Weitere ähnliche Inhalte
Kürzlich hochgeladen (11)
موقع ملزمتي - ملزمة مراجعة جبر للصف الثاني الثانوي الترم الأول علمي
- 1. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
١
اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﻌﺮﯾﻒ:
ﻛﺎﻧﺖ إذاﺳﺲ،ﺻﺺﻣﻦ اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻓﺈن ﺧﺎﻟﯿﺘﯿﻦ ﻏﯿﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺘﯿﻦﺳﺲاﻟﻰﺻﺺداﻟﺔ ﺗﺴﻤﻰ
ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﻦ ﻋﻨﺼﺮ ﻛﻞ ارﺗﺒﻂ إذاﺳﺲﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﻦ ﻓﻘﻂ واﺣﺪ ﺑﻌﻨﺼﺮﺻﺺ
د ﺗﻜﺘﺐ و:ﺳﺲCﺻﺺص أو=د)س(
ﺑﻄﺮﯾﻘﺘﯿﻦ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻦ ﻧﻌﺒﺮ:
)١(اﻟﻤﺮﺗ اﻻزواج ﻣﻦ ﻛﻤﺠﻤﻮﻋﺔﺒﺔ)اﻟﺪاﻟﺔ ﺑﯿﺎن(د:ﺳﺲCﺻﺺ
)٢(اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﺎﻋﺪة ﺗﺴﻤﻰ رﯾﺎﺿﯿﺔ ﺑﻘﺎﻋﺪة)اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﺄﺧﺬھﺎ اﻟﺘﻰ اﻟﺼﻮر: (ص=د)س(
اﻟﻤﺪى و اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ اﻟﻤﺠﺎل و اﻟﻤﺠﺎل:
ﻣﺎ ﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ اﻟﺸﻜﻞ ﻣﻦ:
اﻟﻤﺠﺎل:
ھﻮاﻟﻌﻨ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔﺎﺻاﻟﻤﺘﻐ ﯾﺄﺧﺬھﺎ اﻟﺘﻰ ﺮـاﻟﻨ ﯾﻜـﻮن ﺑﺤﯿﺚ س ﯿﺮﺎﺗﺞ
ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻛﻤﯿﺔ"ﺣﻘﯿﻘﻰ ﻋـﺪد. "ﺳﺲ=}١،٢،٣،٤{
اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻣﺤﻮر ﻋﻠﻰ ﻗﯿﻤﮫ ﺗﻜﻮن و)اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻣﺤﻮر ﻋﻠﻰ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ ﻟﻠﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺑﻠﺔ اﻟﻔﺘﺮة(
اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ اﻟﻤﺠﺎل:ﺗﺄﺧﺬھﺎ اﻟﺘﻰ اﻷﻋﺪاد ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ھﻮﺻﺺ=}٥،٦،٧،٨،٩{
اﻟﻤﺪى:}٦،٨،٩{
ﻋﻨﺎ ﺻﻮر ﻣﺠﻤﻮﻋﺔﺻﺮﺳﺲﻓﻰﺻﺺ
)س ﺑﻌﻨﺎﺻﺮ اﻟﻤﺮﺗﺒﻄﺔ ص ﻓﻰ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ(
ص اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ﯾﺄﺧﺬھﺎ اﻟﺘﻰ اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ اﻟﻌﻨﺎﺻﺮ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ھﻮ
اﻟﺼﺎدات ﻣﺤﻮر ﻣﻦ ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ ﻋﻠﯿﮫ وﻧﺤﺼﻞ
][ﻗﯿﻤﺔ أﺳﻔﻞ،ﻗﯿﻤﺔ أﻋﻠﻰ][
اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ اﻟﺪاﻟﺔ:ﻣﻦ ﺟﺰﺋﯿﺔ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ و ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ ﻣﻦ ﻛﻞ داﻟﺔ ھﻰح
اﻷوﻟﻰ اﻟﻮﺣﺪة:اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ اﻟﺪوال
- 2. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٢
اﻟﻌﺑﯿﺎﻧﯿﺎ داﻟﺔ ﺗﻜﻮن ﻼﻗﺔ)اﻟﺮأﺳﻰ اﻟﺨﻂ اﺧﺘﺒﺎر: (
اﻟﺮأﺳﻲ اﻟﺨﻂ ﻗﻄﻊ و ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ اﺣﺪاﺛﻰ ﻣﺴﺘﻮى ﻓﻰ اﻟﻨﻘﺎط ﻣﻦ ﺑﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ﻋﻼﻗﺔ ﻣﺜﻠﺚ إذا
داﻟﺔ ﺗﻤﺜﻞ اﻟﻌﻼﻗﺔ ھﺬه ﻓﺈن ﻓﻘﻂ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ ﺗﻤﺜﯿﻠﯿﮭﻤﺎ اﻟﻤﺠﺎل ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﻦ ﻋﻨﺼﺮ ﻛﻞ ﻋﻨﺪ
ﻣﺜﺎل:د ﯾﻤﺜﻞ اﻵﺗﯿﺔ اﻻﺷﻜﺎل ﻣﻦ أﯾﺎ؟ ﻟﻤﺎذا و س ﻓﻰ اﻟﺔ
-٢
]١[
-١ ١ ٢ س
ص
٢
١
-١
-١ ١ ٢ س
ص
٢
١
-١
-١ ١ ٢ س
ص
٢
١
-١
-٢
-٢
-١ ١ ٢ س
ص
٢
١
-١
-٢
-٢
-١ ١ ٢ س
ص
٢
١
-١
-١ ١ ٢ س
ص
٢
١
-١
-٢-٢ ]٢[]٣[
]٦[ ]٥[ ]٤[
- 3. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٣
اﻟﺤﻞ:
اﻟﺸﻜﻞ]١: [
ﺑﺎﻟﻨﻘﻄﺔ اﻟﻤﺎر اﻟﺮأﺳﻰ اﻟﺨﻂ ﻷن داﻟﺔ ﯾﻤﺜﻞ ﻻ)٠،٠(ﻧﻘﻄﺘﯿﻦ ﻓﻰ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ اﻟﺸﻜﻞ ﯾﻘﻄﻊ
اﻟﺸﻜﻞ]٢: [
اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻣﺤﻮر ﻋﻠﻰ ﻧﻘﻄﺔ ﻛﻞ ﻋﻨﺪ اﻟﺮأﺳﻲ اﻟﺨﻂ ﻷن داﻟﺔ ﺗﻤﺜﻞ)اﻟﻤﺠﺎل(ﻓﻰ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﯾﻘﻄﻊ
واﺣ ﻧﻘﻄﺔﻓﻘﻂ ﺪة.
اﻟﺸﻜﻞ]٣: [ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ أﻛﺜﺮ ﻓﻰ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﯾﻘﻄﻊ رأﺳﻲ ﺧﻂ ﯾﻮﺟﺪ ﻷن داﻟﺔ ﯾﻤﺜﻞ ﻻ.
اﻻﺷﻜﺎل]٤،٥،٦: [داﻟﺔ ﺗﻤﺜﻞ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
*اﻟﻤﺠﺎل ﻟﺘﻌﯿﯿﻦ ھـــﺎﻣﺔ ﻗـﻮاﻋــــﺪ:
١(أى ﻣﺠﺎلاﻟﺤﺪود ﻛﺜﯿﺮة داﻟﺔدرﺟﺘﮭﺎ ﻛﺎن ﻣﮭﻤﺎ=ح.
ﻣﺜﻞ اﻟﻤﻘﺎم ﻓﻰ ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﻠﻰ ﺗﺤﺘﻮى ﻻ اﻟﺘﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ھﻰ اﻟﺤﺪود ﻛﺜﯿﺮة اﻟﺪاﻟﺔ:
د)س= (٥د ،)س= (٣د ، س)س= (٢ــ س٥د ،)س= (س٢
+س+١
د)س= (س٣
ــ٢س+٤د ،)س= (
٢(ﻣﺠﺎلاﻟﻜﺴﺮﯾﺔ اﻟﺪاﻟﺔ=ح-اﻟﻤﻘــــــــﺎم أﺻﻔـــــــﺎر.
ﻣﺘﻐﯿﺮ ﻋﻠﻰ ﯾﺤﺘﻮى ﻣﻘﺎﻣﮭﺎ ﯾﻜﻮن اﻟﺘﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ھﻰ اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ اﻟﺪاﻟﺔ
ﻣﻠﺤﻮظﺔ:اﻟﻤﻘﺎم ﺗﺠﻌﻞ اﻟﺘﻰ س ﻗﯿﻢ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ھﻰ اﻟﻤﻘﺎم أﺻﻔﺎر ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ=ﺻﻔﺮ
د اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺠﺎل ﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻣﺜﻼ)س= (اﻟﻤﻘﺎم أﺻﻔﺎر ﻧﻮﺟﺪ
س ﺑﻮﺿﻊ٢
ــ٩=٠Bس٢
=٩Bس=±٣Bد ﻣﺠﺎل)س= (ــ ح}٣ــ ،٣{
ﺧـــــﺎﺻﺔ ﺣـــﺎﻟﺔ:اﻟﻜﺴﺮﯾﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺠﺎل=اﻷﺗﯿﺔ اﻟﺤﺎﻻت ﻓﻰ ح:
*ﺛﺎﺑﺘﺔ داﻟﺔ اﻟﻤﻘﺎم.
*س اﻟﺼﻮرة ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻘﺎمن
+أن ﺣﯿﺚ←زوﺟﻰ،أЭح+
*س أ اﻟﺼﻮرة ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻘﺎم٢
+س ب+ﺟـ:ﺳﺎﻟﺒﺎ ﯾﻜﻮن اﻟﻤﻤﯿﺰ ﺣﯿﺚً.
ﻣﺜﻼ:د اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺠﺎل)س= (
س ﻧﻀﻊ٢
+٩=٠ﺣﯿﺚا=١،ب=٠،ج=٩
ــ س٣
٢
ــ س٢
س٢
ــ٩
ــ س٢
س٢
+٩
- 4. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٤
اﻟﻤﻤﯿﺰ=ب٢
ــ٤ج ا=)٠(٢
ــ٤×١×٩=ــ٣٦>٠)ﺳﺎ ﻛﻤﯿﺔﻟﺒﺔ(
Bد ﻣﺠﺎل)س= (ح
٣(اﻟﺠﺬرﯾﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺠﺎل:
)اﻟﺘﺮﺑﯿﻌﻰ اﻟﺠﺬر ﻋﻠﻰ ﺗﺸﺘﻤﻞ اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﺎﻋﺪة ﻛﺎﻧﺖ إذا ﺟﺬرﯾﺔ داﻟﺔ ﯾﻘﺎل(
أوﻻ:اﻟﺒﺴﻂ ﻓﻰ اﻟﺠﺬر ﻛﺎن إذا:اﻟﺠﺬر ﺗﺤﺖ ﻣﺎ اﻟﻔﺘﺮة ھﻮ اﻟﻤﺠﺎلX٠
ﺛﺎﻧﯿﺎ:اﻟﻤﻘﺎم ﻓﻰ اﻟﺠﺬر ﻛﺎن إذا:اﻟﺠﺬر ﺗﺤﺖ ﻣﺎ اﻟﻔﺘﺮة ھﻮ اﻟﻤﺠﺎل<٠
ﺧﺎﺻﺔ ﺣﺎﻟﺔ:
د اﻟﺪاﻟﺔ)س= (ن
؟ھـ)"س"("ﺣﯿﺚنgﺻﺺ+ھـ ،)س(ﺣﺪود ﻛﺜﯿﺮة
أوﻻ:ﻋﻨﺪﻣﺎنﻓﺈن ﻓﺮدى ﻋﺪد:اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺠﺎل=ح،ناﻟﺠﺬر دﻟﯿﻞ ﺗﺴﻤﻰ
ﺛﺎﻧﯿﺎ:ﻋﻨﺪﻣﺎنﻓﺈن زوﺟﻰ ﻋﺪد:ھـ ﺗﺠﻌﻞ اﻟﺘﻰ س ﻗﯿﻢ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ھﻮ اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺠﺎل)س(X٠
أوﻻً:ﯾﻜ ﻋﻨﺪﻣﺎﻓــﺮدﯾﺎ اﻟﺠﺬر دﻟﯿﻞ ﻮنً:
ﻣﺜﻼد)س= (←د ﻣﺠﺎل)س= (ح
ﺛﺎﻧﯿﺎً:زوﺟﯿﺎ اﻟﺠﺬر دﻟﯿﻞ ﯾﻜﻮن ﻋﻨﺪﻣﺎ:
ﻣﺜﻼ:د)س= (
˙.˙ســ٥٠←س٥←د ﻣﺠﺎل)س] = (٥،]
ﻣﺜﺎل:ﻣﺠﺎل ﻋﯿﻦد)س= (
اﻟﺤﻞ:
ﺑﻮﺿﻊس٢
-س-١٢=٠
)س-٤)(س+٣= (٠
س-٤=٠س+٣=٠
س=٤س=-٣
٤-٣
- 5. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٥
˙.˙ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻏﯿﺮ ﻛﻤﯿﺔ اﻟﺠﺬرﯾﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺠﺎل)٠(
.˙.د ﻣﺠﺎل)س] = (٤،]ﺑﻶ[-،-٣[
=ح-[ــ٣،٤]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﻣﺜﺎل:اﻵﺗﯿﺔ ﺑﺎﻟﻘﻮاﻋﺪ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ اﻟﺪوال ﻣﻦ ﻛﻞ ﻣﺠﺎل ﻋﯿﻦ:
]١[د١)س= (؟س"+"٤"]٢[د٢)س= (؟س٢
"ــ"٩"
]٣[د٣)س] = (٤[د٤)س= (
]٥[د٥)س] = (٦[د٦)س= (٣
؟س"+"٣"
اﻟﺤﻞ:
]١[Aزوﺟﻰ اﻟﺠﺬر دﻟﯿﻞBس+٤X٠CسX–٤
Bاﻟﻤﺠﺎل=ح–]-٤،ﺿﺾ]
]٢[Aزوﺟﻰ اﻟﺠﺬر دﻟﯿﻞBس٢
–٩X٠Cس٢
X٩CسX±٣
Bاﻟﻤﺠﺎل[ =-ﺿﺾ،-٣[ﺑﻶ]٣،ﺿﺾ= ]ح-[–٣،٣]
]٣[س ﻧﻀﻊ٢
ــ٣س+٢=٠B)س–٢)(س–١= (٠Cس=٢،أ١
Bاﻟﻤﺠﺎل=ح–}١،٢{
]٤[س ﻧﻀﻊ٢
+٩=٠ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻛﻤﯿﺔ اﻟﻤﻤﯿﺰ ﻓﯿﻜﻮنBاﻟﻤﺠﺎل=ح
]٥[س ﻧﻀﻊ٢
–٩<٠B)س–٣)(س+٣= (٠Cس=٣س ،=-٣
Aاﻟﺠﺬر ﺗﺤﺖ ﻣﺎ اﻟﻔﺘﺮة ھﻮ اﻟﻤﺠﺎل<٠Bاﻟﻤﺠﺎل=ح–]-٣،٣[
]٦[Aﻓﺮدى اﻟﺠﺬر دﻟﯿﻞBاﻟﻤﺠﺎل=ح
ــ س٢
س٢
+٩
٢س+٣
س٢
ــ٣س+٢
١
؟س٢
"ــ"٩"
- 6. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٦
*ﻗﺎﻋﺪة ﻣﻦ ﺑﺄﻛﺜﺮ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺪى و اﻟﻤﺠﺎل اﯾﺠﺎد:
ﻣﺜﺎل:ﻣﺪاھﺎ و ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ اذﻛﺮ و اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻨﺤﻨﻰ ارﺳﻢ
)أ(د)س= ()ب(د)س= (
اﻟﺤﻞ:
)أ(س ﻋﻨﺪ>٠ﻣﻦ ﯾﺒﺪأ و اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻣﺤﻮر ﯾﻮازى ﺷﻌﺎع ﺗﻤﺜﻞ ﺛﺎﺑﺘﺔ داﻟﺔ)٠،-١(
س ﻋﻨﺪ<٠ﻣﻦ ﯾﺒﺪأ و اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻣﺤﻮر ﯾﻮازى ﺷﻌﺎع ﺗﻤﺜﻞ ﺛﺎﺑﺘﺔ داﻟﺔ)٠،١(
اﻟﻤﺠﺎل=ــ ح}٠{
اﻟﻤﺪى=}١،-١{
)ب(ﻗﺎﻋﺪة ﻟﻜﻞ ﺟﺪول ﻧﺮﺳﻢ
س>٠
سX٠
اﻟﻤﺠﺎل=اﻟﻤﺪى ، ح=ــ ح]-٢،٢]
س
٠-١-٢
د)س(-٢-٣-٤
س
٠١٢
د)س(٢٣٤
ــ١س>٠
١س<٠
س+٢سX٠
س–٢س>٠
٣
-٢ -١ ١ ٢ ٣
١
-١
٢
-٢ -١ ١ ٢ ٣ ٤
٣
٢
١
-١
-٢
-٣
- 7. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٧
ﻣﺜﺎل:د ﻛﺎﻧﺖ إذا)س= (
اﻟﺒﯿ اﻟﺸﻜﻞ ارﺳﻢاﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺪى و ﻣﺠﺎل اﺳﺘﻨﺘﺞ اﻟﺮﺳﻢ ﻣﻦ و ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﺎﻧﻰ
اﻟﺤﻞ:
اﻟﺮﺳﻢ ﻣﻦ:اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺠﺎل] =-٢،∞]
اﻟﻤﺪى[ =-١،∞]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﻣﺜﺎل:٣–ﻋﻨﺪﻣﺎ س-٢Yس>٢
د ﻛﺎﻧﺖ إذا)س= (
ﻋﻨﺪﻣﺎ س٢YسY٥
ا ارﺳﻢاﻟﺮﺳﻢ ﻣﻦ اﺳﺘﻨﺞ و ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ ﻟﺸﻜﻞ
ﻣﺪاھﺎ و اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺠﺎل
اﻟﺤﻞ:
اﻟﻤﺠﺎل] =-٢،٥[اﻟﻤﺪى ،[ =١،٥[
س-٢-١٠٠١٢
د)س(٣٠-١١٢٣
س٢
-١-٢Yس>٠
س+١سX٠
س٢
–١س+١
-٢ -١ ١ ٢ ٣ ٤
٤
٣
٢
١
-١
-٢
- 8. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٨
ﻣﺜﺎل:د اﻟﺪاﻟﺔ ﻛﺎﻧﺖ إذا] :-٢،٤[Cﺣﯿﺚ ح
٢س+٣ﻋﻨﺪﻣﺎ-٢Yس>٠
د)س= (
١ﻋﻨﺪﻣﺎ س ــ٠YسY٤
اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺪى و ﻣﺠﺎل اﺳﺘﻨﺞ اﻟﺮﺳﻢ ﻣﻦ و د ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ اﻟﺸﻜﻞ ارﺳﻢ
اﻟﺤﻞ:
-٢Yس>٠٠YسY٤
اﻟﻤﺠﺎل] =-٢،٤[
اﻟﻤﺪى] =-٣،٣]
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﻣﺜﺎل:إذاح ﺿﻠﻌﮫ طﻮل ﻓﻰ ﻛﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺮﺑﻊ ﻣﺤﯿﻂ اﻛﺘﺐ ل ﺿﻠﻌﮫ طﻮل ﻣﺮﺑﻊ ﻣﺤﯿﻂ ح ﻛﺎن)ل(
أوﺟﺪ ﺛﻢ) :أ(ح)٣) (ب(ح( )
اﻟﺤﻞ:
Aح)ل= (٤×لBح)٣= (٤×٣=١٢ح ،= ( )٤×=١٥
س-٢-١٠٠١٤
ص-١١٣١٠-٣
٢-٢ -١ ١ ٣ ٤ -٣
٤
٣
٢
١
-١
-٢
-٣
-٤
١٥
٤
١٥
٤
١٥
٤
- 9. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٩
اﻟـــ ﻋﻠﻰ اﻟﻌﻤﻠﯿﺎتـــــﺪوال
أن اﻟﺘﻌﺮﯾﻒ ھﺬا ﻣﻦ ﻧﻼﺣــﻆ:
ﺟﻤﯿﻊم ﯾﺴﺎوى اﻟﺠﺪﯾﺪة ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﻌﻤﻠﯿﺎت١ﺑﻼم٢اﻟﻤﻘﺎم داﻟﺔ ﺗﺠﻌﻞ اﻟﺘﻰ اﻟﻘﯿﻢ ﻋﺪا ﻣﺎ=ﻓﻰ ﺻﻔﺮ
اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻤﻠﯿﺔ.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﻣﺜﺎل:د ﺣﯿﺚ ﺣﻘﯿﻘﯿﺘﯿﻦ داﻟﺘﯿﻦ ر ، د ﻛﺎﻧﺖ إذا)س= (س٢
ــ٤ر ،)س= (؟ـ س"ـ١"
أوﺟﺪ) :أ(اﻵﺗﯿﺔ اﻟﺪوال ﻣﻦ ﻛﻞ ﻣﺠﺎل) :د+ر(،)د–ر(،)د.ر(،( )،( )
)ب(اﻟﻌﺪدﯾﺔ اﻟﻘﯿﻢ)أﻣﻜﻦ إن(اﻵﺗﯿﺔ اﻟﺪوال ﻣﻦ ﻟﻜﻞ:
)د+ر) (٥(،)د.ر) (٢(،)( )٣(،)( )-٢(
اﻟﺤﻞ:
Aد ﻣﺠﺎل=م١=ر ﻣﺠﺎل ، ح=م٢] =١،∞]د اﺻﻔﺎر ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ،=}٢،-٢{
ر اﺻﻔﺎر ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ ،=}٠{
)أ) (د+ر) (س= (د)س+ (ر)س= (س٢
ــ٤+؟ـ س"ـ١"
Bﻣﺠﺎل)د+ر= (م١ﺑﻼم٢=حﺑﻼ]١،∞] = ]١،∞]
)ر ــ د)(س= (د)س(ر ــ)س= (س٢
ــ٤ــ؟ـ س"ـ١"
Bﻣﺠﺎل)ر ــ د= (م١ﺑﻼم٢=حﺑﻼ]١،∞] = ]١،∞]
( )
( )
( )
د
ر
ر
د
د
ر
ر
د
م١
ح
١
م٢
١
- 10. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
١٠
)د.ر) (س= (د)س. (ر)س) = (س٢
ــ٤(؟ـ س"ـ١"
Bﻣﺠﺎل)د.ر= (م١ﺑﻼم٢=حﺑﻼ]١،∞] = ]١،∞]
) ( )س= = (
ﻣﺠﺎل) ( )س= (م١ﺑﻼم٢ص ــ)ر(
=حﺑﻼ]١،∞]ــ}١{[ =١،∞]
) ( )س= = (
ﻣﺠﺎل) ( )س= (م١ﺑﻼم٢ص ــ)د(
=حﺑﻼ]١،∞]ــ}٢،-٢{
=]١،∞]ــ}٢{س ﻋﻨﺪ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻏﯿﺮ اﻟﺪاﻟﺔ ﺣﯿﺚ=-٢
)ب()د+ر) (س= (س٢
ــ٤+؟ـ س"ـ١"س ﻟﻜﻞg]١،∞]
A٥g]١،∞]B)د+ر)(٥) = (٥(٢
ــ٤+؟٥–"١"=١٩
)د.ر) (س) = (س٢
ــ٤(؟ـ س"ـ١"س ﻟﻜﻞg]١،∞]
A٢g]١،∞]B)د.ر) (٢) = (٢٢
–٤(؟٢ـ"ـ١"=ﺻﻔﺮ
) ( )س= (س ﻟﻜﻞg[١،∞]
A٣g[١،∞]B)( )٣= = (
) ( )س= (س ﻟﻜﻞg]١،∞]ــ}٢{
A–٢h]١،∞]ــ}٢{B)( )-٢= = (ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻏﯿﺮ
د
ر
د)س(
ر)س(
س٢
ــ٤
؟ـ س"ـ١" د
ر
م١
ح
١
م٢
١
ر
د
ر)س(
د)س(
؟ـ س"ـ١"
س٢
ــ٤
ر
د
حم١ ١
م٢
٢-٢
-٢ ٢
د
ر
س٢
ــ٤
؟ـ س"ـ١"
د
ر
٣٢
ــ٤
؟٣ـ"ـ١"
٥
؟٢
ر
د
؟ـ س"ـ١"
س٢
ــ٤
ر
د
؟-٢"ـ١"
)-٢(٢
–٤
؟-٣"
ﺻﻔﺮ
- 11. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
١١
ﺗﻮﺿﯿﺤﻰ ﻣﺜﺎل:
د ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﯾﻤﺜﻞ و اﻧﺘﺎﺟﮫ ﻣﻦ ﺟﺰء ﺑﺘﺼﺪﯾﺮ ﯾﻘﻮم ﻣﺼﻨﻊ ھﻨﺎك ﻛﺎن إذا)س(=س ﺣﯿﺚ س
ﯾﻌﻄﻰ اﻟﺘﺎﻟﻰ اﻟﻌﺎم ﻓﻰ اﻟﻤﺼﺪرة اﻟﻮﺣﺪات ﻋﺪد ﻛﺎن و ، اﻷول اﻟﻌﺎم ﻓﻰ اﻟﻤﻨﺘﺠﺔ اﻟﻮﺣﺪات ﻋﺪد ﯾﻤﺜﻞ
ﺑﺎﻟﻌﻼﻗﺔر)د= (د+١٥٠٠اﻷول اﻟﻌﺎم ﻓﻰ اﻟﻤﺼﺪرة اﻟﻮﺣﺪات ﻋﺪد د ﺣﯿﺚ.ﻋﺪد ﯾﻜﻮن ﻛﻢ
اﻷول اﻟﻌﺎم ﻓﻰ اﻟﻤﺼﻨﻊ اﻧﺘﺎج ﻛﺎن إذا اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﻌﺎم ﻓﻰ اﻟﻤﺼﺪرة اﻟﻮﺣﺪات:
)أ(٢٠٠٠٠وﺣﺪة)ب(٨٠٠٠٠وﺣﺪة
اﻟﺤﻞ:ﻛﺎﻟﺘﺎﻟﻰ اﻟﺘﺼﺪﯾﺮ و اﻻﻧﺘﺎج ﯾﻮﺿﺢ رﺳﻢ ﻋﻤﻞ ﯾﻤﻜﻦ:
Aد)س= (، اﻻول اﻟﻌﺎم اﻟﺘﺼﺪﯾﺮ داﻟﺔ سر)د= (د+١٥٠٠اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﻌﺎم اﻟﺘﺼﺪﯾﺮ داﻟﺔ
Bر)س= (س+١٥٠٠
س ﻋﻨﺪ=٢٠٠٠٠Bر)×٢٠٠٠٠= (×٢٠٠٠٠+١٥٠٠٠=٦٥٠٠وﺣﺪة
اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﻌﺎم ﻓﻰ اﻟﻤﺼﺪرة اﻟﻮﺣﺪات ﻋﺪد=٦٥٠٠وﺣﺪة
س ﻋﻨﺪ=٨٠٠٠٠Bر)×٨٠٠٠٠= (×٨٠٠٠٠+١٥٠٠٠=٢١٥٠٠وﺣﺪة
اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﻌﺎم ﻓﻰ اﻟﻤﺼﺪرة اﻟﻮﺣﺪات ﻋﺪد=٢١٥٠٠وﺣﺪة
ﺑ ﻣﺮﺗﺒﻄﺘﺎن داﻟﺘﯿﻦ ھﻨﺎك أن اﻟﺨﻼﺻﺔداﻟﺔ ﻓﻰ اﻷول اﻟﻌﺎم ااﻟﺘﺼﺪﯾﺮ ﺑﺪاﻟﺔ ﻧﻌﻮض ﺣﯿﺚ ﺒﻌﺾ
داﻟﺘﯿﻦ ﺗﺮﻛﯿﺐ ﻓﻜﺮة ھﺬه و اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﻌﺎم اﻟﺘﺼﺪﯾﺮ)ﺧﺎرﺟﯿﺔ داﻟﺔ اﯾﺠﺎد ﺛﻢ داﺧﻠﯿﺔ داﻟﺔ اﯾﺠﺎد(
اﻟــــﺪوال ﺗﺮﻛﯿﺐ
١
٤
١
٤
١
٤
١
٤
١
٤
١
٤
١
٤
١
٤
- 12. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
١٢
ﺗﻌﺮﯾﻒ:
ر اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺠﺎل ﻣﻦ ﺟﺰﺋﯿﺔ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ د اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺪى وﻛﺎن داﻟﺘﯿﻦ د ،ر ﻛﺎﻧﺖ إذا
اﻟﺘﺮﻛﯿﺐ داﻟﺔ اﯾﺠﺎد ﯾﻤﻜﻦ ﻓﺈﻧﮫعاﻟﺠﺪ، د اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ ﻣﻦ ﺗﺘﺮﻛﺐ ﯾﺪةرھﻰ
ع)س) =(رºد) (س= (ر]د)س[ (
ﺗﻘﺮأ ورد ﺗﺮﻛﯿﺐأورد ﺑﻌﺪ
اﻟﺪاﻟﺔ ﺛﻢ أوﻻ د ﺗﻄﺒﻖ ﺣﯿﺚر
ﻣﻠﺤﻮظﺔ:اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﻜﻮن أن ﻣﻤﻜﻦ)رºد) (س(
ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻏﯿﺮ أو ﻣﻌﺮﻓﺔ]ﻣﻌﯿﻨﺔ ﻗﯿﻤﺔ ﻟﮭﺎأوﻗﯿﻤﺔ ﻟﮭﺎ ﻟﯿﺲ[
ﻋﻨﺪ اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ ﺗﺮﺗﯿﺐ ﻟﺬﻟﻚ وﻣﮭﻢ ﺗﺮﻛﯿﺒﮭﻤﺎ.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﻣﺜﺎل:د ﻛﺎن إذا)س= (٤س٢
ر ،)س= (٢أوﺟﺪ س) :دºر)(س(،)رºد)(س(
ﻣﺎ وﺗﻼﺣﻆ ذا.
اﻟﺤﻞ) :دºر)(س= (د]ر)س= [(د)٢س= (٤×)٢س(٢
=١٦س٢
)رºد)(س(=ر]د)س= [ (ر)٤س٢
= (٢×)٤س٢
= (٨س٢
أن ﯾﻼﺣﻆ) :دºر)(س(})رºد)(س()اﺑﺪاﻟﻰ ﻟﯿﺲ اﻟﺪوال ﺗﺮﻛﯿﺐ(
ﻣﻠﺤﻮظﺔ:ﻻﯾﺠﺎد)رºد)(س(ر اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﻰ س اﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ﻣﻦ ﺑﺪﻻ د ﺑﺎﻟﺪاﻟﺔ ﻧﻌﻮض
ر اﻟﺪاﻟﺔ ﺛﻢ أوﻻ د اﻟﺪاﻟﺔ ﻧﻮﺟﺪ.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﻣﺜﺎل:د ﻛﺎن إذا)س= (س٢
+٦ر ،)س= (٣س
أوﻻ:أوﺟﺪ)دºر) (٣(ﺛﺎﻧﯿﺎ:ﺗﺠﻌﻞ اﻟﺘﻰ س ﻗﯿﻢ ﺣﺪد)دºر) (س= (٤٢
د ﻣﺪى
ﻣﺠﺎلر
س د)س( ر]د)س[(
د ﻣﺠﺎل
ر]د)س[(
ر ﻣﺪى
- 13. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
١٣
اﻟﺤﻞ:
أوﻻ) :دºر) (س= (د]ر)س= [ (د)٣س) = (٣س(٢
+٦=٩س٢
+٦
B)دºر) (٣= (٩)٣(٢
+٦=٨٧
آﺧﺮ ﺣﻞ:Aر)٣= (٣×٣=٩B)دºر) (٣= (د]ر)٣) = [ (٩(٢
+٦=٨٧
ﺛﺎﻧﯿﺎ:A)دºر) (س= (٤٢B٩س٢
+٦=٤٢B٩س٢
=٣٦ﺑﺎﻟﻘﺴﻤﺔ٩
Bس٢
=٤Bس=±٢
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﻣﺜﺎل:د ﻛﺎن إذا)س= (س٢
+١ر ،)س= (؟ــ س"٣"
أوﺟﺪ) :دºر)(س(أوﺟﺪ ﺛﻢ اﻟﻤﺠﺎل ﻣﺤﺪدا ﺻﻮرة أﺑﺴﻂ ﻓﻰ)دºر) (٣(
اﻟﺤﻞ:
)دºر)(س= (د]ر)س= [ (د)؟ــ س"٣") = (؟ــ س"٣"(٢
+١
=س–٣+١=س–٢
ﻣﺠﺎل)دºر)(س= (}س:سX٣س ،gح{] =٣،∞]
)دºر) (٣= (٣–٢=١
آﺧﺮ ﺣﻞ) :دºر) (٣= (د]ر)٣= [(د)؟٣ــ"٣"= (د)٠) = (٠(٢
+١=١
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﻟﻠﺘﻔﻜﯿﺮ ﺳﺆال:ع ﻛﺎن إذا)س= (؟س٣
""–"٤"ﯾ ﺑﺤﯿﺚ ر ، د اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ ﻓﺄوﺟﺪﻜﻮن
ع)س) = (دºر)(س(
اﻟﺤﻞ) :اﻟﺴﺆال ﻟﮭﺬا ﺣﻞ ﻣﻦ أﻛﺜﺮ ھﻨﺎك(
Aع)س= (؟س٣
""–"٤"=؟)س٣
"ــ"١("ــ"٣"
Bر)س(=س٣
ــ١د ،)س= (؟س"–"٣"ﺗﺤﻘﻖع)س) = (دºر)(س(
آﺧﺮ ﺣﻞ:Aع)س(=؟س٣
""–"٤"=؟)س٣
"ــ"٢("ــ"٢"
Bر)س(=س٣
ــ٢د ،)س= (؟س"–"١"ﺗﺤﻘﻖع)س) = (دºر)(س(
آﺧﺮ ﺣﻞ:Aع)س= (؟س٣
""–"٤"
Bر)س= (س٣
ــ٤د ،)س= (؟سﺗﺤﻘﻖع)س) = (دºر)(س(
- 14. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
١٤
]١[داﻟﺔ ﺗﻤﺜﻞ ﻻ اﻵﺗﯿﺔ اﻟﻌﻼﻗﺎت ﻣﻦ اﯾﺎ:
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
]٢[اﻟﻌﻼﻗﺔ ﻋﺪا ﻣﺎ ﻓﻰ داﻟﺔ ص ﻓﯿﮭﺎ ﺗﻜﻮن اﻵﺗﯿﺔ اﻟﻌﻼﻗﺎت ﺟﻤﯿﻊ:
)١(ص=٢ــ س٣)٢(ص=س٢
ــ٤)٣(س=ص٢
–٢)٤(ص=س ﺣﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
]٣[اﻻﺗﯿﺔ ﺑﺎﻟﻘﻮاﻋﺪ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ اﻟﺤﻘﯿﻘﯿﺔ اﻟﺪوال ﻣﻦ ﻛﻞ ﻣﺠﺎل ﻋﯿﻦ:
)١(د)س= (س٢
ــ٢س)٢(د)س= (ــ٥)٣(د)س= (؟٢س"ــ٣"
)٤(د)س) = (٥(د)س= (؟٤ــ""س٢
"")٦(د)س= (
ﺗﻤﺎرﯾﻦ)١(
س٢
-٩
س–٣
٣س+٢
؟س"+"٢"
- 15. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
١٥
ــ٢س ﻋﻨﺪﻣﺎ>٢
٤س ﻋﻨﺪﻣﺎ س ـX٢
)٧(د)س) = (٨(د)س= (
)٩(د)س) = (١٠(د)س= (٣
؟س"
٢
+""س"-"٦"
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
]٤[ﻣﺪاھﺎ ﻋﯿﻦ و ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ اﻻﺗﯿﺔ اﻟﺪوال ﻣﺜﻞ:
)١(د ﻛﺎﻧﺖ إذا] :-١،٥[Cد ، ح)س= (
د ﻣﻦ ﻛﻼ ﻓﺄوﺟﺪ)-١(د ،)٠(د ،)١(د ،)٢(د ،)٣(د ،)٤(د ،)٥(
ﻣﺪاھﺎ اﻟﺮﺳﻢ ﻣﻦ اﺳﺘﻨﺘﺞ و ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ اﻟﺸﻜﻞ ارﺳﻢ ﺛﻢ.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
)٢(د ﻛﺎﻧﺖ إذا)س= (
د ﻣﻦ ﻛﻼ ﻓﺎوﺟﺪ)٢(د ،)٣(د ،)٤(د ،)١(د ،)٠(د ،)-١(د ،)-٤(
ﻣﺪاھﺎ اﻟﺮﺳﻢ ﻣﻦ اﺳﺘﻨﺘﺞ و ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ اﻟﺸﻜﻞ ارﺳﻢ ﺛﻢ.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
)٣(د ﻛﺎﻧﺖ إذا] :-٣،٣[Cﺣﯿﺚ ح
د)س= (
اﻟﺪاﻟﺔ ھﺬه ﻣﺪى اﺳﺘﻨﺞ اﻟﺮﺳﻢ ﻣﻦ و ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ اﻟﺸﻜﻞ ارﺳﻢ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
)٤(د ﻛﺎﻧﺖ إذا١:حCد ﺣﯿﺚ ح١)س= (٣س–١
د٢] :-٢،٣[Cد ﺣﯿﺚ ح٢)س= (٢س+٤
أوﺟﺪ) :د١+د٢) (س(،)د١د ــ٢) (س(ﻛ ﻣﺠﺎل ﻣﺒﯿﺎداﻟﺔ ﻞ.
ــ س٢
س٢
ــ٥س+٦
؟ــ س"٢"
س٢
ــ١
٤-ﻋﻨﺪﻣﺎ س-١Yس>٢
ﻋﻨﺪﻣﺎ س٢YسY٥
٢س ﻋﻨﺪﻣﺎ سX٢
س+٢س ﻋﻨﺪﻣﺎ>٢
س٢
+١ﻋﻨﺪﻣﺎ-٣Yس>٠
س+٢ﻋﻨﺪﻣﺎ٠YسY٣
- 16. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
١٦
)٥(ﻛﺎن إذا:د١)س= (س+٢د ﻣﺠﺎل و١] =-٣،٤[د ،٢)س= (س٢
+٢س
د ﻣﺠﺎل و٢] =-١،٣[أوﺟﺪ:
)د١+د٢)(س(،)د١د ــ٢)(س(،)( )س(،)( )س(داﻟﺔ ﻛﻞ ﻣﺠﺎل ﻣﺒﯿﺎ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
)٦(ﻛﺎن إذا:د)س= (٣س+١ر ،)س= (س٢
–٥ق ،)س= (س٢
أوﺟﺪ:
)أ) (دºر) (٢) (ب) (رºد)(س()ﺟـ()رºق)(١()د()قºد)(-٢(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
)٧(ﻛﺎن إذا:د)س= (ر ،)س= (س+٣أوﺟﺪ:
)دºر)(س(،)رºد)(س(ﻣﻨﮭﻤﺎ ﻛﻞ ﻣﺠﺎل ﺣﺪد و.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
)٨(د ﻛﺎن إذا)س= (س٢
–٣ر ،)س= (؟ــ س"٢"
أوﺟﺪ) :دºر)(س(أ ﻓﻰأوﺟﺪ ﺛﻢ اﻟﻤﺠﺎل ﻣﺤﺪدا ﺻﻮرة ﺑﺴﻂ)دºر) (٣(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
د١
د٢
د٢
د١
١
س
- 17. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
١٧
]١[اﻟﺪوال ﻓﻰ اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ:
ﺳﺒﻖ ﻟﻘﺪﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ طﻰ ﯾﻤﻜﻦ ﺣﯿﺚ اﻷﺻﻞ ﻧﻘﻄﺔ و ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺣﻮل اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ درﺳﻨﺎ أن
اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ)اﻷﺻﻞ ﻧﻘﻄﺔ أو(ﺗﻤﺎﻣﺎ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻧﺼﻔﺎ ﻟﯿﻨﻄﺒﻖ.
)١(اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻣﺤﻮر ﺣﻮل اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ:
اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ اﻟﺸﻜﻞ ﻓﻰ:
اﻟﻨﻘﻄﺔ)، س-ص(اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ اﻟﺸﻜﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻮاﻗﻌﺔ
اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺻﻮرة ھﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ)، سص(
اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻣﺤﻮر ﺣﻮل ﺑﺎﻻﻧﻌﻜﺎس اﯾﻀﺎ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﻮاﻗﻌﺔ
)٢(اﻟﺼﺎدات ﻣﺤﻮر ﺣﻮل اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ:
اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ اﻟﺸﻜﻞ ﻓﻰ:
اﻟﻨﻘﻄﺔ)-ص ، س(اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ اﻟﺸﻜﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻮاﻗﻌﺔ
اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺻﻮرة ھﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ)ص ، س(
اﻟﺼﺎدات ﻣﺤﻮر ﺣﻮل ﺑﺎﻻﻧﻌﻜﺎس أﯾﻀﺎ ﻋﻠﯿﮫ اﻟﻮاﻗﻌﺔ
ﻣﺜﻼ:اﻟﻨﻘﻄﺔ)-١،٠(اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺻﻮرة)١،٠(
اﻟﺼﺎدات ﻣﺤﻮر ﺣﻮل ﺑﺎﻻﻧﻌﻜﺎس
اﻟﺪوال ﺧﻮاص ﺑﻌﺾ
- 18. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
١٨
)٣(اﻷﺻﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﺣﻮل اﻟﺘﻤﺎﺛﻞ:
اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ اﻟﺸﻜﻞ ﻓﻰ:
اﻟﻨﻘﻄﺔ)-، س-ص(اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ اﻟﺸﻜﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻮاﻗﻌﺔ
اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺻﻮرة ھﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ)ص ، س(
ﺑﺎﻻﻧﻌﻜﺎس أﯾﻀﺎ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻧﻔﺲ ﻋﻠﻰ اﻟﻮاﻗﻌﺔ
اﻷﺻﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﺣﻮل
اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ اﻟﺸﻜﻞ ﻓﻰ:
اﻷﺻﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﺣﻮل ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ
اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻣﺜﻼ)١،١(اﻟﻨﻘﻄﺔ ﺻﻮرة)-١،-١(
اﻷﺻﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﻓﻰ ﺑﺎﻻﻧﻌﻜﺎس
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
]٢[اﻟﻔﺮدﯾﺔ و اﻟﺰوﺟﯿﺔ اﻟﺪوال:]اﻟﺪوال ﻧﻮع[
أوﻻ:اﻟﺰوﺟﯿﺔ اﻟﺪاﻟﺔ:
ﺟﱪﻳﺎ:د اﻟﺪاﻟﺔ:س←صزوﺟﯿﺔ ﺗﻜﻮن
ﻛﺎﻧﺖ إذا:د)-س= (د)س(
س،-سgاﻟﻤﺠﺎل.]اﻟﺮﻣﺰﻟﻜﻞ ﯾﻘﺎل[
ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ:اﻟﺼﺎدات ﺣﻮل ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ ﻟﮭﺎ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ اﻟﺸﻜﻞ ﻛﺎن إذا زوﺟﯿﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﻜﻮن.
ﻛﺎﻧﺖ ﻓﺈذااﻟﻨﻘﻄﺔ)س،ص(gاﻟﻨﻘﻄﺔ ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻨﺤﻨﻰ)-س،ص(gاﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻨﺤﻨﻰ.
- 19. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
١٩
ﺛﺎﻧﯿﺎً:اﻟﻔﺮدﯾﺔ اﻟﺪاﻟﺔ:
ﺟﱪﻳﺎ:د اﻟﺪاﻟﺔ:س←ﻓﺮدﯾﺔ ﺗﻜﻮن ص
ﻛﺎﻧﺖ إذا:د)-س= (-د)س(س،-سgاﻟﻤﺠﺎل.
ﺑﻴﺎﻧﻴﺎ:إذا ﻓﺮدﯾﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﻜﻮناﻷﺻﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﺣﻮل ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ ﻟﮭﺎ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ اﻟﺸﻜﻞ ﻛﺎن.
اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻛﺎﻧﺖ ﻓﺈذا)س،ص(اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻓﺈن اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﻋﻠﻰ ﺗﻘﻊ)-س،-ص(أﯾﻀﺎ ﺗﻘﻊ
اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﻋﻠﻰ.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
*ً ﺟﺒﺮﯾﺎ اﻟﺪاﻟﺔ ﻧﻮع ﺑﺤﺚ ﺧﻄﻮات:
١(د ﻧﻮﺟﺪ)-س(ﻛﻞ ﺑﺎﺳﺘﺒﺪال ﯾﺘﻢ ذﻟﻚ و)س(ﺑــ)-س(اﻻﺻﻠﯿﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﻓﻰ
٢(ﻧﻔﻜﮭﺎ و اﻷﻗﻮاس ﻣﻊ ﻧﺘﻌﺎﻣﻞ.
٣(ﺣﺴ اﻟﺪاﻟﺔ ﻧﻮع ﻋﻠﻰ ﻧﺤﻜﻢ و اﻷﺻﻠﯿﺔ اﻟﺪاﻟﺔ و اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﺑﯿﻦ ﻧﻘﺎرنﺳﺒﻖ ﻣﺎ ﺐ.
*ﺟﺒﺮﯾﺎ اﻟﺪاﻟﺔ ﻧﻮع ﺑﺤﺚ ﻋﻨﺪ ھﺎﻣﺔ ﻣﻼﺣﻈﺎت:
١) (-س(زوﺟﻰ ﻋﺪد
=ساﻟﺰوﺟﻰ اﻟﻌﺪد ﻧﻔﺲ
،)-س(ﻓﺮدى ﻋﺪد
=س ــاﻟﻔﺮدى اﻟﻌﺪد ﻧﻔﺲ
٢(اﻟﺴﺎﻟﺒﺔ اﻟﺰاوﯾﺔ)-س(اﻟﻤﺜﻠﺜﯿﺔ اﻟﺪوال إﺷﺎرة ﻓﻰ اﻟﺮاﺑﻊ اﻟﺮﺑﻊ ﻣﻌﺎﻣﻠﺔ ﺗﻌﺎﻣﻞ.
ﻣﺜﻼ:ﺣﺎ)-س= (ﺣﺎ ــطﺎ ، س)-س= (ﺣﺘﺎ ، س طﺎ ــ)-س= (س ﺣﺘﺎ
٣(د)س+ (د)-س= (٠
٤(، س ﻛﺎن إذا ﻓﺮدﯾﺔ ﻟﯿﺲ و زوﺟﯿﺔ ﻟﯿﺴﺖ اﻟﺪوال ﻣﻦ ﻛﺜﯿﺮ-سhاﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺠﺎل
د اﯾﺠﺎد دون)-س(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﻣﺜﺎل:أو ﻓﺮدﯾﺔ أو زوﺟﯿﺔ اﻟﺪوال ﻣﻦ أى اﺑﺤﺚ و اﻵﺗﯿﺔ اﻟﺪوال ﻣﺜﻞ اﻟﺮﺳﻮﻣﯿﺔ اﻟﺒﺮاﻣﺞ ﺑﺎﺳﺘﺨﺪام
ﺟﺒﺮﯾﺎ اﺟﺎﺑﺘﻚ ﻣﻦ ﺗﺤﻘﻖ ﺛﻢ ذﻟﻚ ﻏﯿﺮً.
)١(د)س= (س٢
–٤س)٢(د)س= (س٣
+س
)٣(د)س= (س ﺣﺎ س
- 20. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٢٠
اﻟﺤﻞ:
)١(اﻟﺠﺪول ﻧﻜﻮن:د)س= (س٢
–٤س
اﻟﺼﺎدات ﻣﺤﻮر ﺣﻮل ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ ﻟﯿﺲ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ اﻟﺸﻜﻞ
اﻷﺻﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﺣﻮل ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ ﻟﯿﺲ و
د)-س) = (-س(٢
–٤×)-س(
=س٢
+٤س}د ــ)س(
Bﻓﺮدﯾﺔ ﻻ و زوﺟﯿﺔ ﻻ اﻟﺪاﻟﺔ
)٢(د)س= (س٣
+س
اﻷﺻﻞ ﻧﻘﻄﺔ ﺣﻮل ﻣﺘﻤﺎﺛﻞ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ اﻟﺸﻜﻞ
د ،)-س) = (-س(٣
) +-س(
=-س٣
–س=-)س٣
+س(
=د ــ)س(
Bﻓﺮدﯾﺔ اﻟﺪاﻟﺔ
س-١٠١٢٣
د)س(٥٠-٣-٤-٣
س-٢-١٠١٢
د)س(-١٠-٢٠٢١٠
ﺳﺲ
- 21. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٢١
)٣(د)س= (س ﺣﺎ س
اﻟﺼﺎدات ﻣﺤﻮر ﺣﻮل ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ اﻟﺸﻜﻞ
Aد)-س= (-ﺣﺎ س)-س= (س ﺣﺎ س=د)س(
Bزوﺟﯿﺔ اﻟﺪاﻟﺔ.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﻣﺜﺎل:ﺣﯿﺚ د اﻟﺪاﻟﺔ ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ ﻣﺜﻞ
د)س= (
ﺟﺒﺮﯾﺎ ذﻟﻚ ﻣﻦ ﺗﺤﻘﻖ و ذﻟﻚ ﻏﯿﺮ أم ﻓﺮدﯾﺔ أم زوﺟﯿﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ھﻞ ﺑﯿﻦ ﺛﻢ.
اﻟﺤﻞ:سX–٢س>-٢
اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻣﺤﻮر ﺣﻮل ﻣﺘﻤﺎﺛﻼ اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ اﻟﺸﻜﻞ
Aد)-س= (
=
}-د)س(
Bو زوﺟﯿﺔ ﻟﯿﺴﺖ اﻟﺪاﻟﺔﻓﺮدﯾﺔ ﻻ
س-٢-١٠-٢-١-٣
ص٠١٢٠-١١
س+٢CسX-٢
ــ س ــ٢Cس>-٢
-س+٢C-سX-٢
ــ س٢C-س>-٢
-س+٢C-سY٢
ــ س٢Cس<-٢
-٢
ﺳﺲ
ﺻﺺ
١
٢
-١-٣
-١
٠
٣
١
-٣
-٢
- 22. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٢٢
]*٣[اﻷﺣﺎدﯾﺔ اﻟﺪاﻟﺔ:
ﻣﺜﺎل:أﺣﺎدﯾﺔ داﻟﺔ ر ، د اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ ﻣﻦ ﻛﻼ أن أﺛﺒﺖ:
)١(د)س= (س–٣)٢(ر)س= (
اﻟﺤﻞ) :١(ﻛﺎن إذاﺍب ،gد ، ح)ﺍ= (ﺍ–٣د ،)ب= (ب–٣
د ﺑﻮﺿﻊ)ﺍ= (د)ب(Bﺍ–٣=ب–٣ﺑﺤﺬف)-٣(اﻟﻄﺮﻓﯿﻦ ﻣﻦ
Bﺍ=ﺏBأﺣﺎدﯾﺔ داﻟﺔ د
)٢(ﻛﺎن إذاﺍب ،gح-}٥{،ر)ﺍ= (،ر)ﺏ= (
ﺑﻮﺿﻊر)ﺍ= (ر)ب(B=ﻧﺠﺪ اﻟﺘﺒﺎدﻟﻰ ﺑﺎﻟﻀﺮب
)٢ﺍ–٣) (ب–٥) = (ﺍ–٥()٢ب–٣(
٢ﺍب–٣ب–١٠ﺍ+١٥=٢ﺍب–١٠ب–٣ﺍ+١٥
١٠ب–٣ب=١٠ﺍ–٣ﺍ
B٧ب=٧ﺍBﺍ=بBرأﺣﺎدﯾﺔ داﻟﺔ
د اﻟﺪاﻟﺔ:ﺳﺲCﺻﺺأﺣﺎدﯾﺔ داﻟﺔ ﺗﺴﻤﻰ
ﻟﻜﻞ ﻛﺎن إذاﺍب ،gﺳﺲد ،)ﺍ= (د)ب(ﻓﺈنﺍ=ب
ﻟﻜﻞ أوﺍ}د ﻓﺈن ب)ﺍ(}د)ب(
اﻟﺪاﻟﺔ ﺑﯿﺎن ﻣﻦ واﺣﺪة ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ﺑﺄﻛﺜﺮ ﯾﻤﺮ ﻻ اﻟﺬى اﻷﻓﻘﻰ ﺑﺎﻟﺨﻂ ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ ذﻟﻚ ﻣﻦ ﯾﺘﺤﻘﻖ و
٢س–٣
س–٥
٢ﺍ–٣
ﺍ–٥
٢ﺏ–٣
ﺏ–٥
٢ا–٣
ا–٥
٢ب–٣
ب–٥
- 23. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٢٣
*اﻷﻓﻘﻰ اﻟﺨﻂ اﺧﺘﺒﺎر:
د اﻟﺪاﻟﺔ ﺗﻜﻮن:ﺳﺲCﺻﺺاﺣﺎدﯾﺔ داﻟﺔﻗﻄﻊ إذااﻟﺨﻂاﻷﻓﻘﻰ)اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﻮازي(
ﻓﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﻨﺤﻨﻰ ﯾﻘﻄﻊ اﻟﺪاﻟﺔ ﻣﺪي ﻋﻨﺎﺻﺮ ﻣﻦ ﻋﻨﺼﺮ ﻛﻞ ﻋﻨﺪﻧﻘﻄﺔواﺣﺪة.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﻣﺜﺎل:أﺣﺎدﯾﺔ ﻟﯿﺴﺖ اﻟﺪاﻟﺘﯿﻦ ﻣﻦ ﻛﻞ أن ﺑﯿﻦ:
)١(د)س= (س٢
+٣)٢(ر)س= (س٢
–٥س+٦
اﻟﺤﻞ:
)١(د)س= (س٢
+٣
اﻵﺗﻰ اﻟﺠﺪول ﻧﻜﻮن:
Aد)١= (١٢
+٣=٤
د ،)-١) = (-١(٢
+٣=٤
Bد)١= (د)-١(
A-١}١Bأﺣﺎدﯾﺔ ﻟﯿﺴﺖ د.
ص ﻋﻨﺪ اﻷﻓﻘﻰ اﻟﺨﻂ أن وﻧﻼﺣﻆ=٤ﯾﻨﺎھﻤﺎ س ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﯿﻦ ﻏﯿﺮ ﻗﯿﻤﺘﯿﻦ ظﺮ–١،١
)٢(ر)س= (س٢
–٥س+٦
Aر)١= (١٢
–٥×١+٦=٢
،ر)٤= (٤٢
–٥×٤+٦=٢
Bر)١= (ر)٤(A١}٤
Bرأﺣﺎدﯾﺔ ﻟﯿﺴﺖ داﻟﺔ
ص ﻋﻨﺪﻣﺎ اﻷﻓﻘﻰ اﻟﺨﻂ أن ﻧﻼﺣﻆ و=٢ھﻤﺎ س ﻟﻠﻤﺘﻐﯿﺮ ﻣﺘﺴﺎوﯾﺘﯿﻦ ﻏﯿﺮ ﻗﯿﻤﺘﯿﻦ ﯾﻨﺎظﺮ١،٤
س-٣-٢-١٠١٢
د)س(١٢٧٤٣٤٧
٤
-2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
٤
٣
-١ ١
٣
- 24. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٢٤
]٤[)اﻟــﺪاﻟـــــــﺔ اطـــــــــﺮاد(
ﺛﺎﺑﺘﺔ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ
١-)اﻟﺘﺰاﯾﺪﯾﺔ اﻟﺪاﻟﺔ(ﻟﻠﺪ ﯾﻘﺎلاﻟﻔﺘﺮة ﻓﻰ ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ أﻧﮭﺎ اﻟﺔ]ﺍ،ﺏ[
س ﻟﻜﻞ ﻛﺎن إذا١،س٢g]ﺍ،ﺏ[اﻵﺗﻰ اﻟﺸﺮط ﯾﺘﺤﻘﻖ:
س ﻛﺎن إذا١<س٢د)س١(<د)س٢(
ﻋﺎﻣــــﺔ وﺑﺼﻔﺔ:د)س(ﻛﺎﻧﺖ إذا ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﺗﻜﻮن:
ﺗﺘﺰاﯾﺪ اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﯿﻤﺔس ﻗﯿﻤﺔ ﺑﺈزدﯾﺎد.
أﺧﺮى وﺑﻄﺮﯾﻘﺔ:د)س(ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺎس ﻛﺎن إذا ﺗﺰاﯾﺪﯾﺔ ﺗﻜﻮن
اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻟﻤﺤﻮر اﻟﻤﻮﺟﺐ اﻻﺗﺠﺎه ﻣﻊ ﺣﺎدة زاوﯾﺔ ﯾﺼﻨﻊ اﻟﺪاﻟﺔ.
٢-)اﻟﺘﻨﺎﻗﺼﯿﺔ اﻟﺪاﻟﺔ(اﻟﻔﺘﺮة ﻓﻰ ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ أﻧﮭﺎ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﯾﻘﺎل]ﺍ،ﺏ[
س ﻟﻜﻞ ﻛﺎن إذا١،س٢g]ﺍ،ﺏ[
اﻵﺗﻰ اﻟﺸﺮط ﯾﺘﺤﻘﻖ:
س ﻛﺎن إذا١<س٢د)س١(>د)س٢(
ﻋﺎﻣــــﺔ وﺑﺼﻔﺔ:د)س(ﻛﺎﻧﺖ إذا ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﺗﻜﻮن:س ﻗﯿﻤﺔ ﺑﺈزدﯾﺎد ﺗﺘﻨﺎﻗﺺ اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﯿﻤﺔ.
أﺧﺮى وﺑﻄﺮﯾﻘﺔ:د)س(اﻟﻤﻤﺎس ﻛﺎن إذا ﺗﻨﺎﻗﺼﯿﺔ ﺗﻜﻮن
اﻟﺪاﻟﺔ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰﻣﻨﻔ زاوﯾﺔ ﯾﺼﻨﻊاﻟﻤﻮﺟﺐ اﻻﺗﺠﺎه ﻣﻊ ﺮﺟﺔ
اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻟﻤﺤﻮر.
- 25. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٢٥
٣-)اﻟﺜﺎﺑﺘﮫ اﻟﺪاﻟﺔ(اﻟﻔﺘﺮة ﻓﻰ ﺛﺎﺑﺘﮫ أﻧﮭﺎ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ﯾﻘﺎل]ﺍ،ﺏ[
س ﻟﻜﻞ ﻛﺎن إذا١،س٢g]ﺍ،ﺏ[
اﻵﺗﻰ اﻟﺸﺮط ﯾﺘﺤﻘﻖ:س ﻛﺎن إذا١<س٢د)س١= (د)س٢= (ﺍ
ﻋﺎﻣــــﺔ وﺑﺼﻔﺔ:د)س(س ﻗﯿﻤﺔ ﻛﺎﻧﺖ ﻣﮭﻤﺎ ﺛﺎﺑﺘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ﻗﯿﻤﺔ ﻛﺎﻧﺖ إذا ﺛﺎﺑﺘﺔ ﺗﻜﻮن.
اﻟﺨﻼﺻﺔ:
ﺗﺬﻛﺮأن:اﻟﺼﺎدات ﻣﺤﻮر ﻋﻠﻰ ﯾﻘﺮأ اﻟﻤﺪى أﻣﺎ اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻣﺤﻮر ﻋﻠﻰ ﺗﻘﺮأ اﻻطﺮاد ﻓﺘﺮات و اﻟﻤﺠﺎل
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﻣﺜﺎل:اﻟﻤﺪى ذﻛﺮ ﻣﻊ اﻻﺗﯿﺔ اﻟﺪوال ﻣﻦ ﻛﻼ اطﺮاد اﺑﺤﺚ:
اﻟﺸﻜﻞ)١(اﻟﺸﻜﻞ)٢(اﻟﺸﻜﻞ)٣(
٥
٤
٣
٢
١
-١
-٢
-٢ -١ ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ -٢ -١ ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥
٥
٤
٣
٢
١
-١
-٢
-٢ -١ ٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥
٥
٤
٣
٢
١
-١
-٢
- 26. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٢٦
اﻟﺤﻞ:
اﻟﺸﻜﻞ ﻓﻰ)١: (اﻟﻤﺪى] =٠،٢[
اﻻطﺮاد:ﻓﻰ ﻣﺘﺰاﯾﺪة اﻟﺪاﻟﺔ]-٢،٠[ﻓﻰ ﺛﺎﺑﺘﺔ ،]٠،٣[ﻓﻰ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ،]٣،٥[
اﻟﺸﻜﻞ ﻓﻰ)٢: (اﻟﻤﺪى] =-٢،∞]
اﻻطﺮاد:ﻓﻰ ﻣﺘﺰاﯾﺪة]١،∞]ﻓﻰ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ،[-∞،١[
اﻟﺸﻜﻞ ﻓﻰ)٣: (اﻟﻤﺪى[ =–∞،٣[
اﻻطﺮاد:اﻟﺪاﻟﺔﻓﻰ ﻣﺘﺰاﯾﺪة[-∞،٠[ﻓﻰ ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ،]٣،∞]ﻓﻰ ﺛﺎﺑﺘﺔ ،]٠،٣[
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﻣﺜﺎل:
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
]١[ذﻟﻚ ﻏﯿﺮ أو ﻓﺮدﯾﺔ أو زوﺟﯿﺔ ﺣﯿﺚ ﻣﻦ اﻵﺗﯿﺔ اﻟﺪوال ﻧﻮع اﺑﺤﺚ) .ً ﺟﺒﺮﯾﺎ(
]١[د)س= (٢–س٢
]٢[د)س= (٤؟س]٣[د)س= (
]٤[د)س] = (٥[د)س= (س٣
+س ﺣﺘﺎ
]٦[د)س= (؟س٢
"+"٦"]٧[د)س=(
]٨[د)س= (س ﺣﺘﺎ س
اﻟﺪوال ﺧﻮاص ﺑﻌﺾ ﻋﻠﻰ ﺗﻤﺎرﯾﻦ
ــ س٣Cس<٠
ــ س ــ٣Cس>٠
س٣
ﺣﺎ٣س
١+س٤
ــ س١CسX٠
٧سCس>٠
- 27. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٢٧
]٢[اﻟﺴ ذﻛﺮ ﻣﻊ ﯾﻠﻰ ﻛﻤﺎ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ اﻷﺣﺎدﯾﺔ اﻟﺪوال ﺣﺪد؟ ﺒﺐ
)١(د)س= (٣س+١)٢(د)س= (٢س٢
–س–٣
)٣(د)س= (س٤
+٢س+١)٤(د)س= (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
]٣[ذﻟﻚ ﻏﯿﺮ أو ﻓﺮدﯾﺔ أو زوﺟﯿﺔ ﻛﻮﻧﮭﺎ ﺣﯿﺚ ﻣﻦ ﻧﻮﻋﮭﺎ وﺑﯿﻦ داﻟﺔ ﻛﻞ ﻣﺪى أوﺟﺪ:
٢س+١
س–١
٣
-٢ -١ ١ ٢ ٣
١
-١
٢
-٢ -١ ١ ٢ ٣ ٤
٣
٢
١
-١
-٢
-٣
-٢ -١ ١ ٢ ٣ ٤
٤
٣
٢
١
-١
-٢
]١[]٢[
]٣[ ]٤[
- 28. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٢٨
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
]٤[ﻏﯿﺮ أﯾﮭﺎ و ﻓﺮدﯾﺔ ﻣﻨﮭﺎ أى و زوﺟﯿﺔ ﻣﻨﮭﺎ أى ﺑﯿﻦ ﺛﻢ ﯾﻠﻰ ﻛﻤﺎ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ اﻟﺪوال ﻣﻦ ﻛﻞ ارﺳﻢ
ﺟﺒﺮﯾﺎ ذﻟﻚ ﻣﻦ ﺗﺤﻘﻖ و ذﻟﻚ.
)أ(د)س= ()ب(د)س(=
)ﺟـ(د)س= ()د(د)س= (
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
]٥[
]٦[
]٦[ ]٥[
٢س ﻋﻨﺪﻣﺎ<٠
-٢ﻋﻨﺪﻣﺎس>٠
-س ﻋﻨﺪﻣﺎ سX٠
سﻋﻨﺪﻣﺎس>٠
س–١س ﻋﻨﺪﻣﺎX٠
٧سﻋﻨﺪﻣﺎس>٠
ﻗﺎاﻟﺠﯿﺐ ﻧﻮن)ﻗﺎﻋﺪة
اﻟﺠﯿﺐ(
س+١س ﻋﻨﺪﻣﺎX٠
- 29. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٢٩
اﻟﺤﺪود ﻛﺜﯿﺮة اﻟﺪاﻟﺔ:
ﻛﺜﯿﺮة اﻟﺪاﻟﺔ درﺳﺖ أن ﺳﺒﻖاﻟﺼﻮرة ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻋﺪﺗﮭﺎ اﻟﺘﻰ اﻟﺤﺪود:
د)س= (ا٠+ا١س+ا٢س٢
+ا٣س٣
+٠٠٠٠+انسن
ﺣﯿﺚ:ا٠،ا١،ا٢،٠٠٠٠،انgح،ان}٠
ھﻮ اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ اﻟﻤﺠﺎل و اﻟﻤﺠﺎل أن وﻋﻠﻤﻨﺎح)ذﻟﻚ ﺧﻼف ﯾﺬﻛﺮ ﻣﺎﻟﻢ(اﻟﺪوال ھﺬه ﺗﺴﻤﻰ ﻟﺬﻟﻚ و
ا ﻣﻦ اﻟﺤﺪود ﻛﺜﯿﺮة ﺑﺪوالاﻟﻤﺘﻐﯿﺮ ﯾﺄﺧﺬھﺎ ﻗﻮة أﻋﻠﻰ ھﻰ اﻟﺤﺪود ﻛﺜﯿﺮة درﺟﺔ و ، ن ﻟﺪرﺟﺔ
س اﻟﻤﺴﺘﻘﻞ
ھﺎﻣﺔ ﻣﻼﺣﻈﺎت:
١(د ﻛﺎن إذا)س= (ا،ا}٠اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ اﻟﺤﺪود ﻛﺜﯿﺮة داﻟﺔ ﺗﺴﻤﻰ د ﻓﺈن.
٢(دواﻻ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺜﺎﻧﯿﺔ اﻟﺪرﺟﺔ ﻣﻦ و ، ﺧﻄﯿﺔ دواﻻ ﺗﺴﻤﻰ اﻷوﻟﻰ اﻟﺪرﺟﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺪود ﻛﺜﯿﺮة دوال
ﺗﺮﺑﯿﺗﻜﻌﯿﺒﯿﺔ دواﻻ ﺗﺴﻤﻰ اﻟﺜﺎﻟﺜﺔ اﻟﺪرﺟﺔ وﻣﻦ ، ﻌﯿﺔ.
٣(اﻟﺤﺪود ﻛﺜﯿﺮة داﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻧﺤﺼﻞ ، ﺛﻮاﺑﺖ و ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻗﻮى دوال طﺮح أو ﺟﻤﻊ ﻋﻨﺪ.
٤(اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻣﺤﻮر ﻣﻊ ﻣﻨﺤﻨﯿﮭﺎ ﺗﻘﺎطﻊ ﻟﻨﻘﻂ اﻟﺴﯿﻨﯿﺔ اﻻﺣﺪاﺛﯿﺎت ھﻰ اﻟﺤﺪود ﻛﺜﯿﺮة اﻟﺪاﻟﺔ أﺻﻔﺎر.
٥(ا ﻟﮭﻤﺎ ﻛﺎن إذا ر ، د اﻟﺤﺪود ﻛﺜﯿﺮﺗﺎ داﻟﺘﺎ ﺗﺘﺴﺎوىس ﻗﻮى ﻣﻌﺎﻣﻼت ﻛﺎﻧﺖ و ﻧﻔﺴﮭﺎ ﻟﺪرﺟﺔ
ﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ﻓﯿﮭﻤﺎ اﻟﻤﺘﻨﺎظﺮة.
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ﻣﺜﺎل:د ﺣﯿﺚ ﺣﺪود ﻛﺜﯿﺮﺗﺎ ر ، د ﻛﺎن إذا)س() =اس+٥(٢
ر ،)س= (٩س٢
+٣٠س+ــ ﺟـ٤د ﻛﺎن و ،)س= (ر)س(ﻗﯿﻤﺘﻰ أوﺟﺪاﺟـ ،
اﻟﺤﻞ:
د)س) = (اس+٥(٢
=ا٢
س+١٠اس+٢٥
Aد)س= (ر)س(Bا٢
س+١٠اس+٢٥=٩س٢
+٣٠س+ــ ﺟـ٤
Bاﻟﻤﺘﻨﺎظﺮ س ﻗﻮى ﻣﻌﺎﻣﻼتﻣﺘﺴﺎوﯾﺔ ة.
ﻧﺠﺪ س ﻣﻌﺎﻣﻞ ﺑﻤﻘﺎرﻧﺔ و:١٠ا=٣٠Bا=٣
اﻟﻤﻄﻠﻖ اﻟﺤﺪ ﻣﻘﺎرﻧﺔ ،:ﺟـ-٤=٢٥Bﺟـ=٢٩
اﻟﮭﻨﺪﺳﯿﺔ اﻟﺘﺤﻮﯾﻼت و ﻟﻠﺪوال اﻟﺒﯿﺎﻧﻰ اﻟﺘﻤﺜﯿﻞ
- 30. اﻟﺒﺤﺘﺔ اﻟﺮﯾﺎﺿﯿﺎت)ﺟﺒـﺮ(اﻟﺜﺎﻧﻮى اﻟﺜﺎﻧﻰ اﻟﺼﻒ)ﻋﻠﻤﻰ(
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
اﻻﺳﺘﺎذ اﻋﺪاد/ت رﯾﺎﺿﯿﺎت ﺧﺒﯿﺮ ﻣﻌﻠﻢ اﻟﻤﻨﻔﻠﻮطﻰ ﺧﺎﻟﺪ/٠١١٥٤٨٠٢٨١١
٣٠
*اﻟﺪوال ﻣﻨﺤﻨﯿﺎت رﺳﻢ*
اﻟﺤﺪود ﻛﺜﯿﺮة داﻟﺔ ﻣﻨﺤﻨﯿﺎت رﺳﻢ أوﻻ:
د ھﻰ اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ اﻟﺼﻮرة)س= (اﺣﯿﺚاﻟ ﺛﺎﺑﺖس ﻜﻞgح*
اﻟﺴﯿﻨﺎت ﻣﺤﻮر ﯾﻮازى ﺑﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﯿﺎﻧﯿﺎ ﺗﻤﺜﻞ و
اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻓﻰ اﻟﺼﺎدات ﻣﺤﻮر ﯾﻘﻄﻊ و)٠،ا(
اﻟﻤﻮﺿﺢ اﻟﺸﻜﻞ ﻓﻰ ﻛﻤﺎ:
ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ=ﻣﺪاھﺎ ، ح=}ا{زوﺟﯿﺔ اﻟﺪاﻟﺔ ،
اﻟﻨﻘﺎط ﻣﻦ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ أو ﻧﻘﻄﺔ ﻣﺪاھﺎ اﻟﺘﻰ اﻟﻮﺣﯿﺪة اﻟﺪاﻟﺔ ھﻰ و
ﻣﻠﺤﻮظﺔ:ﻛﺎﻧﺖ إذاااﻟﻤﺴﺘﻘ ﻓﺈن ﻣﻮﺟﺒﺔاﻟﺴﯿﻨﺎت ﻣﺤﻮر أﻋﻠﻰ ﯾﻜﻮن ﯿﻢ
ﻛﺎﻧﺖ إذا و ،ااﻟﺴﯿﻨﺎت ﻣﺤﻮر أﺳﻔﻞ ﯾﻜﻮن اﻟﻤﺴﺘﻘﯿﻢ ﻓﺈن ﺳﺎﻟﺒﺔ
ﻣﺜﺎل:د ﺣﯿﺚ د اﻟﺪاﻟﺔ ارﺳﻢ)س= (٣اﻟﺮﺳﻢ وﻣﻦ
اﻟﻤﺪى ﻋﯿﻦواﻟﻨﻮع واﻻطﺮاد
اﻟﺤﻞ:
اﻟﻤﺪى=}٣{
ﻣﺠﺎﻟﮭﺎ ﻋﻠﻰ ﺛﺎﺑﺘﺔ
اﻟﺼﺎ ﻣﺤﻮر ﺣﻮل ﻟﺘﻤﺎﺛﻠﮭﺎ زوﺟﯿﺔدات
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
د ھﻰ اﻟﺨﻄﯿﺔ ﻟﻠﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺎﻣﺔ اﻟﺼﻮرة)س= (اس+س ﻟﻜﻞ بgﺣﺢ،ا}٠
ﻣ ﻣﺴﺘﻘﯿﻢ ﺑﺨﻂ ﺗﻤﺜﻞ وﯿﻠﮫ=ااﻟﻨﻘﻄﺔ ﻓﻰ اﻟﺼﺎدات ﻣﺤﻮر وﯾﻘﻄﻊ ،)٠ب ،(ﻣﺤﻮر ﯾﻘﻄﻊ و
اﻟﻨﻘﻄﺔ ﻓﻰ اﻟﺴﯿﻨﺎت)،٠(اﻟﺼﺎدات ﻣﺤﻮر ﻣﻦ اﻟﻤﻘﻄﻮع اﻟﺠﺰء ب ،
أوﻻ:اﻟﺜﺎﺑﺘﺔ اﻟﺪاﻟﺔ
ﺻﺺ
ﺳﺲ
)٠،ا(
د)س= (ا
-٣ -٢ -١ ١ ٢ ٣ ٤
٤
٣
٢
١
-١
-٢
-٣
ﺛﺎﻧﯿﺎ:أو اﻷوﻟﻰ اﻟﺪرﺟﺔ داﻟﺔ)ااﻟﺨﻄﯿﺔ ﻟﺪاﻟﺔ
(
-ب
ا