Características de los vectores en el plano.

2. Cálculo Multivariable
Marcelo Fernando Valdiviezo C.
Carrera de Telecomunicaciones
Octubre - 2020

3. UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN AL
CÁLCULO VECTORIAL
TEMA: VECTORES EN EL PLANO.

4. LAS COMPONENTES DE UN VECTOR
Escalares
Vectoriales
Esta foto de Autor desconocido está bajo licencia CC BY-
NC-ND
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El Área, el volumen, la
temperatura, la masa y el tiempo
se representan por medio de un
solo número real.
La Fuerza, la velocidad y la
aceleración tienen magnitud y
dirección, no pueden
representarse por medio de un
solo número.

5. LAS COMPONENTES DE UN VECTOR
Cantidades Vectoriales
Para representar estas cantidades se utiliza un segmento de recta
dirigido.
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O: Punto Inicial.
Q: Punto Final
Longitud o Magnitud: OA
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Segmentos Equivalentes.
Igual magnitud y dirección

6. LAS COMPONENTES DE UN VECTOR
Vector en un Plano
El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos que son
equivalentes a un segmento de recta dirigido dado .
Se denota por: OA=v
OA
Notación:
, ,u v w
u, v,w
Un vector en el plano se puede representar por medio de muchos segmentos
de recta dirigidos diferentes, todos apuntando a la misma dirección y con la
misma magnitud.

7. EJEMPLO 1
Sea u el vector que va de (-2, 1) a (2, 5) y sea v el vector representado por el
segmento dirigido que va de (2, 3) a (6, 7). Demostrar que u y v son equivalentes.
Vector Punto inicial Punto final
u A(-2, 1) B(2, 5)
v C(2, 3) D(6, 7)
( ) ( )
2 2
2 2 1 5 32AB = − − + − =
( ) ( )
2 2
6 2 7 3 32CD = − + − =
1 5 4
1
2 2 4AB
m
− −
= = =
− − −
7 3 4
1
6 2 4CD
m
−
= = =
−

8. POSICIÓN CANÓNICA o ESTÁNDAR
El segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen se considera el
representante más adecuado de un conjunto de recta dirigidos equivalentes
( )1 2,F w w
Este tipo de segmentos con punto inicial
en el origen, pude representarse de
manera única con las coordenadas del
punto final.

9. DEFINICIÓN DE UN VECTOR EN EL PLANO
MEDIANTE SUS COMPONENTES
1 2 1 2
1 1 2 2
, , ,u u v v
u v y u v
= =
=  = =
u v
u v

10. DEFINICIÓN DE UN VECTOR EN EL PLANO
MEDIANTE SUS COMPONENTES
1. Si P(p1, p2) y Q(q1, q2) son los puntos inicial y final de un segmento
de recta dirigido, el vector v representado por , dado mediante
sus componentes, es . Además, de la fórmula
de la distancia es posible ver que la longitud (magnitud) de v es:
1 2 1 1 2 2, ,v v q p q p= − −
PQ
( ) ( )
2 2
1 1 2 2
2 2
1 2
q p q p
v v
= − + −
= +
v

11. DEFINICIÓN DE UN VECTOR EN EL PLANO
MEDIANTE SUS COMPONENTES
2. Si , v puede representar por el segmento de recta
dirigido, en la posición canónica o estándar, que va de P(0, 0) a
Q(v1, v2) .
1 2,v v=v
Vector Unitario
A la longitud de v se le llama norma de v. Si , v es un vector unitario.1=v
0=v si y sólo si v es el vector cero 0.

12. EJEMPLO 2
Hallar las componentes y la longitud del vector v que tiene el punto inicial (3, 1) y el
punto final (-1, 3)
Sean A(3, 1) = (a1, a2) y B(-1, 3) = (b1, b2).
Entonces las componentes de son1 2,u u=u
1 1 1 1 3 4u b a= − = − − = −
2 2 2 3 1 2u b a= − = − =
4,2= −u
( )
2
4 4
20 2 5
= − +
= =
u

13. OPERACIONES CON VECTORES

14. OPERACIONES CON VECTORES

15. OPERACIONES CON VECTORES

16. OPERACIONES CON VECTORES
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES

17. OPERACIONES CON VECTORES
LONGITUD DE UN MÚLTIPLO ESCALAR
VECTOR UNITARIO EN LA DIRECCIÓN DE v

18. VECTORES UNITARIOS CANÓNICOS O
ESTÁNDAR
1,0
0,1
Vectores unitarios canónicos
o estándar.
1,0
0,1
i
j
=
=
Combinación lineal de i y j

19. VECTORES UNITARIOS CANÓNICOS O
ESTÁNDAR
Cualquier vector v distinto de 0 y que forma un ángulo θ con
el eje x positivo tiene la misma dirección que u y se puede
escribir como:

20. PREGUNTAS