1. Introducción: de los conjuntos clásicos a los conjuntos difusos. 2. Conjuntos difusos. 1. Definición. 2. Tipos de funciones de pertenencia. 3. Resumen. 3. Relaciones difusas. 1. De las relaciones clásicas a las difusas. 2. Definición. 4. Propiedades de los conjuntos difusos. 5. Operaciones con conjuntos difusos. 6. De las reglas difusas a las relaciones difusas.

1. Sistemas Difusos Tema 2
Tema 2.- Introducción a la Lógica
Difusa.
1. Introducción: de los conjuntos clásicos a
los conjuntos difusos.
2. Conjuntos difusos.
1. Definición.
2. Tipos de funciones de pertenencia.
3. Resumen.
3. Relaciones difusas.
1. De las relaciones clásicas a las difusas.
2. Definición.
4. Propiedades de los conjuntos difusos.
5. Operaciones con conjuntos difusos.
6. De las reglas difusas a las relaciones
difusas.
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2. Sistemas Difusos Tema 2
Objetivos:
- Comprender el conjunto de conjunto difuso, relación
difusa y propiedades básicas asociadas: núcleo,
soporte, alfa-corte, normalidad, convexidad y altura.
- Comprender el significado de las funciones de
pertenencia y cómo determinar el tipo de función de
pertenencia en base al tipo de descripción difusa
asociada.
- Conocer y saber utilizar las operaciones teóricas
sobre conjuntos difusos: complemento, intersección y
unión, y propiedades básicas de las mismas.
–2–

3. Sistemas Difusos Tema 2
1.- Introducción: de los conjuntos clásicos a los
conjuntos difusos.
¿Por qué es útil la Lógica Difusa en control?
• Muchos aspectos del diseño de un sistema de
control presentan incertidumbre:
o Control de aparcado de un coche.
o Control de un ascensor que minimice el tiempo
de espera.
o Control de un metro.
o Control del frenado de un coche.
o Control de temperatura y grado de humedad.
o Compensación de vibraciones en una cámara.
• Características comunes:
o Procesos complejos y dinámicos.
o Algunos se caracterizan fácilmente de forma
lingüística.
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4. Sistemas Difusos Tema 2
1.- Introducción.
Sistemas verdadero / falso frente a sistemas graduales
• Incertidumbre:
o Con información incompleta.
o Por falta de certeza.
o Por ambigüedad.
• Lógica Difusa (“Fuzzy logic”) (Zadeh, 1965)
Fue diseñada para representar y razonar sobre
conocimiento expresado de forma lingüística o verbal.
Conocimientos “vagos”, “borrosos”
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5. Sistemas Difusos Tema 2
1.- Introducción.
Conjuntos clásicos
X: Universo de discurso
A: Un conjunto definido en ese universo de discurso
Formas de definir el conjunto A:
• Enumerando elementos.
• Especificando una propiedad.
• Definiendo la función característica, µ S : X → {0,1}
Ejemplo: Conjunto de números reales en el intervalo
[0,10] comprendidos entre 5 y 8.
A = [5,8], X = [0,10]
0, 0 ≤ x < 5

1A ( x) = 1, 5 ≤ x ≤ 8
0, 8 < x ≤ 10

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6. Sistemas Difusos Tema 2
2.- Conjuntos difusos.
2.1.- Definición:
Función característica Conjunto nítido (clásico,
“crisp”), µ S : X → {0,1}
Función de pertenencia Conjunto difuso,
µ A : X → [0,1]
Para cada elemento x, µ A (x) es el grado de pertenencia
al conjunto difuso A
Ejemplo: Conjunto de gente joven.
B = {gente joven} ⇒ B = [0, 20]
 1, 0 ≤ x ≤ 20
 30 − x
µ B ( x) =  , 20 ≤ x ≤ 30
 10
 0, 30 ≤ x ≤ 100
Ejemplos:
• Conjunto de coches de fabricación española.
• Conjunto de números naturales cercanos a 6.
• Conjunto de personas mayores.
• Conjunto de números cercanos a cero.
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7. Sistemas Difusos Tema 2
2.2.- Tipos de funciones de pertenencia.
• Funciones triangulares:
 0, x < a
x − a
 , a≤ x≤b
b − a
f ( x; a, b, c ) = 
c−x
 , b≤ x≤c
a b c  c −b

 0, x > c
• Funciones trapezoidales:
a b c d
 0, x < a
x−a
 , a≤x≤b
b − a
f ( x; a, b, c) =  1, b ≤ x ≤ c
 d−x c≤x≤d
 ,
−
 d 0,c x>d

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8. Sistemas Difusos Tema 2
2.2.- Tipos de funciones de pertenencia.
• Funciones gaussianas:
• Otras: campana, S, Z, etc.
• Funciones descritas mediante polígonos:
o Generalizan cualquier otro tipo de
representación.
o Nivel de aproximación ajustable.
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9. Sistemas Difusos Tema 2
2.3.- Conjuntos Difusos: Resumen.
Aspectos importantes de los conjuntos difusos:
• Representan propiedades difusas pero una vez
definida la función de pertenencia, nada es difuso.
• La representación de un conjunto difuso depende
del concepto a representar y del contexto en el
que se va a utilizar.
• ¿Cómo determinar las funciones de pertenencia?
o A través de conocimiento experto.
o A través de conjuntos de datos y procesos de
aprendizaje.
• Se pueden utilizar distintas funciones de
pertenencia para caracterizar la misma
descripción.
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10. Sistemas Difusos Tema 2
3.- Relaciones Difusas.
3.1.- De las Relaciones Clásicas a las Difusas.
• Las relaciones determinan interacciones entre
conjuntos y se especifican de igual forma que los
conjuntos nítidos.
• Una relación (clásica) se puede considerar como un
conjunto de tuplas que cumplen una determinada
condición. Por ejemplo: La relación binaria “menor o
igual”:
R≤ = {(m, n) tal que m ∈ A, n ∈ B y m ≤ n}
• Se pueden describir mediante funciones
características:
1, si m ≤ n
f ≤ (m , n) : N × N → {0,1} f ≤ (m, n) = 
0, en otro caso
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11. Sistemas Difusos Tema 2
3.- Relaciones Difusas.
3.2.- Definición.
Una relación difusa que relaciona dos conjuntos difusos A y
B (cada uno de ellos incluido en su universo de discurso U y V
respectivamente) es un subconjunto difuso del producto
cartesiano U × V, caracterizado:
• Por una enumeración:
 α /( x, y ), α ∈ [0,1], ( x, y) ∈ U × V tal que 
R= 
 ( x, y ) cumple la condición P en grado α 
• O por su función de pertenencia
o Caso continuo, R = ∫U *V µ R (u , v) /(u , v)
o Caso discreto, R = ∑ U *V
µ R ( x, y ) /( x, y)
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12. Sistemas Difusos Tema 2
3.- Relaciones Difusas.
3.3. Ejemplo de relación difusa.
R = aproximada mente igual
U = {1, 2, 3} R : U ×U → [0,1]
R = 1 /(1,1) + 1 /(2,2) + 1 /(3,3) +
0.8 /(1,2) + 0 .8 /(2,3) + 0.8 /(2,1) + 0 .8 /(3, 2)
0.3 /(1,3) + 0.3 /(3,1)
R y
1 2 3
1 x= y
 1 1 0,8 0,3
µ R ( x, y) = 0,8 | x − y |= 1 X 2 0,8 1 0,8
 0,3 | x − y |= 2
 3 0,3 0,8 1
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13. Sistemas Difusos Tema 2
4.- Propiedades de los Conjuntos Difusos.
• Soporte: Es el conjunto de elementos cuyo grado de
pertenencia es distinto de cero,
Sop( A) = {x µ A ( x) > 0, x ∈ X }
• Altura: Es el grado de pertenencia más grande de los
elementos del conjunto,
Altura( A) = max{h h = µ A ( x), x ∈ X }
• Núcleo: Es el conjunto de elementos cuyo grado de
pertenencia es igual a 1,
Núcleo ( A) = {x ∈ X / µ A ( x) = 1}
• Conjunto Difuso Normal: Es un conjunto difuso cuya altura
es igual a 1,
Altura( A) = 1
• Conjunto Difuso Convexo: Intuitivamente es un conjunto
difuso creciente, decreciente o con forma de campana,
∀x, y ∈ X , ∀λ ∈ [0,1]; µ A (λ ⋅ x + (1 − λ) ⋅ y) ≥ min(µ A ( x), µ A ( y))
Convexo No Convexo
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14. Sistemas Difusos Tema 2
5.- Operaciones con Conjuntos Difusos.
Extienden las operaciones con conjuntos clásicos:
• Igualdad, A = B ⇔ µ A ( x ) = µ B ( x) ∀x ∈ X
• Inclusión, A ⊆ B ⇔ µ A ( x) ≤ µ B ( x) ∀x ∈ X
• Unión, µ A∪ B (x ) = max{µ A ( x ), µ B ( x)}
• Intersección, µ A∩ B ( x ) = min{µ A ( x), µ B ( x)}
• Complemento, µ A ( x) = 1 − µ A ( x)
• Alfa-corte, Aα = {x µ A ( x) = α , x ∈ X }
Existen generalizaciones de estas operaciones, ya que
tanto las funciones de pertenencia de los conjuntos
difusos como sus operaciones dependen del contexto.
• T-normas.
• T-conormas.
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15. Sistemas Difusos Tema 2
5.- Operaciones con Conjuntos Difusos.
T-norma: Generaliza el concepto de intersección, ⊗
T : [0,1] × [0,1] → [0,1]
µ A∩ B ( x ) = T [ µ A ( x ), µ B ( x)]
• Conmutativa: T(a,b) = T(b,a)
• Asociativa: T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c)
• Monotonía: T(a,b)≥T(c,d), si a≥c y b≥d
• Condiciones frontera: T(a,1) = a
Ejemplos de t-normas:
• Intersección estándar: T(a,b) = min (a,b)
• Producto algebraico: T(a,b) = a · b
• Diferencia acotada: T(a,b) = max (0, a+b-1)
• Intersección drástica: T(a,b) = a, si b=1
= b, si a=1
= 0, e.o.c.
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16. Sistemas Difusos Tema 2
5.- Operaciones con Conjuntos Difusos.
T-conorma: Generaliza el concepto de unión, ⊕
S : [ 0,1] × [ 0,1] → [ 0,1]
µ A ∪B ( x) = S [µ A ( x ), µ B ( x )]
• Conmutativa: S(a,b) = S(b,a)
• Asociativa: S(a,S(b,c)) = S(S(a,b),c)
• Monotonía: S(a,b)≥S(c,d), si a≥c y b≥d
• Condiciones frontera: S(a,0) = a
Ejemplos de t-conormas:
• Unión estándar: S(a,b) = max(a,b)
• Suma algebraica: S(a,b) = a+b-a·b
• Suma acotada: S(a,b) = min (1, a+b)
• Unión drástica: S(a,b) = a, si b=0
= b, si a=0
= 1, e.o.c.
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17. Sistemas Difusos Tema 2
5.- Operaciones con Conjuntos Difusos.
Complemento difuso:
C : [0,1] → [ 0,1]
µ A ( x) = C [ µ A ( x)]
• C(0) = 1, C(1)=0
• Si a≤ b, C(a)≥C(b)
• C(C(a))=a
Definición de Sugeno:
1− a
C λ (a ) = , λ ∈ (−1, ∞)
1+ λ ⋅a
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18. Sistemas Difusos Tema 2
6.- De las reglas difusas a las relaciones
difusas.
• La regla difusa de la forma
SI X es A y Y es B ENTONCES Z es C
nos indica una dependencia del conjunto difuso de
salida C respecto a los conjuntos difusos A y B
• Por tanto, esta dependencia la podemos
representar mediante una relación difusa
R=∫ min(µ A ( x ), µ B ( y ), µ C ( z )) /( x, y , z )
U ×V ×W
(se ha considerado la t-norma mínimo como
operador de conjunción e implicación).
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