Notas de clase

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Escuela profesional de Ingeniería Telecomunicaciones
Curso: Cálculo Integral
04 de diciembre de 2022
Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
Diciembre del 2023
Comienzos de la Geometría Analítica.
Aquí podremos analizar sobre los inicios del cálculo infinitesimal, quienes fueron sus mayores exponentes a
través de la historia. Acompáñanos en esta línea de tiempo
287a. C 212 a. C
Arquímedes. Se considera que Arquímedes fue uno
de los matemáticos más grandes de la antigüedad y,
en general, de toda la historia. Usó el método
exhaustivo para calcular el área bajo el arco de
una parábola con el sumatorio de una serie infinita,
y dio una aproximación extremadamente precisa
del número pi. También definió la espiral que lleva
su nombre, fórmulas para los volúmenes de
las superficies de revolución y un ingenioso sistema
para expresar números muy largos.
384 a. C 322 a. C
Aristóteles. cultivó todas las ciencias, y su
influencia duró hasta bien entrada la llamada
revolución científica. Sus logros incluyen grandes
hallazgos, pero también teorías falsas, que en
ambos casos perduraron siglos. sus principales
contribuciones fueron en el campo del arte del
correcto razonar y advierte y previene a los
matemáticos de los peligros lógicos en los
razonamientos; uno de ellos, el de usar –muchas
veces inadvertidamente- como hipótesis lo que se
quiere demostrar.

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582 a C 500 a. C
Pitágoras
Su aporte más famoso es el Teorema de
Pitágoras. Fue uno de los más importantes
aportes a la matemática de aquellos tiempos.
Este fue realizado por todos aquellos
conocimientos acumulados durante su viaje a
Egipto, y actualmente es muy utilizado y
conocido por la gente de hoy.
490 a.C. - 430 a. C
Zenón de Elea. su aporte más famoso fue la paradoja de Aquiles
tortuga, donde expuso Ambos disputan una carrera, concediendo
Aquiles una ventaja de 100 m. a la tortuga. Cuando Aquiles
donde expone en forma de paradoja una competencia ficticia
entre el héroe griego y una tortuga el relato comienza diciendo
"Aquiles ha cubierto esos 100 m., la tortuga se ha desplazado 10
m. Al cubrir Aquiles esos 10 m., la tortuga se ha desplazado 1 m.
Mientras cubre ese metro que le separa de la tortuga, ésta ha
recorrido 0,1 m. Y así indefinidamente”.
Así, Aquiles debe cubrir infinitos trayectos para alcanzar a la
tortuga. Por lo tanto, Aquiles deberá cubrir una distancia infinita,
para lo cual necesitará un tiempo infinito. De tal manera que el
desgraciado Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.
La dicotomía “Tú no puedes llegar a la extremidad del estadio. No puedes franquear en un tiempo finito un
número infinito de puntos. Obligadamente tienes que franquear la mitad de una cualquier distancia dada antes
de franquear al todo y la mitad de esta mitad antes de franquear ésta. Y así sucesivamente ad infinitum…”
640 a.C. – 560 a.C.
Tales de Mileto. su aporte más fundamental en la geometría fue el teorema de tales e indica la relación de
proporcionalidad que hay entre los segmentos de rectas cortadas por líneas paralelas: "Al cortar, por líneas
paralelas, rectas concurrentes los segmentos correspondientes son proporcionales"

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390 c. a. C.337 a. C.
Eudoxo de Cnido. demostró que el volumen de una pirámide es la tercera parte del de un prisma de su misma
base y altura; y que el volumen de un cono es la tercera parte del de un cilindro de su misma base y altura,
teoremas ya intuidos por Demócrito.
427 - 247 a. C
Platón tuvo un papel no hizo un aporte importante en la matemática helénica, pero este suponía que ser
filosofo no se necesitara el estudio de las matemáticas, así que Platón se dio cuenta de su error y en su
academia puso un letrero que decía así "No entres aquí si no eres geómetra" ó “Quien no sea versado en la
geometría no ha de entrar aquí” este acontecimiento dio un gran desarrollo a la matemática. Son representadas
por una hipótesis que a la vez se convierte en un Axioma (verdades evidentes), las cuales termina en
un Teorema o conclusión sin demostración alguna.

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Contribuyentes al desarrollo del cálculo
En sus comienzos el cálculo fue desarrollado para estudiar cuatro problemas científicos y matemáticos:
Encontrar la tangente a una curva en un punto.
Encontrar el valor máximo o mínimo de una cantidad.
Encontrar la longitud de una curva, el área de una región y el volumen de un sólido.
Dada una fórmula de la distancia recorrida por un cuerpo en cualquier tiempo conocido, encontrar la
velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante. Recíprocamente, dada una fórmula en la que se
especifique la aceleración o la velocidad en cualquier instante, encontrar la distancia recorrida por el cuerpo
en un período de tiempo conocido.

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El siglo XVII y la disputa por la creación del cálculo
En parte estos problemas fueron analizados por las mentes más brillantes de este siglo, concluyendo en la
obra cumbre del filósofo-matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz y el fisicomatemático inglés Issac
Newton: la creación del cálculo. Se sabe que los dos trabajaron en forma casi simultánea pero sus enfoques
son diferentes.
Newton y Leibniz son considerados los inventores del cálculo, pero representan un eslabón en una larga
cadena iniciada muchos siglos antes. Fueron ellos quienes dieron a los procedimientos infinitesimales de sus
antecesores inmediatos, Barrowy Fermat, la unidad algorítmica y la precisión necesaria como método
novedoso y de generalidad suficiente para su desarrollo posterior. Estos desarrollos estuvieron elaborados a
partir de visiones de hombres como Torricelli, Cavalieri, y Galileo; o Kepler, Valerio, y Stevin. Los alcances
de las operaciones iniciales con infinitesimales que estos hombres lograron fueron también resultado directo
de las contribuciones de Oresme, Arquímedes y Eudoxo. Finalmente, el trabajo de estos últimos estuvo
inspirado por problemas matemáticos y filosóficos sugeridos por Aristóteles, Platón, Tales de Mileto, Zenón
y Pitágoras. Para tener la perspectiva científica e histórica apropiada, debe reconocerse que una de las
contribuciones previas decisivas fue la Geometría Analítica desarrollada independientemente por Descartes
y Fermat.
1548 – 1620: Simón Stevin, también conocido como Simón de Brujas o Stevinus
fue un matemático, ingeniero militar e hidráulico, constructor de molinos y
fortificaciones, semiólogo, contable e intendente neerlandés. En física destacan
sus contribuciones en el campo de la estática e hidrostática de fluidos: fue el
primero en describir la paradoja hidrostática en virtud de la cual la presión
descendente de un fluido sobre un cuerpo es independiente de la forma de este y
solo depende de la altura y de la base del plano de carena.
Demostración de Stevin de la ley del equilibrio de un cuerpo en un plano
inclinado, que se dice fue grabada sobre su tumba.
También fue uno de los primeros científicos en distinguir entre el equilibrio
estable e inestable en problemas de flotación, y demostró el equilibrio de un
cuerpo en un plano inclinado. Para ello, usó un método gráfico muy ingenioso e
intuitivo, (ver imagen anexa) en el que empleaba una cuerda sobre un plano
inclinado dividida en intervalos uniformemente distribuidos. Parece ser además
que, en este mismo estudio, fue el primero en enunciar el teorema de verignon
relativo a la resultante de las fuerzas y momentos en un cuerpo.

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27 de diciembre de 1571 - 15 de diciembre de 1630
Johannes Kepler. Figura clave en la revolución científica, fue un astrónomo y
matemático alemán; conocido fundamentalmente por sus leyes sobre el
movimiento de los planetas en su órbita alrededor del Sol.
Había descubierto su primera ley, la primera ley de Kepler: Los cuerpos celestes
tienen movimientos elípticos alrededor del Sol, estando este situado en uno de
los 2 focos que contiene la elipse.
Después de ese importante salto, en donde por primera vez los hechos se
anteponían a los deseos y los prejuicios sobre la naturaleza del mundo. Kepler
se dedicó simplemente a observar los datos y sacar conclusiones ya sin ninguna
idea preconcebida. Pasó a comprobar la velocidad del planeta a través de las
órbitas llegando a la segunda ley:
Las áreas barridas por los radios de los cuerpos celestes son proporcionales al tiempo usado por aquellos en
recorrer el perímetro de esas áreas.
Durante mucho tiempo, Kepler sólo pudo confirmar estas dos leyes en el resto de los planetas. Aun así, fue un
logro espectacular, pero faltaba relacionar las trayectorias de los planetas entre sí. Tras varios años, descubrió
la tercera ley e importantísima ley del movimiento planetario:
El cuadrado de los períodos de la órbita de los cuerpos celestes guarda proporción con el cubo de la distancia
que hay respecto al Sol.
Esta ley, llamada también ley armónica, junto con las otras leyes, permitía ya unificar, predecir y comprender
todos los movimientos de los astros.
31 de marzo de 1596 , 11 de febrero de 1650
René Descartes, también llamado Renatus Cartesius, fue un filósofo,
matemático y físico, considerado como el padre de la filosofía moderna,
así como uno de los protagonistas con luz propia en el umbral de
la revolución científica.
Uno de los legados más perdurables de Descartes fue su desarrollo de la
geometría cartesiana o analítica, que utiliza el álgebra para describir la
geometría. Descartes inventó la convención de representar incógnitas en
las ecuaciones con [x, y, z] y datos conocidos por [a, b, c]. También fue
pionero en la notación estándar que usa superíndices para indicar los
exponentes; por ejemplo, el utilizado en 𝑥2
para indicar x al cuadrado.

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(17 de agosto de 1601- 12 de enero de 1665)
Fermat hizo grandes aportaciones al cálculo diferencial, a la teoría
de probabilidades y a la geometría analítica. Sin embargo, se le
conoce más por sus aportaciones a la teoría de números, en especial
por el conocido como último teorema de Fermat que mantuvo en
vilo a la comunidad matemática durante casi 350 años.
Fermat nació en la primera década del siglo XVII en Beamont de
Lomange, Francia; la mansión de finales del siglo XV donde nació
Fermat actualmente es un museo.
(1 de julio de 1646- 14 de noviembre de 1716)
La invención del cálculo infinitesimal es atribuida tanto
a Leibniz como a Isaac Newton. De acuerdo con los cuadernos
de Leibniz, el 11 de noviembre de 1675 tuvo lugar un acontecimiento
fundamental, ese día empleó por primera vez el cálculo integral para
encontrar el área bajo la curva de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥).
❖ Descubrió que todo número puede expresarse mediante una
serie formada por ceros y unos
❖ Se le debe la difusión del punto en la multiplicación
❖ Obtuvo series del arco tangente circular e hiperbólico mediante
el cálculo de los sectores elípticos e hiperbólicos desarrollados
en serie
❖ Trabajó los números complejos, pero no entendió nunca su naturaleza
❖ Ofreció varios argumentos para demostrar que los logaritmos de los números negativos no existen.
❖ Descubrió la relación inversa entre métodos de trazado de tangentes (diferenciación) y las cuadraturas
(integración)
❖ Generalizó el concepto de diferencial al caso de exponente negativo y fraccionario
❖ Introdujo la ecuación de la catenaria
❖ Resolvió ecuaciones de primer orden
❖ Perfeccionó el simbolismo combinatorio con ayuda del sistema de índices
❖ Encontró una expresión en serie para 
❖ Se le debe el primer criterio para establecer la convergencia de una serie
❖ Obtuvo la fórmula de los coeficientes multinomiales, aunque no la publicó
❖ Se le debe la expresión de "cantidades trascendentes"
❖ Introdujo la notación actualmente utilizada en el cálculo diferencial e integral
❖ Usó números infinitamente grandes como si fueran números ordinarios
❖ Utilizó el término "imaginario" para los números complejos
❖ Estableció las primeras bases de la lógica simbólica
❖ Introdujo la combinatoria como disciplina matemática.
❖ Generalizó el teorema binomial y multinomial
o Primera referencia en Occidente de los determinantes.

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❖ Usó números infinitamente grandes como si fueran números ordinarios
❖ Utilizó el término "imaginario" para los números complejos
❖ Estableció las primeras bases de la lógica simbólica
❖ Introdujo la combinatoria como disciplina matemática.
❖ Generalizó el teorema binomial y multinomial
o Primera referencia en Occidente de los determinantes.
o Demostró el "pequeño teorema de Fermat".
(25 de diciembre de 1642 – 20 de marzo de 1727)
Isaac Newton, Físico, filósofo, teólogo, inventor,
alquimista y matemático inglés, autor de los Philosophiae
naturalis principia mathematica, más conocidos como los
Principia, donde describió la ley de la gravitación
universal y estableció las bases de la mecánica clásica
mediante las leyes que llevan su nombre. Entre sus otros
descubrimientos científicos destacan los trabajos sobre la
naturaleza de la luz y la óptica (que se presentan
principalmente en su obra Opticks) y el desarrollo del
cálculo matemático.
Newton comparte con Leibniz el crédito por el desarrollo
del cálculo integral y diferencial, que utilizó para
formular sus leyes de la física. También contribuyó en
otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema del
binomio y las fórmulas de Newton-Cotes.
Entre sus hallazgos científicos se encuentran el descubrimiento de que el espectro de color que se observa
cuando la luz blanca pasa por un prisma es inherente a esa luz, en lugar de provenir del prisma (como había
sido postulado por Roger Bacon en el siglo XIII); su argumentación sobre la posibilidad de que la luz estuviera
compuesta por partículas; su desarrollo de una ley de convección térmica, que describe la tasa de enfriamiento
de los objetos expuestos al aire; sus estudios sobre la velocidad del sonido en el aire; y su propuesta de una
teoría sobre el origen de las estrellas. Fue también un pionero de la mecánica de fluidos, estableciendo una
ley sobre la viscosidad. Newton fue el primero en demostrar que las leyes naturales que gobiernan el
movimiento en la Tierra y las que gobiernan el movimiento de los cuerpos celestes son las mismas. Es, a
menudo, calificado como el científico más grande de todos los tiempos, y su obra como la culminación de la
revolución científica. El matemático y físico matemático Joseph Louis Lagrange (1736–1813), dijo que
"Newton fue el más grande genio que ha existido y también el más afortunado dado que sólo se puede
encontrar una vez un sistema que rija el mundo."

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El siglo XIX
Referencia
https://www.sutori.com/es/historia/historia-del-calculo-infinitesimal--V7gkq1m2PhYVjJceTNM3CivE
Newton abordó el desarrollo del cálculo a partir de la geometría analítica desarrollando un enfoque geométrico
y analítico de las derivadas matemáticas aplicadas sobre curvas definidas a través de ecuaciones. Newton
también buscaba cómo cuadrar distintas curvas, y la relación entre la cuadratura y la teoría de tangentes.
Después de los estudios de Roberval, Newton se percató de que el método de tangentes podía utilizarse para
obtener las velocidades instantáneas de una trayectoria conocida. En sus primeras investigaciones Newton
lidia únicamente con problemas geométricos, como encontrar tangentes, curvaturas y áreas utilizando como
base matemática la geometría analítica de Descartes. No obstante, con el afán de separar su teoría de la de
Descartes, comenzó a trabajar únicamente con las ecuaciones y sus variables sin necesidad de recurrir al
sistema cartesiano.
Un problema importante fue definir el significado de la palabra función. Euler, Lagrange y el matemático
francés Fourier aportaron soluciones, pero fue el matemático alemán Dirichlet quien propuso su definición en
los términos actuales. En 1821, un matemático francés, Cauchy, consiguió un enfoque lógico y apropiado del
cálculo y se dedicó a dar una definición precisa de "función continua". Basó su visión del cálculo sólo en
cantidades finitas y el concepto de límite. Esta solución planteó un nuevo problema, el de la definición lógica
de número real. Aunque la definición de cálculo de Cauchy estaba basada en este concepto, no fue él sino el
matemático alemán Dedekind quien encontró una definición adecuada para los números reales. Los
matemáticos alemanes Cantor y Weierstrass también dieron otras definiciones casi al mismo tiempo.
Además de fortalecer los fundamentos del análisis, nombre dado a partir de entonces a las técnicas del cálculo,
se llevaron a cabo importantes avances en esta materia. Gauss, uno de los más importantes matemáticos de la
historia, dio una explicación adecuada del concepto de número complejo; estos números formaron un nuevo
y completo campo del análisis, desarrollado en los trabajos de Cauchy, Weierstrass y el matemático alemán
Riemann. Otro importante avance fue el estudio de las sumas infinitas de expresiones con funciones
trigonométricas, herramientas muy útiles tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas, hecho por
Fourier. Cantor estudió los conjuntos infinitos y una aritmética de números infinitos. La teoría de Cantor fue
considerada demasiado abstracta y criticada. Encontramos aquí un espíritu crítico en la elaboración de estas
nociones tan ricas. Esto constituye un punto de vista muy diferente del que animaba a los matemáticos del
siglo anterior. Ya no se trata de construir expresiones ni forjar nuevos métodos de cálculo, sino de analizar
conceptos considerados hasta entonces intuitivos.
Gauss desarrolló la geometría no euclideana pero tuvo miedo de la controversia que pudiera causar su
publicación. También en este siglo se pasa del estudio simple de los polinomios al estudio de la estructura de
sistemas algebraicos.
Los fundamentos de la matemática fueron completamente transformados durante el siglo XIX, sobre todo por
el matemático inglés Boole en su libro Investigación sobre las leyes del pensamiento (1854).