Variables Lingüísticas, Variables Difusas y Reglas Difusas

1. MÓDULO II: Fundamentos de la Lógica
Difusa
Tema 3: Variables Lingüísticas, Variables
Difusas y Reglas Difusas
Tema 3: Variables Lingüísticas, Variables
Difusas y Reglas Difusas
1. Variables lingüísticas.
1.1. Definición.
1.2. Modificadores lingüísticos.
1.3. Consideraciones generales.
2. Variables difusas.
3. Reglas difusas. Operadores de implicación.
Interpretación.
Índice

2. Tema 3: Variables Lingüísticas, Variables
Difusas y Reglas Difusas.
Objetivos:
Comprender el concepto de variable lingüística,
modificadores lingüísticos, variable difusa y su uso
para manejar conceptos expresados
lingüísticamente.
Conocer el concepto de regla difusa, distintas
interpretaciones de la misma, junto con sus
propiedades y fórmulas de cálculo.
Repasar las reglas de inferencia básicas y
comprender su generalización a proposiciones
difusas.
Índice
1. Variables lingüísticas
1.1. Definición
Son variables cuyos valores se representan mediante
términos lingüísticos. El significado de estos términos
lingüísticos se determina mediante conjuntos difusos.
MB B M A MA
Edad
MB B M A MA
1. Variables lingüísticas
1.1. Definición

3. 1.1. Definición
Proporcionan una transición gradual de estados
Tienen capacidad para expresar y trabajar con
observaciones y medidas de incertidumbre
Por capturar medidas de incertidumbre son más
ajustadas a la realidad que las variables nítidas
Albert Einstein (1921): “Tan cerca como se refieran las
leyes matemáticas a la realidad no son ciertas, y tan
lejos como sean ciertas no se refieren a la realidad”
1. Variables lingüísticas
1.1. Definición
1.1. Definición
Una variable lingüística se caracteriza mediante
(v, T, X, g, m)
v es el nombre de la variable
T es el conjunto de términos lingüísticos de v
X es el universo de discurso de la variable v
g es una regla sintáctica para generar términos
lingüísticos, y
m es una regla semántica que asigna a cada término
lingüístico t su significado m(t) que es un conjunto
difuso en X
1. Variables lingüísticas
1.1. Definición

4. 1.1. Definición
Ejemplo:
Rendimiento
Muy bajo Bajo Medio Alto Muy alto
v
1. Variables lingüísticas
1.1. Definición
1.1. Definición
Ejemplo:
Rendimiento Variable lingüística
Muy bajo Bajo Medio Alto Muy alto
v
1. Variables lingüísticas
1.1. Definición

5. 1.1. Definición
Ejemplo:
Rendimiento Variable lingüística
Lingüísticos
Términos
Muy bajo Bajo Medio Alto Muy alto
v
1. Variables lingüísticas
1.1. Definición
1.1. Definición
Ejemplo:
Rendimiento Variable lingüística
Lingüísticos
Términos
Muy bajo Bajo Medio Alto Muy alto
Regla
semántica
v
1. Variables lingüísticas
1.1. Definición

6. 1.1. Definición
Ejemplo:
Rendimiento Variable lingüística
Lingüísticos
Términos
Muy bajo Bajo Medio Alto Muy alto
Regla
semántica
Restricciones
Difusas
v
1. Variables lingüísticas
1.1. Definición
1.1. Definición
Ejemplo:
Rendimiento Variable lingüística
Lingüísticos
Términos
Muy bajo Bajo Medio Alto Muy alto
Regla
semántica
Restricciones
Difusas
v Variable Base
1. Variables lingüísticas
1.1. Definición

7. 1.2. Modificadores lingüísticos
Son operadores unarios que se aplican a conjuntos
difusos.
Un modificador lingüístico es un operación unaria
h: [0,1] [0,1]
Ejemplos: “Muy”, “más o menos”, “bastante”,
“extremadamente”, etc.
No son aplicables a conjuntos nítidos.
1. Variables lingüísticas
1.2. Modificadores lingüísticos
1.2. Modificadores lingüísticos
Definiciones comunes de algunos modificadores
lingüísticos:
“Muy”: h(a ) = a 2 , a ∈ [0,1]
“Más o menos”: h( a ) = a , a ∈ [0,1]
1. Variables lingüísticas
1.2. Modificadores lingüísticos

8. 1.2. Modificadores lingüísticos
Si h(a) < a, el modificador h se denomina
modificador fuerte.
Si h(a) > a, el modificador h se denomina
modificador débil.
Propiedades de los modificadores:
1. h(0) = 0 y h(1) = 1
2. h es una función continua
3. Si h es fuerte, h-1 es débil
4. Dado otro modificador g, cualquier composición de h
con g y viceversa, es un modificador
1. Variables lingüísticas
1.2. Modificadores lingüísticos
1.2. Modificadores lingüísticos
Si h(a) < a, el modificador h se denomina
modificador fuerte.
Si h(a) > a, el modificador h se denomina
modificador débil.
hα (a ) = aα , α ∈ ℜ + , a ∈ [0,1]
Propiedades de los modificadores:
1. h(0) = 0 y h(1) = 1
Si α continua
2. h es una función < 1 el modificador es débil
Si α 1 débil
3. Si h es fuerte, h-1>esel modificador es fuerte
4. Dado otro modificador g, cualquier composición de h
con g y viceversa, es un modificador
1. Variables lingüísticas
1.2. Modificadores lingüísticos

9. 1.3. Consideraciones generales
Con el uso de modificadores lingüísticos se debe
evitar la ambigüedad.
Los modificadores lingüísticos y los conectivos
permiten obtener un amplio conjunto de términos
compuestos que amplían la potencia descriptiva de la
variable lingüística.
Si el nº de términos de una variable aumenta
indefinidamente se llegará a la indistinguibilidad
semántica de alguno de ellos.
Granularidad (Lofti Zadeh): Nivel de distinción entre
los distintos niveles de incertidumbre contenida en las
variables lingüísticas de forma que se pueda
representar correctamente la distinción que desea el
usuario.
1. Variables lingüísticas
1.3. Consideraciones generales
2. Variables difusas
Concepto análogo al de variable lingüística
Toman como valores conjuntos difusos aunque éstos
no tienen asociada una descripción lingüística.
Útiles en situaciones en las que sea más importante
la precisión que la descripción lingüística.
Se caracteriza mediante (U , X, R(U,x))
U es el nombre de la variable
X es el universo de discurso
x es un nombre genérico para los elementos de X
R(U,x) es un conjunto difuso en X que representa una
restricción en los valores de X impuesta por x.
2. Variables difusas

10. 3. Reglas difusas. Operadores de
implicación. Interpretación.
El conocimiento humano se expresa en términos de
reglas difusas SI_ENTONCES
SI <proposición difusa>
ENTONCES <proposición difusa>
Tipos de proposiciones difusas:
Atómicas: x es A, donde x es una variable
lingüística y A es un valor lingüístico
Compuestas: Composición de proposiciones
difusas atómicas con las conectivas “y”, “o” o “no”,
representando intersección, unión y complemento
difuso, respectivamente
3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación.
3. Reglas difusas. Operadores de
implicación. Interpretación.
Ejemplos:
El error es Negativo-Grande
La interpretación o significado de una proposición
difusa atómica se define mediante la función de
pertenencia del conjunto difuso Negativo-Grande
El grado de pertenencia de un error concreto al
conjunto difuso Negativo-Grande determinará el
grado con que se verifica la proposición difusa
3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación.

11. 3. Reglas difusas. Operadores de
implicación. Interpretación.
Ejemplos de proposiciones difusas compuestas:
X es A o X no es B
X es A y X es B
X no es A y X no es B
(X es A y X no es B) o X es C
X es A y Y es D
En una proposición difusa compuesta pueden estar
implicadas variables distintas
Las proposiciones difusas compuestas se pueden
considerar relaciones difusas
3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación.
3. Reglas difusas. Operadores de
implicación. Interpretación.
¿Cómo determinamos la interpretación de estas
relaciones difusas? ¿Cómo determinamos la función
de pertenencia?
Para las conectivas “y” se deben utilizar intersecciones
difusas
X es A y Y es B
µ A∩ B ( x, y ) = T [ µ A ( x), µ B ( y )]
Para las conectivas “o” se deben utilizar uniones difusas
X es A o Y es B
µ A∪ B ( x, y ) = S[ µ A ( x), µ B ( y )]
Para las conectivas “no” se deben utilizar complementos
difusos
3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación.

12. 3. Reglas difusas. Operadores de
implicación. Interpretación.
Proposiciones difusas condicionales
(Reglas Difusas)
Ejemplo: SI el error es Negativo-Grande
ENTONCES u es Negativo-pequeño
El significado se representa mediante una relación
difusa entre el error y la variable de salida U
La función de pertenencia de esta relación difusa se
determina mediante un operador de implicación
difuso
3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación.
3. Reglas difusas. Operadores de
implicación. Interpretación.
Algunos operadores de implicación difusos:
Larsen µ R ( x, y ) = µ A ( x ) ⋅ µ B ( y )
Mamdani µ R ( x, y ) = min{µ A ( x), µ B ( y )}
Dienes-Rescher µ R ( x, y ) = max{1 − µ A ( x), µ B ( y )}
Lukasiewicz µ R ( x, y ) = min{1, 1 − µ A ( x) + µ B ( y )}
Zadeh µ R ( x, y ) = max{min{µ A ( x), µ B ( y )}, 1 − µ A ( x)}
⎧ 1, si µ A ( x) ≤ µ B ( y )
Gödel µ R ( x, y ) = ⎨
⎩µ B ( y ), e.o.c.
3. Reglas difusas. Operadores de implicación. Interpretación.

13. Bibliografía
Básica:
[kli95] G. Klir y B. Yuan. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic. Theory and
Applications. Prentice Hall PTR, 1995.
[wan97] L.X. Wang. A Course in Fuzzy Systems and Control.
Prentice-Hall, 1997.
Complementaria:
[bat00] I. Baturone, A. Barriga, S. Sánchez-Serrano, C.J. Jiménez-
Fernández y D.R. López. Microelectronic Design of Fuzzy Logic-
Based Systems. CRC Press, 2000.
[yag94] R.R. Yager y D.P. Filev. Essentials of Fuzzy Modeling and
Control. John Wiley, 1994.
[zad75a,zad75b,zad75c] L.A. Zadeh. The concept of a linguistic
variable and its application to approximate reasoning I, II y III.
Information Sciences (1975), vol. 8 págs. 199-251, 301-357, vol. 9
págs. 43-80.
[zad73] L.A. Zadeh. Outline of a New Approach to the Analysis of
Complex Systems and Decision Processes. IEEE Transactions on
Systems, Man and Cybernetics 3(1) (1973) págs. 28-44.
Bibliografía