1) El documento discute nuevos enfoques metodológicos en la enseñanza de la geometría utilizando geometría dinámica con el programa CABRI. 2) Las ventajas de este enfoque incluyen permitir figuras dinámicas en lugar de estáticas, ir a cualquier fase de una construcción y permitir aprendizaje individualizado. 3) El documento también analiza cómo la geometría dinámica puede ayudar a superar obstáculos en el aprendizaje de geometría.

1. XVI CONGRESO INTERNACIONAL
DE INGENIERÍA GRÁFICA
NUEVOS PLANTEAMIENTOS METODOLOGICOS EN LA
ENSEÑANZA DE LA GEOMETRIA. GEOMETRIA DINAMICA CON
CABRI
GOMEZ GABALDÓN, José Arquímedes
Universidad de Alicante, España
Escuela Politécnica Superior. Departamento de Expresión Gráfica..
Arquimedes.Gómez@ua.es
RESUMEN
El desarrollo de las nuevas tecnologías y la existencia de nuevos recursos en las aulas, impone
cambios metodológicos cada vez mas alejados de la tradicional pizarra.
En este sentido las aplicaciones desarrolladas a través de la utilización de un programa de
geometría dinámica como CABRI II nos permiten alejarnos de las exposiciones estáticas en
pizarra.
Las ventajas sobre sistemas quot;convencionalesquot; de enseñanza son innegables dado que:.
A)Posibilita que las figuras adquieran vida propia mediante el movimiento. B) Permite ir a una
fase del dibujo cualquiera que sea el momento de la exposición en la que nos encontremos.
C)Permite aplicaciones para geometría en 2D y 3D. D)Permite un aprendizaje individualizado
ya que los diferentes dibujos realizados son susceptibles de ser colgados en la red mediante un
applet en Java para que el alumno pueda repasar, desde su casa, la construcción paso a paso de
acuerdo al ritmo que su aprendizaje impone.
Palabras clave: Geometría dinámica, CABRI, metodología.
ABSTRACT
The development of new technologies and the existence of new resources in the classrooms,
imposes methodological changes increasingly removed from the traditional blackboard.
In this respect the applications developed across the utilization of a program of dynamical
geometry as CABRI II allow us to move away from the static exhibitions in blackboard.
The advantages on quot;conventionalquot; systems of education are undeniable since: a) Makes
possible that figures acquire own life by means of the movement. B) There allows to go to a
phase of the drawing whatever is the moment of the exhibition in which we are. C) Allows
applications for geometry in 2D and 3D. D)Allows an individualized learning since the
different made drawings are susceptible of being hung on the net by means of an applet in Java
in order that pupils can revise, from their houses, the construction step by step in agreement to
the pace that their learning imposes.
1. Key words: Dynamic geometry, CABRI, methodology.

2. 1.Introducción
El desarrollo de nuevas tecnologías ha llevado consigo que el docente se plantee
nuevas estrategias metodológicas para el desarrollo de su labor.
Una reducción en el número de créditos con los que contamos para el desarrollo de
nuestras asignaturas obliga, si cabe aún mas, a que se haga necesario buscar nuevos
caminos experimentales con los que seamos capaces de encorsetar los contenidos que
creemos imprescindibles que el alumno debe recibir dentro de su formación como
ingeniero.
Frente a la pizarra que, cada vez , va teniendo un papel mas secundario dentro del
proceso de enseñanza, se han ido imponiendo otros métodos que intentaban paliar las
carencias que, a todas luces, tenía aquella. Proyectores de diapositivas, de
transparencias fueron un correcto complemento para el desarrollo de las exposiciones
dentro de las clases, sin embargo, seguían teniendo fuertes limitaciones:
• Daban como resultado figuras estáticas con las que únicamente se podía mostrar el
resultado final y no las fases de realización, so pena de invertir esfuerzo y dinero
en la creación de aquellas.
• El distinto ritmo de aprendizaje de cada alumno hacía que algunos quedaran
quot;descolgadosquot; durante la exposición y fuera necesario retomar en pizarra el punto
en que se había producido esa quot;ruptura quot; obligaba a borrar lo realizado.
• Modificar las condiciones del ejercicio en quot;tiempo realquot; era algo imposible, puesto
que la secuencialidad del desarrollo obligaba a retomar desde el inicio cualquier
variación que se quisiera introducir en la exposición.
Sólo he nombrado algunos de los inconvenientes con los que nos hemos encontrado en
el desarrollo de nuestras clases sin contar la preparación previa de clases en el que
modificar un ejercicio quot;tipoquot; significa la reelaboración y redibujo del ejercicio en
cuestión.
Hasta aquí me he centrado en los aspectos que son inherentes al profesor pero es que
las dificultades con los métodos tradicionales no solo afectan a aquel, también el
alumno se ve desasistido en su tarea desde casa, solamente paliada con la asistencia a
las tutorías.
2.Geometría Dinámica.
Los programas de geometría dinámica, en esencia, permiten llevar a cabo dos tipos de
acciones de carácter independiente (LSD94):

3. • Tratamiento y control perceptivo basado en el reconocimiento de formas o de
fenómenos como la alineación, la perpendicularidad, el paralelismo.
• Tratamiento y control por los conocimientos teóricos de geometría, que permiten
explicar, predecir, producir.
La interacción entre percepción y geometría se da cuando se utilizan las funciones de
los programas para verificar las observaciones.
Características importantes de estos programas son:
• Holística: poder ver una situación en forma global, visualizando configuraciones
con relaciones entre diversos elementos.
• Dinamismo: permite animar las configuraciones y observar los cambios.
Por otro lado, se produce interacción entre dos aspectos: la investigación de un
problema (donde se despliegan cualidades de invención, de originalidad, de
adaptación) y la tarea técnica (que exige método, precisión y minuciosidad).
Estos programas permiten generar figuras por su nombre, construirlas especificando
partes y propiedades o dando las medidas, realizar transformaciones en forma
interactiva, medir y utilizar las medidas (para realizar operaciones aritméticas, para
usarlas en la misma construcción). Su utilización fuerza a los alumnos a ser precisos y
a conocer definiciones, generando conflictos entre su intuición y la construcción que
aparece en pantalla. AZINIAN 97.
Los alumnos pueden plantear conjeturas y verificarlas. La prueba, mas que por su
función tradicional de verificación, es percibida como útil y necesaria por los alumnos
como actividad explicativa de la evidencia experimental.
Otra ventaja importante es la posibilidad de visualización de un lugar geométrico,
concepto de difícil visualización.
Los programas que tienen la posibilidad de registrar una secuencia de operaciones
(crear un algoritmo sin escribirlo) para luego reproducirlo, son de especial utilidad
para la enseñanza.
¿De que manera podemos implementar estos programas en el aula?. Este tipo de
programas posibilitan realizar construcciones, desplazar algunos elementos con el
ratón para validar, analizar relaciones: ¿qué varía? ¿por qué? ¿qué es lo que no varía?
¿por qué?. Por otra parte, la opción de quot;revisar construcciónquot; abre la posibilidad de
búsqueda de errores de construcción que afectan los resultados esperados.
.

4. 3.El proceso de aprendizaje de la geometría.
Con objeto de clarificar los obstáculos inherentes al aprendizaje de la geometría
trabajaremos dentro de la teoría propuesta por FISCHBEIN(1993), donde el objeto
geométrico es tratado como poseedor de dos componentes, uno conceptual y otro
figural. Una componente conceptual, a través del lenguaje escrito o hablado, con
mayor grado de formalismo dependiendo del nivel de axiomatización con la que se
esté trabajando, expresa propiedades que caracterizan una cierta clase de objetos. Una
componente figural corresponde a la imagen mental que asociamos al concepto, y que
en el caso de la Geometría, tiene la característica de poder ser manipulada a través de
movimientos como translación, rotación, y otros, pero manteniendo invariantes ciertas
relaciones. La harmonía entre estas dos componentes es la que determina la noción
correcta sobre el objeto geométrico.
La formación de la imagen mental, en el dibujo asociado al objeto geométrico
desempeña un papel fundamental. Para un alumno no es del todo claro que el dibujo es
una parte de la representación del objeto. Si por un lado el diseño es un soporte
concreto de expresión y entendimiento del objeto geométrico por otro lado, puede ser
un obstáculo a este entendimiento. Debido a que guarda características particulares
que no pertenecen al conjunto de condiciones geométricas que definen un objeto. Es
interesante observar que, dependiendo del estadio de desarrollo mental, los alumnos
trabajan meticulosamente buscando la perfección en el diseño, como si este fuese quot;un
objeto geométricoquot;, dejando las propiedades abstractas, que dan existencia al objeto,
en segundo plano. Así mismo, confunden características físicas del dibujo con
propiedades geométricas.
La interacción entre percepción y geometría se da cuando se utilizan las funciones de
los programas para verificar las observaciones.
Características.
A continuación se comentan algunas de las características mas importantes de este tipo
de programas. Programas informáticos como Cabri, Sketchpad, se mueven en esta
filosofía y aunque generalmente han sido quot;patrimonioquot; de matemáticos para la
explicación, esencialmente, de geometría tienen, sin embargo, una grandísima utilidad
para la docencia de temas desde una perspectiva del dibujo y geometría descriptiva.
• Modificación de configuraciones.
Las figuras pueden ser modificadas atendiendo a su posición, orientación, tamaño y
forma preservando o cambiando su estructura.
• Modificación por arrastre.

5. Las relaciones siguientes son generalmente invariantes durante transformaciones en
modo arrastre.: paralelismo, ortogonalidad,, proporcionalidad, simetría central,
simetría axial.
Tengamos presente que las figuras de la segunda pantalla se han obtenido sin mas que
variar los elementos de referencia de la primera es decir la recta r a la que era paralela
la s, la t a la que era paralela la u, modificando la figura F se modifica su
correspondiente F´ en la simetria axial, o modificando el punto A se modifica su
simétrico A´en la simetría central.
• Modificación por redefinición.
La redefinición de objetos posibilita que la estructura de una figura cambie con el
consecuente ahorro en las construcciones.
En el caso del ejemplo siguiente vemos como en la aplicación del teorema de
Dandelin basta con modificar un punto para que todo el dibujo se modifique.

6. Hay que reseñar que la modificación se hace en quot;tiempo realquot; lo cual implica que
podemos estar desarrollando la clase con una explicación a los alumnos y modificar el
parámetro deseado para que se reconfigure instantáneamente todo el ejercicio.
4.Impactos metodológicos en la enseñanza y aprendizaje de la geometría.
La utilización de sistemas con gráficos dinámicos nos llevan a nuevos métodos en el
aprendizaje de geometría plana, especialmente en:
• Resolución de problemas geométricos.
• Adquisición inductiva de teoremas geométricos y formación de conceptos.
• Aplicación e investigación de transformaciones.
• Investigación de relaciones funcionales de figuras geométricas.
• Simulación de movimiento.
Resolución de problemas geométricos.
Podemos citar como deficiencias en la resolución de problemas de construcción con
herramientas tradicionales:
Poco apoyo en la fase heurística del proceso de construcción.
Escasas posibilidades de corregir los resultados constructivos.
Nula posibilidad de cambiar la posición o tamaño del resultado de la construcción
parcial.
Ninguna posibilidad de repetir el proceso de construcción.
Nuevos métodos permiten:
Encontrar soluciones constructivas a través de medios heurísticos.
Definición de construcciones macro: Una macro se define basándose en una parte de
la figura. Una vez definida, la macro puede ser utilizada como cualquier otra
herramienta, y reproduce la construcción de esa parte usando los elementos de base
seleccionados por el usuario.
Así podríamos definir una macro para dibujar una elipse en la que los datos fueran dos
tangentes b y c, tres puntos A, B, C de la elipse. De esta manera una vez definida y
guardada dicha macro podría ser llamada en cualquier momento para su utilización, en

7. ese momento bastaría con indicar los datos que la macro espera: tres puntos y dos
rectas.
Adquisición inductiva de conceptos.
Los métodos tradicionales hacen que las configuraciones estáticas en la mayoría de los
casos sólo pueden ser hechos flexibles con imaginación (relaciones funcionales y una
relación dinámica a penas puede ser representada).
Con geometría dinámica se produce la variación interactiva de configuraciones
mediante el cambio de posiciones de los objetos constitutivos. Los objetos iniciales de
una construcción pueden ser movidos libremente mediante arrastre, de manera que
todos los objetos conectados siguen el movimiento de acuerdo a la construcción. La
transición de una configuración a la otra es continua (se produce un procesamiento en
tiempo real) de acuerdo con el movimiento del cursor.
Aplicación e investigación de transformaciones.
Las deficiencias en el tratamiento de las transformaciones utilizando herramientas
tradicionales suelen ser:
La no representación de la transformación como un todo.
El tiempo consumido en redibujar por variaciones de parámetros y por combinación
de transformaciones.
A través de la geometría dinámica existe una fácil generación de figuras dada la
facilidad de los sistemas dinámicos para su manipulación directa, definición de
macros, etc.

8. Imaginemos el caso del trazado de trocoides. Bastaría con modificar (arrastrando) el
valor del radio de la ruleta en este trazado de la cicloide para que automáticamente se
redefinieran los valores y tuviéramos redibujada la nueva cicloide.
Investigación de relaciones funcionales en figuras geométricas.
Los lugares geométricos son especialmente indicados para el examen e ilustración de
relaciones funcionales en figuras geométricas.
Las deficiencias de sistemas tradicionales en la generación de lugares geométricos
son:
El tiempo consumido en la repetición del mismo proceso de construcción.
Interpolación a mano alzada poco segura.
De a cuerdo con programas de geometría dinámica: la manipulación directa en la
generación de lugares geométricos mediante movimientos individuales de un punto
sujeto a ciertas restricciones, produce la generación de puntos de la curva punto a
punto.

9. 5.Geometría dinámica y tutorías.
Un aspecto a tener en cuenta a la hora de aplicar este tipo de metodología es la
capacidad que tiene de ser aplicado en tutorías virtuales.
Existe la posibilidad de que cada alumno desde su puesto de trabajo informático pueda
acceder a una base de datos con ejercicios tipo, de manera que pueda:
• Ser capaz de repasar la construcción del ejercicio acomodando el ritmo de repaso
a su propio ritmo de aprendizaje.
• Ser capaz de interactuar con las figuras posibilitando generar diversos tipos de
ejercicio a partir de uno tipo.
En caso de utilizar el programa Cabri éste posibilita crear un applet en Java a partir de
la figura en Cabri previamente realizada, una vez hecho ésto se puede colgar en la web
para ser utilizado por los alumnos.

10. 6.Conclusiones
Las presentes líneas no han pretendido ser sino una breve exposición de lo que la
utilización de programas de geometría dinámica puede significar para la enseñanza de
la Geometría dentro de las aulas.
Se ha adoptado una doble perspectiva por un lado se ha pretendido hacer ver las
ventajas que para el docente puede tener en su labor dentro del aula, mostrando la
simplificación que este tipo de programas produce en la explicación de los temas.
Por otro lado se ha intentado adoptar el punto de vista del alumno y las ventajas que
para su proceso de aprendizaje tienen estos programas.
Las tutorías han sido otro punto tratado y en ellas se ha intentado hacer ver las
posibilidades que para la tutoría virtual tiene el adoptar soluciones de este tipo.
Referencias.
AZINIAN, H. Resolución de problemas matemáticos. Visualización y manipulación
con computadora. Novedades Educativas. Buenos Aires. 1997.
FISCHBEIN, E, The theory of figural concepts Educational Studies in Mathematics,
pp.139-162. 1993.
LSD2 y otros Cabri-classe - Aprendre la geometrie avec un logiciel. Eds
Archimede.1994.