Funciones, notas de clases incompletas de Abril del 2020. Carrera de Ingeniería de Petróleo de la Universidad Nacional de Ingeniería.

1. Capítulo 1
Funciones
Definición 1: Función
Una función f está conformado por tres partes:
1 Un conjunto de partida A, que contiene un conjunto Df ⊂ A, Df será
llamado dominio de la función.
2 Un conjunto de llegada B, que contiene un conjunto Rf ⊂ B, llamado
rango de la función.
3 Unareglaquepermiteasociar(corresponder),demodobiendetermina-
do,acadaelementox ∈ Df ,unúnicoelemento f (x) ∈ Rf , f (x) estambién
llamado el valor que la función asume (o toma) en x ( o en el punto x).
Por lo general usaremos la siguiente notación para referirnos a una función
f : A → B
x → f (x)
También diremos que la variable es x. El rango de f está dado por
Rf = {f (x) ∈ B | ∀x ∈ Df ⊂ A}
Cuando Df = A, en algunos libros se le dice aplicación o mapping (o map) a f , aquí se le
dirá simplemente función, siempre que no haya problemas como en el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 1.1: Dada la siguiente función f : [0, 3] → [2, 4], f (x) = x +2, determine el mayor
dominio posible de f .
Solución : Si 0 ≤ x ≤ 3 ↔ 2 ≤ x + 2 ≤ 5, dado que el conjunto de llegada es [2; 4] y se debe
cumplir que Rf ⊂ [2; 4], entonces el mayor dominio posible de f es [0, 2].
Salvo ejemplos como este último, generalmente consideraremos que el
conjunto de partida es igual al dominio de la función.
Esta consideración es por cuestiones prácticas, ya que es innecesario tomar en cuenta a los
elementos del conjunto de partida que no pertenecen al dominio de la función, ya que la
regla de correspondencia no actúa sobre dichos elementos.
La buena definición de una función significa que se debe tener bien defi-
nido dos cosas, el dominio y la regla de correspondencia de la función.
1

2. EJEMPLO 1.2: Sea f la función f = {(1; 2), (3; 5), (2; 2), (4; 6), (2; a − b), (4; 3a + 2b)}, Deter-
mine f (2a − b).
Solución : Las funciones también pueden ser dadas de esta manera, aquí las primeras com-
ponentes forman A = {1; 3; 2; 4} lo que será el dominio, las segundas componentes forman
B = {2; 5; 6; a − b; 3a + 2b} lo que será el conjunto de llegada y la regla de correspondencia
lo forman las siguientes igualdades
f (1) = 2 ; f (3) = 5 ; f (2) = 2 ; f (4) = 6 ; f (2) = a − b ; f (4) = 3a + 2b
pero según la definición de función de la parte 3 se debe cumplir que, para 2 ∈ A le corres-
ponde un único valor de f (2), por lo tanto se debe cumplir que 2 = f (2) = a − b, análoga-
mente para 4 ∈ A le corresponde un único valor de f (4) por lo tanto se debe cumplir que
6 = f (4) = 3a + 2b, de lo cual tenemos el siguiente sistema
a − b = 2
3a + 2b = 6
resolviendo el sistema tenemos que a = 2 y b = 0
finalmente f (2a − b) = f (4) = 6.
EJEMPLO 1.3: Dado el conjunto f = {(x; y) | x ∈ A, y ∈ B}, con la siguiente condición
Si (x; a) ∈ f y (x;b) ∈ f entonces a = b
donde A y B son conjunto no vacíos, demostrar que f representa una función.
Solución : Antes que nada debemos observar lo que significa la condición del conjunto f ,
para cada x ∈ A si tenemos dos pares ordenador en f con la misma primera componen-
te x, entonces sus segundas componente deberán ser iguales necesariamente, lo que nos
muestra que para cada x ∈ A existe un único par ordenado cuya primera componente es x.
Para demostrar que f representa una función, con la información dada debemos de ser
capaces de construir las tres partes de la definición de función, como sigue:
1. Denotamos por A el dominio (conjunto de partida) de la función.
2. Denotamos por B el conjunto de llegada.
3. Definimos la regla de correspondencia como sigue: Para cada x ∈ A tenemos que existe
un único par ordenado (x, y) ∈ f , de la existencia de este par ordenado definimos f (x) =
y ∈ B. De esta manera para cada x ∈ A existe un único f (x) ∈ B.
con lo cual tenemos que las tres partes de la definición de una función son satisfechas, por
lo tanto f representa una función.
Definición 2: Igualdad de funciones
Dos funciones f : A → B y g : A → B serán iguales cuando se cumplan las
siguientes dos condiciones:
1. A = A . 2. B = B . 3. ∀x ∈ A, f (x) = g (x).
Definición 3: Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva
Sea f : A → B una función:
a. Diremos que f es inyectiva cuando ∀x, y ∈ A,
Si x y entonces f (x) f (y)
2

3. b. Diremos que f es sobreyectiva cuando Rf = B, esto quiere decir que
para cada elemento y ∈ B existe un elemento x ∈ A tal que f (x) = y.
c. Diremos que es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva.
Usando la equivalencia lógica del contrarrecíproco (p → q ≡∼ q →∼ p), la definición de
inyectividad se puede reescribir como sigue.
Si f (x) = f (y) entonce x = y
Definición 4: Funciones monótonas
Sea f : A → B una función, diremos que es monótona cuando ∀x, y ∈ A
cumple alguna de las siguientes condiciones:
1. Función Creciente: Si x < y entonces f (x) < f (y).
2. Función no Creciente: Si x < y entonces f (y) ≤ f (x).
3. Función Decreciente: Si x < y entonces f (y) < f (x).
4. Función no Decreciente: Si x < y entonces f (x) ≤ f (y).
Observe que cuando una función es no creciente y no decreciente esta es una función cons-
tante.
Una de las aplicaciones de las funciones monótonas es para calcular el rango de una fun-
ción cuando el dominio es un intervalo, sea f : [a;b] → R
• Si f es creciente o no decreciente entonce Rf = [f (a); f (b)].
• Si f es decreciente o no creciente entonces Rf = [f (b); f (a)].
EJEMPLO 1.4: Demostrar que si una función es creciente entonces esta es inyectiva.
Solución : Sea f : A → B una función creciente, luego tomando dos valores x, y ∈ A tales
que x y, entonces por ley de tricotomía las únicas posibilidades que tenemos son:
x < y o y < x
dado que f es creciente tendremos que
f (x) < f (y) o f (y) < f (x)
observe que no se puede dar el caso que f (x) = f (y), ya que de lo contrario f ya no sería
creciente sino no decreciente, por lo tanto podemos concluir que
f (x) f (x)
Por lo argumentado podemos concluir que f es inyectiva.
Queda como ejercicio para el lector demostrar el caso análogo para función decreciente.
Diremos que un conjunto A ⊂ R es simétrico cuando ∀x ∈ A se tiene también que −x ∈ A.
EJEMPLO 1.5: Los siguiente conjuntos son simétricos:
3

4. 1. [−2; 2].
2. −7; 7 .
3. [−3; −2] ∪ [2; 3].
4. {−7; −4; −1; 1; 4; 7}.
Definición 5: Función par e impar
Sean A, B ⊂ R, A es un conjunto simétrico y f : A → B una función:
1. Diremos que f es una función par cuando ∀x ∈ A, f (−x) = f (x).
2. Diremos que f es una función impar cuando ∀x ∈ A, f (−x) = −f (x).
EJEMPLO 1.6: Se la función f : [0; a] → R con a > 0 y
F (x) =
f (x) ; si 0 ≤ x ≤ a
f (−x) ; si − a ≤ x ≤ 0
Diga si la función F es par o impar.
Solución : Es claro que DF = [−a; a] que es un conjunto simétrico, sea x ∈ [−a; a], luego hay
dos únicos casos:
1. Si 0 ≤ x ≤ a, tenemos que F (x) = f (x) además que −a ≤ −x ≤ 0 luego considerando la
definición de F
F (−x) = f (−(−x)) = f (x) = F (x) .
2. Si −a ≤ x ≤ 0, tenemos que F (x) = f (−x) además que 0 ≤ −x ≤ a luego considerando la
definición de F
F (−x) = f (−x) = F (x) .
de esto tenemos que ∀x ∈ [−a; a], F (−x) = F (x), por lo tanto F es una función par.
Definición 6: Gráfico
El Gráfico de una función f : A → B es el subconjunto G(f ) del producto
cartesiano A × B, donde
G(f ) = {(x; y) | ∃x ∈ A, f (x) = y }
Debemos observar que si (x, a) ∈ G(f ) y (x,b) ∈ G(f ), tenemos que f (x) = a y f (x) = b, luego
considerando el hecho de la definición de función se debe cumplir que f (x) representa un
único valor, entonces por lo tanto se debe cumplir que a = b.
Esbozar el gráfico de las siguientes funciones
1. f : R {0} → R, f (x) = x +
1
x
.
2. f : R → R, f (x) =
1
x2 + 1
.
3. f : R → R, f (x) =
x
x2 + 1
.
Definición 7: Imagen
Dada la función f : A → B y X ⊂ A, la imagen de X por la función f es
denotada por f (X ) y se define por
f (X ) = {y ∈ B | ∃x ∈ X, f (x) = y }
4

5. De la definición se desprende lo siguiente, diremos que a ∈ f (X ) si y solo si existe b ∈ X tal
que f (b) = a (o también, ∃b ∈ X y f (b) = a).
EJEMPLO 1.7: Sea f una función, demostrar que f (∅) = ∅.
Solución : Como f (∅) = ∅ es una proposición lógica, solo hay dos posibilidades, que sea
verdadera o falsa.
Supongamos que f (∅) = ∅ es falsa, entonces la negación es verdadera, es decir f (∅) ∅
es verdadero, entonces ∃a ∈ f (∅), luego por definición de imagen, ∃b ∈ ∅ tal que f (b) = a,
luego escribir que ∃b ∈ ∅ es algo absurdo ya que el conjunto vacío no tiene elementos, y esto
es consecuencia de suponer que f (∅) ∅ es verdadero, por lo tanto esto no puede ocurrir,
en consecuencia necesariamente tiene que ser falso, lo que nos da como consecuencia que
f (∅) = ∅ tiene que ser verdadero.
EJEMPLO 1.8: Sea la función f : A → B y X,Y ⊂ A, demostrar que f (X ∪Y ) = f (X ) ∪ f (Y ).
Solución : Siguiendo una línea lógica proposicional
Sea a ∈ f (X ∪Y ) ↔ ∃b ∈ X ∪Y ∧ f (b) = a
por definición formal de unión de conjuntos
↔ ∃b ∈ X ∨ ∃b ∈ Y ∧ f (b) = a
usando distributividad
↔ ∃b ∈ X ∧ f (b) = a ∨ ∃b ∈ Y ∧ f (b) = a
↔ a ∈ f (X ) ∨ a ∈ f (Y ) ↔ a ∈ f (X ) ∪ f (Y )
En resumen esto quiere decir que
a ∈ f (X ∪Y ) ↔ a ∈ f (X ) ∪ a ∈ f (Y )
esto significa que f (X ∪Y ) = f (X ) ∪ f (Y ), como queriamos demostrar.
Otra solución: Una forma abreviada después de asimilar los razonamientos
Sea a ∈ f (X ∪Y ) ↔ ∃b ∈ X ∪Y | f (b) = a
↔ ∃b ∈ X ∨ b ∈ Y | f (b) = a
↔ ∃b ∈ X | f (b) = a ∨ b ∈ Y | f (b) = a
↔ a ∈ f (X ) ∨ a ∈ f (Y ) ↔ a ∈ f (X ) ∪ f (y)
con esto demostramos que f (X ∪Y ) = f (X ) ∪ f (Y )
Como ejercicio demostrar que lo siguiente
a. f (X ∩Y ) ⊂ f (X ) ∩ f (Y ). b. Si X ⊂ Y entonces f (X ) ⊂ f (Y ).
EJEMPLO 1.9: Sea f : [−2; 2] → R con f (x) = x2, denotando X = [−2; 0] e Y = [0; 2],
tenemos que f (X ) = [0; 4] y f (Y ) = [0; 4], además como X ∩Y = {0} entonces f (X ∩Y ) = {0},
con lo que vemos claramente que f (X ∩Y ) f (X ) ∩ f (Y ) pero si se cumple que f (X ∩Y ) ⊂
f (X ) ∩ f (Y ).
Definición 8: Imagen inversa
Sea f : A → B una función yY ⊂ B, denotamos la imagen inversa deY por
5

6. la función f con f −1(Y ) y se define
f −1
(Y ) = {x ∈ A | f (x) ∈ Y }
Diremos que a ∈ f −1(Y ) si y solo si f (a) ∈ Y .
Dada la función f : A → B y los subconjuntos X,Y ⊂ B, demostrar los siguientes items
a. f −1(X ∪Y ) = f −1(X ) ∪ f −1(Y ).
b. f −1(X ∩Y ) = f −1(X ) ∩ f −1(Y ).
c. f −1(X C
) = f −1(X )
C
.
d. X ⊂ Y entonces f −1(X ) ⊂ f −1(Y ).
e. f −1(B) = A.
f. f −1(∅) = ∅.
Definición 9: Operaciones con funciones
Sean f : A → B y g : C → D funciones, denotamos E = A ∩ C , luego se
define las siguientes operaciones:
1. Suma, denotamos la suma de las función f con g por f + g , E será el
dominio de la función, definimos la regla de correspondencia así ∀x ∈
E, (f + g )(x) = f (x) + g (x) y el conjunto de llagada será F = (f + g )(E).
2. Diferencia, denotamos la diferencia de las función f con g por f − g , E
será el dominio de la función, definimos la regla de correspondencia así
∀x ∈ E, (f −g )(x) = f (x)−g (x) y el conjunto de llagada será F = (f −g )(E).
3. Producto, denotamos el producto de las función f con g por f · g , E
será el dominio de la función, definimos la regla de correspondencia así
∀x ∈ E, (f · g )(x) = f (x) · g (x) y el conjunto de llagada será F = (f · g )(E).
4. Cociente, siempre que ∀x ∈ E, g (x) 0, denotamos el cociente de las
función f con g por
f
g
, E será el dominio de la función, definimos la
regla de correspondencia así ∀x ∈ E,
f
g
(x) =
f (x)
g (x)
y el conjunto de
llagada será F =
f
g
(E).
Diga si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos, en cada caso justifique su res-
puesta:
1. La suma de funciones creciente es creciente.
2. La suma de funciones inyectivas es inyectiva.
Definición 10: Composición de funciones
Sean las funciones f : A → B y g : B → C , la composición de f con g es
otra función que denotamos por f ◦ g y se define como sigue
1. A es el dominio de la composición.
2. C es el conjunto de llegada.
3. ∀x ∈ A, (f ◦ g )(x) = f (g (x)).
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7. Sean f y g funciones, diga si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos, en cada caso
justifique su respuesta:
1. La composición de funciones crecientes es creciente.
2. La composición de funciones inyectivas es inyectiva.
3. La composición de funciones sobreyectiva es sobreyectiva.
4. Si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobreyectiva.
5. Si g ◦ f es inyectiva y f es sobreyectiva entonces g es inyectiva.
Por otro lado, cualquier función f : A → B puede ser escrita como la composición de una
función inyectiva con otra sobreyectiva, g : A → f (A), ∀x ∈ A, g (x) = f (x) que claramente es
sobreyectiva y h : f (A) → B, ∀x ∈ f (A),h(x) = x que claramente es inyectiva, luego f = h ◦ g .
Denotamos la función identidad sobre un conjunto A por idA : A → A con regla de corres-
pondencia ∀x ∈ A, idA(x) = x.
Definición 11: Inversa izquierda
Sean las funciones f : A → B y g : B → A, diremos que g es una inversa por
la izquierda de f cuando g ◦f = idA : A → A, es decir ∀x ∈ A, g (f (x)) = x ∈ A.
EJEMPLO 1.10: Sea f : A → B una función, demostrar que f tiene inversa por la izquierda
si y solamente si f es inyectiva.
Solución : Tenemos que demostrar dos casos:
1. Si f tiene inversa por la izquierda entonces f es inyectiva.
Sea g la función inversa por la izquierda de f , luego sean x, y ∈ A tal que f (x) = f (y), por
ser g una función tenemos que g (f (x)) = g (f (y)), dado g es la inversa izquierda entonces
x = y, lo que muestra que f es inyectiva.
2. Si f es inyectiva entonces f posee inversa por la izquierda.
Debemos construir una función g : f (A) → A. De la inyectividad de f , para cada y ∈ f (A)
tenemos que existe un único x ∈ A tal que f (x) = y, gracias a esta unicidad podemos
definir g (y) = x como la regla de correspondencia de g . Luego ∀x ∈ A, g (f (x)) = g (y) =
x ∈ A, lo que muestra que f posee inversa por la izquierda.
de 1 y 2 podemos concluir la bicondicional.
Definición 12: Inversa derecha
Sean las funciones f : A → B y g : B → A, diremos que g es una inversa por
la derecha de f cuando f ◦ g = idB : B → B, es decir ∀x ∈ B, f (g (x)) = x ∈ B.
EJEMPLO 1.11: Sea f : A → B una función, demostrar que f posee inversa por la derecha
si y solo si f es sobreyectiva.
Solución : Tenemos que ver dos casos:
1. Si f posee inversa por al derecha entonces f es sobreyectiva.
Sea g : B → A la función inversa por la derecha, es claro que f (A) ⊂ B, veamos que
también se cumple lo contrario.
Sea x ∈ B ⇒ g (x) ∈ A ⇒ f (g (x)) ∈ f (A) ⇒ x ∈ f (A)
lo que demuestra que B ⊂ f (A), entonces podemos concluir que f (A) = B, por lo tanto f
es sobreyectiva.
7

8. 2. Si f es sobreyectiva entonces posee inversa por la derecha.
Debemos construir una función g : B → A. De la sobreyectividad de f tenemos que
f (A) = B, entonces para cada y ∈ B fijamos un elemento x ∈ A tal que f (x) = y, gracias
a la sobreyectividad y la fijación de x ∈ A podemos definir g (y) = x como la regla de
correspondencia de g . Luego ∀y ∈ B, f (g (y)) = f (x) = y, lo que muestra que f posee
inversa por la derecha.
Definición 13: Inversa
Diremos que una función f : A → B tiene inversa cuando exista una fun-
ción g : B → A tal que g es inversa por la derecha e izquierda de f .
De los dos ejemplos anteriores podemos deducir que una función posee inversa si y solo si
esta es biyectiva.
Definición 14: Máximo entero
Sea x ∈ R, denotamos el máximo entero de x por x y de define
x = m´ax{n ∈ Z | n ≤ x}
Según la definición ∀x ∈ R, x siempre será un número entero.
Denotemos Mx = {n ∈ Z | n ≤ x}, por ejemplo
M√
2 = n ∈ Z | n ≤
√
2 ≈ 1.4142 = {. . . ; −2; −1; 0; 1} ⇒
√
2 = 1
además ∀n ∈ M√
2 se cumple que n ≤
√
2 .
De la definición observe que x representa al máximo elemento del conjunto Mx , esto sig-
nifica que ∀n ∈ Mx , n ≤ x , además x ∈ Mx , debido a esto último se cumple que x ≤ x.
También debemos notar que para cualquier m ∈ Z tal que m ≤ x, entonces m ∈ Mx por lo
tanto m ≤ x .
EJEMPLO 1.12: Sean x, y ∈ R, demostrar que x + y ≤ x + y .
Solución : Tenemos que x ≤ x y y ≤ y, sumando x + y ≤ x +y, de esto último tenemos
que x + y ∈ Mx+y , por lo tanto x + y ≤ x + y .
Otra solución: Tenemos que x ≤ x y y ≤ y, sumando x + y ≤ x +y, dado que x + y
es un entero, entonces x + y ≤ x + y .
EJEMPLO 1.13: Sean x ∈ R y n ∈ Z, demostra que x + n = x + n.
Solución : Siguiendo el razonamiento de la segunda solución del ejemplo anterior.
1. Tenemos que x ≤ x, luego x + n ≤ x + n, dado que x + n es un entero, entonces
x + n ≤ x + n .
2. Tenemos que x + n ≤ x + n, luego x + n − n ≤ x, dado que x + n − n es un entero,
entonces x + n − n ≤ x por lo tanto x + n ≤ x + n.
por lo tanto de (1) y (2) podemos concluir la igualdad pedida.
Algo sobre los enteros, sean a,b ∈ Z tal que a < b, entonces 0 < b − a, tenemos que b − a es
un entero positivo, como el menor entero positivo es uno, podemos concluir que 1 ≤ b − a,
por lo tanto a + 1 ≤ b.
EJEMPLO 1.14: Demostrar que ∀x ∈ R se cumple que x ≤ x ≤ x + 1.
Solución : Sea x ∈ R, sabemos que x ∈ Mx , por lo tanto x ≤ x.
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9. Por otra parte dado que x es el mayor entero del conjunto Mx , entonces x + 1 no puede
pertenecer al conjunto Mx , es decir x + 1 Mx , esto significa que x + 1 ≤ x ≡ F, de lo
cual ∼ x + 1 ≤ x ≡ V, por lo tanto x < x + 1.
Con lo que podemos concluir que x ≤ x ≤ x + 1.
EJEMPLO 1.15: Demostrar que ∀x, y ∈ R con x ≤ y, se cumple que x ≤ y .
Solución : Sean x, y ∈ R tales que x ≤ y, como x ≤ x, entonces x ≤ y, como x es un
entero, por lo tanto x ≤ y .
EJEMPLO 1.16: Demostrar que ∀y ∈ Z y x ∈ R se cumple que, x ≤ y si y solo si x < y + 1.
Solución : Sean y ∈ Z y x ∈ R, tenemos que demostrar dos casos:
1. Por demostrar, si x ≤ y entonces x < y + 1.
Si x ≤ y, x < y + 1, como x es un entero, entonces x + 1 ≤ y + 1, como x < x + 1,
por lo tanto x < y + 1, que es lo que se quería concluir.
2. Por demostrar, si x < y + 1 entonces x ≤ y.
Si x < y +1, como x ≤ x, podemos escribir que x < y +1, luego x +1 ≤ y +1, además
x < x + 1, por lo tanto x < y + 1, que es lo que se quería concluir.
Finalmente considerando lo hecho en 1 y 2 podemos decir que
x ≤ y si y solo si x < y + 1
como se quería.
Demostrar los siguientes items.
1. ∀x ∈ R, 0 ≤ x − x < 1.
2. ∀x ∈ R, x + −x =
0 , si x ∈ Z
−1 , si x ∈ R Z
3. ∀x ∈ R, x − 1 < x ≤ x.
4. ∀y ∈ Z y x ∈ R con x < y, entonces x < x + 1 ≤ y.
Definición 15: Valor absoluto
Sea a ∈ R, denotamos el valor absoluto de a por |a| y se define como
|a| =
a , si 0 ≤ a
−a , si a < 0
Esto quiere decir, sea a ∈ R:
1. Si 0 ≤ a, entonces |a| = a. 2. Si a < 0, entonces |a| = −a.
De esto también podemos notar que |a| siempre es una cantidad no negativa, ya que
1. Si 0 ≤ a, entonces |a| = a, por lo tanto 0 ≤ |a|.
2. Si a < 0, entonces |a| = −a, como 0 < −a, por lo tanto 0 < |a|.
Por lo que podemos escribir, ∀a ∈ R, 0 ≤ |a|, de lo cual también tenemos que |a| = |a|.
EJEMPLO 1.17: Demostrar que ∀x ∈ R, |a| = | − a|.
Solución : Sea a ∈ R, si a = 0, no hay nada que demostrar. Veamos los dos casos restantes:
9

10. 1. Si 0 < a, entonces −a < 0, luego | − a| = −(−a) = a = |a|.
2. Si a < 0, entonces 0 < −a, luego |a| = −a = | − a|.
Por 1 y 2 podemos concluir la demostración.
Un camino para trabajar con el valor absoluto es considerar los caso que nos da la tricoto-
mía.
EJEMPLO 1.18: Demostrar que ∀a ∈ R, se cumple que (|a| − a)(|a| + a) = 0.
Solución : Sea a ∈ R, tenemos dos casos:
1. Si 0 ≤ a, entonces |a| = a, luego |a| − a = 0, por lo tanto
(|a| − a)(|a| + a) = 0
2. Si a < 0, entonces |a| = −a, luego |a| + a = 0, por lo tanto
(|a| − a)(|a| + a) = 0
vemos que en 1 y en 2 se concluye lo mismo, lo que demuestra lo pedido.
Como resultado de este ejemplo debemos observar que:
∀a ∈ R, (|a| − a)(|a| + a) = 0 ⇒ ∀a ∈ R, |a|2
− a2
= 0 ⇒ ∀a ∈ R, |a|2 = a2 .
Además como 0 ≤ |a|, tenemos que |a|2 = |a|, luego como
∀a ∈ R, a2
= |a|2
⇒ ∀a ∈ R, a2 = |a|2 ⇒ ∀a ∈ R,
√
a2 = |a| .
EJEMPLO 1.19: Demostrar que ∀a,b ∈ R se cumple que |ab| = |a||b|.
Solución : En efecto:
|ab| = (ab)2 = a2b2 = a2 b2 = |a||b| .
como se quería.
EJEMPLO 1.20: Demostrar que ∀a ∈ R, a ≤ |a|.
Solución : Sea a ∈ R, si a = 0 no hay nada que demostrar, veamos lo dos casos restantes:
1. Si 0 < a, entonces a ≤ a = |a|, por lo tanto a ≤ |a|.
2. Si a < 0, de otra parte como 0 ≤ |a|, por lo tanto a ≤ |a|.
lo que muestra lo pedido.
EJEMPLO 1.21: Demostrar que ∀a,b ∈ R, |a| = |b| si y solo si (a = b o a = −b).
Solución : Sean a,b ∈ R, luego
|a| = |b| ⇔ (|a|)2
= (|b|)2
⇔ a2
= b2
⇔ a2
− b2
= 0 ⇔ (a − b)(a + b) = 0
⇔ a − b = 0 o a + b = 0 ⇔ a = b o a = −b .
como queríamos demostrar.
EJEMPLO 1.22: Demostrar que ∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a| + |b|.
Solución : Primero consideremos lo siguiente, ab ≤ |ab| = |a||b|, por lo tanto ab ≤ |a||b| y
recordemos que |a|2 = a2 y |b|2 = b2. Luego
|a + b| = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ≤ |a|2 + 2|a||b| + |b|2 = (|a| + |b|)2 = |a| + |b|
10

11. como 0 ≤ |a| + |b|, entonces |a| + |b| = |a| + |b|, por lo tanto |a + b| ≤ |a| + |b|, como se
quería.
Esta última desigualdad es llamada desigualdad triangular.
EJEMPLO 1.23: Sean a,b ∈ R, demostrar que |a + b| = |a| + |b| si y solo si 0 ≤ ab.
Solución : Sean a,b ∈ R,
|a + b| = |a| + |b| ⇔ (|a + b|)2
= (|a| + |b|)2
⇔ (a + b)2
= (|a| + |b|)2
⇔ a2
+ 2ab + b2
= |a|2
+ 2|a||b| + |b|2
⇔ a2
+ 2ab + b2
= a2
+ 2|a||b| + b2
⇔ ab = |a||b| ⇔ ab = |ab| ⇔ 0 ≤ ab
como se quería.
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