Docentencursus relativiteitstheorie 2014. Slides bij het tweede hoorcollege. Zie http://www.quantumuniverse.nl/docentencursus-relativiteitstheorie-2014

1. Docentencursus
relativiteitstheorie
Tweede college
Marcel Vonk
8 oktober 2014

2. 2/112
Inhoud 2e hoorcollege
1. Hoofdpunten eerste hoorcollege
2. Eenheden in de ruimtetijd
3. Tijdsdilatatie
4. Lorentzconractie
5. Lorentztransformaties
6. De ladderparadox
7. De tweelingparadox

3. 1. Hoofdpunten eerste
hoorcollege

4. 4/112
Eerste hoorcollege
We hebben de eigenschappen van
ruimte en tijd bekeken.
Klassiek zijn dit twee onafhankelijke
begrippen; in de relativiteitstheorie
zijn ze nauw met elkaar verbonden.

5. 5/112
Eerste hoorcollege
Klassiek: als de waarnemers hun
onderlinge snelheid (v) kennen,
kunnen ze hun coördinaten in die van
de ander omrekenen.
' Galileï-transformaties
x  x 
vt
t '

t

6. 6/112
Eerste hoorcollege
Klassiek: als de waarnemers hun
onderlinge snelheid (v) kennen,
kunnen ze hun coördinaten in die van
de ander omrekenen.
x x vt
'  
Veranderlijk
t '

t
Absoluut

7. 7/112
Eerste hoorcollege
In het relativistische beeld van ruimte
en tijd staan staan twee postulaten
centraal. Het relativiteitsbeginsel…
Elke natuurwet is in elk
inertiaalstelsel geldig.
(Inertiaalstelsel = eenparig bewegend
referentiekader)

8. 8/112
Eerste hoorcollege
…en de onveranderlijke lichtsnelheid:
Als ik vanuit een slee met snelheid v
licht met snelheid c naar iemand
straal, komt dat niet met snelheid
u=c+v aan… maar met snelheid u=c!

9. 9/112
Eerste hoorcollege
Einstein gebruikte deze twee
postulaten om te laten zien hoe de
ruimte- en tijdlijnen lopen.

10. 10/112
Eerste hoorcollege
Het eindresultaat: in Einsteins
wereldbeeld ziet de ruimtetijd er zo uit:
Gelijktijdigheid is waarnemerafhankelijk!

11. 11/112
Eerste hoorcollege
De ruimtetijd, bestaande uit alle
gebeurtenissen, vormt één geheel.
Elke inertiële waarnemer verdeelt
dit geheel op zijn eigen manier in
ruimte en tijd.

12. 2. Eenheden in de ruimtetijd

13. Eenheden in de ruimtetijd
In het onderstaande plaatje zijn de
lijnen x’=1, t’=1, enzovoort, al op de
juiste afstand van x’=0 en t’=0 gezet.
Maar hoe weten we waar deze lijnen
moeten staan?
13/112

14. Eenheden in de ruimtetijd
Een voor de hand liggende keuze lijkt
misschien om de lijn x’=1 door het
punt (x,t)=(1,0) te laten lopen, en idem
voor t’=1.
14/112

15. Eenheden in de ruimtetijd
Als we de situatie vanuit de groene
waarnemer bekijken zien we echter
dat dit in strijd is met het relativiteits-beginsel.
15/112

16. Eenheden in de ruimtetijd
Als we de situatie vanuit de groene
waarnemer bekijken zien we echter
dat dit in strijd is met het relativiteits-beginsel.
16/112

17. Eenheden in de ruimtetijd
17/112
De zwarte lijnen in het
groene frame staan op
afstand 1-β2 van de
oorsprong. (β=v/c)
BORD

18. Eenheden in de ruimtetijd
Als we de groene lijnen links een
afstand x uit elkaar zetten, staan de
zwarte lijnen rechts een factor 1/x
verder uit elkaar.
18/112

19. Eenheden in de ruimtetijd
Als we de groene lijnen links een
afstand x uit elkaar zetten, staan de
zwarte lijnen rechts een factor 1/x
verder uit elkaar.
19/112

20. Eenheden in de ruimtetijd
20/112
• De zwarte lijnen in het groene
referentiekader staan op een
afstand1-β2 van de oorsprong.
• Als we de groene lijnen een afstand
x uit elkaar zetten, staan de zwarte
lijnen een factor 1/x verder uit
elkaar.
We moeten dus de groene
lijnen een afstand √(1-β2)
uit elkaar zetten.

21. Eenheden in de ruimtetijd
21/112
In een animatie zien we dat dit
inderdaad werkt:

22. Eenheden in de ruimtetijd
22/112
In een animatie zien we dat dit
inderdaad werkt:

23. Eenheden in de ruimtetijd
De ruimte- en tijdlijnen van een
referentiekader dat met snelheid
v beweegt, staan een afstand
23/112
√(1-β2) uit elkaar. (β=v/c)

24. 3. Tijdsdilatatie

25. 25/112
Tijdsdilatatie
Bekijk de volgende twee
gebeurtenissen in de ruimtetijd:

26. 26/112
Tijdsdilatatie
• Voor de groene waarnemer gaat
het om twee gebeurtenissen die op
plaats x’=0 op tijden t’=0 en t’=1
gebeuren.

27. 27/112
Tijdsdilatatie
• We kunnen de gebeurtenissen dus
zien als twee “tikken op zijn klok”
die (voor hem) een seconde na
elkaar plaatsvinden.

28. 28/112
Tijdsdilatatie
• Voor de zwarte waarnemer
gebeuren de twee tikken, omdat de
groene waarnemer beweegt, zo’n
0,6 ls uit elkaar.

29. 29/112
Tijdsdilatatie
• Verrassender: voor de zwarte
waarnemer gebeuren de twee
tikken met een tijdsinterval van
ongeveer 1,2 s.

30. 30/112
Tijdsdilatatie
• De klok van de groene waarnemer
lijkt voor de zwarte waarnemer dus
langzamer te lopen!

31. 31/112
Tijdsdilatatie
Dit langzamer lopen van bewegende
klokken wordt tijdsdilatatie genoemd.
Voor de taalpuristen:
Nederlands: tijd(s)dilatatie
Engels: time dilation
NiNa: tijdrek

32. 32/112
Tijdsdilatatie
We kunnen aan de hand van het
diagram een formule voor de
tijdsdilatatie uitrekenen, maar er is
een meer inzichtelijke manier.

33. 33/112
Tijdsdilatatie
We bekijken de onderstaande
“lichtklok”, die voor een stilstaande
waarnemer eenmaal per seconde tikt.

34. 34/112
Tijdsdilatatie
Zodra we de klok in beweging
brengen, zien we het licht tussen twee
tikken een langere, diagonale afstand
afleggen.

35. 35/112
Tijdsdilatatie
We zien de klok dus (zoals verwacht)
langzamer lopen dan een waarnemer
die ten opzichte van de klok stilstaat!

36. 36/112
Tijdsdilatatie
Met de stelling van Pythagoras
rekenen we nu eenvoudig de tijd
tussen twee tikken uit.

37. 37/112
Tijdsdilatatie
Δt : Tijdsduur voor de meebe-wegende
waarnemer
(“tijd op de stilstaande klok”)
Δt’ : Tijdsduur voor de niet mee-bewegende
waarnemer
(“tijd op de bewegende klok”)
1
t t BORD

 
2 1
'


38. 38/112
Tijdsdilatatie
De Lorentzfactor
1

2 1



(met β=v/c) komt in de relativiteits-theorie
veel voor. De formule wordt
dus vaak geschreven als
t' t

39. 39/112
Tijdsdilatatie
Opmerking: dit is geen gevolg van de
speciale keuze van de gebruikte klok!
1) We zagen de tijdsdilatatie al in het
ruimtetijddiagram, voor we een type
klok kozen.

40. 40/112
Tijdsdilatatie
Opmerking: dit is geen gevolg van de
speciale keuze van de gebruikte klok!
2) We kunnen een ander type klok
naast de lichtklok houden; de klokken
lopen voor beide waarnemers gelijk.

41. 41/112
Tijdsdilatatie
Opmerking: dit is geen gevolg van de
speciale keuze van de gebruikte klok!
3) Experimentele bevestiging: Hafele
en Keating (1971).

42. 42/112
Tijdsdilatatie
Een klok die in rust met
tijdsintervallen Δt tikt, tikt als hij
met een snelheid v beweegt, met
grotere tijdsintervallen Δt’ = γ Δt.

43. 4. Lorentzcontractie

44. 44/112
Lorentzcontractie
Bekijk de volgende twee wereldlijnen
in de ruimtetijd:

45. 45/112
Lorentzcontractie
• Voor de groene waarnemer gaat
het om de wereldlijnen van twee
objecten die zich in rust op plaatsen
x’=0 en x’=1 bevinden.

46. 46/112
Lorentzcontractie
• We kunnen de objecten dus zien
als twee “uiteinden van een meet-lat”
die (voor hem) een lichtseconde
(300.000 km) lang is.

47. 47/112
Lorentzcontractie
• Voor de zwarte waarnemer bevin-den
zich de uiteinden zo’n 0,8 ls uit
elkaar.

48. 48/112
Lorentzcontractie
• De meetlat van de groene
waarnemer lijkt voor de zwarte
waarnemer dus korter te zijn!

49. 49/112
Tijdsdilatatie
Dit korter zijn van bewegende
meetlatten wordt Lorentzcontractie
genoemd.
(Ook wel Lorentz-Fitzgeraldcontractie
of lengtecontractie.)
NiNa: ruimtekrimp

50. 50/112
Lorentzcontractie
We weten al hoe ver de groene
ruimtelijnen in het zwarte referentie-kader
uit elkaar staan, dus we kunnen
onmiddellijk de formule opschrijven.

51. 51/112
Lorentzcontractie
L : Lengte van de meetlat in rust.
L’ : Lengte van de bewegende
meetlat.
L L 2 ' 1

52. 52/112
Lorentzcontractie
Met behulp van de lorentzfactor
2 1
wordt dit ook vaak geschreven als
L

L'
1





53. 53/112
Lorentzcontractie
Een intuïtieve manier om de
Lorentzcontractie af te leiden is aan
de hand van muonen die ontstaan als
kosmische straling de dampkring
binnenkomt.

54. 54/112
Lorentzcontractie
Een muon heeft een halfwaardetijd
van 2,2 μs.
Zelfs als het met de lichtsnelheid reist,
zou een gemiddeld muon dus na zo’n
660m vervallen.

55. 55/112
Lorentzcontractie
Toch bereiken veel muonen het
aardoppervlak, ondanks het feit dat ze
op tientallen kilometers hoogte
ontstaan!

56. 56/112
Lorentzcontractie
We kunnen dit resultaat op twee
manieren begrijpen.
1) Tijdsdilatatie: doordat we het muon
zo snel zien bewegen, lijkt zijn “klok”
veel langzamer te lopen. De vervaltijd
lijkt voor ons dus γ maal zo lang.

57. 57/112
Lorentzcontractie
We kunnen dit resultaat op twee
manieren begrijpen.
2) Lorentzcontractie: voor het muon
zelf is zijn vervaltijd gewoon 2,2 μs.
De op hem af komende atmosfeer lijkt
echter veel dunner.

58. 58/112
Lorentzcontractie
Kortom: om hetzelfde effect te
bereiken, moet de atmosfeer een
zelfde factor γ dunner lijken:
L

t' t L'

59. 59/112
Lorentzcontractie
Een meetlat die in rust een lengte
L heeft, heeft als hij met een
snelheid v beweegt een kortere
lengte L’ = L/γ.

60. 5. Lorentztransformaties

61. 61/112
Lorentztransformaties
We hebben nu ook kwantitatief gezien
wat de effecten van de relativiteits-theorie
zijn op ruimte en tijd.
Lorentzcontractie tijdsdilatatie

62. 62/112
Lorentztransformaties
Aangezien we weten hoe de ruimte-en
tijdlijnen van de bewegende
waarnemer lopen, kunnen we natuur-lijk
ook willekeurige coördinaten van
gebeurtenissen in elkaar omrekenen.

63. 63/112
Lorentztransformaties
Deze Lorentztransformaties behoren
niet tot de exameneisen, maar het kan
voor de docent nuttig zijn ze toch te
kennen:
t t x
'   ( 

)
x '   ( x 

t
)

64. 64/112
Lorentztransformaties
t t x
'   ( 

)
x '   ( x 

t
)
• De transformaties zijn in deze
eenvoudige vorm geldig als we als
eenheden seconden en licht-seconden
gebruiken.

65. 65/112
Lorentztransformaties
t t x
'   ( 

)
x '   ( x 

t
)
• Als we meters en seconden
gebruiken verschijnt een aantal
extra factoren c.

66. 66/112
Lorentztransformaties
t '  
( t 
v x / c
2
) x '  
( x 
vt
)
• Als we meters en seconden
gebruiken verschijnt een aantal
extra factoren c.

67. 67/112
Lorentztransformaties
t '  
( t 
v x / c
2
) x '  
( x 
vt
)
• Een voordeel van deze vorm is dat
we voor lage snelheden de Galileï-transformaties
terug zien.
BORD

68. 68/112
Lorentztransformaties
t t x
'   ( 

)
x '   ( x 

t
)
• Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie
zijn twee speciale gevallen van
deze vergelijking.
BORD

69. 69/112
Lorentztransformaties
Een veel voorkomende verwarring: als
ruimte en tijd zo symmetrisch
voorkomen…
t t x
'   ( 

)
x x t
'   ( 

)
Hoe kan het dan dat tijd oprekt en
ruimte krimpt?

70. 70/112
Lorentztransformaties
Het antwoord zien we het duidelijkst in
een plaatje:
AB geeft de lengtecontractie weer, AC
de tijdsdilatatie.

71. 71/112
Lorentztransformaties
Om AD te meten zouden we een
nogal vreemd experiment moeten
verzinnen, waarin de bewegende
waarnemer als zijn klok tikt ook iets op
een andere plaats laat gebeuren.

72. 72/112
Lorentztransformaties
Dit experiment zou het “tijds-equivalent”
van het meten van
Lorentzcontractie zijn.

73. 73/112
Lorentztransformaties
Willekeurige ruimtetijdcoördina-ten
kunnen we omrekenen met
t t x
'   ( 

)
x '   ( x 

t
)