apoyo

1. REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1
REPRESENTACIÓN DE CURVAS
Función polinómica de segundo grado.
Su gráfica es una parábola. Para representarla basta con halla los puntos de corte a los
ejes y el vértice que es siempre un máximo o un mínimo. Si el coeficiente de x2
es
positivo la parábola es abierta hacia arriba y si es negativo abierta hacia abajo
Cuando no existen puntos de corte con el eje de abscisas podemos ayudarnos con una
sencilla tabla de valores.
Ejemplo 1
34xydeGráfica 2
+−= x
Puntos de corte a los ejes:
• Para x = 0, y = 3 ⇒ La función corta al eje de ordenadas en el punto (0, 3)
• Para y = 0, 0342
=+− xx ⇒



=
±
=
−±
=
1
3
2
24
2
12164
x
Los puntos de corte al eje de abscisas son (3, 0) y (1, 0)
Vértice: 342
+−= xxy ; 42 −=′ xy ; 2=′′y
042 =−x ⇒ 2=x . El eje de simetría de la parábola es la recta x = 2.
Para x = 2, 132.42)2( 2
−=+−=y
)1,2( −V . El vértice es un mínimo ya que la segunda derivada es positiva.
La función es decreciente en el intervalo (-∞, 2) y creciente en (2, +∞)

2. REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 2
Ejemplo 2.
23xyGráfica 2
+−= x
Se trata de una función valor absoluto que se expresa de la forma siguiente:




<+−−+−
≥+−+−
=+−=
02323
02323
23 22
22
2
xxsixx
xxsixx
xxy
Para representarla se dibujan las gráficas de
232
+−= xxy ; 232
−+−= xxy
Después nos quedamos con la parte de dibujo situado por encima del eje de abscisas.
Estudio de la primera función: 232
+−= xxy
Para x = 0, y = 2. Corta al eje de ordenadas en el punto (0, 2)
Para y = 0, 0232
=+− xx ⇒



=
±
=
−±
=
1
2
2
13
2
893
x
Corta al eje de abscisas en los puntos (2, 0) y (1, 0)
Vértice:
232
+−= xxy
32 −=′ xy ; 032 =−x ⇒
2
3=x
Para
2
3=x ,
4
1
2
2
3
.3
2
3
)
2
3(
2
−=+−





=y El vértice es el punto ( )4
1,
2
3 −V
Estudio de la segunda función: 232
−+−= xxy
Para x = 0, y = -2 Corta al eje de ordenadas en el punto (0, -2)
Para y = 0, 0232
=−+− xx ⇒ x = 2; x = 1
Los puntos de corte con el eje de abscisas son los mismos que antes (2, 0) y (1, 0)
Vértice: 232
−+−= xxy ; 32 +−=′ xy ; 032 =+− x ⇒
2
3=x
Para
2
3=x ,
4
1
2
2
3
.3
2
3
)
2
3(
2
=−+





−=y El vértice es el punto ( )4
1,
2
3V ′

3. REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 3
Funciones polinómicas en general
Se siguen los siguientes pasos:
• Dominio: Dom(f) = R. El dominio de toda función polinómica es siempre R.
• Puntos de corte con los ejes de coordenadas.
• Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos
• Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
Ejemplo 3.
x9xf(x)deGráfica 3
−=
Dominio: El dominio es R; Dom(f) = R
Puntos de corte con los ejes de coordenadas:
Para x = 0, y = 0
Para y = 0, 093
=− xx ⇒ 0)9( 2
=−xx ⇒



±=⇒=−
=
309
0
2
xx
x
Los puntos de corte son (0, 0), (3, 0) y (-3, 0).
Crecimiento y decrecimiento: 93)( 2
−=′ xxf ; ⇒ 32
=x ⇒ 3±=x
Intervalos )3,( −−∞ )3,3(− ),3( +∞
Signo de la derivada + - +
Función   
Para 3−=x )36,3Máximo(-∃ ; Para 3=x )36,3Mínimo( −∃
Concavidad y convexidad: xxf 6)( =′′ ; 6x = 0 ⇒ x = 0.
Intervalos )0,(−∞ ),0( +∞
Signo de la segunda derivada - +
Función ∩ ∪
Para x = 0, existe punto de inflexión (0, 0)
La función es decreciente en los
intervalos (-∞, 1) y (3/2, 2)
Es creciente en (1, 3/2) y (2, +∞).
232
+−= xxy

4. REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 4
Funciones racionales
Se siguen los siguientes pasos:
• Dominio: { }anulaserdenominadoeldondepuntoslos)( −= RfDom
• Asíntotas
• Puntos de corte con los ejes de coordenadas.
• Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos
• Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión.
Ejemplo 4
1
22x
ydeGráfica
2
−
+−
=
x
x
Dominio: x – 1 = 0 ⇒ x = 1 { }1)( −= RfDom
Asíntotas:
Verticales 1=x (A.V.)
Horizontales: No hay
Oblicuas: nmxy += ; 1
22
)1(
22
2
22
=
−
+−
=
−
+−
==
∞→∞→∞→ xx
xx
lím
xx
xx
lím
x
y
límm
xxx
1
1
2
1
22
)(
2
−=
−
+−
=





−
−
+−
=−=
∞→∞→∞→ x
x
límx
x
xx
límmxylímn
xxx
; 1−=xy (A.O.)
Puntos de corte: Para x = 0, y = -2; Para y =0, 0222
=+− xx (que no tiene sol real.)
Único punto de corte: (-2, 0)
Crecimiento y decrecimiento: 2
2
)1(
2
−
−
=′
x
xx
y ; 0=′y ⇒ 022
=− xx ⇒ x = 0; x = 2
(-∞, 0) (0, 1) (1, 2) (2, +∞)
y′ + - - +
y    
)36,3(−
)36,3( −
xxy 93
−=
Para x = 0, ∃ máximo
Para x = 2, ∃ mínimo

5. REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 5
Concavidad y convexidad: 3
)1(
2
−
=′′
x
y ; y ′′ no se anula nunca. No hay puntos de
inflexión.
Ejemplo 5
1
x
ydeGráfica 2
2
+
=
x
Dominio: 012
=+x ⇒ 1−=x ; No hay soluciones reales. El denominador no se
anula nunca. RyDom =)(
Asíntotas:
Verticales: No hay porque el denominador no se anula
Horizontales: 1
12
2
=
+∞→ x
x
lím
x
luego y = 1 es una A.H.
Oblicuas: No hay. Si hay horizontales no hay oblicuas.
Puntos de corte: Para x = 0, y = 0; Para y = 0, x = 0. Único punto de corte: (0, 0)
Crecimiento y decrecimiento: 2222
22
)1(
2
)1(
.2)1(2
+
=
+
−+
=′
x
x
x
xxxx
y
Si hacemos 0=′y entonces 2x = 0 ⇒ x = 0
Estudiando la derivada en los intervalos (-∞, 0) y (0, +∞) se obtiene la siguiente
tabla
(-∞, 0) (0, +∞)
y′ - +
y  
Concavidad y convexidad:
32
2
32
22
42
222
)1(
62
)1(
8)1(2
)1(
22).1(2)1(2
+
−
=
+
−+
=
+
+−+
=′′
x
x
x
xx
x
xxxx
y
Si hacemos 0=′′y , 062 2
=− x ⇒
3
1±=x
)
3
1,( −−∞ )
3
1,
3
1(− ),
3
1( +∞
(-∞, 1) (1, +∞)
y ′′ - +
y ∩ ∪
1
222
−
+−
=
x
xx
y
Para x = 0,
∃ Mínimo(0, 0)
Existen puntos de inflexión
para
3
1−=x y para
3
1=x

6. REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 6
y ′′ - + -
y ∩ ∪ ∩
Ejemplo 6
5x
3-2x
ydeGráfica
+
=
La gráficas de la forma
dcx
bax
y
+
+
= , siendo c≠ 0, son siempre hipérbolas y para
representarlas podemos omitir el método general de representación de funciones
racionales.
Basta con hallar los puntos de corte y las asíntotas.
Puntos de corte:
Para x = 0, y = -3/5
Para y = 0, 2x –3 = 0 ⇒ x = 3/2
Los puntos de corte son (0, -3/5) y (3/2, 0)
Asíntotas:
Asíntota vertical: x = -5
Asíntota horizontal: 2
5
32
=
+
−
∞→ x
x
lím
x
; y = 2 es una asíntota horizontal
Con las dos asíntotas dibujadas aparecen unos nuevos ejes. La curva ocupará primero y
tercer cuadrante, o bien segundo y cuarto. Los puntos de corte hallados nos indican los
que hemos de elegir. En este caso, segundo y cuarto.
12
2
+
=
x
x
y
1=y

7. REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 7
Observando la gráfica vemos que siempre es creciente. No hay máximos ni mínimos.
Es convexa en (-∞, -5) y cóncava en (-5, +∞). No hay puntos de inflexión porque
aunque en el punto x = -5, pasa de convexa a cóncava, dicho punto no es de su dominio.
Ejemplo 7
1
1x
ydeGráfica 2
2
−
+
=
x
Dominio: 012
=−x ⇒ 1±=x ; { }1,1)( −−= RyDom
Asíntotas: Verticales: 1−=x ; 1=x
Horizontales: 1
1
1
2
2
=
−
+
∞→ x
x
lím
x
; y = 1 es una A.H. Asíntotas oblicuas no hay.
Puntos de corte: Para x = 0, y = -1 Un punto de corte es (0,-1)
Para y = 0, 0
1
1
2
2
=
−
+
x
x
⇒ 012
=+x .No hay solución, no hay más puntos de corte.
Crecimiento y decrecimiento: 2222
22
)1(
4
)1(
)1(2)1(2
−
−
=
−
+−−
=′
x
x
x
xxxx
y .
Si hacemos ,0=′y -4x = 0 ⇒ x = 0
Dividiendo el dominio por el punto cero y estudiando el signo de la derivada en los
intervalos (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1) y (1, +∞) se obtienen el siguiente resultado:
(-∞, -1) (-1, 0) (0, 1) (1, +∞)
y′ + + - -
y    
Concavidad y convexidad:
5
32
+
−
=
x
x
y
2=y
5−=x
Para x = 0, existe
máximo
M(0, -1)

8. REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 8
32
2
32
22
42
222
)1(
124
)1(
16)1(4
)1(
)4(2)1(2)1(4
−
+
=
−
+−−
=
−
−−−−−
=′′
x
x
x
xx
x
xxxx
y
Si hacemos 0=′′y entonces 0124 2
=+ x que no tiene solución, luego la segunda
derivada no se anula nunca. No hay puntos de inflexión.
La tabla que refleja la concavidad y convexidad de la curva queda así:
(-∞, -1) (-1, 1) (1, +∞)
y ′′ + - +
y ∪ ∩ ∪
Funciones logarítmicas.
Los pasos a seguir son los mismos que en las racionales pero en el dominio hemos de
tener en cuenta que el logaritmo de los números negativos no existe. En los límites se
cuidará si la tendencia es por la derecha o por la izquierda.
Ejemplo 8.
x
Lx
ydeGráfica =
Dominio: Globalmente es una función racional, luego el punto donde se anula el
denominador, 0=x , no es de su dominio. Además, como figura Lx, ha de ser ox > ,
por tanto, ),0()( +∞=yDom
Asíntotas:
Verticales: Son aquellos valores que hacen que la función tome el valor de ∞,
Cuando +
→ 0x , −∞→y luego x = 0 es una asíntota vertical inferior.
Horizontales: 0
1
1
1
===
+∞→+∞→+∞→ x
límxlím
x
Lx
lím
xxx
, 0=y es una A.H. derecha.
Oblicuas: nmxy += ; 0
2
1
2
1
22
=====
+∞→+∞→+∞→+∞→ x
lím
x
xlím
x
Lx
lím
x
y
límm
xxxx
. No hay.
Puntos de corte: Para x = 0, la función no está definida.
Para y = 0, Lx = 0 ⇒ x = 1. El único punto de corte es (1, 0)
Crecimiento y decrecimiento: 2
1
x
Lx
y
−
=′ ; Si hacemos 0=′y entonces 01 =− Lx
1
1
2
2
−
+
=
x
x
y

9. REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 9
(0, e) (e, +∞)
y′ + -
y  
Concavidad y convexidad: 3
23
x
Lx
y
+−
=′′ ; Si hacemos 0=′′y , -3 + 2Lx = 0 ⇒
),0( 2
3
e ),2
3
+∞e
y ′′ - +
y ∩ ∪
Funciones exponenciales.
Se siguen los mismos pasos que en las racionales.
Ejemplo 9.
x
xeydeGráfica =
Dominio: La función dada es el producto de una polinómica (de dominio R) y de la
exponencial natural (de dominio R), por tanto, Dom(y) = R
Asíntotas:
Verticales: No hay. No existe ningún valor de x para el que la función tome el valor de
infinito.
Horizontales: +∞=
+∞→
x
x
xelím ; 0
1
)( =
−
=
−
=−=
+∞→+∞→
−
+∞→−∞→ xxxx
x
x
x
x e
lím
e
x
límxelímxelím , luego
0=y es una asíntota horizontal izquierda.
Oblicuas: nmxy += ;



∞→
+∞→∞
===
∞→∞→ -xsi0
xsix
xx
elím
x
y
límm ; No hay.
Puntos de corte: Para x = 0, y = 0; Para y = 0, x = 0. Único punto de corte (0, 0)
Crecimiento y decrecimiento: )1( +=′ xey x
; Si hacemos 0=′y , 0)1( =+xex
⇒ x =
-1
Los intervalos de monotonía quedan de la forma siguiente:
Para x = e, existe máximo
)1,(
e
eM
2
3=Lx ; 2
3
ex =
Para 2
3
ex = existe punto de
inflexión
Es decir,
Lx = 1 ⇒ x = e
x
Lx
y =
)1,(
e
e

10. REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 10
(-∞,-1) (-1, +∞)
y′ - +
y  
Concavidad y convexidad: )2( +=′′ xey x
; Si hacemos 0=′′y , 0)2( =+xex
⇒ x = -2
(-∞,-2) (-2, +∞)
y ′′ - +
y ∩ ∪
Funciones en general.
Ejemplo 10.
Lx
x
ydeGráfica =
Dominio: Por se parte de la función logarítmica, no entran los números negativos. Por
ser globalmente racional hay que eliminar del dominio aquellos valores que anulan al
denominador, 10 =⇒= xLx
Es decir, ),1()1,0()( ∞+= yDom
Asíntotas: Verticales: x = 1; Horizontales: +∞===
+∞→+∞→+∞→
xlím
x
lím
Lx
x
lím
xxx 1
1
(No
hay)
Oblicuas: 0
1
===
+∞→+∞→+∞→ Lx
lím
x
Lx
x
lím
x
y
lím
xxx
(No hay)
Puntos de corte: Para x = 0, la función no está definida. Para y = 0, 0=
Lx
x
⇒ x = 0
Pero el 0 no pertenece al dominio de la función. No hay puntos de corte.
Para x = -1 existe
mínimo.
)1,1(
e
M −−
Para x = -2 existe punto de
inflexión
)2,2( 2
e
I −−
x
xey =
)1,1(
e
−−

11. REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 11
Crecimiento y decrecimiento:
2
)(
1
Lx
Lx
y
−
=′ ; Si ,0=′y Lx –1 = 0 ⇒ Lx = 1
es decir, x = e. Para x = e, ∃ mínimo M(e, e)
Concavidad y convexidad:
3
)(
2
Lxx
Lx
y
−
=′′ ; Si ,0=′′y 2 – Lx = 0 ⇒ Lx = 2 ⇒ 2
ex =
(0, 1) (1, e2
) (e2
. +∞)
y ′′ - + -
y
∩ ∪ ∩
Ejemplo 11.
1-xydeGráfica +=
Dominio: Como no existen las raíces cuadradas de números negativos, ha de ser
01≥−x ⇒ 1≥x ; ),1[)( ∞+=yDom
Asíntotas: Verticales no hay porque no existe ningún valor de x para el cual la función
tome de valor de ∞.
Horizontales: +∞=−
+∞→
1xlím
x
. No hay Existe rama parabólica.
Oblicuas: 00
111
22
==
−−
=
−
=
+∞→+∞→+∞→+∞→ x
x
lím
x
x
lím
x
x
lím
x
y
lím
xxxx
. No hay.
Puntos de corte: Para x = 0, no existe la función. Para y = 0, 01 =−x ⇒ x = 1
El único punto de corte es (1, 0)
Crecimiento y decrecimiento:
0
12
1
>
−
=′
x
y . La función es creciente en todo su dominio. No hay máximos ni
mínimos.
Concavidad y convexidad:
(0, 1) (1, e) (e, +∞
y - - +
y′   
Para x = 1, pasa de cóncava a convexa pero
el punto no es del dominio de la función.
Para x = e2
pasa de convexa a cóncava. Hay
punto de inflexión en dicho punto
Lx
x
y =

12. REPRESENTACIÓN DE CURVAS.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 12
2
1
2
1
)1(
2
1
)1(
1
.
2
1
12
1 −
−=
−
=
−
=′ x
xx
y
1)1(4
1
)1(4
1
)1(
1
.
4
1
)1(
2
1
.
2
1
32
3
2
3
−−
−
=
−
−
=
−
−
=−
−
=′′
−
xxxx
xy
La segunda derivada no se anula nunca y es negativa para todo valor de x > 1.
Por tanto, siempre es cóncava.
La gráfica queda de la siguiente forma:
1−+= xy