Some solved exercises of Graph Theory. The reference book used was: "Grafos - Introdução e Prática".

1. Lista de Exercícios - Teoria dos Grafos
Exercícios do Capítulo 4
Michel Alves dos Santos ∗
Abril de 2011
∗Bacharelando em Ciência da Computação, Universidade Federal do Estado de Alagoas(UFAL). E-mails: mi-
chel.mas@gmail.com, michelalavessantos@hotmail.com. Disciplina: Teoria dos Grafos. Docente Responsável: Leo-
nardo Viana Pereira.
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2. Conteúdo
Lista de Figuras 2
1 Questão 3. Determinine todas as árvores parciais do grafo G a seguir. 2
2 Questão 6. Como podemos adaptar o algoritmo de Kruskal para obter o valor de uma
árvore parcial de valor máximo? 3
3 Questão 9. Um grafo G é autocomplementar se e somente se: 3
4 Questão 16. Um problema muito conhecido é o de atravessar um rio com uma cabra,
um lobo e um cesto de alfaces, com o auxílio de um barqueiro, em um barco que só
comporta dois desses elementos (problema da travessia). Dadas as restrições óbvias
sobre quem pode, ou não, esperar lado a lado em uma margem, monte um modelo
de caminho que indique ao menos uma sequência viável de travessia. 3
Lista de Figuras
1 Determinação de árvores parciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Algumas árvores parciais do grafo G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Modelo para o problema da travessia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Questão 3. Determinine todas as árvores parciais do grafo G a seguir.
Figura 1: Determinação de árvores parciais.
(a) Você pode garantir que realmente determinou todas?
(b) O processo que você utilizou seria eficaz para o grafo H?
Figura 2: Algumas árvores parciais do grafo G.
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3. (a) Não.
(b) Seria necessário um tempo considerável de processamento uma vez que o processo usado foi
a retirada aleatória de ciclos. Como o grafo H possui vários ciclos o processo não seria eficaz.
2 Questão 6. Como podemos adaptar o algoritmo de Kruskal para obter o valor de uma
árvore parcial de valor máximo?
É simples, basta ao invés de pegar a aresta com menor valor a cada iteração, pegar a arestas
com maior valor em cada iteração, dessa forma o resultado será o valor de uma árvore parcial de
valor máximo.
3 Questão 9. Um grafo G é autocomplementar se e somente se:
1. G = G.
(a) Que ordem deve ter uma árvore autocomplementar?
Como a ordem é pela cardinalidade ou número de vértices de um grafo então, |V(G)| será
igual a |V(G)|, onde V(X) é a função que retorna os vértices do grafo X e |V(X)| é o operador
que nos informa o número de vértices existentes no conjunto dos vértices pertencentes ao
grafo X.
(b) Quais serão as árvores autocomplementares?
Serão todas aquelas isomórficas a G.
4 Questão 16. Um problema muito conhecido é o de atravessar um rio com uma cabra,
um lobo e um cesto de alfaces, com o auxílio de um barqueiro, em um barco que só
comporta dois desses elementos (problema da travessia). Dadas as restrições óbvias
sobre quem pode, ou não, esperar lado a lado em uma margem, monte um modelo de
caminho que indique ao menos uma sequência viável de travessia.
Levando em consideração que todos estavam na margem 1 e o objetivo é que todos estejam na
margem 2, teremos o seguinte algoritmo:
1. Barqueiro leva ovelha para margem 2.
2. Barqueiro volta só para margem 1.
3. Barqueiro leva o lobo ou cesto de alfaces para margem 2.
4. Barqueiro volta com o a ovelha.
5. Barqueiro leva o cesto de alfaces ou lobo.
6. Barqueiro volta só.
7. Barqueiro leva a ovelha.
Para montar um modelo de caminho algumas abstrações devem serem feitas. Cada nó terá em seu
rótulo um par ordenado (x,y) onde x pertence ao conjunto 1,2,3,4 representando, respectivamente,
a ovelha, o lobo, o cesto de alface e o barqueiro e y pertence ao conjunto 1,2 onde representamos,
respectivamente, a margem 1 e margem 2. Ou seja, no par terá quem está no barco e para onde
está indo, lembrando que no caso onde x = 1 ou x = 2, ou x = 3, fica subentendido que o barqueiro
também se encontra no barco. A ilustração a seguir reforça a sequência de travessia apresentada
(Figura 3). Vale observar que um algoritmo de busca em profundidade resolveria esse modelo de
caminho.
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4. Figura 3: Modelo para o problema da travessia.
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