O documento discute o origami matemático, incluindo sua história, como se relaciona com a matemática, e axiomas para construções matemáticas no origami. É dividido em seções sobre a história do origami, como se relaciona com conceitos matemáticos como topologia e geometria, e axiomas para dobras no papel.

1. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Origami Matemático
Augusto Ícaro F. da Cunha
Universidade Federal de Alagoas, Campus A. C. Simões
Tabuleiro do Martins - Maceió - AL, CEP: 57072-970
Professora: Anayara Gomes dos Santos
icaro.morpheus@gmail.com
30 de Março 2012
Origami Matemático Projetos I

2. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Sumário
Motivação
História do
Origami
Construções
Matemáticas
Problema da
Trissecção de
Ângulos
Origami Matemático Projetos I

3. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Sumário
Motivação
História do
Origami
Construções
Matemáticas
Problema da
Trissecção de
Ângulos
Origami Matemático Projetos I

4. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Sumário
Motivação
História do
Origami
Construções
Matemáticas
Problema da
Trissecção de
Ângulos
Origami Matemático Projetos I

5. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Sumário
Motivação
História do
Origami
Construções
Matemáticas
Problema da
Trissecção de
Ângulos
Origami Matemático Projetos I

6. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Motivação
Dar uma breve explanação sobre Origami
Matemático para a turma de Projetos I
Mostrar uma das áreas de atuação na grande
área da Matemática Aplicada
Origami Matemático Projetos I

7. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru
(dobrar) e kami (papel), consistindo na arte
japonesa de dobrar papel, geralmente quadrado,
sem recurso a cortes e com faces de cores diferentes
No decorrer dos séculos o origami foi se devidindo
em oriental e ocidental, caracterizado por diferentes
perfis de artistas
Em 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origami
Atualmente Robert J. Lang emcabeça o origami
computacional
Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)
Origami Matemático Projetos I

8. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru
(dobrar) e kami (papel), consistindo na arte
japonesa de dobrar papel, geralmente quadrado,
sem recurso a cortes e com faces de cores diferentes
No decorrer dos séculos o origami foi se devidindo
em oriental e ocidental, caracterizado por diferentes
perfis de artistas
Em 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origami
Atualmente Robert J. Lang emcabeça o origami
computacional
Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)
Origami Matemático Projetos I

9. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru
(dobrar) e kami (papel), consistindo na arte
japonesa de dobrar papel, geralmente quadrado,
sem recurso a cortes e com faces de cores diferentes
No decorrer dos séculos o origami foi se devidindo
em oriental e ocidental, caracterizado por diferentes
perfis de artistas
Em 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origami
Atualmente Robert J. Lang emcabeça o origami
computacional
Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)
Origami Matemático Projetos I

10. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru
(dobrar) e kami (papel), consistindo na arte
japonesa de dobrar papel, geralmente quadrado,
sem recurso a cortes e com faces de cores diferentes
No decorrer dos séculos o origami foi se devidindo
em oriental e ocidental, caracterizado por diferentes
perfis de artistas
Em 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origami
Atualmente Robert J. Lang emcabeça o origami
computacional
Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)
Origami Matemático Projetos I

11. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru
(dobrar) e kami (papel), consistindo na arte
japonesa de dobrar papel, geralmente quadrado,
sem recurso a cortes e com faces de cores diferentes
No decorrer dos séculos o origami foi se devidindo
em oriental e ocidental, caracterizado por diferentes
perfis de artistas
Em 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origami
Atualmente Robert J. Lang emcabeça o origami
computacional
Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)
Origami Matemático Projetos I

12. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
História da Origami
Origami é uma palavra composta das parcelas oru
(dobrar) e kami (papel), consistindo na arte
japonesa de dobrar papel, geralmente quadrado,
sem recurso a cortes e com faces de cores diferentes
No decorrer dos séculos o origami foi se devidindo
em oriental e ocidental, caracterizado por diferentes
perfis de artistas
Em 1954 Akira Yoshizawa mundializou o origami
Atualmente Robert J. Lang emcabeça o origami
computacional
Leia sobre a história do origami em: (http://www.ferrazorigami.com.br/?p=70)
Origami Matemático Projetos I

13. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas
Mas qual a relação de origami com matemática?
Origami Matemático Projetos I

14. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
Mudulares
Poliedros Convexos e
não convexos
Construção feita por
modulos
Abrange conceitos de
Topologia, Grafos,
Geometria e outros
A principal regra é a
Característica de Euler
(V − A + F = 2)
Não Modulares
Construção através de
um quadrado
Construções
Euclidianas
Geometria Plana*
Abrange conceitos de
Grafos, EDO,
Probabilidade,
Geometria Diferencial
e outros
Origami Matemático Projetos I

15. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
Mudulares
Poliedros Convexos e
não convexos
Construção feita por
modulos
Abrange conceitos de
Topologia, Grafos,
Geometria e outros
A principal regra é a
Característica de Euler
(V − A + F = 2)
Não Modulares
Construção através de
um quadrado
Construções
Euclidianas
Geometria Plana*
Abrange conceitos de
Grafos, EDO,
Probabilidade,
Geometria Diferencial
e outros
Origami Matemático Projetos I

16. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
Mudulares
Poliedros Convexos e
não convexos
Construção feita por
modulos
Abrange conceitos de
Topologia, Grafos,
Geometria e outros
A principal regra é a
Característica de Euler
(V − A + F = 2)
Não Modulares
Construção através de
um quadrado
Construções
Euclidianas
Geometria Plana*
Abrange conceitos de
Grafos, EDO,
Probabilidade,
Geometria Diferencial
e outros
Origami Matemático Projetos I

17. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
Mudulares
Poliedros Convexos e
não convexos
Construção feita por
modulos
Abrange conceitos de
Topologia, Grafos,
Geometria e outros
A principal regra é a
Característica de Euler
(V − A + F = 2)
Não Modulares
Construção através de
um quadrado
Construções
Euclidianas
Geometria Plana*
Abrange conceitos de
Grafos, EDO,
Probabilidade,
Geometria Diferencial
e outros
Origami Matemático Projetos I

18. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
Mudulares
Poliedros Convexos e
não convexos
Construção feita por
modulos
Abrange conceitos de
Topologia, Grafos,
Geometria e outros
A principal regra é a
Característica de Euler
(V − A + F = 2)
Não Modulares
Construção através de
um quadrado
Construções
Euclidianas
Geometria Plana*
Abrange conceitos de
Grafos, EDO,
Probabilidade,
Geometria Diferencial
e outros
Origami Matemático Projetos I

19. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
Mudulares
Poliedros Convexos e
não convexos
Construção feita por
modulos
Abrange conceitos de
Topologia, Grafos,
Geometria e outros
A principal regra é a
Característica de Euler
(V − A + F = 2)
Não Modulares
Construção através de
um quadrado
Construções
Euclidianas
Geometria Plana*
Abrange conceitos de
Grafos, EDO,
Probabilidade,
Geometria Diferencial
e outros
Origami Matemático Projetos I

20. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
Mudulares
Poliedros Convexos e
não convexos
Construção feita por
modulos
Abrange conceitos de
Topologia, Grafos,
Geometria e outros
A principal regra é a
Característica de Euler
(V − A + F = 2)
Não Modulares
Construção através de
um quadrado
Construções
Euclidianas
Geometria Plana*
Abrange conceitos de
Grafos, EDO,
Probabilidade,
Geometria Diferencial
e outros
Origami Matemático Projetos I

21. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas
O Origami é dividido em 2 categorias:
Mudulares
Poliedros Convexos e
não convexos
Construção feita por
modulos
Abrange conceitos de
Topologia, Grafos,
Geometria e outros
A principal regra é a
Característica de Euler
(V − A + F = 2)
Não Modulares
Construção através de
um quadrado
Construções
Euclidianas
Geometria Plana*
Abrange conceitos de
Grafos, EDO,
Probabilidade,
Geometria Diferencial
e outros
Origami Matemático Projetos I

22. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas - Axiomas
Dados 2 pontos P1 e
P2, podemos dobrar
uma linha que os une
Dados 2 pontos P1 e
P2, podemos dobrar
P1 em P2
Dadas 2 linhas l1 e
l2, podemos dobrar l1
em l2
p1
p2
lf
p1
p2
lf
lf
l1
l2
Origami Matemático Projetos I

23. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas - Axiomas
Dados 2 pontos P1 e
P2, podemos dobrar
uma linha que os une
Dados 2 pontos P1 e
P2, podemos dobrar
P1 em P2
Dadas 2 linhas l1 e
l2, podemos dobrar l1
em l2
p1
p2
lf
p1
p2
lf
lf
l1
l2
Origami Matemático Projetos I

24. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas - Axiomas
Dados 2 pontos P1 e
P2, podemos dobrar
uma linha que os une
Dados 2 pontos P1 e
P2, podemos dobrar
P1 em P2
Dadas 2 linhas l1 e
l2, podemos dobrar l1
em l2
p1
p2
lf
p1
p2
lf
lf
l1
l2
Origami Matemático Projetos I

25. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas - Axiomas
Dado um ponto P1 e uma
linha l1, podemos dobrar
uma linha perpendicular a l1
que passa por P1
Dados 2 pontos P1 e P2
uma linha l1, podemos
dobrar P1 em l1 de tal forma
que a nova dobra passe por
P2
Dados 2 pontos P1 e P2 e 2
linhas l1 e l2, podemos
achar a linha que projeta P1
em l1 e projeta P2 em l2
lf
p1
l1
p1
l1
lf
p2
p1
p2
lf
l1
l2
Origami Matemático Projetos I

26. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas - Axiomas
Dado um ponto P1 e uma
linha l1, podemos dobrar
uma linha perpendicular a l1
que passa por P1
Dados 2 pontos P1 e P2
uma linha l1, podemos
dobrar P1 em l1 de tal forma
que a nova dobra passe por
P2
Dados 2 pontos P1 e P2 e 2
linhas l1 e l2, podemos
achar a linha que projeta P1
em l1 e projeta P2 em l2
lf
p1
l1
p1
l1
lf
p2
p1
p2
lf
l1
l2
Origami Matemático Projetos I

27. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas - Axiomas
Dado um ponto P1 e uma
linha l1, podemos dobrar
uma linha perpendicular a l1
que passa por P1
Dados 2 pontos P1 e P2
uma linha l1, podemos
dobrar P1 em l1 de tal forma
que a nova dobra passe por
P2
Dados 2 pontos P1 e P2 e 2
linhas l1 e l2, podemos
achar a linha que projeta P1
em l1 e projeta P2 em l2
lf
p1
l1
p1
l1
lf
p2
p1
p2
lf
l1
l2
Origami Matemático Projetos I

28. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas
Construção de retângulo num
pedaço de papel qualquer
Construção de quadrado
Construção de Triângulo
Equilátero
Origami Matemático Projetos I

29. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas
Construção de retângulo num
pedaço de papel qualquer
Construção de quadrado
Construção de Triângulo
Equilátero
Origami Matemático Projetos I

30. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas
Construção de retângulo num
pedaço de papel qualquer
Construção de quadrado
Construção de Triângulo
Equilátero
Origami Matemático Projetos I

31. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Mas como contruir um triângulo equilátero a partir de
um quadrado?
A B
C
O
B' A'
C'
Origami Matemático Projetos I

32. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Obtenha um pedaço de
papel quadrado
Dobre uma reta de apoio na
metade do quadrado
Leve uma das pontas A ou
B do quadrado para a linha
de apoio de forma tal que
se forme uma diagonal da
quina oposta até a linha de
apoio
Repita o processo para a
ponta oposta A B
C
O
B' A'
Origami Matemático Projetos I

33. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Obtenha um pedaço de
papel quadrado
Dobre uma reta de apoio na
metade do quadrado
Leve uma das pontas A ou
B do quadrado para a linha
de apoio de forma tal que
se forme uma diagonal da
quina oposta até a linha de
apoio
Repita o processo para a
ponta oposta A B
C
O
B' A'
Origami Matemático Projetos I

34. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Obtenha um pedaço de
papel quadrado
Dobre uma reta de apoio na
metade do quadrado
Leve uma das pontas A ou
B do quadrado para a linha
de apoio de forma tal que
se forme uma diagonal da
quina oposta até a linha de
apoio
Repita o processo para a
ponta oposta A B
C
O
B' A'
Origami Matemático Projetos I

35. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Obtenha um pedaço de
papel quadrado
Dobre uma reta de apoio na
metade do quadrado
Leve uma das pontas A ou
B do quadrado para a linha
de apoio de forma tal que
se forme uma diagonal da
quina oposta até a linha de
apoio
Repita o processo para a
ponta oposta A B
C
O
B' A'
Origami Matemático Projetos I

36. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Marque o ponto da reta de
apoio que liga os 2 lados,
que chamaremos de C
Dobre uma reta de apoio
entre AC e BC
Vemos que a projeção de B
em AC é B e a projeção de
A em BC é C
Observe que o Triângulo
formado por ABC e A B C
são equiláteros
A B
C
O
B' A'
C'
Origami Matemático Projetos I

37. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Marque o ponto da reta de
apoio que liga os 2 lados,
que chamaremos de C
Dobre uma reta de apoio
entre AC e BC
Vemos que a projeção de B
em AC é B e a projeção de
A em BC é C
Observe que o Triângulo
formado por ABC e A B C
são equiláteros
A B
C
O
B' A'
C'
Origami Matemático Projetos I

38. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Marque o ponto da reta de
apoio que liga os 2 lados,
que chamaremos de C
Dobre uma reta de apoio
entre AC e BC
Vemos que a projeção de B
em AC é B e a projeção de
A em BC é C
Observe que o Triângulo
formado por ABC e A B C
são equiláteros
A B
C
O
B' A'
C'
Origami Matemático Projetos I

39. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Marque o ponto da reta de
apoio que liga os 2 lados,
que chamaremos de C
Dobre uma reta de apoio
entre AC e BC
Vemos que a projeção de B
em AC é B e a projeção de
A em BC é C
Observe que o Triângulo
formado por ABC e A B C
são equiláteros
A B
C
O
B' A'
C'
Origami Matemático Projetos I

40. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Construções Matemáticas - Triangulo Equililátero
Mas como fazer a trissecção de um ângulo agudo no
origami?
Q
C
P
A'
B
P'
Q'
R
Origami Matemático Projetos I

41. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Trissecção de Ãngulos
Marque o ângulo para a
trissecção e este angulo
será o PCB
Dobre uma reta de apoio
qualquer EF paralela a BC
Agora dobre BC sobre EF
formando a reta de apoio
GH
Faça uma dobra de forma
tal que o ponto B ∈ GH e
E ∈ BP
D
A
B
D
C
A
B
D
C
E F
A
B
D
C
E F
G H
A
B
D
C
E F
G H
P
P
P
P
Origami Matemático Projetos I

42. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Trissecção de Ãngulos
Marque o ângulo para a
trissecção e este angulo
será o PCB
Dobre uma reta de apoio
qualquer EF paralela a BC
Agora dobre BC sobre EF
formando a reta de apoio
GH
Faça uma dobra de forma
tal que o ponto B ∈ GH e
E ∈ BP
D
A
B
D
C
A
B
D
C
E F
A
B
D
C
E F
G H
A
B
D
C
E F
G H
P
P
P
P
Origami Matemático Projetos I

43. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Trissecção de Ãngulos
Marque o ângulo para a
trissecção e este angulo
será o PCB
Dobre uma reta de apoio
qualquer EF paralela a BC
Agora dobre BC sobre EF
formando a reta de apoio
GH
Faça uma dobra de forma
tal que o ponto B ∈ GH e
E ∈ BP
D
A
B
D
C
A
B
D
C
E F
A
B
D
C
E F
G H
A
B
D
C
E F
G H
P
P
P
P
Origami Matemático Projetos I

44. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Trissecção de Ãngulos
Marque o ângulo para a
trissecção e este angulo
será o PCB
Dobre uma reta de apoio
qualquer EF paralela a BC
Agora dobre BC sobre EF
formando a reta de apoio
GH
Faça uma dobra de forma
tal que o ponto B ∈ GH e
E ∈ BP
D
A
B
D
C
A
B
D
C
E F
A
B
D
C
E F
G H
A
B
D
C
E F
G H
P
P
P
P
Origami Matemático Projetos I

45. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Trissecção de Ãngulos
Dobre ao longo da linha
demarcada por G, criando o
ponto J
Desdobre
Estenda a dobra anterior
até a quina formando BJ e
dobre BC sobre BJ
Pronto, agora observe que
o ângulo foi trisectado
A
B
D
C
E
F
G
H
A
B
D
C
E
F
G
H
A
B
D
C
E F
G H
JP
P
P
A
B
D
C
E F
G H
J
D/3
D/3
D
P
/3
Origami Matemático Projetos I

46. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Trissecção de Ãngulos
Dobre ao longo da linha
demarcada por G, criando o
ponto J
Desdobre
Estenda a dobra anterior
até a quina formando BJ e
dobre BC sobre BJ
Pronto, agora observe que
o ângulo foi trisectado
A
B
D
C
E
F
G
H
A
B
D
C
E
F
G
H
A
B
D
C
E F
G H
JP
P
P
A
B
D
C
E F
G H
J
D/3
D/3
D
P
/3
Origami Matemático Projetos I

47. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Trissecção de Ãngulos
Dobre ao longo da linha
demarcada por G, criando o
ponto J
Desdobre
Estenda a dobra anterior
até a quina formando BJ e
dobre BC sobre BJ
Pronto, agora observe que
o ângulo foi trisectado
A
B
D
C
E
F
G
H
A
B
D
C
E
F
G
H
A
B
D
C
E F
G H
JP
P
P
A
B
D
C
E F
G H
J
D/3
D/3
D
P
/3
Origami Matemático Projetos I

48. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Trissecção de Ãngulos
Dobre ao longo da linha
demarcada por G, criando o
ponto J
Desdobre
Estenda a dobra anterior
até a quina formando BJ e
dobre BC sobre BJ
Pronto, agora observe que
o ângulo foi trisectado
A
B
D
C
E
F
G
H
A
B
D
C
E
F
G
H
A
B
D
C
E F
G H
JP
P
P
A
B
D
C
E F
G H
J
D/3
D/3
D
P
/3
Origami Matemático Projetos I

49. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Agradecimentos
Grato Pela Atenção!
Origami Matemático Projetos I

50. Universidade Federal do Estado de Alagoas Instituto de Matemática - Campus A. C. Simões
Contatos
Como me contactar?
Augusto Ícaro - icaro.morpheus@gmail.com
Origami Matemático Projetos I