Funciones Trigonometricas, ecuaciones trigonometricas, identidades

1. UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA
UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA Prof. Juan C. Castro Mancilla
TRIGONOMETRÍA
Los ángulos se pueden medir en grados sexagesimales y radianes. Un ángulo de 1 radián es aquel cuyo arco
tiene longitud igual al radio.
- 360º = 2π radianes (una vuelta completa) - Un ángulo recto mide
2
π
radianes (un cuarto de vuelta)
- 180º = π radianes (media vuelta) - Como 180º = π rad, resulta que 1º =
180
π
rad
- Un ángulo de 1 radian tiene
π
180
= 57,29578 grados = 57º 17’ 45”
Para transformar de una unidad a otra, usamos la regla de tres:
º
º
180
y
rad
x
π
= !!!! ejemplo: 40º a rad
º
40
º
180
y
rad
π
= ! y = =
º
180
º
40 rad
π
=
18
4 rad
π
9
2 rad
π
Aplicaciones de la medida en radianes
De la definición de la medida en radianes se deduce que la longitud de un arco circular de radio r y ángulo
igual a α radianes es:
S = r · α , S: arco circunferencia, r: radio y α : ángulo en rad
Ya que conocemos el perímetro de una circunferencia de radio unitario ( π
π 2
2 =
r ), entonces el ángulo de
una circunferencia completa, medido en radianes es π
2 .
Ejemplo aplicación
UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA Prof. Juan C. Castro Mancilla
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS.
Definiciones: Consideremos el triángulo ABC rectángulo en C.
1. Seno de α =
cateto opu
hipotenusa
esto a α
sen α =
a
c
2. Coseno de α =
cateto ady
hipotenusa
acente a α
cos α =
b
c
3. Tangente de α =
cateto opu
cateto ady
esto a
cente a
α
α
tag α =
a
b
4. Cosecante de α =
hipotenusa
esto a
cateto opu α
cosec α =
c
a
5. Secante de α =
hipotenusa
acente a
cateto ady α
sec α =
c
b
6. Cotangente de α =
cateto ady
cateto opu
acente a
esto a
α
α
cotang α =
b
a
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS ESPECIALES:
Angulos 30º y 60º: Sea triángulo ABC equilátero de lado 2. CD AB
⊥
sen 30º = cos 60º =
1
2
cos 30º = sen 60º =
3
2
B
β
c a
α
A b C
6. Cotangente de α =
cateto ady
cateto opu
acente a
esto a
α
α
cotang α =
b
a
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS ESPECIALES:
Angulos 30º y 60º: Sea triángulo ABC equilátero de lado 2. CD AB
⊥
sen 30º = cos 60º =
1
2
cos 30º = sen 60º =
3
2
tg 30º = cotg 60º =
3
3
cotg 30º = tg 60º = 3
sec 30º = cosec 60º =
2 3
3
cosec 30º = sec 60º = 2
UNIVERSIDAD DE ACONCAGUA Prof. Juan C. Castro Mancilla
Angulo 45º: Sea triángulo ABC rectángulo isósceles tal que AC BC
= = 1
sen 45º = cos 45º =
2
2
tg 45º = cotg 45º = 1
sec 45º = cosec 45º = 2
RELACIONES FUNDAMENTALES:
1. sen α =
1
cosec α
2. cos α =
1
sec α
3. tg α =
1
cot g α
4. tg α =
sen
cos
α
α
5. cotg α =
cos
sen
α
α
Relaciones Pitagóricas:
1. Sen2
α + cos2
α = 1 2. 1 + tg2
α = sec2
α 3. 1 + cotg2
α = cosec2
α

2. 321
rectángulos, es decir, triángulos oblicuos. El trabajo en este aparte se centrará
en analizar los triángulos no rectángulos y sus aplicaciones.
Teorema de seno
Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos A, B, C, respectivamente,
se cumple:
c
C
sen
b
B
sen
a
A
sen
=
=
Demostración
Para hacer la demostración vamos a utilizar un triángulo acutángulo, pero el
teorema se puede aplicar para cualquier triángulo.
Según la gráfica:
te
similarmen
B
sen
c
h
c
h
B
sen =
⇒
=
Igualando
.
C
sen
b
h
b
h
C
sen =
⇒
=
c
C
sen
b
B
sen
:
ndo
reorganiza
C
sen
b
B
sen
c =
=
Similarmente se puede probar que:
c
C
sen
b
B
sen
a
A
sen
:
te
consiguien
por
b
B
sen
a
A
sen
=
=
=
B
C
b
a
c
A
De esta manera podemos hallar los lados y los ángulos de cualquier triángulo,
aunque esta metodología es utilizada para triángulos no rectángulos.
Para esto, podemos encontrar varios casos:
1. LAA o ALA: conocen un lado y dos ángulos.
2. LLA: conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.
3. LAL: conocen dos lados y el ángulo entre ellos.
4. LLL: conocen los tres lados.
Ejemplo 1
322
3. LAL: conocen dos lados y el ángulo entre ellos.
4. LLL: conocen los tres lados.
Hallar todos los lados y todos los ángulos del triángulo descrito a continuación:
Solución
Corresponde al caso: LLA. Entonces:
...
4283
,
0
3
285
,
1
3
)
º
40
(
sen
2
)
(
sen
2
)
(
sen
3
)
º
40
(
sen
=
=
=
β
⇒
β
=
Luego: sen ( β ) = 0,4283: debemos despejar β :
°
≅
=
β
⇒
=
β −
−
− 36
,
5
)
4283
,
0
(
sen
)
4283
,
0
(
sen
)
)
(
sen
(
sen 1
1
1
Así podemos hallar r.
°
=
°
+
°
−
°
=
⇒
°
=
+
β
+
α 64
,
114
)
36
,
25
40
(
180
r
180
r
En seguida podemos hallar c, veamos:
Ejemplo 1
2
c
3
α β
r
º
40
=
α
)
40
(
sen
)
64
,
114
(
sen
3
)
r
(
sen
)
r
(
sen
3
c
3
)
(
sen
c
)
r
(
sen
°
°
−
=
=
⇒
α
= entonces:
24
,
4
6428
,
0
7268
,
2
c =
=
En un triángulo dos de los ángulos miden 48º y 57º; el lado que está entre ellos
mide 47 cm. Hallar los lados restantes.
Ejemplo 2

3. 323
24
,
4
6428
,
0
7268
,
2
c =
=
En un triángulo dos de los ángulos miden 48º y 57º; el lado que está entre ellos
mide 47 cm. Hallar los lados restantes.
Solución
°
=
°
+
°
−
°
= 75
)
57
48
(
180
C
)
C
(
sen
)
A
(
sen
c
a
c
)
C
(
sen
a
)
A
(
sen
=
⇒
=
reemplazando:
966
,
0
417
,
39
)
75
(
sen
)
57
(
sen
x
cm
47
a =
°
°
=
a = 40,80 cm.
Hallemos ahora b; aplicamos el mismo teorema:
)
75
(
sen
)
48
(
sen
x
47
b
)
C
(
sen
)
B
(
sen
c
b
c
)
C
(
sen
b
)
B
(
sen
°
°
=
⇒
=
⇒
=
cm
16
,
36
966
,
0
927
,
34
b =
=
Teorema de coseno
Existen situaciones donde el teorema del seno no se puede aplicar de forma
directa, en casos como tener dos lados y el ángulo entre ellos o cuando se tienen
los tres lados. Para estos casos se aplica la llamada ley del coseno.
Sea un triángulo cuyos lados son a, b, c y ángulos A, B, C, respectivamente
opuestos, se cumple:
Ejemplo 2
C
48
0
57
0
a b
47
323
24
,
4
6428
,
0
c =
=
En un triángulo dos de los ángulos miden 48º y 57º; el lado que está entre ellos
mide 47 cm. Hallar los lados restantes.
Solución
°
=
°
+
°
−
°
= 75
)
57
48
(
180
C
)
C
(
sen
)
A
(
sen
c
a
c
)
C
(
sen
a
)
A
(
sen
=
⇒
=
reemplazando:
966
,
0
417
,
39
)
75
(
sen
)
57
(
sen
x
cm
47
a =
°
°
=
a = 40,80 cm.
Hallemos ahora b; aplicamos el mismo teorema:
)
75
(
sen
)
48
(
sen
x
47
b
)
C
(
sen
)
B
(
sen
c
b
c
)
C
(
sen
b
)
B
(
sen
°
°
=
⇒
=
⇒
=
cm
16
,
36
966
,
0
927
,
34
b =
=
Teorema de coseno
Existen situaciones donde el teorema del seno no se puede aplicar de forma
directa, en casos como tener dos lados y el ángulo entre ellos o cuando se tienen
los tres lados. Para estos casos se aplica la llamada ley del coseno.
Sea un triángulo cuyos lados son a, b, c y ángulos A, B, C, respectivamente
opuestos, se cumple:
Ejemplo 2
C
48
0
57
0
a b
47
C
cos
ab
2
b
a
c
B
cos
ac
2
c
a
b
A
cos
bc
2
c
b
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−
+
=
−
+
=
=
+
=
La demostración ha haremos con un
triángulo, obtusángulo pues se puede
hacer con cualquiera. Las coordena-
das de cada vértice.
0 ( 0, 0 )
A ( b, 0 )
B ( x,y ) = ( a cos ( α ), a sen ( α ) )
Por medio de la ecuación de distancia euclidia, podemos hallar c, veamos:
2
1
2
2
1
2
2 )
y
y
(
)
x
x
(
c −
+
−
=
Pero: )
)
(
sen
a
0
(
y
y
y
)
)
(
cos
a
b
(
x
x 1
2
1
2 α
−
=
−
α
−
=
− , luego:
2
2
2 )
)
(
sen
a
0
(
))
(
cos
a
b
(
c α
−
+
α
−
=
)
(
sen
a
)
(
cos
a
)
(
cos
ab
2
b
c 2
2
2
2
2
2
α
+
α
+
α
−
=
)
(
cos
ab
2
b
)
)
(
sen
)
(
cos
(
a
c 2
2
2
2
2 α
−
+
α
+
α
= por la identidad fundamental:
)
(
cos
ab
2
b
a
c 2
2
2 α
−
+
=
La demostración de 2
2 c
y
b ; se hace de forma similar; el estudiante debe
hacer las dos demostraciones faltantes y compartidas con los compañeros y el
tutor.

4. 325
Del triángulo propuesto a continuación determinar sus lados y ángulos.
Solución
Calculamos c: )
C
(
cos
ab
2
b
a
c 2
2
2 −
+
=
)
50
(
cos
24
16
9
)
50
(
cos
)
4
(
)
3
(
2
4
3
c 2
2
2 °
−
+
=
°
−
+
=
5731
.
9
4269
,
15
25
c2 =
−
=
094
,
3
c=
Ahora hallemos el ángulo α :
:
)
(
cos
despejamos
,
)
(
cos
bc
2
c
b
a 2
2
2 α
α
−
+
=
bc
2
c
b
a
)
(
cos
)
(
cos
bc
2
c
b
a
2
2
2
2
2
2
−
−
−
=
α
⇒
α
−
=
−
−
752
,
24
57
.
16
752
,
24
57
,
9
16
9
)
099
,
3
(
)
4
(
2
)
094
.
3
(
4
3
)
(
cos
2
2
2
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
α
.
6694
,
0
)
(
cos =
α Para hallar el ángulo, aplicamos la inversa:
°
=
α
⇒
=
α −
− 98
,
47
)
6694
,
0
(
cos
)
)
(
cos
(
cos 1
1
Por último calculamos B:
°
=
°
−
°
=
+
°
−
°
= 02
,
82
98
,
97
180
)
98
,
47
50
(
180
B
Ejemplo 1
α
3
4
c
β
500
326
Dado el triángulo T, cuyos lados miden: a= 80cm; b= 50cm y c=70cm. Hallar
los ángulos de dicho triángulo.
Solución
)
A
(
cos
bc
2
c
b
a 2
2
2 −
+
=
despejamos cos ( A ), luego:
bc
2
c
b
a
)
A
(
cos
2
2
2
−
−
−
=
)
80
(
)
50
(
2
)
80
(
)
50
(
)
70
(
)
A
(
cos
2
2
2
−
−
−
=
5
,
0
000
.
8
000
.
4
)
A
(
cos
000
.
8
400
.
6
500
.
2
900
.
4
)
A
(
cos
=
−
−
=
−
−
−
=
Despejamos A;
º
60
)
5
,
0
(
cos
A
)
5
,
0
(
cos
)
)
A
(
cos
(
cos
1
1
1
=
=
=
−
−
−
Para el ángulo B:
),
B
(
cos
ac
2
c
a
b 2
2
2 −
+
=
200
.
11
400
.
6
900
.
4
500
.
2
)
80
(
)
70
(
2
)
80
(
)
70
(
)
50
(
ac
2
c
a
b
)
B
(
cos
2
2
2
2
2
2
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
=
7857
,
0
200
.
11
800
.
8
)
B
(
cos =
−
−
=
º
21
.
38
)
7857
,
0
(
cos
B 1 =
= −
Para hallar C, por teoría de triángulos sabemos que A + B + C = 180º, luego:
C = 180º - ( 60º + 38,21º ) = 180º - 98,21º
C = 81,79º
Ejemplo 2
70
50
80
C
A B

5. 327
Problemas de aplicación
Para abordar problemas con triángulos no rectángulos, ya tenemos todos los
principios, teorías y demás, solo falta recomendar:
a. Leer el problema las veces que sean necesarias, para comprenderlo.
b. Hacer en lo posible una gráfica que explique el fenómeno.
c. Aplicar el teorema adecuado, según las condiciones del problema.
d. Hacer los cálculos matemáticos de manera correcta, para obtener lo que se
requiere.
Hallar la longitud de las diagonales de un paralelogramao, si sus lados miden 50
cm y 80 cm, además, uno de sus ángulos mide 70º.
Solución
Asumido el punto a, vamos al b, la gráfica explicativa.
Calculamos el lado BC, entonces:
cm
51
,
78
BC
84
,
163
.
6
)
BC
(
16
,
736
.
2
900
.
8
)
º
70
(
cos
000
.
8
400
.
6
500
.
2
)
BC
(
)
A
(
cos
)
80
(
)
50
(
2
)
80
(
)
50
(
)
BC
(
2
2
2
2
2
=
⇒
=
−
=
−
+
=
−
+
=
Ejemplo 1
A
B
C
D
80 cm
50 cm
700
328
Ahora calculamos AD, pero necesitamos el ángulo B ó C.
º.
110
º
70
º
180
B =
−
=
)
º
110
(
cos
000
.
8
400
.
6
500
.
2
)
B
cos(
)
80
(
)
50
(
2
)
80
(
)
50
(
)
AD
( 2
2
2 −
+
=
−
+
=
2
2
cm
16
,
636
.
11
16
,
2736
900
.
8
)
AD
( =
+
=
cm
87
,
107
AD=
Así quedan determinadas las longitudes de las dos diagonales del paralelogramo.
Un topógrafo quiere determinar la distancia entre dos casas A y B. Del punto de
observación el ángulo entre las dos casas y éste es de 60º. La distancia del punto
de observación a la casa A es de 120m y a la casa B es de 100m. ¿Qué distancia
separa las dos casas?
Solución
La incógnita es x.
)
60
(
cos
)
100
(
)
120
(
2
)
100
(
)
120
(
x 2
2
2 °
−
+
=
Por el teorema del coseno
)
60
(
cos
000
.
24
000
.
10
400
.
14
x2 °
−
+
=
400
.
12
000
.
12
000
.
24
x2 =
−
=
x = 111,35 m.
Las casas se separan 111,35 m.
Ejemplo 2
A B
P
60
0
100
120
x

6. 329
Un golfista golpea la pelota y la desplaza 220 m en línea recta, la pelota queda a
250 m del hoyo. El ángulo que se forma en el punto donde queda la pelota con la
ubicación del golfista y el hoyo es de 150º. ¿Cuál es la distancia del golfista al
hoyo?
Solución
G = ubicación del golfista
H = Ubicación del hoyo
P = punto donde queda la pelota
a = 220 m
c = 250 m
)
B
(
cos
ac
2
c
a
b 2
2
2 −
+
=
)
º
150
(
cos
)
250
(
)
220
(
2
)
250
(
)
220
(
b 2
2
2 −
+
=
79
,
206162
794
,
95262
900
.
110
b2 =
+
=
m
05
,
454
b =
El golfista está a 454,05 m del hoyo.
La puerta del baúl de un auto tiene 1,10 m de largo, el soporte que sostiene la
puerta mide 0,65 m cuando está completamente extendida y en posición vertical,
quedando un espacio de apertura de 0,85m. ¿Cuál será la longitud desde la base
del baúl al punto donde esta fijado el soporte y qué ángulo de apertura presentará
el baúl?
Ejemplo 3
Ejemplo 4
G H
P
b
250m
220m
1500
Solución
AB = Longitud de la puerta
del baúl = 1,10 m
UV = longitud del soporte extendido.
BC = espacio de apertura = 0,85 cm.
A = ángulo de apertura
Por triángulos semejantes:
84
,
0
85
,
0
65
,
0
x
10
,
1
AU
:
AU
despejamos
,
AU
65
,
0
10
,
1
85
,
0
AU
UV
AB
BC
=
=
=
⇒
=
Ahora calculamos el ángulo A:
)
A
(
cos
)
AC
(
)
AB
(
2
)
AC
(
)
AB
(
)
BC
( 2
2
2 −
+
=
Reemplazando valores:
)
A
(
cos
)
10
,
1
(
)
10
,
1
(
2
)
10
,
1
(
)
10
,
1
(
)
85
,
0
( 2
2
2 −
+
=
:
luego
)
A
(
cos
42
,
2
21
,
1
21
,
1
7225
,
0 −
+
=
º
46
,
45
A
)
7014
,
0
(
cos
A
7014
,
0
42
,
2
6975
,
1
)
A
(
cos
1
=
⇒
=
=
−
−
=
−
A
B
C
v
u
0,85
m
0,65
m

7. 331
EJERCICIOS: PROBLEMAS DE TRIÁNGULOS NO-RECTÁNGULOS
1. Una circunferencia tiene un radio de 25 cm, suntendido por el ángulo
central de 36º. ¿Cuál será la longitud del arco de la circunferencia?
Rta. S= 15,71 cm.
2. Una persona se encuentra a 120 metros de la base de una torre inclinada,
el ángulo de elevación desde su posición a la punta de la torre es de 24º, a
su verz la torre forma un ángulo con el suelo de 72º. ¿Cuál es la altura de
la torre?
Rta. h = 49,08 metros.
3. Asumiendo que las órbitas de mercurio y tierra son circulares y se
encuentran en el mismo plano. La tierra se encuentra a 9,3 x 107 millas
del sol y mercurio se encuentra a 3,6 x 107 millas del sol. Si mercurio se ve
desde la tierra y el ángulo entre mercurio, tierra y sol es de 8,35º; seindo la
tierra el vértice. ¿Qué tan lejos esta la tierra de mercurio?
Rta: D = 1,25 x 108 millas
4. Las casas de José y Alberto están a los lados opuestos de un rio, un ingeniero
debe hacer un puente que comunique las dos casas, para esto ubica a 100
metros de la casa de José por la misma orilla el teodolito, obteniendo los
siguientes datos: el ángulo entre la casa de José, Alberto y el teodolito es de
50º, siendo ésto último el vértice. El ángulo enter la casa de José, Alberto
y el teodolito es de 40º, siendo la casa de José el vértice. ¡Cuál será la
longitud del puente entre las casas?
Rta. L = 76,604 metros
5. Para medir la altura de una montaña, un topográfo determina que el ángulo
de elevación desde su ubicación a lapunta de la montaña es de 25º, luego
camina 100 metros y mide el nuevo ángulo de elevación el cual fue de 15º.
¿Cuál será la longitud de la punta de la montaña hasta la ubicación inicial
del topógrafo?
332
6. Dos autos parten de una intersección de dos conectores cuya separación es
de 80º, uno viaja a 80 km/hr y el otro a 100 km/hr. Al cabo de 45 minutos,
¿qué tan separados estarán los autos?
Rta. L = 87,53 km