Este documento presenta información sobre probabilidades y estadística. Explica conceptos como el teorema de la suma y la probabilidad conjunta para eventos dependientes e independientes. Luego, proporciona varios ejemplos de cálculo de probabilidades utilizando estas fórmulas y conceptos. Finalmente, incluye 15 preguntas relacionadas con los temas explicados.

1. INSTITUCIÓN EDUCATIVA VISTA HERMOSA
DE SOLEDAD
Código
002
Proceso:
PRE-ICFES 2010
Procedimiento:
Página 1 de 2
MODULO DE PROBABILIDADES
PROFESOR: ING ALFONSO MORA GÓMEZ
Diseño de Placas
0RESPONDA LAS PREGUNTAS 6 A 8 DE ACUERDO CON
LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
El Ministerio de Transportes es la institución en Colombia
encargada de diseñar y establecer las características de la Un estudiante de 11C recoge datos con las edades de sus 25
placa única nacional para los vehículos automotores. A partir compañeros de curso y los organiza en filas de la siguiente
de 1990 las placas tienen tres letras y tres dígitos, debajo manera
llevan el nombre del municipio donde se encuentra matriculado
el vehículo. Para la fabricación de las placas se utilizan 27 17 15 17 15 16
letras y 10 dígitos. La empresa que fabrica las placas ha 17 16 15 17 17
comprobado que de una producción de 100 placas fabricadas 16 16 15 17 17
aproximadamente 5 tienen algún defecto. 16 17 16 15 17
16 15 15 17 16
1. EL numero total de placas distintas que se pueden fabricar
cuya parte inicial sea como se muestra en la ilustración es 6. ¿Con cuál de las siguientes opciones se podría diferenciar
la información recogida por el estudiante?
A. 20
B. 90
C. 100
D. 270
2. La primera letra de la placa de los carros particulares
matriculados en Bogotá es A o B. el numero total de placas
que pueden fabricarse para identificar carros particulares
matriculados en Bogotá es
2 3 7. El estudiante concluye que 2/5 de los estudiantes tienen 17
A. 27 x 10
3 2 años, esto significa que
B. 27 x 10
2 2
C. 2 x 27 x 10
2 3 A. 3/5 de los estudiantes son menores de 17 años
D. 2 x 27 x 10
B. por cada fila de cinco personas hay dos estudiantes de 17
años
3. Antes de 1990 las placas que se fabricaban tenían dos
C. de las cinco filas por lo menos dos son de estudiantes de 17
letras y cuatros dígitos. La razón entre el número total de
años
placas que pueden fabricarse en la actualidad y el número de
D. el 40 por ciento de los estudiantes tienen 17 años
placas que podían fabricarse antes de 1990 es
8. Un estudiante de 11B observa que su curso guarda las
8 9 10 27 mismas proporciones de número de estudiantes por edad. Si
A. B. C. D.
9 8 27 10 en 11B hay 12 alumnos cuya edad es de 17 años se puede
afirmar que
A. el número de estudiantes de 11B es 25
4. Si se escoge al azar una placa de una muestra de 100, la B. el número de estudiantes menores de 16 años es 18
probabilidad de que la placa escogida sea defectuosa es C. el número de estudiantes de 15 años está entre 8 y 10
D. el número de estudiantes de 11B es mayor que 25
1 1 1 1 DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN
A. B. C. D.
5 20 95 100 RESPONDA LAS PREGUNTAS 9 A 15
Mundiales de Fútbol
5. Para obtener 190 placas no defectuosas el número mínimo Cada cuatro años la FIFA (Federación Internacional Football
de placas que se deben fabricar es Association) realiza el Campeonato Mundial de Fútbol en el
que participan 32 selecciones.
A. 195.
B. 200. Las 32 selecciones se distribuyen mediante un sorteo, en 8
C. 209. grupos de 4 equipos cada uno. Para evitar un enfrentamiento
D. 290. entre favoritos, en la primera ronda eliminatoria los 8 grupos

2. considerados como los mejores se asignan como cabeza de
grupo. El promedio de goles por partido fue mayor en el campeonato
mundial de
En la primera ronda cada equipo juega una vez contra cada
uno de los demás equipos de su grupo y se eliminan dos A. España 82.
equipos de cada grupo. Entre los 16 clasificados se eliminan 8 B. México 86.
y en la siguiente ronda se eliminan 4. Entre los 4 que quedan C. Italia 90.
se determina el campeón, subcampeón, tercero y cuarto. D. Francia 98.
9. Si en la primera ronda de un campeonato, en uno de los 14. En la siguiente tabla se muestra el número total de partidos
grupos el promedio de goles anotados por partido fue de 2,5 jugados y la razón entre los promedios de tarjetas amarillas y
goles, el total de goles anotados en este grupo fue rojas de algunos de los campeonatos mundiales de fútbol.
A. 10
B. 15
C. 20
D. 24
10. La probabilidad de que en un mundial el equipo campeón,
no sea uno de los equipos cabeza de grupo es
7 1 3 1
A. B. C. D.
8 8 4 4
11. Antes de iniciar un campeonato una persona decide hacer
una apuesta sobre los 2 equipos que llegarán a la final.
¿Cuántas apuestas diferentes puede hacer?
A. 16
B. 36 La razón entre el número de tarjetas amarillas y el número de
C. 16 x 31 tarjetas rojas en el campeonato de Italia 90 fue
D. 32 x 31 aproximadamente de
12. A las semifinales de un campeonato llegan los equipos A 1, 52 162 171 312
A2, A3 y A4. el equipo A1 se debe enfrentar a A1, A2 y A4. los A. B. C. D.
ganadores disputarán el primer y segundo lugar y los 10 16 100 31
perdedores el tercero y cuarto ¿De cuántas maneras
diferentes estos equipos pueden ubicarse en el primer,
segundo, tercero y cuarto lugar?
15. En el campeonato mundial de Francia 98, Brasil anotó 14
A. 4 goles, Croacia 11, Holanda 13 y Francia 15. En total en este
B. 10 campeonato se anotaron 171 goles. La grafica que representa
C. 16 correctamente esta información es
D. 24
13. En la siguiente gráfica se muestra el número total de
partidos jugados y el número total de goles anotados en
algunos de los campeonatos mundiales de fútbol.

3. DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE INFORMACIÓN RESPONDA LAS PREGUNTAS 8 A 10
14. Hay sólo una bolita roja en cada una de estas bolsas.
Si tienes que sacar una bolita de cada bolsa sin mirar dentro, ¿qué bolsa nos ofrece más posibilidades de sacar la bolita
roja?
A. La bolsa con 10 bolitas.
B. La bolsa con 100 bolitas.
C. La bolsa con 1000 bolitas.
D. En todas las bolsas tenemos las mismas posibilidades.
10 bolitas 100 bolitas 1000 bolitas
15. Cada una de las seis caras de un cubo están pintadas de rojo o de azul. Al lanzar el cubo, la probabilidad de que quede
una cara roja arriba es ¿Cuántas caras son rojas?
A. Cinco.
B. Dos.
C. Tres.
D. Cuatro.
TEOREMAS FUNDAMENTALES DE LA TEORÍA DE PROBABILIDADES
1.-TEOREMA DE LA SUMA O DE LA “O “
Para su mejor estudio el teorema de la suma se divide en dos casos:
A.- Para sucesos Incompatibles (aquellos que no pueden ocurrir simultáneamente o al mismo tiempo) o Excluyentes; el
teorema se enuncia así:

4. ― Sean A y B dos eventos mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de obtener al menos uno de ellos, esto es
P(A o B) es igual a la probabilidad de A, o sea, P(A), más la probabilidad de B, es decir, P(B)―, simbólicamente así:
P(A o B) = P (A) + P(B).
Este teorema se puede generalizar para A, B, C,.................N, que se excluyan mutuamente y tienen P 1, P2, P3 , Pn,
probabilidades de ocurrir, así :
P(A o B o C o N) = P(A) + P ( B ) + P(C) +.....................+ P(N) . Ej.:
1.- Se saca al azar una carta de una baraja de 40 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un As o un Rey?
Solución: la probabilidad de sacar un as es 4/ 40 y la probabilidad de sacar un rey es 4 /40, luego la probabilidad
buscada se encontrará así: si se llama P(A)= 4 / 40 obtener un as y probabilidad de obtener un rey se le denominara
B, entonces P(B) = 4 / 40, entonces:
P(A o B) = P(A) + P(B), luego P(A o B) = 4 /40 + 4 / 40 = 8 / 40 = 1 / 5 = 0.200 = 20.0 %. .
B.- Si los eventos son Compatibles (aquellos que pueden verificarse simultáneamente, es decir cuando hay eventos que
son comunes o que hay intersección entre los sucesos) o no Mutuamente Excluyentes. El teorema se enuncia así:
―Sean A y B dos eventos compatibles, es decir eventos que tienen por lo menos un suceso simple en común; la
probabilidad de obtener al menos uno de ellos, esto es P(A o B) es igual a la probabilidad del evento A, es decir, P(A),
más la probabilidad de B, o sea P(B) menos la probabilidad de la intersección de ambos eventos, es decir P(A B)‖.
Simbólicamente se puede expresar así: P(A o B) = P(A) + P (B) P(A B). Ej.
2.- Se lanza una moneda y un dado al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara en la moneda o un dos en el
dado?
Solución: Si llamamos A, el evento de obtener una cara en la moneda y B, al suceso de obtener un 2 en el dado; el espacio
muestral de una moneda es 2, (cara y sello) mientras que el espacio muestral de un dado es seis, (1,2,3,4,5,6). El espacio
muestral de ambos eventos será la multiplicación de sus espacios muéstrales, es decir, 2x6 = 12. El gráfico nos indica el
espacio muestral de ambos eventos:
S 1S 2S 3S 4S 5S 6S
C 1C 2C 3C 4C 5C 6C
1 2 3 4 5 6
Eventos de A = 1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C , P(A) = 6 / 12; el evento B = C, 2S , luego P(B) = 2 / 12, los eventos
que son comunes a ambos, es decir, que se interceptan son:
A B = 2C , luego, P(A B) = 1 / 12, ahora se aplica el teorema de la suma para datos compatibles. Tenemos:
P(A o B) = P(A) + P(B) P(A B),
P(A o B) = 6 / 12 + 2 / 12 1 / 12 = 7 / 12 = 0.5883 = 58.33 %, por lo tanto, esa es la probabilidad buscada.
3.- Una caja contiene 100 bombillos, se sabe que hay 15 defectuosos. Se toman 2 bombillos aleatoriamente sin
remplazarlos. ¿Cuál es la probabilidad de que los 2 bombillos estén defectuosos?
Solución: Lo primero que se observa es un experimento sin reposición, por lo tanto la probabilidad a buscar es la conjunta para
eventos dependientes. Si se llama A, el evento de sacar el primer bombillo defectuoso, entonces la probabilidad de A será
P(A)= 15/100, y si llamamos B el suceso de sacar el segundo bombillo defectuoso, entonces su probabilidad será:
P(B) = P(B/A) = 14/99, esto es así por ser B un suceso dependiente de la ocurrencia de A, es decir, que al ocurrir el evento
A, entonces quedan en la caja 99 bombillos de los cuales solo 14 serán defectuoso. Ahora se aplica la fórmula de la
probabilidad conjunta para sucesos dependientes así:
P(A B) = P(A) P(B/A) = 15/100 x 14/99 = 21/ 990 = 0.0212 = 2.12 %, esta es la probabilidad conjunta buscada.
4.- Un comerciante recibe en su negocio una caja con un pedido que contiene 6 cepillos verde, 4 blancos y 5 azules. Se extraen
de la caja aleatoriamente 3 cepillos sin remplazarlos. ¿ Cuál es la probabilidad de que sean extraídos de la caja en el orden
verde, blanco y azul?.
Solución: Como la extracción de los cepillos de la caja es sin reemplazo, entonces los sucesos a obtener son eventos
dependientes. El total de cepillos es de 15; si se denomina con V el evento de extraer el primer cepillo verde, entonces su
probabilidad de extraerlo será P(V) = 6/15, si ahora se llama B el evento de sacar en la segunda extracción un cepillo blanco,

5. entonces su probabilidad de salir será P(B) =P(V(/B) = 4/14, esto es así por ser B un evento que depende de la ocurrencia de
V, por lo tanto al salir el primer evento verde en la caja quedan 14 cepillos, finalmente se denomina con A, el suceso de la
extracción del tercer cepillo que será azul y su probabilidad de salir es P(A) = P(A/V B) = 5/13, con estos datos se aplica la
siguiente fórmula:
P(V B A ) = P(V) P(B/V) P(A/V B) = 6/15 x 4/14 x 5/13 = 4/91 = 0.0440 = 4.40 %, esta es la probabilidad conjunta
buscada.
5.- Se tiene una caja con 20 fusibles, se sabe que 5 fusibles están defectuosos. Se eligen al azar 2 fusibles y se retiran de la
caja en forma sucesiva sin remplazar al primero. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos fusibles sean defectuosos?
Solución: De acuerdo con el planteamiento del problema se trata de una probabilidad conjunta para eventos dependientes, ya
que el mismo es sin sustitución. Si se denomina con A, el evento de sacar el primer fusible defectuoso, entonces la probabilidad
de ocurrencia será:
P(A) = 5/20, si ahora llamamos B el suceso de sacar el segundo fusible defectuoso, la probabilidad de ocurrencia será: P(B) =
P(B/A) = 4/19, esto es así debido a que el evento B depende de la ocurrencia de evento A y como se sabe que ocurrió A,
entonces en la caja quedan 19 fusibles de los cuales 4 son defectuosos. Ahora aplicamos la fórmula de la probabilidad
conjunta para sucesos dependientes así:
P(A B) = P(A) P(B/A) = 5/20 x 4/19 = 1/19 = 0.0526 = 5.26 %, esta es la probabilidad de sacar 2 fusibles defectuosos
consecutivamente.
TEOREMA 1 (Ley del binomio).- Sea P la probabilidad de acertar y q = 1 P la probabilidad de fallar en un suceso
de una prueba. Entonces la P1 de exactamente r aciertos en n pruebas repetidas está dada por La fórmula
P1 = C (n, r) pr qn r
, si r n.
En esta fórmula n es el número total de suceso, r es el número total de aciertos, n 1 es el número total de fallar, C es la
combinación de los eventos n y r, p es la probabilidad de acertar un evento determinado, q es la probabilidad de fallar y P1
es la probabilidad buscada. Recuerde que en los problemas donde se aplica este teorema la palabra EXACTAMENTE es la
clave. Ej.
6.- Calcular la probabilidad de obtener exactamente 3 cuatros en 5 lanzamientos de un dado normal.
Solución: Cada tiro del dado es una prueba, llamaremos acertar el acto de obtener un cuatro. La probabilidad de obtener un 4 en
el dado o acertar es de 1/6, entonces p = 1/6, la probabilidad de no obtener un 4, es decir, la probabilidad de fallar es:
1 1/6 =5/6 = q, como n = 5, r = 3, n r = 2, p =1/6, C(5,3) = 10, ahora se aplica la fórmula del teorema 1 así :
P1 = C (n, r) pr qn r
3 2
1 5 10x 25 250
P1 10 0.0322
6 6 65 7776
0.0322 = 3.22 %, esta es la probabilidad buscada.
7.- Una moneda de $100 se lanza 8 veces al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 6 caras?
Solución: Es muy importante que observe en este tipo de problemas la palabra clave: exactamente, tal y como lo anuncia el
teorema 1.. En un lanzamiento de una moneda la probabilidad de obtener una cara es de 1/2 y la probabilidad de fallar es
también de 1/2, por lo tanto p = q = 1/2.
En este problema n = 8, r = 6, n r = 2, p = q = ½, aplicando la fórmula del teorema 1 se tiene:
6 2
1 1 8x7 x18 28
P1 C n,r p r q n r
C 8, 6 0.1094 10.94.%,.. ..es..la. probabilidad
que
2 2 2 x1x28 256
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
Si una operación puede efectuarse de n maneras diferentes y realizada una cualquiera de ellas, una segunda operación
puede efectuarse de p maneras distintas, entonces el número total (N) de maneras diferentes en que pueden realizarse, a
la vez, ambas operaciones es:
N = n p

6. 8. Ejemplo:
Un matrimonio decide comprar un radio y una cocina. Si en el lugar donde harán la compra hay 4 tipos de radio y 2
clases de cocina ¿de cuántas maneras distintas pueden realizar la compra de ambos objetos a la vez?
Respuesta: N = 4 2 = 8
2.3.- Variaciones
Llamamos "variaciones de n elementos tomadas de r en r" al número de grupos de r elementos, r n, que se pueden
formar con los n elementos que tenemos, teniendo en cuenta que influye el orden de estos elementos de manera que dos
grupos de iguales elementos se pueden diferenciar en el orden de los elementos de los mismos.
La situación es similar a la de las permutaciones, pero aquí no utilizamos todos los elementos.
9. Ejemplo: En una carrera de carros (50 carros) queremos saber el número de formas distintas en que se pueden repartir
los premios (1º, 2º y 3º)... Serían las variaciones de 50 elementos tomados de 3 en 3.
2.4.- Variaciones con repetición
Es exactamente lo mismo que las variaciones pero en este caso se pueden repetir los elementos. Se toman n elementos
tomados de r en r.
10. Ejemplo: Calcular las distintas maneras de colocar las tres letras: A, B y C de tal forma que se agrupen de dos en dos.
AB- BA- AA
BC- CB- BB
AC- CA- CC
2.5.- Combinaciones
Las "combinaciones de n elementos tomadas de r en r" se definen como el número de grupos de r elementos que se
pueden formar con los n elementos de manera que difieran solamente en alguno de los elementos, de tal forma que no
influye el orden (al contrario que en las variaciones), es decir, que AB es el mismo grupo que BA.
11. Ejemplo:
Un alumno puede elegir entre tres de las cinco Pruebas de Conocimientos para seleccionar su carrera universitaria. ¿De
cuántas maneras distintas puede elegir esas tres pruebas?
Respuesta:
5 5!
C 3 10
3! 2!
Es decir, que tendríamos que echar 13.983.816 apuestas de 6 números para tener la seguridad al 100% de que íbamos a
acertar.
EJERCICIOS DE ANÁLISIS COMBINATORIO
Realiza las operaciones necesarias y explica brevemente la situación dada, es bueno que en algunos casos ejemplifiques

7. 1) ¿Cuántas parejas diferentes compuestas por una mujer y un hombre se podrían formar a partir de 6 hombres y 5
mujeres?
R: 5 × 6 = 30
2) ¿Cuántos tríos diferentes compuestos por un hombre, una mujer y un niño se pueden formar a partir de 4
hombres, 5 mujeres y 3 niños?
R: 4 × 5 × 3 = 60
3) En una canasta hay 5 frutas diferentes y en otra canasta hay 3 verduras distintas. ¿De cuántas maneras se puede
elegir una fruta y una verdura?
R: 5 × 3 = 15
4) ¿Cuántas palabras diferentes, con o sin significado, se pueden formar con las letras: A, L, E y C, sin que
ninguna letra se repita ni falte?
R: 4! = 24
5) ¿Cuántas permutaciones simples pueden hacerse con las letras de la palabra LEGAR?
R: 5! = 120
6) ¿Cuántas de esas permutaciones comenzarán con una consonante?
R: 3 × 4! = 72
7) ¿Cuántas comenzarán con una vocal?
R: 2 × 4! = 48
8) ¿Cuántas comenzarán con la letra A?
R: 4! = 24
9) Se tienen 10 bolitas de igual tamaño, 3 son de color rojo, 2 de color azul y 5 de color verde. ¿De cuántas
maneras diferentes se pueden ordenar en fila esas 10 bolitas?
R: 10!
—————— = 2520
3! × 2! × 5!
10) ¿Cuántas de esas permutaciones comenzará con una bolita verde?
R: 9!
—————— = 1260
3! × 2! × 4!
11) ¿Cuántas terminarán con una bolita roja?
R: 9!
—————— = 756
2! × 2! × 5!
12) ¿Cuántas comenzarán con una bolita azul y terminarán con una bolita verde?
R: 8!
———— = 280
3! × 4!
13) ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes pueden formarse con los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5?
R: 5!
—— = 60
2!
14) ¿Cuántas palabras de 3 letras, con o sin significado, pueden formarse con las letras de la palabra COMA?
R: 4! = 24
15) Una empresa ferroviaria tiene 6 estaciones. ¿Cuántos tipos diferentes de boletos, donde se indique la estación de
salida y de llegada, deben imprimirse?
R: 6 × 5 = 30
16) ¿Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con los dígitos: 5, 6, 7, 8 y 9?
R: 5 3 = 125
17) ¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse con los diez dígitos?
R: 9 × 10 = 90

8. 18) ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir una comisión de 5 miembros a partir de 8 personas.
R: 8!
———— = 56
5! × 3!
19) ¿Si una persona determinada debe estar siempre incluida?
R: 7!
———— = 35
4! × 3!
20) ¿Si una persona determinada debe estar siempre excluida?
R: 7!
———— = 21
5! × 2!
21) ¿Si una persona determinada debe estar siempre incluida y otra siempre excluida?
R: 6!
———— = 15
4! × 2!
22) ¿de cuantas formas distintas se puede elegir el presidente y el personero entre 5 candidatos?
R: 5! = 20
( 5 – 2 )!
23) Con los dígitos 1,2 ,3 ,4 ,5 y 6 ; ¿cuántos números distintos de dos cifras se podrán formar, si cada
número se puede repetir?
R: 62 = 36
24) ¿Cuántas ensaladas diferentes se pueden preparar con tomate, cebolla, aguacate, pepino, lechuga y
remolacha, si cada plato debe tener 3 ingredientes?
R: 6! = 20
(6 – 3 ) 3!