4. Una ecuación diferencial es homogénea sí M y N son funciones homogéneas del mismo grado, o también si la ecuación puede escribirse como: 𝑓𝑥,𝑦=𝑥5+7𝑥4𝑦+𝑥2𝑦3 :Es homogenea de 5 grado f(x,y)=x : Es homogenea de 1 grado Sea la función Z = ƒ(x,y), se dice que es homogénea de grado "n" si severifica que f( tx, ty)= tⁿf( x, y) ; siendo "n" un número real. En muchos casos sepuede identificar el grado dehomogeneidad de la función, analizando el grado decada término:
5. EJEMPLO: a) f( x ,y) = x² y² + 5x³ y - y4, aplicando la definición se tiene: f( tx, ty) = (tx)² ( ty)² + 5 (tx)³ (ty) - ( ty )4 f( tx, ty) = t4 x² y² + 5 t4 x³ y - t4 y4 f(tx, ty ) = t4 (x2 y2 + 5x3 y - y4 ) f( tx, ty) = t4 f ( x, y) Por lo tanto la función es homogénea de grado 4
6. Elementos claves Para las E.D.H cambio de variables 1.- Y=µx dy=µdx+xdµ 2.- X=µy dx=µdy+ydµ 3.- µ=x+y y=µ-x dy=dµ-dx
7. Resolvamos la ecuacion homogenea: Y’=𝑦+2𝑥𝑒−𝑦/𝑥𝑥 En primer Lugar, expresaremos el Segundo miembro Como funcion de y/x Y’=𝑦𝑥 + 2𝑒−𝑦/𝑥 Despues realizaremos el cambio de variables z=y/x, con lo que al ser y’=xz’+z, la ecuacion que da de la forma: Xz’+z=z+2𝑒−𝑧
8. Esta ecuacion es de variables separables, la integraremos Como tal: xz’+z=z+2𝑒−𝑧 =» xz’=2𝑒−𝑧 =» 𝑒𝑧z′=2𝑥 =» ʃ𝑒𝑧dz=ʃ2𝑥dx+c =» 𝑒𝑧 =𝑒𝑧2ln𝑥+𝑐 =»𝑙𝑛𝑥2+c Ahora, finalmente, se deshace el cambio de variable y tenemos: 𝑒𝑦/𝑥=ln𝑥2+c
