Prueba de la bondad del ajuste

María Isabel Bautista
mbautista@aldeae.com

Prueba de la Bondad del Ajuste

Cómo se distribuyen las variables de una población

 Comprender la utilidad de la Estadística No
Objetivos : Paramétrica para corroborar la bondad de las
diferentes distribuciones de variables poblacionales
usadas en el ámbito educativo.

 Comprender el significado , la utilidad y la
interpretación de la prueba Chi-cuadrado para
validar los procedimientos de la Inferencia Estadística

María Isabel Bautista 2 Prueba de la Bondad del Ajuste

Introducción

Cuando se realizan investigaciones, con
frecuencia es importante obtener información a
través de una muestra sobre la forma como se Ahora nos ocuparemos
distribuyen los datos de una población. del problema de verificar
si de un conjunto de datos
Algunos estudios producen resultados sobre los se puede afirmar que
que no podemos afirmar que se distribuyen proviene de una
Normalmente, es decir con forma acampanada determinada distribución
concentrados sobre la media.

En estos casos debemos emplear técnicas no
paramétricas que se utilizan ampliamente en
las aplicaciones de las ciencias sociales,
cuando no se puede asumir a priori que los
datos de una muestra se ajusten a una
distribución normal.


Estadística No Paramétrica

La estadística no paramétrica es una rama de la Las pruebas paramétricas
estadística que estudia las pruebas y modelos asumen los parámetros de
la de la variable (media y
estadísticos cuya distribución subyacente no se
ajusta a los llamados criterios paramétricos. varianza) y un tipo de
distribución normal
Algunos experimentos producen respuestas que no
son cuantificables, es decir generan mediciones
que pueden ordenarse, pero la posición de la
respuesta en una escala de medición es
arbitraria.

Por ejemplo, suponga que desea evaluar y comparar
las habilidades de cinco profesores de
educación física, o las características de atención
de los alumnos de una clase… Las pruebas no
paramétricas no asumen
ningún parámetro de
Las pruebas no paramétricas no asumen ningún
distribución de las
parámetro de distribución de las variables
variables muestrales.
muestrales.


Prueba de la Bondad del Ajuste

Para resolver este problema utilizaremos unas pruebas
estadísticas que reciben el nombre general de "Pruebas de
Bondad de Ajuste" y específicamente estudiaremos la prueba
Chi - Cuadrado (ji dos) aunque existen otras pruebas : PRUEBA DE FISHER
 binomial, Es la prueba estadística
 de Anderson-Darling, de elección cuando la
 de Fisher, etc. prueba de chi.cuadrado
no puede ser empleada
Estas no serán objeto de estudio por ahora.
por tamaño muestral
insuficiente.
El cálculo de estas pruebas, es sencillo, desde el punto de vista
manual y matemático, sin embargo y siguiendo con nuestra
práctica, facilita el trabajo hacerlo con la hoja de calculo de
Excel pues lo importante es descargarnos la tarea de cálculo
matemático y dedicarnos a la interpretación de resultados y
toma de decisiones.

Profundiza
esta
información en
la Web


Prueba de Chi-cuadrado (X2)

La prueba de Chi- Cuadrado es considerada como una prueba no paramétrica que mide la
discrepancia (bondad de ajuste) entre una distribución observada a partir de la muestra
y otra teórica que se supone debe seguir esa muestra, indicando en qué medida las
diferencias existentes entre ambas, de haberlas, se deben al azar en el contraste de hipótesis.

Esta prueba se basa en la hipótesis nula (H0) de que no hay diferencias significativas entre la
distribución muestral y la teórica. Mientras que la hipótesis alternativa (H1) siempre se
enuncia como que los datos no siguen la distribución supuesta.

H0:
La distribución de la H0 : f( x, θ) = F0 (x, θ)
probabilidad es Normal
H1:
La distribución de la H1 : f( x, θ) ≠ F0 (x, θ)
probabilidad NO es Normal


Naturaleza de la prueba de Chi-cuadrado

La estructura básica de la prueba para la bondad del ajuste se muestra en la siguiente tabla

Clases Frecuencias Frecuencias (foi – fei) 2
observadas esperadas en ___________
base a H0 fei
(foi) (fei)

1 fo1 fe1 (fo1 – fe1) 2 / fe1
2 fo2 fe2 (fo2 – fe2) 2 / fe2
3 fo3 fe3 (fo3 – fe3) 2 / fe3
: : : :

K fok fek (fok – fek) 2 / fek
Total n n X2 = Σ(foi – fei) 2 / fei


Estadístico de Prueba
El estadístico de prueba está definido como la sumatoria de los
residuos expresados en términos de las frecuencias esperadas
para cada una de las clases:
X2 = Σi=1 hasta K (foi - fei)2 / fei
donde:
• foi = Total de valores que caen en el intervalo i.
La prueba se basa en qué tan
• fei = Número esperado de valores en el intervalo i.
buen ajuste se tiene entre la
• k = Número de intervalos de clase en que se distribuyen las frecuencia de ocurrencia de
observaciones. las observaciones en una
muestra observada y las
Formulación de Hipótesis: frecuencias esperadas que se
obtienen a partir de la
• H0: f(x,q) = fo (x, q)
distribución hipotética.
• H1: f(x,q) ≠ fo (x,q)
• Donde fo (x,q) es la distribución que se supone sigue la
muestra aleatoria. La hipótesis alternativa siempre se
enuncia como que los datos no siguen la distribución supuesta.
• Aceptar H0 si no existe diferencia significativa entre la
distribución de la frecuencia observada en la muestra y la
distribución teórica de la población.


Estadístico de Prueba
Interpretación: cuanto mayor sea el valor de X2, menos verosímil es que la hipótesis H0
sea correcta. De la misma forma, cuanto más se aproxima a cero el valor de Chi-
cuadrado, más ajustadas están ambas distribuciones.

 Si X2 =0 La frecuencia teórica y observada concuerdan exactamente.
 Si X2 >0 Mientras mayor es la diferencia mayor es la discrepancia.

Debemos comparar el valor calculado, con el observado para determinar si dicha variación
es aleatoria.
En la práctica :Si Ho. = 0 no existe diferencia significativa entre la distribución de la
frecuencia Observada y la distribución Teórica específicamente con los mismos
parámetros.


Consideraciones

Muestra Naturaleza de los datos a analizar

• Se hacen conteos con números reales.
• La muestra es aleatoria simple de una población

• El tamaño de la muestra es razonablemente • Por ejemplo, si tratamos de investigar la
grande (n ≥ 20) distribución que siguen los errores de ortografía
cometidos por los alumnos en un dictado,
podríamos pensar en una distribución de Poisson,
• Para esta prueba es necesario agrupar o distribuir así que en principio no consideraríamos una
las observaciones de la muestra en intervalos de distribución normal.
clase, preferiblemente del mismo tamaño.

Para formular la hipótesis nula deberán
tenerse en cuenta los siguientes aspectos
La prueba se basa en la Ordenar las observaciones
comparación de las frecuencias
observadas • El número de intervalos de clase debe ser por lo
• Por lo tanto la forma que tome el histograma de menos cinco.
frecuencia es quizás la mejor indicación del tipo
de distribución a considerar. • El número esperado de observaciones en cada
intervalo debe ser mayor o igual a cinco; en
• Es decir, se quiere determinar si las frecuencias caso contrario, deberían agruparse varios
observadas en la muestra están lo suficientemente intervalos para lograr esto.
cerca de las frecuencias esperadas bajo la
hipótesis nula.


Ejemplo
Se realizo una encuesta en la universidad y se les pregunto a los estudiantes si
estarían o no de acuerdo en sustituir por completo la modalidad presencial por la
modalidad de estudio a distancia y se obtuvieron los siguientes datos:

Hombres (Real) Mujeres (Real) Descripción
58 35 Están de acuerdo Se desea comprobar si la
probabilidad de que las
11 25 Neutrales
tendencias de la muestra sean
10 23 No están de acuerdo iguales a las tendencias esperadas
en la población

H0: fo – fe= 0
Hombres (Esperado) Mujeres (Esperado) Descripción H1: fo – fe≠ 0

45,35 47,65 Están de acuerdo PRUEBA.CHI 0,000308 Se aproxima a 0
17,56 18,44 Neutrales
16,09 16,91 No están de acuerdo
Acepto H0, los datos de la muestra
PRUEBA.CHI se calcula con Excel: se comportan muy parecido a los
devuelve el valor de la distribución chi esperados
cuadrado (χ2) para la estadística y los
grados de libertad apropiados.


Prueba de Chi Cuadrado con SPSS

Revisa este
video para
entender cómo
se aplica la
prueba


Lista de Referencias

Sandoval, A. (s/f), Estadística II, Escuela de Ciencias Contable
Económico Administrativas de la Universidad Panamericana.
Grupo Editorial Iberoamérica. México.

Mendenhall, Willian. (1978), Estadística para Administradores y
Economía. Universidad Nacional Autónoma de México. Grupo
Editorial Iberoamérica. México.

Navarro, A. (2000), Estadística Aplicada al área económica y
empresarial. Ediciones de la Universidad Ezequiel Zamora.
Colección Docencia Universitaria. Barinas, Venezuela

Tarjeta de referencia rápida: Funciones estadísticas de Excel
http://support.microsoft.com/kb/828296/es

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