Fourier

1. Transformada de Fourier
Dada una funci´on f (x) una funci´on, no necesariamente
peri´odica, tal que
∞
−∞
|f (x)| dx < ∞
entonces la transformada de Fourier de f (x) se define como
ˆf (ω) = F(ω) = F {f (x)} =
∞
−∞
f (x) e−ω i x
dx
La transformada inversa de Fourier de F(ω) se define como
f (x) = F−1
{F(ω)} =
1
2 π
∞
−∞
F(ω) e+i x ω
dω
En el contexto de las se˜nales se usa el s´ımbolo j en lugar de i y
se usa como variable independiente t.

2. Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular:
Pτ (x) = f (x) =



0 para −∞ < x < −1
2τ
1 para −1
2τ < x < 1
2τ
0 para 1
2τ < x < ∞
−τ/2 τ/2
1
EJERCICIO 1

3. Propiedad de Linealidad
Si f (x) y g(x) admiten transformada de Fourier, entonces
tambi´en c1 f (x) + c2 g(x) la admite y
F {c1 f (x) + c2 g(x)} = c1 F {f (x)} + c2 F {g(x)}
F−1
c1
ˆf (ω) + c2 ˆg(ω) = c1 f (x) + c2 g(x)

4. Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular de
altura b:
f (x) =



0 para −∞ < x < −1
2τ
b para −1
2τ < x < 1
2τ
0 para 1
2τ < x < ∞
EJERCICIO 2

5. Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta de
Dirac):
Pensamos que la funci´on δ(x)
es el l´ımite de funciones pulso
de ancho τ y con altura 1/τ,
de manera que el ´area de los
rect´angulos formados sea 1.
δ(x) = lim
τ→0
1
τ
Pτ (x)
EJERCICIO 3

6. Obtenga la transformada de Fourier de un pulso exponencial
lateral f (x) = u(x) e−a x :
f (x)
EJERCICIO 4

7. Matem´aticas
Avanzadas
para
Ingenier´ıa:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matem´aticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslaci´on x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslaci´on ω
Derivaci´on x
Derivaci´on ω
Obtenga la transformada de Fourier de f (x) = e−a |x|:
f (x)
f (x)
EJERCICIO 5

8. Traslaci´on en el primer eje
Si f (x) admite transformada de Fourier, entonces para
cualquier xo tambi´en f (x − xo) la admite y
F {f (x − xo)} = e−i ω xo
F {f (x)} = e−i ω xo ˆf (ω)
F−1
e−i ω xo ˆf (ω) = f (x − xo)

9. Calcule la transformada de Fourier de g(x):
g(x) =
0 para t < 3 y t > 7
6 para 3 ≤ x < 7
3 7
6
5
4
EJERCICIO 6

10. Calcule la transformada inversa de Fourier de g(x):
G(ω) =
e2 i ω
5 + i ω
EJERCICIO 7

11. Escalamiento en el primer eje
Si f (x) admite transformada de Fourier, entonces para
cualquier a = 0 tambi´en f (a x) la admite y
F {f (a x)} =
1
|a|
F {f (x)}ω=ω/a =
1
|a|
ˆf
ω
a
F−1 ˆf
ω
a
= |a| f (a x)
Otra propiedad: Simetr´ıa
F ˆf (x) = 2 π f (−ω)

12. Calcule las transformadas de Fourier de:
f (x) =
1 − |x| para − 1 ≤ x ≤ 1
0 otro caso
g(x) =
1 − |7 x| para − 1/7 ≤ x ≤ 1/7
0 otro caso
−1 1−1/7 1/7
1
EJERCICIO 8

13. Traslaci´on en frecuencia
Si f (x) admite transformada de Fourier, entonces para
cualquier ωo tambi´en ei ωo x f (x) la admite y
F ei ωo x
f (x) = F {f (x)}ω=ω−ωo
= ˆf (ω − ωo)
Su versi´on la la transformada de Fourier inversa queda:
F−1 ˆf (ω − ωo) = ei ωo x
f (x)

14. Convoluci´on
Sean f (x) y g(x) funciones definidas en la recta real que
cumplen:
1
b
a
f (x) dx y
b
a
g(x) dx existen para todo intervalo [a, b].
2 Para todo x ∞
−∞
|f (y) g(x − y)| dy
converge.
En este caso la convoluci´on f ∗ g de f (x) con g(x) se define
como la funci´on
(f ∗ g)(x) =
∞
−∞
f (y) g(x − y) dy

15. Observando que para se˜nales f (x) y g(x) que son cero para
x < 0:
(f ∗ g)(x) =
∞
−∞
f (y) g(x − y) dy =
x
0
f (y) g(x − y) dx
Para se˜nales que en el par no son cero calcule
e−a |x| ∗ u(x)
e−a |x| ∗ e−b |x|
e−a |x| ∗ sen(b x)
EJERCICIO 9

16. Convoluci´on en el tiempo
Sean f (x) y g(x) funciones que admiten transformada de
Fourier y sean ˆf (ω) y ˆg(ω) sus transformadas de Fourier.
Entonces
F {(f ∗ g)(x)} = ˆf (ω) · ˆg(ω)
Es decir, la transformada de la convoluci´on entre dos funciones
es el producto de las transformadas de ambas funciones. Esta
f´ormula en su versi´on para la transformada inversa queda:
F−1 ˆf (ω) · ˆg(ω) = (f ∗ g)(x)

17. Calcule:
F−1 1
(4 + ω2) (9 + ω2)
EJERCICIO 10