Coordenada cartesiana

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES
FACULTAD DE CIENCIAS E
INGENIERÍA
E.P. de: INGENIERÍA DE SISTEMAS E
INFORMÁTICA
ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA BÁSICA CICLO: I
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. mtarazona@uch.edu.pe – mitagi@gmail.com
Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ contactos@migueltarazonagiraldo.com 999685938
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TEMA: Plano Cartesiano – Distancia entre dos puntos – Punto medio entre dos puntos SEMANA: 09
TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 501B SEMESTETRE: 2017 - II
PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano, plano euclidiano o simplemente
sistema de coordenadas, inventado por el matemático,
físico y filósofo francés René Descartes, es un sistema
de referencias bidimensional que posee ciertas
aplicaciones puntuales ya sea en la ciencia o en nuestra
vida cotidiana. Este plano es utilizado principalmente
en nuestras vidas como un sistema de referencias,
partiendo desde un origen, ya que con este podemos
ubicar exactamente cualquier partícula presente en
nuestro entorno siempre y cuando tengamos sus
coordenadas.
¿Qué conforma el plano cartesiano? El plano
cartesiano es una herramienta de la matemática que
está conformado por dos rectas numéricas infinitas
perpendiculares entre sí, una horizontal llamada eje de
las abscisas y una vertical llamada eje de las ordenadas,
que se cortan en un único punto conocido como
origen.
Este punto de intersección entre las dos rectas o ejes
es de vital importancia para el uso del sistema de
coordenadas, ya que es usado como punto de
referencia a la hora de graficar cualquier otro punto
sobre dicho sistema.
Aplicaciones en la matemática y en la física Además de
ser usados por todos, a veces sin querer, en nuestra
vida diaria, por ejemplo, a la hora de dar o recibir una
dirección, el sistema de coordenadas para los
estudiantes o profesionales que se dedican a ciertos
campos es muy importante.
En la matemática la función principal de este plano es
que permite hacer la representación gráfica de
funciones, al igual que como en la física, que este plano
es usado, por ejemplo, para graficar la posición,
velocidad o aceleración de cualquier partícula en
estudio. Este plano, desde su invención por el científico
francés, ha sido muy importante ya que gracias a este
se pudo avanzar en todas las áreas de la ciencia. Rene
Descartes, en la actualidad, es considerado como el
padre de la geometría analítica y de la filosofía
moderna.
Plano Cartesiano.- Es el plano determinado por dos
rectas numéricas, secantes y perpendiculares,
llamadas ejes coordenados
El punto de intersección de los ejes, es el origen de
coordenadas (0; 0)
Al eje de abscisas le llamaremos eje x
Al eje de ordenadas le llamaremos eje y.
Los ejes coordenados dividen al plano cartesiano en
cuatro cuadrantes.
Consideraremos al sentido anti horario como sentido
positivo (+) y al sentido horario como sentido negativo
(-).
Par ordenado.- Son un par de números de la forma
(𝑎; 𝑏), que fijan la posición de un punto en el plano
cartesiano.

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Donde a es el número que se asocia al punto en el eje
de abscisas y b es el número que se asocia al punto en
el eje de ordenadas.
(a; b): representa las coordenadas del punto P en el
plano cartesiano.
Los puntos A, B y C tienen coordenadas 𝐴 = (−3; 2);
𝐵 = (−2; −2) 𝑦 𝐶 = (2; −4), respectivamente.
Nota: En el plano cartesiano solo existe un único punto
que tiene coordenadas (𝑎; 𝑏)
Distancia entre dos puntos.- La distancia entre dos
puntos es la longitud del segmento de recta que los
une.
Esta distancia es igual a la raíz cuadrada de la suma de
los cuadrados de la diferencia de abscisas y la
diferencia de ordenadas.
AB = d = √(𝑥 𝑏 − 𝑥 𝑎)2 + (𝑦 𝑏 − 𝑦𝑎)2
d = √(∆ 𝑥)2 + (∆ 𝑦)2
Punto medio de un segmento.- Es el punto que
pertenece al segmento y que lo divide en dos
segmentos parciales congruentes.
Las coordenadas del punto medio de un segmento de
recta, es igual a la semisuma de abscisas y ordenadas
de sus extremos.
Sea M el punto medio del segmento AB. Del gráfico,
observamos que xm ; ym son las longitudes de las bases
medias de los trapecios que se forman al trazar desde
los extremos, perpendiculares a los ejes de abscisas y
ordenadas, respectivamente.
Luego las coordenadas de M son:
M = (𝑥 𝑚; 𝑦 𝑚) = (
𝑥 𝑎+ 𝑥 𝑏
2
;
𝑦 𝑎+ 𝑦 𝑏
2
)
Observación: De lo anterior, se puede expresar las
coordenadas de M, como:
M = (
( 𝑥 𝑎 ; 𝑦 𝑎)
2
;
( 𝑥 𝑏 ; 𝑦 𝑏)
2
) =
𝐴+𝐵
2
División de un segmento en una razón r.- Sea P un
punto del segmento AB, que divide a dicho segmento
en una razón r (
𝐴𝑃
𝑃𝐵
= r)

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En el gráfico; sea PB = ℓ y AP = r ℓ, entonces
𝐴𝑃
𝑃𝐵
= r
En el trapecio sombreado:
𝑥 𝑝 =
(𝑥 𝑎.ℓ+𝑥 𝑏.r ℓ)
ℓ+rℓ
=
𝑥 𝑎+ 𝑟𝑥 𝑏
1+𝑟
, análogamente, hallamos
𝑦𝑝 =
(𝑦 𝑎.ℓ+𝑦 𝑏.r ℓ)
ℓ+rℓ
=
𝑦 𝑎+ 𝑟𝑦 𝑏
1+𝑟
Entonces las coordenadas del punto P es:
P = (𝑥 𝑝; 𝑦𝑝) = (
𝑥 𝑎+ 𝑟𝑥 𝑏
1+𝑟
;
𝑦 𝑎+ 𝑟𝑦 𝑏
1+𝑟
)
También podemos expresar a P como:
P = (
( 𝑥 𝑎 ; 𝑦 𝑎)
1+𝑟
;
𝑟( 𝑥 𝑏 ; 𝑦 𝑏)
1+𝑟
) =
𝐴 + 𝑟𝐵
1+𝑟
Aplicación 01: Dado un triángulo ABC, donde
A = (𝑥 𝑎; 𝑦𝑎), B = (𝑥 𝑏; 𝑦 𝑏), C = (𝑥 𝑐; 𝑦𝑐). Halle las
coordenadas del baricentro del triángulo. (Baricentro
es el punto de concurrencia de las medianas de un
triángulo)
Solución
Sea G el baricentro del triángulo ABC y M el punto
medio de BC. Entonces M =
𝐵+𝐶
2
, luego 2M=B +C
Sabemos que el baricentro (G) divide a la mediana AM
en la razón de 2: 1, entonces AG = 2GM, luego r =
𝐴𝐺
𝐺𝑀
= 2.
Ahora usamos la fórmula para calcular las
coordenadas de G:
G =
𝐴 + 𝑟𝑀
1+𝑟
=
𝐴 + 2𝑀
1+2
=
𝐴 + 2𝑀
3
=
𝐴 + 𝐵+𝐶
3
Entonces G =
(𝑥 𝑎 ; 𝑦 𝑎) + (𝑥 𝑏 ; 𝑦 𝑏)+ (𝑥 𝑐 ; 𝑦 𝑐)
3
G = (
(𝑥 𝑎+ 𝑥 𝑏 + 𝑥 𝑐 )
3
;
(𝑦 𝑎 + 𝑦 𝑏+ 𝑦 𝑐)
3
) = (𝐺 𝑥 ; 𝐺 𝑦)
luego:
𝐺 𝑥 =
(𝑥 𝑎+ 𝑥 𝑏 + 𝑥 𝑐 )
3
; 𝐺 𝑦 =
(𝑦 𝑎 + 𝑦 𝑏+ 𝑦 𝑐)
3
Aplicación 02: Hallar el área del siguiente polígono:
𝐴(−5,2), 𝐵(1, −4), 𝐶(5,1), 𝐷(3,4) 𝑦 𝐸(−2,6)
Solución

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𝑨 = (𝟎. 𝟓)[+(−𝟓)(−𝟒) + (𝟏)(𝟏) + (𝟓)(𝟒) + (𝟑)(𝟔) + (−𝟐)(𝟐)
− (−𝟓)(𝟔) − (−𝟐)(𝟒) − (𝟑)(𝟏) − (𝟓)(−𝟒) − (𝟏)(𝟐)]
𝑨 = (𝟎,𝟓)(𝟐𝟎 + 𝟏 + 𝟐𝟎 + 𝟏𝟖 − 𝟒 + 𝟑𝟎 + 𝟖 − 𝟑 + 𝟐𝟎 − 𝟐)
𝑨 = (𝟎,𝟓)(𝟏𝟎𝟖)
𝐴 = 54 𝑢2
Aplicación 03: Para el tendido de un cableado
telefónico sobre una calle se requieren cuatro postes,
los cuales deben estar separados por distancias iguales.
Si el primero de los postes se encuentra en uno de los
extremos del cableado que está en el punto 𝐴(60, 90),
según un sistema coordenado como el que se muestra
en la figura, y el último en el extremo que se localiza en
𝐵(−30, −30), se deben determinar las coordenadas
de los puntos 𝐶 𝑦 𝐷 para colocar ahí los otros dos
postes entre 𝐴 𝑦 𝐵. Las longitudes están dadas en
metros.
Solución
Puesto que los puntos 𝐶 𝑦 𝐷 dividen al segmento
comprendido entre los puntas 𝐴 𝑦 𝐵 en tres
segmentos, 𝐴𝐶, 𝐶𝐷 𝑦 𝐷𝐵, de igual longitud, siendo el
punto C el más cercano al punto 𝐴, como se muestra
en la figura, se tiene que:
1
2
AC
CB
d
d

Al sustituir los valores 1 60,x  2 30x   y
1
2
r  en
la ecuación 1 2
1
x rx
x
r



se obtiene:
1
60 ( 30)
2
;
1
1
2
x
 
  
 

60 15 2(45)
3 3
2
x

  ;
30.x 
Y al sustituir los valores 1 90,y  2 30y   y
1
2
r 
en la ecuación 1 2
1
y ry
y
r



se obtiene:
1
90 ( 30)
2
;
1
1
2
y
 
  
 

90 15 2(75)
3 3
2
y

 
50.y 
Lo que significa que el otro poste debe colocarse en el
punto 𝐶(0, 10).
Las soluciones encontradas se muestran en la
siguiente figura:
Resumen
Convenciones:
 ,x abscisa y ordenada 
Distancia Entre 2 Puntos:
   2
12
2
12 yyxxd 

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Coordenadas del Punto Medio:
1 2 1 2
,
2 2
x x y y
x y
 
  .
Coordenadas de División de un segmento en una
razón dada:
1 2 1 2
, , 1
1 1
x rx y ry
x y r
r r
 
   
 
,
2
1
PP
PP
r 
Área, Perímetro y Semiperímetro De Polígonos:
   
1
2 2
3 3
1 1
1 2 2 3 3 1 2 1 3 2 1 3
2
2 2
1x y
x y
x y
x y
A
x y x y x y x y x y x y
A

   
 
Perímetro(p)
P Suma de las Longitudes de Todos los Lados
2
)(Perímetro
troSemiperime
P
p 
Ejercicios
01. En los siguientes ejercicios localice los pares de
puntos y encuentre la distancia entre ellos.
a. 𝐴(3, 1), 𝐵(7, 4) b. 𝑀(−3, −3), 𝑁(2, 2)
c. 𝑃(6, 3), 𝑄(−1, −1) d. 𝑅(0, 4), 𝑆(−3, 0)
e. 𝐶(−3, −1), 𝐷(7, 4) f. 𝑇(13, −4), 𝑈(0, 0)
g. 𝐿(−1, √2), 𝐾(3, −√2) h. 𝑆(3, 2), 𝑇(−5, 1)
02. En los siguientes ejercicios dibuje el triángulo con
los vértices dados y encuentre las longitudes de los
lados.
a. 𝐴(−1, 1), 𝐵(−1, 4) 𝑦 𝐶(3, 4)
b. 𝑀(2, −1), 𝑁(4, 2) 𝑦 𝑃(5, 0)
c. 𝑄(0, 0), 𝑅(5, −2) 𝑦 𝑆(−3, 3)
d. 𝑇(0, −3), 𝑈(3, 0) 𝑦 𝑊(0, −4)
03. Sea 𝐴 = (5, 3) 𝑦 𝐵 = (−3, −3) los extremos del
segmento 𝐴𝐵̅̅̅̅ encuentre las coordenadas del punto P
que lo divide a una razón
1
3
r  .
04. Hallar el perímetro del polígono cuyos puntos son:
𝐴(5, 2); 𝐵(−3, 4); 𝐶(−6, −3) 𝑦 𝐷(3, −2)
05. Graficar el polígono y hallar su área
correspondiente.
a) 𝐴(3, −4), 𝐵(5,2) 𝑌 𝐶(−7, −3)
b) 𝐴(4,7), 𝐵(1, −2) 𝑌 𝐶(2, −5)
c) 𝐴(−3,3), 𝐵(4,2), 𝐶(7,7) 𝑌 𝐷(−1,6)
d) 𝐴(−3, −4), 𝐵(4, −6), 𝐶(7,1), 𝐷(5,4), 𝐸(−2,6) 𝑦
𝐹(−6,2)
e) 𝐴(−3, −1), 𝐵(2, −4), 𝐶(4,1) 𝑌 𝐷(−3,2)
06. Determine el punto medio del segmento de recta
con los puntos extremos 




 
4
3
;
3
7
, 




 
4
9
;
3
5
07. Demuestre que el triángulo cuyos vértices son
(4; 3), (– 3; 4) 𝑦 (9; 8) es isósceles.
08. Se tiene los puntos  baP ; y  7;6 Q ; si el
punto medio entre ellos es 




 

2
1
;2 , determinar las
coordenadas del punto  baP ; .
09. Hallar las coordenadas de un punto P(x, y) que divida
al segmento determinado por 𝑃1(−2, 1) 𝑦 𝑷 𝟐, (𝟑, −4) en la
relación 𝒓 = −
8
3
..
10. Hallar el área A del pentágono cuyos vértices son
los puntos de coordenadas (- 5, -2), (-2,5), (2,7), (5, 1),
(2,-4).

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11. Demostrar analíticamente que las rectas que unen
los puntos medios de los lados adyacentes del
cuadrilátero 𝐴(−3, 2), 𝐵(5, 4), 𝐶(7, −6) 𝑦 𝐷(−5, −4)
forman otro cuadrilátero cuyo perímetro es igual a la
suma de las diagonales del primero.
12. Demostrar que los puntos 𝐴(0, 1), 𝐵(3, 5), 𝐶(7, 2)
𝑦 𝐷(4, 2) son los vértices del cuadrado.
13. Demostrar que los cuatro puntos 𝐴(1, 1), 𝐵(3, 5),
𝐶(11, 6) 𝑦 𝐷(9, 2) son los vértices de un paralelogramo.
14. Uno de los puntos extremos de un segmento es el
punto (7, 8) y su punto medio es (4, 3). Hallar el otro
extremo.
15. Los puntos medios de los lados de un triángulo son
(2, 5), (4, 2) y (1, 1). Hallar las coordenadas de los
vértices.
16. Encuentre las coordenadas del punto P(x, y)
que divide al segmento P1P2 en la razón
r =
2
1
PP
PP
dada en cada caso.
a) 𝑃1(1, 3), 𝑃2(7, 9), r = 1/2.
b) 𝑃1(5, 4), 𝑃2( 1/3, 2), r = 3/2.
c) 𝑃1(5, 5); 𝑃2(2, 3); r = 4/3.
17. Calcule el área del triángulo cuyos vértices son:
a) 𝐴(2, 3), 𝐵(8, 7) 𝑦 𝐶(8, 3).
b) 𝐴(5, 4), 𝐵(3, 6) 𝑦 𝐶(3, 4).
18. Demostrar que los puntos (0, 1), (3, 5), (7, 2) y
(𝟒, − 2) son los vértices de un cuadrado.
19. Los puntos medios de los lados de un triángulo son
(2, 5), (4, 2) 𝑦 (1, 1). Hallar las coordenadas de los tres
vértices.
20. Las coordenadas de los puntos medios de los lados
de un triángulo son      1,13,6,3,1  y . Halla
las coordenadas de sus vértices.
21. Dados los puntos 𝑃(3, 9) 𝑦 𝑄(8, – 1):
a) Halla el punto medio de PQ.
b) Halla el simétrico de P respecto de Q.
c) Halla el simétrico de Q respecto de P.
d) Obtén un punto A de PQ tal que
2
.
3
PA
AQ

e) Obtén un punto B de PQ tal que
1
.
5
PB
PQ

22. Calcula el valor de k para que los puntos de
coordenadas A (1, 7), B (–3, 4), C (k, 5) estén
alineados.
BIBLIOGRAFÍA
Instituto de Ciencias y Humanidades. (2008). Algebra y
principios del análisis. Lima: Lumbreras.
Zill, D., & Wright, W. (2011). Cálculo. Trascendentes
tempranas. México, D.F: Mc Graw Hill.
Fuller, G., Wilson, W., & Miller, H. (1986). Algebra
Universitaria. Mexico D.F: Continental.
Stewart, J. (2008). Cálculo de una variable:
Trascendentes tempranas. México, D.F: CENGAGE
Learning.
REFERENCIA
https://www.definicionabc.com/general/plano-
cartesiano.php
https://aga.frba.utn.edu.ar/matrices/
http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/mateI15/
T_matrdeter/MatrDeter
https://es.slideshare.net/miguelangeltarazonagiraldo/
matrices-58478482

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