividad. El resultado de cada una de las variables de decisión en la solución
óptima debe ser positivo. Cuando se presentan variables negativas, éstas se deben
expresar como la adición de variables positivas.
6. Optimalizad. En algunos casos las variables reales que describen las actividades tienen
sentido únicamente con valores enteros; debemos tener en cuenta que en Programación
Lineal se aceptan valores reales positivos
11. La fábrica de Hilados y Tejidos «SALAZAR» requiere fabricar dos tejidos de calidad diferente
T y T’; se dispone de 500 Kg de hilo a, 300 Kg de hilo b y 108 Kg de hilo c. Para obtener un
metro de T diariamente se necesitan 125 gr de a, 150 gr de b y 72 gr de c; para producir un
metro de T’ por día se necesitan 200 gr de a, 100 gr de b y 27 gr de c. El T se vende a $4000
el metro y el T’ se vende a $5000 el metro. Si se debe obtener el máximo beneficio, ¿cuántos
metros de T y T’ se deben fabricar?
Paso 1: Formular el problema
Para realizar este paso partimos de la pregunta central del problema.
¿Cuántos metros de T y T’ se deben fabricar?
la formulación es:
“Determinar la cantidad de metros diarios de tejido tipo T y T’ a fabricar teniendo en cuenta el
óptimo beneficio respecto a la utilidad”.
Paso 2: Determinar las variables de decisión
Basándonos en la formulación del problema nuestras variables de decisión son:
XT: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T a fabricar
XT’: Cantidad de metros diarios de tejido tipo T’ a fabricar
12. PASO 3: Determinar las restricciones del problema
En este paso determinamos las funciones que limitan el problema, estas están dadas
por capacidad, disponibilidad, proporción, no negatividad entre otras.
De disponibilidad de materia prima:
0,125XT + 0,200XT’ <= 500 Hilo “a”
0,150XT + 0,100XT’ <= 300 Hilo “b”
0,072XT + 0,027XT’ <= 108 Hilo “c”
De no negatividad
XT,XT’ >= 0
PASO 4: Determinar la Función Objetivo
En este paso es de vital importancia establecer el contexto operativo del problema
para de esta forma determinar si es de Maximización o Minimización. En este caso
abordamos el contexto de beneficio por ende lo ideal es Maximizar.
Función Objetivo
ZMAX = 4000XT + 5000XT’
PASO 5: Resolver el modelo utilizando software o métodos manuales
A menudo los problemas de programación lineal están constituidos por innumerables
variables, lo cual dificulta su resolución manual, es por esto que se recurre a software
especializado, como es el caso de WinQSB, TORA, Lingo, Solver de Excel o para modelos
complejos se hace útil una herramienta potente como Google OR-Tools.
