Guia sesion 13 apa f

PENSAMIENTO LÓGICO 2014 - I
En nuestra vida cotidiana existen fenómenos físicos que el
hombre a través de la historia ha tratado de explicarse, por
ejemplo la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la
trayectoria que describeun río al caer desde lo alto de una
montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual
se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen,
con respecto al tiempo transcurrido,cuando una partícula
es lanzada con una velocidad inicial. Por este motivo,
muchos hombres de ciencias han utilizado como
herramienta principal para realizar sus cálculos la
ecuación cuadrática.
En la actualidad los estudiosos hacen uso de ella para explicar situaciones de economía como porejemplo
saber sobre las ganancias que podrían tener un negocio, o el hecho de minimizar sus costos de
producción.
Pero no son los únicos campos estudios donde este
tema encuentra aplicaciones, pues puede ser aplicada
en la ingeniería civil, para resolver problemas
específicos tomando como punto de apoyo la
ecuación de segundo grado, en la construcción de
puentes colgantes que se encuentran suspendidos en
uno de los cables amarrados a dos torres.
Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para
estudiar los efectos nutricionales de los organismos.
Todas estas situaciones se representan con la función
COMPETENCIA INDICADORES
 Aplica contenidos conceptuales y
procedimentales de la Lógica
Matemática para solucionar
problemas de la realidad, de
manera acertada, responsable y
proactiva.
 Resuelve problemas aplicando
funciones cuadráticas
Introducción

cuadrática que a continuación veremos.
En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica
definida como:
y = f(x) = ax 2 + bx + c ; con a , b , c  lR y a  0
En la expresión anterior:
Ejemplo:
f (x) = 4x2 – 2x + 5
4x2 es el término cuadrático,
– 2x es el término lineal,y
5 es el término independiente
El dominio de la función es lRy su gráfica es una curva llamada parábola.En su
gráfica identificamoslos siguientes elementos:
I DEFINICIÓN:

II ASPECTOSIMPORTANTES:
Sea f: A  B; f(x) = ax2 + bx + c,
Donde:A y B son subconjuntos de lR;a, b, c  lR , y a  0.
2.1. Concavidad
 Si a > 0  cóncava hacia arriba.
 Si a < 0  cóncava hacia abajo.
2.2. Interseccionescon el eje x
Para encontrar las intersecciones con el eje x debemosresolverf(x) = 0,
es decir, se resuelve: ax2 + bx + c = 0
la cual sabemos quetiene como solución:
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
La cantidad de intersecciones depende delvalorde discriminante:  = b2 − 4ac

Si   0:Corta en dos puntos al eje x :
𝑥1 =
−𝑏+√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
y 𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Si  = 0: Corta en un punto al eje x:
𝑥 =
−𝑏
2𝑎
Si   0: La gráfica de la parábolaNOCORTA al eje x
Así, las intersecciones corresponden a (x1, 0) y (x2, 0) ó únicamente(x1, 0)
2.3.Interseccionescon el eje y
Para encontrar la intersección con el eje y basta calcularla imagen de 0, es decir,f(0). Así, si f(x)
= ax2 + bx + c entonces f(0) = a(0)2 + b(0) + c = c
Siempre es el punto (0, c)
Ejemplo: Grafique f(x) = x2 − 2x − 3
Solución.
1. Como a = 1, sabemos que la parábola es
cóncavahacia arriba.
2. La intersección con el eje y es f(0)
= 02 – 2(0) − 3 = -3
La intersección con el eje y es (0,−3)
3. Para encontrar las intersecciones con el eje x
resolvemos f(x) = 0. Podemos verificar que
  0, por lo tanto, corta al eje x en dos
puntos.
f(x) = 0  x2 − 2x − 3 = 0
(x + 1)(x − 3) = 0
es decir, x = −1 y x = 3.
Luego, las intersecciones con el eje x
corresponden a (−1;0) y (3;0).
De aquí podemos verque la gráfica de
f(x) = x2 − 2x – 3 corresponde a:

x -1 0 1 2 3 4 5
y -1 1 -6 -3 -2 -3 -6 -1 1
2
2.4. Eje de Simetría
Es la línea vertical quedividela parábola a la mitad. La
ecuación del ejede simetríaestá dadapor: 𝑥 =
−𝑏
2𝑎
2.5.Vértice
Puede ser un punto máximo (cuando es cóncava hacia abajo) o punto mínimo (cuando es cóncava
hacia arriba).
𝑉 = (
−𝑏
2𝑎
; 𝑓 (
−𝑏
2𝑎
))
Toda ecuación cuadráticade coeficientesrealesf(x) = ax 2 + bx + c se puede escribir como
f (x) = a(x - h) 2 + k; siendo el par (h, k) el vérticede la parábola.
h 
b
2a
; k 
4ac  b
4a
o también k = f(h)
Ejemplo:
Estudia y representa la gráfica de la
parábola de ecuación y = -x2 + 4x - 6
1. Como a = -1  a < 0, la parábola está
abierta haciaabajo.
2. Calculamos las coordenadasdel
vértice.
3. Construimos una tabla de valores
Hallando puntos simétricos respecto del eje
de simetría.
𝑥 = ℎ =
−𝑏
2𝑎
=
−4
2(−1)
= 2

4. El eje de simetría es la recta de ecuación
x = 2.
5. Hallamos los puntos de cortecon los ejes.
6. El punto de corte con el eje Y es
(0, f (0)) = (0, c) = (0, -6).
7 . Para hallar los puntos de corte con el
Eje X resolvemos la ecuación de segundo
grado:-x2 + 4x - 6 = 0
𝑥 =
−4 ± √42 − 4(−1)(−6)
2(−1)
=
−4 ± √−8
−2
La ecuación no posee soluciones reales, por tanto,
la gráfica no corta al eje X.
EJERCICIOSRESUELTOS
Ejemplo 1: Grafica la función:f(x) = x2 – 4x + 6
Como a = 1  a > 0 b
= -4
c = 6
V = (h, k)
Su gráfica es:
Donde:
ℎ =
−𝑏
2𝑎
=
−(−4)
2(1)
= 2
𝑘 = 𝑓(2) = (2)2
− 4(2) + 6 = 2
Luego las coordenadasserán: (2;2)
Dom = lR Rango = 2;

Ejemplo2: Grafica la función:f(x) = -2x2 + 4x + 1
Como a = -2  a < 0 b
= 4
c = 1
Hallando V = (h, k)
Su gráfica es:
Donde:
ℎ =
−𝑏
2𝑎
=
−(4)
2(−2)
= 1
𝑘 = 𝑓(1) = −2(1)2
+ 4(1) + 1
𝑘 = 3
Luego las coordenadasserán: (1; 3)
Dom = lR Rango = -; 3
Ejemplo3: Representalas siguientes funciones haciendo, en cada caso,una tabla de valores como esta,
e indica cuál es el vértice de cada parábola:
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y
a) y = x2 + 3 b) y = x2 – 4 c) y = 2x2 d) y = 0,5x2

Ejemplo4: Grafica la función cuadrática
y  2x
2
6x 2; para x  1; 3.
Determina el dominio y el rango.
Solución:
Los valores de los coeficientesson: a = –2, b = 6 y c = 2
Hallamos el vérticede la parábola:
Reemplazamos en la fórmula
𝒉 =
−𝒃
𝟐𝐚
=
−𝟔
𝟐(−𝟐)
=
𝟑
𝟐
Hallando el eje de simetría:
𝐱 =
𝟑
𝟐
es el eje de simetría es la recta
Hallando los interceptoscon los ejes:
 Intercepto en “y” es el punto (0;c) que al reemplazar el valor de “c” se obtiene: (0,2).
 El intercepto en “x” se obtiene cuando el valor de y es cero (y = 0).
Para hallar los interceptos en “x”, si es que los hay, debemosverificarque: (6)
2
4(2)(2)  0

ejedesimetría
x 1 3
y 4 2
Como: (6)
2
4(2)(2)  52, eso quiere
decir que sí hay intercepto en el eje “x”.
Hallemos entonceslas soluciones de la ecuación
Resolvemosla ecuación con la fórmula:2x
2
6x 2 0
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−(6) ± √(6)2 − 4(−2)(2)
2(−2)
𝑥 =
−6±7,21
−4
Tenemos: x1
= –0,30
x2 = 3,30
El máximo de la función es 13/2 y el mínimo es 2.
Observación:
Los números que hemos obtenido no pertenecen al
dominio de la función.
Es decir: –0,30 1; 3
3,30 1; 3
Entonces NO hay interceptos en “x”
Como el dominio es un subconjunto de R, hallamos los puntospara sus valores extremos. Utilizamos
la tabla de valores:
Dominio y rango de la función:
Del grafico podemos obtener:
D f = 1 ; 3R f = 2 ; 6,5

III. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES CUADRATICAS:
Las funciones cuadráticas son de mucha utilidad para resolver los problemas de la vida cotidiana, en
especial para maximizar y minimizar situaciones. Esto significa que podemos encontrar el valor máximo o
mínimo a partir de las condiciones del problema o situación.Para ello, es necesario utilizar las coordenadas
del vértice.
Ejemplo 1.
La altura en metros de un objeto lanzado desde el suelo hacia arriba después de t segundos está dada por
la ecuación: ℎ( 𝑡) = 16𝑡(6 − 𝑡)
a. Calcule el tiempo en quevuelveal suelo.
b. Calcule la altura máxima.
Resolución:
1° Si el objeto vuelveal suelo es porqueh(t) = 0.
Sustituyendo la ecuación: ℎ( 𝑡) = 16𝑡(6 − 𝑡) = 96𝑡 − 16𝑡2
→ −16𝑡2
+ 96𝑡 = 0
Resolviendo obtenemos t = 0 y t = 6. Pero t = 0 representa el momento en que fue lanzado el objeto, así
que esa no es una solución válida. El objeto vuelve al suelo después de 6 segundos.
2° Para la altura máxima se puede calcular la coordenadaen y del vérticede la función:
ℎ( 𝑡) = 16𝑡(6 − 𝑡) = 96𝑡 − 16𝑡2
Se tiene que:
a = −16, b = 96, c = 0
  = (96)2 − 4(−16)(0) = 9216
V 
 9216
 144
4(-16)
Por lo tanto la altura máxima es 144m.
Ejemplo 2.
El número de personas atacadas cada día por una determinada
enfermedadvienedado porlafunción:
f (x) =–x2 + 40x + 84, donde “x” representa el número de
días transcurridos desdeque se descubrió la enfermedad.
a) ¿Cuántas personas enferman el quinto día?
b) ¿Cuándo deja de crecer la enfermedad?
c) ¿Cuándo desaparecerá la enfermedad?
Resolución:
1°La funciónquerepresentaelnúmero de personas atacadas
cada día por una determinada enfermedad
es: f (x) = –x2 + 40x + 84; el número de personas que
enferman el quinto día es:
f (5) = – (5)2 + 40(5) + 84 f (5) = – 25 + 200 + 84

= 259 personas
2° El vérticede la función cuadrática es: V (h;k), siendo “h” el número de días que crece la enfermedad
y “k” el número de enfermos que hay hasta dicho tiempo transcurrido. Para averiguar cuando deja de crecer la
enfermedad hallamos “h”:
h 
 ( 40)
 20 días
2(–1)
3° Para saber el tiempo que durará dicha enfermedad hacemos: f (x) = 0, luego:
–x2 + 40x + 84 = 0 x2 – 40x – 84 = 0
(x + 2)(x – 42) = 0 x = 2  x = 42
Rpta: La enfermedad desaparecerá a los 42 días.
Ejemplo 3.
El administradorde un minimarket observaquetiene200 kg
de naranjasquehoy se venderíana 0,40 soles el kilogramo.
Cada día que pasa se estropea 1 kg y el precio aumenta en
0,01 soles cada kilogramo. ¿Cuándo se debe de vender las
naranjasparaobtener el máximo beneficio?¿Cuál será ese
beneficio?
Resolución:
Si x es el número de días transcurridos,entonces 200 – x
es el nuevo peso de las naranjas que no se estropearon.
Además el nuevo precio porkilogramo de naranja sería:
0,40 + 0,01x, con lo que el nuevo Ingreso sería:
P(x) =(200-x)(0,40+0,01x), que al efectuarlo sería
equivalente a: −0,01𝑥2
+ 1,6𝑥 + 80. Luego:
1° Sea V (h; k) el vértice de la función cuadrática P (x) = –
0,01x2 + 1,6x + 80, donde al aplicarla forma general se tiene
que: a = –0,01 b = 1,6
2° Además “h” representa el número de días
transcurridos y “k” es el máximo beneficio
obtenido al vender dichas naranjas, luego:
ℎ =
−𝑏
2𝑎
=
−(1,6)
2(−0,01)
= 80 𝑑𝑖𝑎𝑠
3° El beneficio máximo que se obtiene por la venta de naranjas es:
k = f (80) = –0,01(80)2 + 1,6(80) + 80 = S/.144
Ejemplo4.
PRECIO PESO INGRESO
140,00 1,00 140,00
135,00 1,05 141,75
130,00 1,10 143,00
125,00 1,15 143,75
120,00 1,20 144,00
115,00 1,25 143,75
110,00 1,30 143,00
105,00 1,35 141,75
100,00 1,40 140,00
95,00 1,45 137,75

Los estudiantes de Turismo y Hotelería plantean realizar una capacitación sobre “Representante
comercial de una o muchas firmas que deseen operaren el extranjero y/o en el país”. Para llevaradelante el
desarrollo de esta capacitación, determinan que los costos fijos es S/.1 000 y el costo variableque pagará cada
participante será S/.50.
a) Determine la función costo
b) Si el ingreso está dado por la función I (x) = -5x2 + 200x + 2000, determine el número de
participantes que deberán asistir para maximizar la ganancia. Indicar dicha ganancia.
Resolución:
Sea “x” el número de participantes,por dato se tiene:
CF = 1 000 CV = 50x
Luego:
a) Sabemos que:CT = CF + CV La función costo será:C(x) = 50x + 1 000
b) La función Ingreso está dado por la función:I (x) = -5x2 + 200x + 2000;entonces como:
U (x) = I (x) – C (x). Reemplazando se tiene:
U (x) = -5x2 + 200x + 2000 –(50x + 1 000) U (x) = -5x2 + 150x + 1 000
Sea (h; k) el vértice delafuncióncuadrática: U (x) = -5x2 + 150x + 1 000 donde a = -5 b = 200
siendo “h”elnúmero de participantes y “k”lagananciamáxima,luego:
ℎ =
−𝑏
2𝑎
=
−(150)
2(−5)
= 15
K = f (15) = -5(15)2 + 150(15) + 1 000 k = S/.2125
Rpta:El número de participantes quedeben asistir a dicha capacitación debe ser de 15
para que la ganancia máxima sea de S/.2125.



RESUMEN
Cóncav a hacia abajo
Función
cuadrática
Cóncava hacia arriba
Cuando a<0
Es una expresión de la forma:
f(x)= ax2+bx + c
DONDE
Cuando a>0
a, b y c ℝ y 𝑎 ≠ 0
Su gráfica es una
parábola
Vértice
𝒉 =
−𝒃
𝟐𝒂
; 𝒌 = 𝒇(𝒉)

HOJADETRABAJO# 13
I. Grafica las siguientes funciones, indicando el máximo o mínimo según sea el caso:
a) ) f (x) =x
2
-3x- 10
b)f(x) = -4x
2
+ 4x+ 15

c) f (x) =(x+1)(5 -x)
d) f (x) = - x
2
+9

e) f (x) = 4x
2
+4x+ 1
f) f (x) = 0,9x
2
– 3x+2,5

g) f (x) = 4(x+4)(0,6x - 1)
h) f (x) = -(x-2)
2
–x(1+x) + 5

II.Resuelve las siguientes situaciones problemáticas haciendo uso de las funciones
cuadráticas.
El administrador de unequipo profesional de fú tbol
desea maximizarsusingresos, para ello m odela el
ingreso porventas de boletos mediante la fu nción:
𝑰( 𝒙) = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒙(𝟐𝟑,𝟓− 𝒙)
¿Cuál es el precio que maximiza el ingreso por la venta
de boletos? ¿Cu ál es este ingreso m áxim o?
El costo promedio por u nidad (en dólares) para
producir x unidadesde papel pararealizar trabajosde
Arquitectu ra, está dado por la fu nción: 𝑪( 𝒙) =
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝒙 𝟐
− 𝟎,𝟎𝟔𝒙 + 𝟐𝟎¿Qu é cantidad de papel se
deberá produ cir para m inim izar el costo
promedio? ¿Cuál es dicho costo promedio mínimo
por u nidad?
Un Ingeniero de Sistemas realiza el control de
calidad de nu ev os cartu chos de tinta para
im presora, encontrando qu e la dem anda del
m ercado de x unidadesde cartuchos de tinta al
preciode p dólares por unidad está dado por:
𝑥 + 7,5𝑝 = 360.
¿Qué preciopor unidad p maximiza la utilidad,
sabiendoque loscostos fijos son de $2 5 0 y el
costo del material con que se fabricala tinta es
de $ 4 por u nidad?
U n Ingeniero Civil al inspeccionar el av ance del
tren eléctrico en la zonade SanJuande Lurigancho,
observ ó desde el piso com o u n rem ache salió
disparado desde lo alto de la estructura. Si él m odeló
la alturah (en pies) desde la cual cayó el remache por:
ℎ = 1,5 + 1,8𝑥 − 0,015𝑥2
, siendo“x” la distancia
horizontal (en pies) desde el punto en el que el
remache salió disparado. ¿Desde qué altura
máxima salió disparado el remache? ¿Qué
distancia horizontal recorrió el remache?
Rpta: Rpta:
Rpta:
Rpta:
0403
02
01

05 Las funciones de Oferta O(p) y Dem anda D(p)en
dólares, paraunproductoen milesde u nidades son
respectiv am ente:
𝑶( 𝒑)= −𝟐𝟎+ 𝟎, 𝟏𝟔𝒑 𝟐
𝑫( 𝒑) = −𝟎,𝟖𝒑+ 𝟎,𝟏𝟐𝒑𝟐
+ 𝟒𝟎
Donde “p” representa el precio de v enta del
producto, en dólares. Determine la cantidad y el
precio de equ ilibrio del m ercado.
06Un nutricionista proporcionacierto tipo de vitaminas a
u n grupo de deportistas que vana participar en los
ju egosInteruniversitarios del presente año. Su
concentración t minutos después en mg/lt es: 𝑪( 𝒕) =
𝒕
𝟓𝟎𝟎𝟎
( 𝟑𝟎𝟎 − 𝒕);
donde: 0 ≤ t ≤ 240. Se desea m axim izar
laconcentración, ¿qué tiempo deberá transcu rrir
desde que la vitaminaingresa a su organismo? ¿Cu ál
es dicha concentración m áxim a?
07 Un Ingeniero Industrial analiza y evalúa el proceso de
producción de rasuradoras eléctricas, qu e tienen
costosfijos mensualesde S/. 1800y costo variable por
u nidad de S/. 12,80. Si el ingreso obtenido por vender
x rasu radoras está dado por : 𝑰( 𝒙)= −𝟎, 𝟒𝒙 𝟐
+
𝟖𝟒,𝟖𝒙. Halle:
a) El número de rasuradoras eléctricas qu e deben
v enderse al mes para maximizar el ingreso. ¿Cu ál es
este ingreso m áxim o?
b) ¿Cuántas rasuradoras eléctricas debenproducirse y
v enderse al m es con tal de obtener u na u tilidad
m áxim a? ¿Cu ál es esta u tilidad m áxim a?
08 Un estudiante de Enferm ería de la Facu ltad de
Ciencias Médicas realiza u na pru eba para
m etabolismode azúcar en la sangre, en ciertotiempo
t en horas. Si la cantidad de azúcaren la sangre está
dada por:
𝑨( 𝒙) = −𝟎, 𝟏( 𝒕− 𝟏)𝟐
− 𝟑,𝟖
¿Cu ál era la cantidad de azú car en la sangre al
iniciar la pru eba? ¿Al cabo de ¾ horas? ¿Y 7 5
m inu tos despu és de iniciada?
Rpta: Rpta:
Rpta:
Rpta:

09 10
Un gru po de estu diantes de la Escu ela de Negocios
Internacionales piensan inv ertir dinero en
im portaciones de paneles solaresque se instalarían en
las azoteasde casas residenciales, para extraer energía
de los ray os solares. Si la fu nción qu e m odela el
consumo de Kilowatt– hora(enmillones) está dado
por:
𝑺( 𝒕) = 𝟐,𝟕 + 𝟏𝟓,𝟖𝒕+ 𝟎, 𝟕𝟑𝒕 𝟐
; 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝟎
Si 𝒕 = 𝟎 parainicios del 2 000, ¿cuál fue el consumo de
Kilowatt – hora a principios del 2 01 0? ¿Y a
principios del 2 01 5 ?
11 Charles David Keeling descubrió que el incremento de l
bióxido de carbono en la atmósfera es la cau sa m ás
importante del calentamiento global,paraello ideó un
m odelo matemáticoque da la cantidad aproximadade
CO2 enla atmósfera, medida envolumen de partes
por millón (vppm), desde 1958hasta 2 007 dada
por la fu nción:
A(t)= 0,010716t2
+ 0,8212t+ 313,4
donde: 1 ≤ t ≤ 50. ¿Cuál fue la cantidad promedio de
C02 atm osférico a inicios de 1 9 7 8 y 2 008?
El administrador de unconcesionario de autom óv iles
qu e participará en el EXPOMOTOR 2014 sabe que
la utilidad diaria por la v enta de cierto m odelo de
m iniv an está dada por :
𝑷( 𝒙) = −𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟑𝟗𝟗, donde x es el nú m ero
deminivans v endidas. Determ ine el nú m ero de
m inivans que hace máximala utilidad diaria. Diga
cu ál es esa u tilidad.
Un estu diante de la Escu ela de Tu rism o y
Hotelería, adm inistra la em presa “Lu m ix
accesorios S.A.C” qu e fabrica accesorios de
iluminación de todo tipo. Si su costo diario de
produ cción está dado por la fu nción:
𝑪( 𝒙) = 𝟎,𝟐𝟓( 𝒙 − 𝟐𝟎)𝟐
+ 𝟕𝟎𝟎, siendo C el costo
total en dólares y “x” el nú m ero de u nidades
producidas. Determine cuál debe ser la producción
diaria de accesoriospor día, paraque el costo sea
el m enor posible. ¿Cu ál es dicho costo?
Rpta: Rpta:
Rpta:
Rpta:
12

13 Un grupo de Arquitectos analizanla rentabilidad de
u n complejo de departam entos económ icos com o
ProyectoSocial a presentar en la Municipalidad de
San Juan de Lurigancho, el cu al consta de 1 00
departamentos con dos dormitorios. Sabiendo qu e la
u tilidad m ensu al está dada por 𝑷( 𝒙)= −𝟏𝟎𝒙 𝟐
+
𝟏𝟕𝟔𝟎𝒙− 𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎dólares.
¿Cuántos departam entos se deben rentar para
m axim izar la u tilidad m ensu al?
¿A cu ánto asciende la u tilidad m ensu al?
14 Un administrador del Hotel Costa de Sol desea
incrementar sus utilidades,para ello analiza la
relación entrela utilidad trimestral del serv icio
P(x) y la suma del dinero x en publicidad por
trimestre:
𝒑( 𝒙) = −𝟎, 𝟐𝒙 𝟐
+ 𝟕𝒙 + 𝟑𝟎, 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟓𝟎
Donde tanto x como P(x) están en miles de
dólares. Determine la suma de dinero que debe
gastar en publicidad por trimestre para
maximizar sus utilidades.
15 Una profesora de Educación inicial desea poner a la
v enta untexto elaborado por ella, de activ idades
lú dicasparaniños de 4 años; y sabe qu e en este
rubro la función demanda para la línea de libros
educativoses: 𝒑 = 𝟔− 𝟎,𝟎𝟎𝟑𝒒, donde p es el
precio (en dólares) por u nidad cu ando los
consumidoresdemandan q u nidades (por día).
Determine el nivel de producción que maximizará el
ingreso total de la venta de los libros por día y
determ ine su ingreso.
En un estudiocontable realizado a u n Spa de
Miraflores, se estimaque el ingreso prom edio
en m iles de soles es de:
𝑰( 𝒙) = −𝟒𝒙 𝟐
+ 𝟖𝒙 + 𝟕
por atención x en el rubrode teñidos de cabello,
al mesexpresado en unidadesde millar. ¿Cu ál
debe ser el nivel de atención en este Spa para
qu e el ingresopromedio seamáximo?¿Cu ánto
sería el ingreso m áxim o?
16
Rpta:Rpta:
Rpta:Rpta:

Un ingeniero de sistemas propone a unaempresa
distribuidorade discos du ros, increm entar los
ingresosde la venta de discosduros en el mercado,
tomandoen cuenta la función de la dem anda 𝒑 =
𝟒𝟎𝟎− 𝒒 , en donde p es el precio (en dólares) por
u nidad cuandolosconsu m idores dem andan q
u nidades (semanales).Determine el nú m ero de
discos duros que debe vender la em presa para
m aximizarsusingresos. Halle dicho ingreso.
La com isión m edio am biental de la
Mu nicipalidad de SanJuan de Lurigancho cuentacon
v ariosviveros a nivel de todo el distrito, y así como se
agencia para sem brar su s propios arboles
ornamentales, tam bién pone en v enta otros. La
u tilidad diaria de la ventade estosárbolesestá dada
por:
𝑷( 𝒙) = −𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟖𝒙 + 𝟏𝟒𝟒 , en donde x esel nú m ero
de árbolesvendidos. Determine la utilidad m áxim a
obtenida ¿Cuántos árboles deberíanvenderse diario?
19 Un grupo de investigadoresefectúa un estu dio de los
efectos nu tricionales sobre ratas qu e fu eron
alimentadas con unadieta que contenía u n 1 0% de
proteína (levaduray harina de maíz),estimaron que al
v ariarel porcentaje P de levadu ra en la m ezcla de
proteína, el pesopromedio ganado (en gram os) por
u na rata en u n período fu e:
𝒇( 𝒑)= −
𝟏
𝟐
𝒑 𝟐
+ 𝟓𝟎𝒑+ 𝟓𝟎𝟎, 𝟎 ≤ 𝒑 ≤ 𝟏𝟎𝟎
Encu entre el peso m áxim o ganado.
20 Un estu diante de Ingeniería Civ il realiza u n
experimento de su proyectode física. Supone qu e la
altura“s” de unapelotalanzada verticalmente hacia
arriba desde el pisoestá dada por: 𝒔(𝒕) = −𝟎,𝟏𝒕 𝟐
+
𝟏, 𝟐𝒕
Donde s(t) está en metrosy t es el tiempotranscurrido
en segundos. ¿Al cabode cuántos segundosla pelota
alcanza su altu ra m áxim a?,
¿Cuál es la alturamáximade la pelota?
Rpta:
Rpta:
Rpta: Rpta:
17 18

21 Un gru po de estu diantes de Ciencias de la
Comunicación adquierenvariosequipos celulares
de ú ltima generación marcaSAMSUNG GALAXY
NOTE 3, cuyademanda ha sido modelada por la
fu nción: 𝑫( 𝒑)= −𝟎,𝟎𝟐𝟓𝒑𝟐
+ 𝟏,𝟏𝟐𝟓𝒑+
𝟓𝟔,𝟐𝟓,donde p esel precio unitario de v enta al
por m ay or en dólares y D(p) la cantidad
demandadapor mes, medida en millares. ¿Cuál es
la cantidad m ensu al m áxim a dem andada?
22 En u nacampaña dental “Dientes sanos, dientes
fu ertes” organizada por estudiantes de Edu cación
Inicial en u n pu eblo jov en de San Ju an de
Lu rigancho, unOdontólogo estu dió el efecto de la
anestesiabucal (enporcentaje), en niños infantes;
lu ego de t minutosde ser inyectado u n fárm aco es
m odelado por la fu nción: 𝑨( 𝒕) = 𝟐𝟓𝒕− 𝟏, 𝟓𝟔𝟐𝟓𝒕 𝟐
.
¿En qué instante se produ ce el grado m áxim o de
adormecimiento? ¿Despuésde cuánto tiempono hay
efecto de la anestesia?
23 Un estudio de Mercado modela el costo de fabricación de
u n produ cto por:
𝑪 = 𝒇( 𝒙) = 𝟏𝟎𝟎(𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟖𝒙 + 𝟒𝟖), donde x representael
número de u nidades produ cidas (en m iles) y C
representa el costo total (enmilesde dólares). Si cada
u nidad de productose vende en$1 000, form u le la
fu ncióndel ingreso total (en m iles de dólares) y
determ ine:
a) El nivel de producción requerido paralograr el punto
de equ ilibr io del m ercado.
b) El nivel de producción qu e da com o resu ltado la
u tilidad m áxim a.
c) La m áxim a u tilidad esperada.
Un adm inistrador de Negocios
Internacionalesmodelael beneficio obtenido en u n
estudio sobre Rentabilidad de u na inv ersión en
pu blicidad m ediante la fu nción:
𝑮( 𝒙) = 𝟎, 𝟓𝒙 𝟐
− 𝟒𝒙 + 𝟔 ; siendo “x”la inversión en
pu blicidad, en miles de euros, con x en el interv alo
[0,10]. ¿Para qué valoresde la inversión la empresa
tiene pérdidas? ¿Cuánto tiene que invertir la empresa
en publicidad para obtener el m ay or beneficio
posible?
Rpta: Rpta:
Rpta: Rpta:
24

25 Un estudiante de IngenieríaAmbiental se intoxicó al
ingerir accidentalmente unmedicamento vencido. Si al
realizarse unanálisis serológico resultóque su sangre
estabacontaminaday se estima que el porcentaje de
sangre contaminada “t” horasdespués de ocu rrida la
intoxicación ha sido modelada por la fu nción: 𝑷( 𝒕)=
𝟏𝟖𝒕− 𝒕 𝟐
+ 𝟔. Si se consideraque el paciente en riesgo
v ital cuando el porcentaje de sangre contam inada es
m ásde un62%.¿En qué intervalo de tiempo ocurre esta
situ ación?
26 En 1 9 7 5 se hicieron estu dios a la población
estadounidense sobre el diagnóstico de cáncer a
personas m ay ores de 5 0 años, el nú m ero de
sobrevivientes al cáncer(enmiles) entre los años 1985
y 2010 ha sido modelado aprox. por la fu nción:
𝑵( 𝒕) = 𝟎,𝟎𝟏𝟓𝒕 𝟐
+ 𝟎, 𝟖𝒕+ 𝟎,𝟑𝟔
Si t = 0 correspondiente a la edad de 5 0 años, ¿A
cu ántos estadounidenses v iv os le diagnosticaron
cáncer a los 66 años? ¿A qu é edad se diagnosticó
cáncer a 28200 personasestadounidenses v iv as?
27 Un epidemiólogo observala variación de temperatu ra en
°C qu e experim enta cierto cu ltiv o de bacterias y
encuentraque es modelado por la fu nción: 𝑻( 𝒙)= 𝟏 −
(𝒙− 𝟐) 𝟐
, siendo xel tiempo de exposición a fu entes de
energía calórica. ¿En qu é interv alo de tiem po la
temperatura del cultivo se mantiene positiva?¿Despu és
de qu é tiem po la tem peratu ra es m áxim a?
Una em presa qu iere constru ir u n área de
estacionamiento. Se determ inó qu e dicha área sea
rectangulary que unode los ladosdel rectángu lo sea
u na de las paredes del edificio. Para losotros lados del
rectángulo se dispone de m aterial su ficiente para
constru ir u na reja de 800 m etros.
¿Cu áles es el área m áxim a qu e pu ede tener el
rectángu lo?
Rpta: Rpta:
Rpta:
28
Rpta:

Rpta: Rpta:
Un granjero tiene 240 m de malla paraencerrar u n
árearectangulary dividirlaen tres corrales, colocando
cercasparalelasa uno de los lados. ¿Cu ál es el área
m áxim a posible de los tres corrales?
29
Las funciones de l a oferta y l a demanda para un producto son
respectiv amente:
O( 𝑥) = 𝑥2
− 400
𝐷( 𝑥) = 2600 − 40𝑥 + 𝑥2
Donde O(x ) y D(x ) están en dól ares.
Determinar el precio y l a cantidad de equil ibrio del mercado.
equilibrio del mercado.
30
Rpta: Rpta:
Un Ingeniero Civil estima que la utilidad mensual en
la producción y venta de Cem entos TLV es: 𝑫( 𝒙) =
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎− 𝟐𝟒𝟎𝒙+ 𝟎,𝟎𝟒𝒙 𝟐
. ¿Qu é cantidad de
produ cción m ínim a le rendirá utilidades?
31 Si las plantas de trigo se siembrancon una densidad de x
plantas por pie2, la producción de trigo ha sido modelada
por la función: 𝑃( 𝑥) = 𝟏𝟎𝒙( 𝟏− 𝟎,𝟎𝟓𝒙) bu shels
por acre.
¿Para qué v alor de x , la produ cción de trigo será
m áxim a?
32

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Código de biblioteca TEXTO
519 A7 9
Arya J, Lardner R. (2009). Matemáticasaplicadas a la administración y a
la economía. Prentice Hill.
519 B92
Budnick, F. (2007) Matemáticas aplicadas para administración,economía
y ciencias sociales. (4.a ed.). México: Mc Graw Hill
650.0151H13
Haeussler, E. (2008). Matemáticaspara administración y economía. (10.ª
ed.) México:Pearson.
519 T16M
Soo T., T. (2 011). Matemáticas aplicadas a los negocios, las ciencias
sociales y de la vida. s.n.

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