Clase CDI: Funciones

2. CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL
UNIDAD 1: FUNCIONES, LÍMITES Y DERIVADAS
Marcelo Fernando Valdiviezo Condolo
Primero ‘B’
Carrera de Telecomunicaciones

3. FUNCIONES

4. DEFINICIONES Y NOTACIONES
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN:
Dados dos conjuntos, A y B; una función de A en B, es una regla o ley que a cada elemento de A asigna un
único elemento de B.
SÍMBOLO
ELEMENTOS QUE LA
CARACTERIZAN
CONDICIONES A
CUMPLIR POR LA
LEY
REPRESENTACIÓN
Para nombrar una
función usamos una
letra (f, g, h, …)
Por costumbre,
usamos:
• Dos conjuntos:
A; B
• Una regla o ley de
asignación
• Asignar a cada
elemento de A un
único elemento de
B.
f
:f A B
x y
→
→

5. DEFINICIONES Y NOTACIONES
CONVENCIÓN DE NOMBRES Y SÍMBOLOS
:f A B→ Se lee f aplica A en B.
Al conjunto de partida ( A ) lo llamamos DOMINIO
Al conjunto de llegada ( B ) lo llamamos CODOMINIO
A los elementos del dominio o codominio los llamamos: VARIABLES

6. DEFINICIONES Y NOTACIONES
CONVENCIÓN DE NOMBRES Y SÍMBOLOS
Si y representa el valor obtenido de aplicar f a un x de A entonces:
lo llamamos
y
lo indicamos
imagen de x por f
( )y f x=
Símbolo que usamos para
enfatizar la función aplicada ( f ) y,
la variable elegida ( x )
f(x) se usa también para dar la ley de la función
La ley de f se puede dar a través de indicar como
se procede para obtener la imagen de f, para un
x genérico del dominio.
Si el dominio es finito, la ley de f se dar
indicando la imagen de x por f para cada uno de
los elementos del dominio
Indica que f actúa “duplicando” el
valor de x
( ) 2f x x=
   , ; 2,1
:
( ) 2
( ) 1
A a b B
f A B
f a
f b
= =
→
=
=

7. DEFINICIONES Y NOTACIONES
FORMAS DE INFORMAR FUNCIONES
ALGEBRAICAMENTE
NUMÉRICAMENTE
GRÁFICAMENTE
VERBALMENTE
2
( )
o o
y f t
y y v t at
=
= + +
t (min.) 0 5 10 15 20 25 30
τ (ºK ) 314.94 319.54 325.85 332.20 338.45 344.55 350.90
Juan, que es dueño de un negocio, comenta a su
vecino que dado el aumento del costo de vida va a
tener que aumentar en un 20% los precios de la
mercadería que vende. Agrega que la tarea va a ser
fácil ya que en la actualidad los precios son todos
valores enteros entre 5 y 15, excepto 10, ya que los
artículos de $10 los vendió todos
0.2n a ap p p= +

8. DEFINICIONES Y NOTACIONES
FORMAS DE VISUALIZAR FUNCIONES
APLICACIÓN
DIAGRAMAS DE
VENN
DIAGRAMAS DE
CORRESPONDENCIA
GRAFICOS
CARTESIANOS
:f A B→
DIAGRAMAS DE
MÁQUINA

9. GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN
Llamamos gráfica de f al conjunto de todos
los pares ordenados cuya primera
componente es un elemento x del dominio y
su segunda componente, la imagen de x por
f es:
( )  ( ) graf , / , ( ) , ( ) /f x y x A y f x x f x x A=  = = 
Eje horizontal ↔variable independiente ↔dominio
Eje vertical ↔ variable dependiente ↔imagen

10. GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN
Si P pertenece a la gráfica de la
función f entonces, si su abscisa es a,
su ordenada es f(a)
( ), graf. . ( )P a b f a D f y b f a   =
Eje horizontal ↔dominio →
Eje vertical ↔imagen → b eje y
a eje x
Una curva plana C es el gráfico de una función de x si y solo sí
ninguna recta vertical corta a la curva en mas de un punto

11. GRÁFICO DE UNA FUNCIÓN
Sea C = graf f; entonces:
• Dn = Proyección de C sobre el eje x.
• Im = Proyección de C sobre el eje y.

12. SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓN
La parte del gráfico que corresponde a
los valores negativos de x se refleja a
través del eje y sobre la parte que
corresponde a los valores positivos de
x.
f es simétrica respecto al eje y.
Función Par: Una función f se
dice que es par si y sólo si:
( ) ( ); ff x f x x D− =  

13. SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓN
La parte del gráfico que corresponde a
los valores negativos de x se puede
obtener girando 180º alrededor del
origen, la parte correspondiente a los
valores positivos de x.
f es simétrica respecto al origen 0.
Función Impar: Una función f se
dice que es impar si y sólo si:
( ) ( ); ff x f x x D− = −  

14. SIMETRÍA DE UNA FUNCIÓN
✓Una función podrá ser par o impar si
y sólo si su dominio es simétrico
respecto del origen.
✓La función podrá ser impar si y solo
si f(0) = 0.
✓La propiedad de ser par o impar está
ligada a la simetría de la gráfica. Es
decir que si la gráfica no es
simétrica, la función no es par ni
impar.

15. MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN
Función Creciente: Decimos que
f es una función creciente en D,
si y sólo si:
1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )fx x D si x x entonces f x f x   

16. MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN
Función Decreciente: Decimos
que f es una función decreciente
en D, si y sólo si:
1 2 1 2 1 2, ; ( ) ( )fx x D si x x entonces f x f x   

17. MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN
➢Si ꓯ x1 < x2 resulta f(x1) < f(x2) entonces decimos que la función es
estrictamente creciente en D.
➢Si ꓯ x1 < x2 resulta f(x1) > f(x2) entonces decimos que la función es
estrictamente decreciente en D.
➢Cuando sólo queremos indicar que la función tiene un
comportamiento definido en D; o sea que en todo su dominio no
cambia el sentido en que se desarrolla, decimos que la función es
monótona en D.
➢La monotonía es una propiedad que depende del dominio.

18. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
DESPLAZAMIENTO VERTICAL.
Si sumas una constante k a una función de gráfica
conocida y = f(x), se produce un desplazamiento k
unidades hacia arriba de la gráfica de la función
original.
Si restas una constante k el efecto que produce es un
desplazamiento k unidades hacia abajo de la gráfica de
la función original.
( ) ( )g x f x k= + ( ) ( )g x f x k= −

19. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL.
Si sumas una constante k a la variable independiente x
de una función de gráfica conocida y = f(x), se produce
un desplazamiento k unidades hacia la izquierda de la
gráfica de la función original.
Si restas una constante k el efecto que produce es un
desplazamiento k unidades hacia la derecha de la
gráfica de la función original.
( ) ( )g x f x k= + ( ) ( )g x f x k= −

20. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
REFLEXIÓN VERTICAL.
Multiplicar una función por -1 es equivalente a cambiar
el signo de todas sus imágenes (valores de y). Con lo
cual obtenemos la simétrica de la señal original
respecto al eje de abscisas.
( ) ( )g x f x= −

21. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
REFLEXIÓN HORIZONTAL.
Dada una función f(x) su simétrica respecto al eje y se
obtiene cambiando x por –x en la representación
analítica de la original.
( ) ( )g x f x= −

22. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
EXPANSIÓN Y CONTRACCIÓN VERTICAL
Se puede expandir o contraer una función en el eje y
multiplicándola por un número k mayor que uno o
entre cero y uno respectivamente.
( ) ( )g x k f x= 
Si k > 1, la función se dilata en el eje y.
Si 0 < k < 1, la función se contrae en el eje y.

23. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES
EXPANSIÓN Y CONTRACCIÓN HORIZONTAL
Se puede expandir o contraer una función en el eje x
multiplicándola por un número k.
( ) ( )g x f k x= 
Si k > 1, la función se contrae en el eje x.
Si 0 < k < 1, la función se expande en el eje x.

24. TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES

25. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
Según su Forma
Algebraicas
Función
Constante.
Función Lineal
Función
Cuadrática
Función Cúbica
Función Cuártica
Trascendentes
Trigonométricas
Logarítmicas
Exponenciales
Trigonométricas
Inversas
( )f x a=
( )f x mx b= +
2
( )f x ax bx c= + +
3 2
( )f x ax bx cx d= + + +
4 3 2
( )f x ax bx cx dx e= + + + +
( ) Sin( )f x x=
( ) log( ) 2f x x= +
1
( ) x
f x e −
=
( ) arcsin( )f x x=

26. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
Según su
Gráfica
Continuas
Discontinuas
( ) Sin( )f x x=
( ) Tan( )f x x=

27. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
Según su
Monotonía
Crecientes
Decrecientes

28. CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
Según la relación
entre Dominio y
Contradominio
Funciones
Inyectivas
Funciones
Suprayectivas
Funciones
Biyectivas

29. OPERACIONES CON FUNCIONES
• Al operar algebraicamente con dos funciones f y g obtenemos las
siguientes funciones:
FUNCIÓN SUMA : ; ley ( ) ( ) ( )
FUNCIÓN RESTA : ; ley ( ) ( ) ( )
FUNCIÓN PRODUCTO : ; ley ( ) ( ) ( )
FUNCIÓN COCIENTE : / ; ley ( ) ( ) / ( )
S S f g S x f x g x
R R f g R x f x g x
P P f g P x f x g x
C C f g C x f x g x
• = + → = +
• = − → = −
• =  → = 
• = → =
n f gD D D=
 / ( ) 0n f gD D D x g x = − = 

30. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
( )
( ); ( )
( )
y f u u g x
y f g x f g
= =
= =

31. PREGUNTAS