Docentencursus relativiteitstheorie aan de UvA, 4e en laatste hoorcollege

1. Docentencursus
relativiteitstheorie
Vierde college
Marcel Vonk
30 oktober 2013

2. Inhoud 4e hoorcollege
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Hoofdpunten eerste drie colleges
E=mc2
Algemene relativiteit
De Ehrenfest-paradox
Experimenteel bewijs
Voorbeeldopgaven
2/87

3. 1. Hoofdpunten eerste drie
colleges

4. Eerste hoorcollege
De ruimtetijd, bestaande uit alle
gebeurtenissen, vormt één
geheel. Elke inertiële waarnemer verdeelt dit geheel op
zijn eigen manier in ruimte en
tijd.
4/87

5. Eerste hoorcollege
Het eindresultaat: in Einsteins
wereldbeeld ziet de ruimtetijd er zo uit:
Gelijktijdigheid is waarnemerafhankelijk!
5/87

6. Tweede hoorcollege
Tijdsdilatatie: een klok die in rust
met tijdsintervallen Δt tikt, tikt als
hij met een snelheid v beweegt,
met grotere tijdsintervallen
Δt’ = γ Δt.
6/87

7. Tweede hoorcollege
Lorentzcontractie: een meetlat
die in rust een lengte L
heeft, heeft als hij met een
snelheid v beweegt een kortere
lengte
7/87
L’ = L/γ.

8. Derde hoorcollege
Lorentztransformaties:
willekeurige ruimtetijdcoördinaten
kunnen we omrekenen met
t'
  (t   x)
x'   ( x   t )
8/87

9. Derde hoorcollege
We hebben gezien waarom lengtes
van bewegende voorwerpen korter
worden (dan meten we AB), maar
tijden op bewegende klokken langer
(dan meten we AC).
9/87

10. Derde hoorcollege
Ladderparadox: “Iemand rent met een
ladder, die precies in een schuur past,
met enorme snelheid de schuur in.
Past de ladder nog altijd in de
schuur?”
10/87

11. Derde hoorcollege
11/87

12. Derde hoorcollege
Beide waarnemers hebben gelijk: de
stilstaande waarnemer meet lengtes
langs t=0, de bewegende waarnemer
langs t’=0.
12/87

13. Derde hoorcollege
Tweelingparadox: “Ronald reist met
een enorme snelheid naar een ver
sterrenstelsel, keert daar om en reist
met dezelfde snelheid weer terug. Is
Ronald bij terugkomst jonger dan
Frank, of andersom?
13/87

14. Derde hoorcollege
• Frank ziet Ronald steeds met grote
snelheid bewegen. Hij ziet Ronalds
klok langzamer lopen, dus Ronald
zou jonger moeten zijn.
• Ronald ziet Frank steeds met grote
snelheid bewegen. Hij ziet Franks
klok langzamer lopen, dus Frank
zou jonger moeten zijn.
14/87

15. Derde hoorcollege
Nu heeft maar één van de waarnemers (Frank) gelijk: de andere
(Ronald) verandert namelijk van
snelheid.
De situatie is dus niet symmetrisch!
15/87

16. Derde hoorcollege
Ronald slaat als het ware een stuk van
de geschiedenis van Frank over. (In
termen van “gelijktijdigheid”; hij ziet
deze geschiedenis wel.)
16/87

17. 2. E=mc2

18. E=mc2
Hoe worden snelheden relativistisch
opgeteld? De klassieke optelling werkt
in elk geval niet, want we weten dat
“v+c=c” voor elke v.
18/87

19. E=mc2
• Een trein rijdt met v=c/3 door het
station.
• Een hardloper loopt met u’=c/3 door
de trein.
• Wat is de snelheid u van de hardloper ten opzichte van het station?
19/87

20. E=mc2
We kunnen dit vraagstuk grafisch
oplossen:
20/87

21. E=mc2
We kunnen dit vraagstuk grafisch
oplossen:
21/87

22. E=mc2
We kunnen dit vraagstuk grafisch
oplossen:
c/3 <+> c/3 = 3c/5
22/87

23. E=mc2
In het werkcollege reken we dit ook op
een niet-grafische manier na.
Wie deze methode volgt, kan ook een
algemene formule afleiden:
23/87

24. E=mc2
Aan het plaatje zien we al dat het
optellen van twee snelheden kleiner
dan c, altijd een nieuwe snelheid
oplevert die kleiner is dan c.
24/87

25. E=mc2
We kunnen dit ook uit de optelformule
afleiden:
BORD
25/87

26. E=mc2
Versnellen is niets anders dan steeds
een beetje snelheid bij een bestaande
snelheid optellen.
Conclusie: we kunnen nooit tot boven
de lichtsnelheid versnellen!
26/87

27. E=mc2
Dat versnellen lastiger wordt bij hoge
snelheden kunnen we begrijpen uit
Einsteins beroemdste formule, E=mc2.
27/87

28. E=mc2
De afleiding van E=mc2 is enigszins
complex. De formule hoort daarom niet
tot de exameneisen.
28/87

29. E=mc2
In het kort:
1. Plaats en tijd zijn nauw verbonden;
ze vormen eigenlijk een 4-vector.
2. Ook bij impuls hoort een 4e
component: de energie.
3. Impuls en energie gedragen
zich net als ruimte en tijd als we
aannemen dat energie gegeven
wordt door E = γm0c2.
29/87

30. E=mc2
Uitschrijven levert
E = m0c2 + ½ m0v2 + kleine correcties
We vinden de bekende formule voor
de kinetische energie terug als eerste
snelheidsafhankelijke correctie op een
constante term: de
rustenergie, E0=m0c2.
30/87

31. E=mc2
Dat materie inderdaad een dergelijke
rustenergie bezit, is inmiddels
overtuigend experimenteel bewezen.
31/87

32. E=mc2
E = m0c2 + ½ m0v2 + kleine correcties
Opmerking 1: m0 in deze formule is de
massa die we in rust meten. In een
willekeurige toestand is de massa die
we meten gelijk aan meff = E/c2 = γm0.
32/87

33. E=mc2
E = m0c2 + ½ m0v2 + kleine correcties
Opmerking 2: De vorm E = mc2 is dus
wat verwarrend; hiermee kan ofwel
E = meff c2 bedoeld worden, ofwel
E0 = m0 c2.
33/87

34. E=mc2
Ik zal E = γmc2 niet in
detail afleiden; zie daarvoor bijvoorbeeld het
boekje van Sander Bais.
Wel wil ik laten zien dat we met deze
formule kunnen begrijpen waarom
versnellen tot in de buurt van c steeds
meer moeite kost.
34/87

35. E=mc2
Dit is eenvoudig in te zien als we de
volgende beweringen combineren:
1. Iets zwaars is moeilijker te versnellen dan iets lichts. (Denk aan F=ma.)
35/87

36. E=mc2
Dit is eenvoudig in te zien als we de
volgende beweringen combineren:
2. Iets wat sneller beweegt heeft meer
energie, dus meer effectieve massa.
E = meff c2
36/87

37. E=mc2
1. Iets zwaars is moeilijker te versnellen
dan iets lichts.
2. Iets wat sneller beweegt heeft meer
energie, dus meer effectieve massa.
37/87

38. E=mc2
Versnellen tot boven de lichtsnelheid
lukt inderdaad niet!
38/87

39. 3. De algemene
relativiteitstheorie

40. Algemene relativiteit
Tot nu toe hebben we het alleen
gehad over waarnemers die eenparig
(met constante snelheid) bewegen.
Maar hoe ervaart een versnelde
waarnemer de ruimtetijd?
40/87

41. Algemene relativiteit
Het kostte Einstein 10 jaar om de
relativiteitstheorie uit te breiden tot
versnelde waarnemers.
Verrassenderwijs speelt de zwaartekracht daarbij een centrale rol!
41/87

42. Algemene relativiteit
Centraal in Einsteins redenering staat
het equivalentieprincipe.
Net als bij het relativiteitsbeginsel viel
het Einstein op dat twee ogenschijnlijk
verschillende situaties dezelfde
waarnemingen opleveren.
42/87

43. Algemene relativiteit
Bekijk een waarnemer in een
stilstaande lift op aarde.
43/87

44. Algemene relativiteit
In het zwaartekrachtsveld van de
aarde ziet deze waarnemer objecten
met de valversnelling (9,8 m/s2)
omlaag vallen.
Deze valversnelling is voor objecten
van elke massa hetzelfde!
44/87

45. Algemene relativiteit
Overigens voelen we de “druk” van de
zwaartekracht pas als iets (bijvoorbeeld de liftbodem) de valversnelling
tegenwerkt.
45/87

46. Algemene relativiteit
Een waarnemer in een versnelde lift in
de ruimte neemt hetzelfde waar!
46/87

47. Algemene relativiteit
Einsteins conclusie: zwaartekracht is
experimenteel niet van versnelling te
onderscheiden.
De aanname dat dit algemeen geldig
is, heet het equivalentieprincipe.
47/87

48. Algemene relativiteit
De kleine lettertjes: de aarde heeft een
radieel zwaartekrachtsveld.
Om de situaties echt identiek te maken
moeten we een parallel zwaartekrachtveld gebruiken.
48/87

49. Algemene relativiteit
Wat heeft het equivalentieprincipe voor
gevolgen voor de ruimtetijd?
Laten we weer eens kijken naar het
gedrag van licht. In Newtons wereldbeeld heeft licht geen massa, en ondervindt het dus geen zwaartekracht.
49/87

50. Algemene relativiteit
Een foton valt een versnellende lift in
de ruimte binnen.
50/87

51. Algemene relativiteit
Voor de waarnemer in de lift lijkt het
foton een paraboolbaan te beschrijven.
51/87

52. Algemene relativiteit
De stilstaande waarnemer op aarde
zou dus eenzelfde baan moeten zien.
52/87

53. Algemene relativiteit
• Onder de invloed van de zwaartekracht beweegt alles in gekromde
banen.
• De kromming van de baan hangt
niet af van eigenschappen van het
voorwerp zoals zijn massa.
De kromming door de zwaartekracht lijkt dus een eigenschap
te zijn van de ruimtetijd zelf!
53/87

54. Algemene relativiteit
Einstein ontdekte dat het inderdaad
mogelijk is om de zwaartekracht te
beschrijven als een kromming van de
ruimtetijd.
54/87

55. Algemene relativiteit
In een zwak zwaartekrachtsveld (zoals
op de aarde) reproduceert zijn theorie
nauwkeurig de zwaartekrachtswet van
Newton.
55/87

56. Algemene relativiteit
Zwaartekracht is dus niets anders dan
een versnelling die ontstaat door de
kromming van de ruimtetijd.
Let op: zwaartekracht is
versnelling, maar niet alle versnelling
komt door de zwaartekracht!
56/87

57. Algemene relativiteit
Zwaartekracht is niet van
versnelling te onderscheiden.
Zwaartekrachtsversnelling is
niets anders dan gekromde
ruimtetijd.
57/87

58. 4. De Ehrenfest-paradox

59. De Ehrenfest-paradox
Een van de redeneringen die Einstein
hielp bij het vinden van de algemene
relativiteitstheorie was de zogenaamde
Ehrenfestparadox.
59/87

60. De Ehrenfest-paradox
Neem een schijf met straal r, en breng
op vaste onderlinge afstand markeringen op de rand aan. Laat de schijf
vervolgens ronddraaien met een
bepaalde constante hoeksnelheid ω.
60/87

61. De Ehrenfest-paradox
De markeringen ondervinden Lorentzcontractie, maar de straal niet. Hoe is
dit te rijmen met het feit dat de omtrek
van een cirkel L=2πr is?
61/87

62. De Ehrenfest-paradox
Een eerste uitdaging is om de paradox
goed te formuleren. Bij het opspinnen
zal de schijf namelijk uitdijen; een
effect dat de redenering flink kan
verwarren.
62/87

63. De Ehrenfest-paradox
Laten we daarom een schijf nemen die
al draait. De stilstaande waarnemer
heeft dan geen enkele reden om te
vermoeden dat L=2πr niet geldt.
63/87

64. De Ehrenfest-paradox
Voor de meebewegende waarnemer
staan de markeringen verder uit
elkaar, maar is r hetzelfde. Voor hem
geldt dus kennelijk L>2πr!
64/87

65. De Ehrenfest-paradox
In een vlakke ruimte geldt altijd dat
L=2πr. In een gekromde ruimte echter
niet!
Sferisch,
L<2πr
65/87

66. De Ehrenfest-paradox
In een vlakke ruimte geldt altijd dat
L=2πr. In een gekromde ruimte echter
niet!
Hyperbolisch,
L>2πr
66/87

67. De Ehrenfest-paradox
De meebewegende waarnemer
ervaart de ruimtetijd dus alsof die
gekromd is. Dat is niet zo vreemd,
want deze waarnemer is versneld.
67/87

68. De Ehrenfest-paradox
Met de algemene relativiteitstheorie
kunnen we precies de waargenomen
kromming uitrekenen, en die komt
exact overeen met de gevonden
waarde voor L.
68/87

69. 6. Experimenteel bewijs van de
relativiteitstheorie

70. Experimenteel bewijs
Een aantal experimenten zijn we al
eerder tegengekomen:
1) Experimenten zoals dat van
Michelson en Morley tonen aan dat
de lichtsnelheid waarnemeronafhankelijk is.
70/87

71. Experimenteel bewijs
Een aantal experimenten zijn we al
eerder tegengekomen:
2) Hafele en Keating stuurden in 1971
atoomklokken mee met intercontinentale vliegtuigen, en controleerden zo de tijdsdilatatie.
71/87

72. Experimenteel bewijs
Een aantal experimenten zijn we al
eerder tegengekomen:
3) Dat muonen hoog uit de dampkring
de aarde bereiken is een test voor
tijdsdilatatie en Lorentzcontractie.
72/87

73. Experimenteel bewijs
Een aantal experimenten zijn we al
eerder tegengekomen:
4) De equivalentie van massa en
energie, E=mc2, blijkt uit allerlei
kernfusie- en kernsplijtingsexperimenten.
73/87

74. Experimenteel bewijs
Een eerste test voor het gekromd zijn
van de ruimtetijd werd in 1919
uitgevoerd door Arthur Eddington.
74/87

75. Experimenteel bewijs
Hij reisde naar Afrika om een totale
zonsverduistering waar te nemen.
75/87

76. Experimenteel bewijs
Door het afbuigen van licht in een
zwaartekrachtsveld zien we bij zo’n
verduistering sterren op een andere
plaats aan de hemel staan.
76/87

77. Experimenteel bewijs
Eddington vond de juiste afbuiging.
Tegenwoordig zien we hetzelde effect
op nog veel spectaculairder wijze:
gravitatielenzen.
77/87

78. Experimenteel bewijs
Een ander bewijs voor de kromming
van de ruimtetijd zien we aan de baan
van de planeet Mercurius. Deze baan
vertoont periheliumprecessie.
78/87

79. Experimenteel bewijs
Dit effect was al in 1859 opgemerkt
door Urbain Le Verrier. Het kon niet
verklaard worden door de invloed van
andere planeten of de vorm van de
zon.
79/87

80. Experimenteel bewijs
De relativiteitstheorie gaf wel de juiste
“voorspelling” voor de grootte van de
precessie.
80/87

81. Experimenteel bewijs
Tenslotte: om GPS te laten werken
moet rekening worden gehouden met
de kromming van de ruimtetijd.
81/87

82. Experimenteel bewijs
Zie voor nog meer voorbeelden
bijvoorbeeld de lijsten op Wikipedia.
82/87

83. 6. Voorbeeldopgaven

84. Voorbeeldopgaven
1) In de NiNa-module gebaseerd op
het boek van Sander Bais staat een
groot aantal opgaven.
http://www.nieuwenatuurkunde.nl/disclaimer/46
84/87

85. Voorbeeldopgaven
2) VirginiaTech heeft een website met
zo’n 20 leuke voorbeeldopgaven.
http://www.phys.vt.edu/~takeuchi/relativity/practice/
85/87

86. Voorbeeldopgaven
3) Googelen op iets als “special
relativity exercises” geeft de nodige
losse opgaven.
http://www.google.com/
86/87

87. Voorbeeldopgaven
4) Op quantumuniverse.nl kunnen we
voorbeeldopgaven verzamelen –
stuur de uwe vooral in!
http://www.quantumuniverse.nl/
87/87