1. FRAKTALIFRAKTALI
AutoriAutori::
JovanoviJovanoviĆĆ NemanjaNemanja
Vidic AleksandarVidic Aleksandar
Aleksic AleksandarAleksic Aleksandar
DjuriDjuricc MatejMatej

2.  Fraktal je geometrijskiFraktal je geometrijski
oblik slioblik sliččan samoman samom
sebi.To su slike nastalesebi.To su slike nastale
ponovljenimponovljenim
matematimatematiččkim rakim raččunom iliunom ili
geometrijskomgeometrijskom
konstrukcijom.konstrukcijom.
 UveUveććavajuavajućći bilo kojii bilo koji
njegov deo,dobijamonjegov deo,dobijamo
celinu koja je po obliku Icelinu koja je po obliku I
strukturi slistrukturi sliččna polaznojna polaznoj
tj.osnovnoj celini.tj.osnovnoj celini.

4.  ObliOblicci u prirodi su nepravilni , neravni,i nude iste tei u prirodi su nepravilni , neravni,i nude iste te
nepravilnosti u razlinepravilnosti u različčitim razmerama.itim razmerama.
 Fraktali su svuda oko nas ,u obliku stvari koje nasFraktali su svuda oko nas ,u obliku stvari koje nas
okruokružžuju,funkcijama koje opisuju jednostavnije Iuju,funkcijama koje opisuju jednostavnije I
kompleksnije sisteme i procese.kompleksnije sisteme i procese.
 Oni nude mnogo bolje metode za opisivanje prirodnihOni nude mnogo bolje metode za opisivanje prirodnih
objekata.objekata.

7.  ReRečč Fraktal uveo je prviFraktal uveo je prvi
put Benoit Mandelbrotput Benoit Mandelbrot
1975 godine1975 godine..
 Mandelbrotov skup jeMandelbrotov skup je
ččuveni primer fraktala.Onuveni primer fraktala.On
ččini skup taini skup taččaka uaka u
kompleksnoj ravnikompleksnoj ravni ččijaija
granica formira fraktal.granica formira fraktal.

8. KLAsIFIKAcIjA FRAKTALAKLAsIFIKAcIjA FRAKTALA
 Prema osnovnoj podeli razlikuju se:Prema osnovnoj podeli razlikuju se:
 GeometrijskiGeometrijski
 Algebarski iAlgebarski i
 StohastiStohastiččni fraktalini fraktali

10. SVOJSTVA FRAKTALASVOJSTVA FRAKTALA
 FraktalFraktal ččesto ima finu strukturu na proizvoljno malomesto ima finu strukturu na proizvoljno malom
uveuveććanju.anju.
 Sam je sebi sliSam je sebi sliččanan
 Neravan i nepravilanNeravan i nepravilan
 Njegovi delovi izgledaju kao on ceoNjegovi delovi izgledaju kao on ceo
 Zavistan je od poZavistan je od poččetnog stanjaetnog stanja
 Kompleksan jeKompleksan je

11. BOJA I OBLIKBOJA I OBLIK
 Jedan od osnovnihJedan od osnovnih
elemenata fraktala jeelemenata fraktala je
dejstvo boje kaodejstvo boje kao
frekvencija na prostor i nafrekvencija na prostor i na
ččovekaoveka..
 Crkve i katedrale suCrkve i katedrale su
ukraukraššene vitraene vitražžima kakoima kako
bi svetlost dobijalabi svetlost dobijala
zeljene bojezeljene boje..

14. FRAKTALI u ARhITeKTuRIFRAKTALI u ARhITeKTuRI
 Isti obliIsti oblicci u razlii u različčitim razmerama sreitim razmerama srećću se i uu se i u
arhitekturi.Pokazali su se kao konstrukcijski odrarhitekturi.Pokazali su se kao konstrukcijski održživi pa suivi pa su
tako nasli primenu u Baroknoj i Gotskoj arhitekturi.tako nasli primenu u Baroknoj i Gotskoj arhitekturi.

17. Fraktalna umetnostFraktalna umetnost
 Fraktalna umetnost je vrsta digitalne umetnostiFraktalna umetnost je vrsta digitalne umetnosti
koja se smatra njenim medijem.koja se smatra njenim medijem.
 Fraktalni objekti nisu nacrtani ili oFraktalni objekti nisu nacrtani ili osslikani rukomlikani rukom
,ve,većć stvoreni pomostvoreni pomoćću softvera koji se oslanja nau softvera koji se oslanja na
matematimatematiččke prorake proraččune kako bi vizuelnoune kako bi vizuelno
prikazao objekteprikazao objekte..

19.  U odnosu na stepen samosliU odnosu na stepen samosliččnostinosti fraktali mogufraktali mogu
biti:biti:
 Potpuno samosliPotpuno samosliččni (fraktal koji je identini (fraktal koji je identiččanan
samom sebi)samom sebi)
 Skoro samosliSkoro samosliččni (fraktal deluje priblini (fraktal deluje približžnono
identiidentiččan samom sebi)an samom sebi)
 StatistiStatističčki samosliki samosliččni (najnizi nivo samoslini (najnizi nivo samosliččnosti)nosti)

20.  Organi u ljudskom teluOrgani u ljudskom telu
imaju fraktalnu strukturuimaju fraktalnu strukturu
(alveokapilarna(alveokapilarna
membrana umembrana u
plupluććima,mreima,mrežža neuronaa neurona
,,žžuuččni kanalini kanalićći …)i …)

21. Poznati FraktaliPoznati Fraktali
 Pitagorino stabloPitagorino stablo
 Sierpinskijev trougaoSierpinskijev trougao
 KKantorov skupantorov skup
 Julijin skupJulijin skup
 Kohova pahuljaKohova pahulja

22.  Kad je reKad je rečč o Pitagorinomo Pitagorinom
stablu,svakako se u igristablu,svakako se u igri
nalazi pravougaoninalazi pravougaoni
trougao.trougao.
 Konstrukcija ovog fraktalaKonstrukcija ovog fraktala
polazi od kvadrata ,zatimpolazi od kvadrata ,zatim
se nad jednom stranicomse nad jednom stranicom
kvadrata konstruikvadrata konstruiššee
krukružžni luk i tani luk i taččka naka na
njemu.njemu.

23.  Kohova pahulja je jedna od prvih opisanih fraktalnihKohova pahulja je jedna od prvih opisanih fraktalnih
krivi.krivi.
 Razlika izmeRazlika izmedjdju krive i pahulje je u tomeu krive i pahulje je u tome ššto se kod kriveto se kod krive
popoččinje sa duinje sa dužžinom,a kod pahulje sa jednakostraniinom,a kod pahulje sa jednakostraniččnimnim
trouglom.trouglom.
.

25.  PoPoššto je duto je dužžina Kohove krive beskonaina Kohove krive beskonaččna,i duna,i dužžinaina
Kohove pahulje je beskonaKohove pahulje je beskonaččna,ali je njena povrna,ali je njena površšinaina
konakonaččnana..
 Jednostavnom podelom trougla vidimo da ce manjiJednostavnom podelom trougla vidimo da ce manji
trougao u sledetrougao u sledeććoj interaciji imati devet puta manjuoj interaciji imati devet puta manju
povrpovrššinu(1/3),u sledeinu(1/3),u sledeććoj imamo 12 trouglova ukupneoj imamo 12 trouglova ukupne
povrpovrššine 4/27,sledeine 4/27,sledećća je 16/243 ….a je 16/243 ….


26.  Prva interacijaPrva interacija
 Druga interacijaDruga interacija
 TreTrećća interacijaa interacija
 ČČetvrta interacijaetvrta interacija

27.  Waclaw Sierpinski je bioWaclaw Sierpinski je bio
poljski matematipoljski matematiččar,a uar,a u
svetu fraktala poznat je posvetu fraktala poznat je po
svom trouglu.svom trouglu.
 Konstrukcija jeKonstrukcija je
jednostavna,radi se ojednostavna,radi se o
“izbacivanju”trougla“izbacivanju”trougla ččijeije
vrhovevrhove ččine polovineine polovine
popoččetnog trougla.Postupaketnog trougla.Postupak
se zatim ponavlja nase zatim ponavlja na
novodobijenim trouglima.novodobijenim trouglima.

28.  KKantrov skup je skupantrov skup je skup
odvojenih taodvojenih taččakaaka
dudužžine koje se dobijeine koje se dobije
konstantnimkonstantnim
izbacivanjem srednjeizbacivanjem srednje
tretreććine svih preostalihine svih preostalih
segmenata.segmenata.
 PrePreddstavio ga jestavio ga je
nemanemaččki matematiki matematiččarar
GeorgGeorg KKantor 1883antor 1883
godine.godine.

29.  …… oblaci nisu sferaoblaci nisu sfera
 planine nisu konusi,planine nisu konusi,
 razudjene obale nisu krugovirazudjene obale nisu krugovi
 kora drveta nije glatka…kora drveta nije glatka…

MandelbrotMandelbrot

30. HVALA NA PAZNJIHVALA NA PAZNJI