10 Bài toán then chốt chinh phục hình học phẳng Oxy - Megabook.vn

2
CÁC HƯ NG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I HÌNH H C OXY
A. KI N TH C CƠ B N
http://megabook.vn/

4
B. CÁC BÀI TOÁN
BÀI TOÁN 1: BÀI TOÁN TÌM ðI M
ð hi u rõ hơn cho 4 hư ng tư duy tương ng v i 4 TH c a Bài toán 1: “Bài Toán Tìm ði m” th y s
dùng 6 bài thi ð i H c năm 2012 v a qua ñ minh h a.
1) (A, A1 – 2012:CB). Cho hình vuông ABCD. G i M là trung ñi m c a c nh BC, N là ñi m trên c nh CD sao cho
CN = 2ND. Gi s
11 1
;
2 2
M
 
 
 
và ñư ng th ng AN có phương trình 2 3 0x y− − = . Tìm t a ñ ñi m A.
2) (A, A1 – 2012 :NC). Cho ñư ng tròn 2 2
( ) : 8C x y+ = . Vi t phương trình chính t c c a elip (E), bi t r ng (E) có
ñ dài tr c l n b ng 8 và (E) c t ( )C t i b n ñi m phân bi t t o thành b n ñ nh c a m t hình vuông.
3) (B – 2012:CB). Cho ñư ng tròn 2 2
1( ) : 4C x y+ = , 2 2
2( ) : 12 18 0C x y x+ − + = và ñư ng th ng : 4 0d x y− − = .
Vi t phương trình ñư ng tròn có tâm thu c 2( )C , ti p xúc v i d và c t 1( )C t i hai ñi m phân bi t A và B sao cho AB
vuông góc v i d.
4) (B – 2012 :NC). Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và ñư ng tròn ti p xúc v i các c nh c a hình thoi có phương
trình 2 2
4x y+ = . Vi t phương trình chính t c c a elip (E) ñi qua các ñ nh A, B, C, D c a hình thoi. Bi t A thu c Ox.
5) (D – 2012:CB). Cho hình ch nh t ABCD. Các ñư ng th ng AC và AD l n lư t có phương trình là 3 0x y+ = và
4 0x y− + = ; ñư ng th ng BD ñi qua ñi m
1
( ;1)
3
M − . Tìm t a ñ các ñ nh c a hình ch nh t ABCD.
6) (D – 2012 :NC). Cho ñư ng th ng : 2 3 0d x y− + = . Vi t phương trình ñư ng tròn có tâm thu c d , c t tr c Ox
t i A và B, c t tr c Oy t i C và D sao cho AB = CD = 2.
http://megabook.vn/

5
1) (A, A1 – 2012:CB). Cho hình vuông ABCD. G i M là trung ñi m c a c nh BC, N là ñi m trên c nh CD sao cho
CN = 2ND. Gi s
11 1
;
2 2
M
 
 
 
Cách 1
Phân tích: :
+) Ta có { }A AN AM= ∩ nên Theo hư ng tư duy 1 (TH1) ta ph i ñi l p thêm phương trình AM
+) Bi t M nhưng chưa bi t A (chính là ñáp s ta c n tìm) nên ta ph i ñi tìm thêm vtpt ho c vtcp
+) Bài toán không có y u t song song, vuông góc ñ tìm vtpt ho c vtcp nên ta ph i khai thác yt ñ nh lư ng
+) Y u t ñ nh lư ng: cos MAN∠ = ( )cos ,AM ANn n
uuuur uuur
AMn⇒
uuuur
⇒ phương trình AM → t a ñ ñi m A
Gi i:
ð t AB a=
2
; ;
3 3 2
a a a
ND NC MB MC⇒ = = = = ( vì ABCD là hình vuông và 2CN ND= )
Và áp d ng Pitago ta ñư c:
5 5
;
2 6
a a
AM MN= = và
10
3
a
AN =
Trong AMN∆ ta có: cos MAN∠
2 2 2
2
2 . 2
AM AN MN
AM AN
+ −
= =
G i ( ; )AMn a b=
uuuur
là vtpt c a AM và ta có (2; 1)ANn = −
uuur
cos⇒ MAN∠ = ( )cos ,AM ANn n
uuuur uuur
2 2 2 2 2
2 2 2 2
322
2(2 ) 5( ) 3 8 3 0 (3 )( 3 ) 0
32 . 2 1
a ba b
a b a b a ab b a b a b
a ba b
= −− 
⇔ = ⇔ − = + ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔  =+ + 
+) V i 3a b= − ch n 1; 3a b= = − (1; 3)AMn⇒ = −
uuuur
⇒ phương trình
11 1
: 3 0
2 2
AM x y
   
− − − =   
   
hay : 3 4 0AM x y− − = . Vì { }A AN AM= ∩ nên ta gi i h :
2 3 0 1
(1; 1)
3 4 0 1
x y x
A
x y y
− − = = 
⇔ ⇒ − 
− − = = − 
+) V i 3a b= ch n 3; 1a b= = (3;1)AMn⇒ =
uuuur
⇒ phương trình
11 1
:3 0
2 2
AM x y
   
− + − =   
   
hay :3 17 0AM x y+ − = . Vì { }A AN AM= ∩ nên ta gi i h :
2 3 0 4
(4;5)
3 17 0 5
x y x
A
x y y
− − = = 
⇔ ⇒ 
+ − = = 
V y (1; 1)A − ho c (4;5)A
http://megabook.vn/

6
Cách 2:
Phân tích: A AN∈ nên Theo hư ng tư duy 2 (TH2) ta g i ( )A t AN∈ ta c n thi t l p 1 phương trình ( ) 0f t =
(còn d ki n
11 1
;
2 2
M
 
 
 
là trung ñi m c a BC ta chưa s d ng – s giúp ta làm ñi u này) ?t
A
→ = →
Gi i:
+) G i H là hình chi u c a M lên AN
2 2
11 1
2. 3
3 52 2
( , )
22 1
MH d M AN
− −
⇒ = = =
+
ð t AB a=
2
; ;
3 3 2
a a a
5 5
;
2 6
a a
AM MN= = và
10
3
a
AN =
2 2 2
2
2 . 2
AM AN MN
AM AN
+ −
= =
⇒ MAN∠ = 0
45 MAH⇒ ∆ c n t i H
3 5 3 10
2 2.
2 2
AM MH⇒ = = = (*)
+) G i ( ;2 3)A t t AN− ∈ và 2 45
2
AM = (theo (*))
⇔
2 2
2 1 (1; 1)11 7 45
2 5 4 0
4 (4;5)2 2 2
t A
t t t t
t A
= −    
− + − = ⇔ − + = ⇔ ⇒     =     
V y (1; 1)A − ho c (4;5)A
Cách 3:
Phân tích: A AN∈ và
11 1
;
2 2
M
 
 
 
c ñ nh . N u AM h const= = ( ta s tìm cách ñi tính AM ).
Nên Theo hư ng tư duy 3 (TH3) : { } ( )A AN C= ∩ v i ( )C là ñư ng tròn tâm M bán kính R h=
http://megabook.vn/

7
Gi i: +) G i H là hình chi u c a M lên AN
2 2
11 1
2. 3
3 52 2
( , )
22 1
MH d M AN
− −
⇒ = = =
+
ð t AB a=
2
; ;
3 3 2
a a a
5 5
;
2 6
a a
AM MN= = và
10
3
a
AN =
2 2 2
2
2 . 2
AM AN MN
AM AN
+ −
= =
⇒ MAN∠ = 0
45 MAH⇒ ∆ c n t i H
3 5 3 10
2 2.
2 2
AM MH⇒ = = =
V y
3 10
2
AM = ⇒ A n m trên ñư ng tròn có phương trình:
2 2
11 1 45
2 2 2
x y
   
− + − =   
   
Mà : 2 3 0A AN x y∈ − − = Nên ta xét h :
2 2
11 1 45
1
2 2 2
1
2 3 0
xx y
y
x y
    =− + − =    ⇔    
= − − − =
ho c
4
5
x
y
=

=
V y (1; 1)A − ho c (4;5)A
Cách 4: (Các em có th tham kh o thêm cách gi i c a B Giáo D c nhưng vì cách gi i này theo th y không ñư c
“t nhiên” nên th y không trình bày ñây)
2) (A, A1 – 2012 :NC). Cho ñư ng tròn 2 2
( ) : 8C x y+ = . Vi t phương trình chính t c c a elip (E), bi t r ng (E) có
ñ dài tr c l n b ng 8 và (E) c t ( )C t i b n ñi m phân bi t t o thành b n ñ nh c a m t hình vuông.
Phân tích:
+) Phương trình ( )E :
2 2
2 2
1
x y
a b
+ = như v y ta c n tìm ;a b +) (E) có ñ dài tr c l n b ng 8 2 8 4a a⇒ = ⇒ =
+) Theo Hư ng tư duy 4 (TH4) ta g i ( ; )A x y ( 0x > ) là m t giao ñi m c a (E) và ( )C : 2 2
( ) 8A C x y∈ ⇒ + =
và d ki n (E) c t ( )C t i b n ñi m phân bi t t o thành b n ñ nh c a m t hình vuông giúp ta thi t l p thêm phương
trình: y x= (4 ñ nh n m trên hai ñư ng phân giác thu c góc ph n tư th nh t và th hai – nhưng vì ta ch n ñi m
( ; )A x y ( 0x > ) thu c góc ph n tư th nh t)⇒ t a ñ ñi m A +) Mà ( )A E b∈ ⇒ → phương trình (E).
Gi i: G i phương trình chính t c c a elip ( )E có d ng:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
+) (E) có ñ dài tr c l n b ng 8 2 8 4a a⇒ = ⇒ =
+) G i ( ; )A x y ( 0x > ) là m t giao ñi m c a (E) và ( )C .Ta có: 2 2
( ) 8A C x y∈ ⇒ + = (1)
M t khác: (E) c t ( )C t i b n ñi m phân bi t t o thành b n ñ nh c a m t hình vuông ⇒ y x= (2)
T (1) và (2) 2
2 8 2x x⇒ = ⇒ = (vì 0x > ) 2 (2;2)y A⇒ = ⇒
+) Mà ( )A E∈
2 2
2
2 2
2 2 16
1
4 3
b
b
⇒ + = ⇒ = . V y phương trình chính t c c a elip (E) là:
2 2
1
1616
3
x y
+ =
http://megabook.vn/

8
3) (B – 2012:CB). Cho ñư ng tròn 2 2
1( ) : 4C x y+ = , 2 2
2( ) : 12 18 0C x y x+ − + = và ñư ng th ng : 4 0d x y− − = .
Vi t phương trình ñư ng tròn có tâm thu c 2( )C , ti p xúc v i d và c t 1( )C t i hai ñi m phân bi t A và B sao cho AB
vuông góc v i d.
Phân tích:
Mu n vi t phương trình ñư ng tròn ta c n:
+) Xác ñ nh tâm I (dùng Thu t Toán Tìm ði m) . Khi ñó theo Hư ng tư duy 2 (TH2) ta g i 1( )I t II∈
(Trư c ñó ta ñi l p phương trình 1II ñi qua 1I vuông góc v i AB (tính ch t ñư ng n i tâm) hay song song v i d )
Và d ki n 2( )I C∈ giúp ta thi t l p ñư c phương trình : ( ) 0 ?f t t= → = → t a ñ ñi m I
( Ta có th làm theo Hư ng tư duy 3 (TH3) v i { } 1 2( )I II C= ∩ → t a ñ I - cách trình bày khác c a TH2)
+) Xác ñ nh bán kính: R nh ( , )R d I d=
Gi i:
G i I là tâm ñư ng tròn ( )C c n vi t phương trình. Ta có 2 2
1( ) : 4C x y+ = ⇒ tâm c a 1( )C là 1(0;0)I
Vì
1
1
II AB
II
AB d
⊥
⇒
⊥
// d ⇒ phương trình 1II : 0x y− = .
G i 1( ; )I t t II∈ mà 2( )I C∈ 2 2
12 18 0t t t⇒ + − + = 2
6 9 0 3t t t⇔ − + = ⇔ = (3;3)I⇒
Mà ( )C ti p xúc v i d ⇒
2 2
3 3 4
( , ) 2 2
1 1
R d I d
− +
= = =
+
. V y phương trình ( )C là: 2 2
( 3) ( 3) 8x y− + − =
4) (B – 2012 :NC). Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và ñư ng tròn ti p xúc v i các c nh c a hình thoi có phương
trình 2 2
4x y+ = . Vi t phương trình chính t c c a elip (E) ñi qua các ñ nh A, B, C, D c a hình thoi. Bi t A thu c Ox.
Phân tích: +) Phương trình ( )E :
2 2
2 2
1
x y
a b
+ = ( 0)a b> > như v y ta c n tìm ;a b
+) Theo Hư ng tư duy 2 (TH2) vì (E) ñi qua các ñ nh A, B, C, D và A Ox∈ nên g i ( ;0)A a Ox∈ và (0; )B b Oy∈
+) Khai thác d ki n: AC = 2BD 1( , ) 0f a b→ = (1)
+) Khai thác d ki n: ñư ng tròn 2 2
4x y+ = ti p xúc v i các c nh c a hình thoi 2 ( , ) 0f a b→ = (2)
T (1) và (2) 2
?a→ = và 2
?b = → phương trình (E).
http://megabook.vn/

9
Gi i: G i phương trình chính t c c a elip ( )E :
2 2
2 2
1
x y
a b
+ = ( v i 0a b> > )
Vì (E) ñi qua các ñ nh A, B, C, D và A Ox∈ nên không m t tính t ng quát gi s : ( ;0)A a và (0; )B b .
Mà hình thoi ABCD có AC = 2BD 2 4 2OA OB OA OB⇔ = ⇔ = 2a b⇔ = (vì 0a b> > ) hay (2 ;0)A b , (0; )B b
G i H là hình chi u c a O lên AB
2OH R⇒ = = ( vì ñư ng tròn 2 2
4x y+ = ti p xúc v i các c nh c a hình thoi)
Xét tam giác OAB ta có: 2 2 2
1 1 1
OH OA OB
= + hay 2
2 2
1 1 1
5
4 4
b
b b
= + ⇔ = 2 2
4 20a b⇒ = =
V y phương trình chính t c c a elip ( )E là:
2 2
1
20 5
x y
+ =
5) (D – 2012:CB). Cho hình ch nh t ABCD. Các ñư ng th ng AC và AD l n lư t có phương trình là 3 0x y+ =
và 4 0x y− + = ; ñư ng th ng BD ñi qua ñi m
1
( ;1)
3
Cách 1:
Phân tích: +) Theo Hư ng tư duy 1 (TH1) : { }A AC AD= ∩ → t a ñ ñi m A
+) Theo Hư ng tư duy 2 (TH2) : D AD∈ , B AB∈ nên ta g i 1 2( ), ( )D t B t (trư c ñó ta ñi l p pt AB )
+) G i { }I AC BD= ∩ ( I là trung ñi m c a AC và BD ) 1 2( , )I t t⇒ mà 1 1 2( , ) 0I AC f t t∈ ⇒ = (1)
Vì ,MB MD
uuur uuuur
cùng phương 2 1 2( , ) 0f t t⇒ = (2)
+) T (1) và (2)
1
2
?
?
t
t
=
⇒ ⇒
=
t a ñ c a , ,B D I và C
Gi i: Vì { }A AC AD= ∩ nên xét h :
3 0
4 0
x y
x y
+ =

− + =
3
1
x
y
= −
⇔ ⇒
=
( 3;1)A −
AB ñi qua A và vuông góc v i AD nên AB có phương trình:
3 1
2 0
1 1
x y
x y
+ −
= ⇔ + + =
−
G i 1 1( ; 2)B t t AB− − ∈ và 2 2( ; 4)D t t AD+ ∈ ( 1 2; 3t t ≠ − ) 2 1 2 1 2
;
2 2
t t t t
I
+ − + 
⇒  
 
: là trung ñi m c a BD
Mà 2 1 2 1
2 1 1 2
2
3. 0 2 3 0 2 3
2 2
t t t t
I AC t t t t
+ − +
∈ ⇒ + = ⇔ − + = ⇔ = + (*)
Có: 1 1 2 2
1 10
; 3 2 ; 2 6
3 3
MB t t t t
   
= + − − = + − −   
   
uuur
(theo (*)) và 2 2
1
; 3
3
MD t t
 
= + + 
 
uuuur
M t khác , ,B D M th ng hàng⇒ ,MB MD
uuur uuuur
cùng phương 2 2
2
2 2
6 10 2 6
2 1
3 1 3
t t
t
t t
+ − −
⇒ = = − ⇔ = −
+ +
1 1t⇒ =
⇒ (1; 3), ( 1;3)B D− − và (0;0)I ⇒ (3; 1)C − ( vì I là trung ñi m c a AC )
http://megabook.vn/

10
5) (D – 2012:CB). Cho hình ch nh t ABCD. Các ñư ng th ng AC và AD l n lư t có phương trình là 3 0x y+ =
và 4 0x y− + = ; ñư ng th ng BD ñi qua ñi m
1
( ;1)
3
Cách 2:
Phân tích: +) Theo Hư ng tư duy 1 (TH1) : { }A AC AD= ∩ → t a ñ ñi m A
+) Do trong bài toán có nhi u tính ch t ñ i x ng nên ta nghĩ t i vi c tìm các ñi m ph liên quan. C th :
+) Ta tìm ñi m N ñ i x ng v i M qua ñư ng trung tr c d c a AD b ng cách vi t pt 'd ñi qua M song
song v i AD và { } 'N d AC= ∩ ⇒ pt trung tr c d c a AD ⇒ t a ñ trung ñi m ,I J c a AC và AD
⇒ t a ñ , ,C D B
Gi i: Vì { }A AC AD= ∩ nên xét h :
3 0
4 0
x y
x y
+ =

− + =
3
1
x
y
= −
⇔ ⇒
=
( 3;1)A −
Phương trình c a 'd ñi qua M song song AD có d ng:
1
( 1) 0 3 3 4 0
3
x y x y+ − − = ⇔ − + =
G i { } 'N d AC= ∩ nên ta xét h :
13 0 1
1;13 3 4 0 33
xx y
N
yx y
= −+ =   
⇔ ⇒ −   =− + =   
G i d là ñư ng trung tr c c a AD c t , ,MN AC AD l n lư t t i , ,H I J
⇒ , ,H I J l n lư t là trung ñi m , ,MN AC AD
5 5
;
4 4
H
 
⇒ − 
 
⇒ pt c a d :
5 5
0 0
4 4
x y x y
   
+ + − = ⇔ + =   
   
Ta có: }{I d AC= ∩ nên ta xét h : ( )
0 0
0;0
3 0 0
x y x
I
x y y
+ = = 
⇔ ⇒ 
+ = = 
⇒ (3; 1)C − ( I là trung ñi m c a AC )
và }{J d AD= ∩ nên ta xét h : ( )
0 2
2;2
4 0 2
x y x
J
x y y
+ = = − 
⇔ ⇒ − 
− + = = 
⇒ ( 1;3)D − ( J là trung ñi m c a AD )
⇒ (1; 3)B − ( I là trung ñi m c a BD )
6) (D – 2012 :NC). Cho ñư ng th ng : 2 3 0d x y− + = . Vi t phương trình ñư ng tròn có tâm thu c d , c t tr c Ox
t i A và B, c t tr c Oy t i C và D sao cho AB = CD = 2.
http://megabook.vn/

11
Phân tích: Mu n vi t phương trình ñư ng tròn ta c n:
+) Xác ñ nh tâm I (dùng Thu t Toán Tìm ði m) . Khi ñó theo Hư ng tư duy 2 (TH2) ta g i ( )I t d∈
Và d ki n AB CD= giúp ta thi t l p ñư c phương trình : ( ) 0 ?f t t= → = → t a ñ ñi m I
+) Xác ñ nh bán kính: R nh 2 2 2 2
R IA IH HA= = + v i ( , )IH d I Ox= và 1
2
AB
HA = =
Gi i:
+) G i I là tâm ñư ng tròn c n l p và g i ( ;2 3)I t t d+ ∈
+) Ta có AB CD=
2 3 3 ( 3; 3)
( , ) ( , ) 2 3
2 3 1 ( 1;1)
t t t I
d I Ox d I Oy t t
t t t I
+ = = − − −  
⇔ = ⇔ + = ⇔ ⇔ ⇒  + = − = − −  
+) V i ( 3; 3)I − − ( , ) 3 3IH d I Ox⇒ = = − = và ta có:
2
1
2 2
AB
AH = = = 2 2 2 2
10R IA IH HA⇒ = = + =
V y phương trình ñư ng tròn: 2 2
( 3) ( 3) 10x y+ + + = .
+) V i ( 1;1)I − ( , ) 1 1IH d I Ox⇒ = = = và ta có:
2
1
2 2
AB
AH = = = 2 2 2 2
2R IA IH HA⇒ = = + =
V y phương trình ñư ng tròn: 2 2
( 1) ( 1) 2x y+ + − = .
CHÚ Ý: Trư c khi vào ph n BÀI TOÁN 2 chúng ta có m t s quy ư c sau:
+) ( )M t ∈∆ : ta ràng bu c ñi m M theo m t n là t.
+) 1 2( , )M t t : ñi m M có t a ñ ph thu c vào hai n 1t và 2t .
+) 1 2( ; )M t t : ñi m M có t a ñ :
1
2
M
M
x t
y t
=

=
BÀI TOÁN 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ð N BÀI TOÁN 1
D ng 1: Các bài toán trong tam giác, t giác
Lo i 1: Các bài toán v ð nh Tính
Lo i 1.1: Các bài toán v ñư ng trung tuy n, ñư ng cao, trung tr c
Bài 1: Bi t ñ nh A c a tam giác ABC và 2 trung tuy n BM, CN. Vi t phương trình các c nh c a ABC∆ .
Cách gi i:
Bài t p áp d ng (Các em hãy d a vào ý tư ng Bài 1 ñ gi i các ví d sau)
Ví d 1: Cho tam giác ABC có A(4; – 1) và phương trình hai ñư ng trung tuy n BM: 8x – y – 3 = 0,
CN: 14x – 13y – 9 = 0. Tìm t a ñ các ñ nh B, C. (ðs: B(1; 5), C(–4; – 5))
Ví d 2: Cho tam giác ABC có A(1; – 2) và phương trình hai ñư ng trung tuy n BM và CN l n lư t là
x – 6y + 3 = 0 và 5x – 6y – 1 = 0. Tính di n tích tam giác ABC. (ðs: 16ABCS∆ = (ñvdt))
http://megabook.vn/

12
Ví d 3: Cho tam giác ABC có tr ng tâm G(-2;0) bi t phương trình các c nh AB, AC theo th t là
4x + y + 14 = 0 và 2x + 5y – 2 = 0. Vi t phương trình BC. (ðs: x – 2y – 1 = 0 ; v i B( 3; 2)− − , C(1;0)
)
Ví d 4: Cho hai ñư ng th ng 1d : x – y + 1 = 0, 2d : 2x + y – 1 = 0 và ñi m P(2; 1). Vi t phương trình
ñư ng th ng 3d qua P và c t 1d , 2d l n lư t t i A và B sao cho P là trung ñi m c a AB. (ðs: 4x – y – 7 = 0)
Ví d 5: Cho tam giác ABC có trung ñi m c a AB là I(1; 3), trung ñi m AC là J(-3; 0). ði m A thu c Oy và
ñư ng BC qua g c t a ñ O. Tìm t a ñ các ñ nh c a tam giác ABC. (ðs: A
9
0;
2
 
 
 
, B
3
2;
2
 
 
 
,
9
6;
2


− −



)
( Các em tham kh o ph n gi i m u qua các Ví d 2, Ví d 3, Ví d 5 )
Ví d 2: Cho tam giác ABC có A(1; – 2) và phương trình hai ñư ng trung tuy n BM và CN l n lư t là
x – 6y + 3 = 0 và 5x – 6y – 1 = 0. Tính di n tích tam giác ABC.
Gi i:
+) G i B
3
;
6
t
t
+ 
∈ 
 
BM . Do N là trung ñi m c a AB
1
2 2
9
2 12
A B
N
A B
N
x x t
x
y y t
x
+ +
= =
⇒ 
+ − = =

⇒ N
1 9
;
2 12
t t+ − 
 
 
Mà N∈CN
1 9
5. 6. 1 0 3
2 12
t t
t
+ −
⇒ − − = ⇔ = − ⇒ B ( 3;0)−
+) T a ñ tr ng tâm G c a ∆ ABC là nghi m c a h :
1
6 3 0
2
5 6 1 0
3
x
x y
x y y
=
− + = 
⇔ 
− − = = 
⇒ G
2
1;
3
 
 
 
3 3 1 3 5
3 2 2 0 4
C G A B
C G A B
x x x x
y y y y
= − − = − + =
⇒ 
= − − = + − =
⇒ C (5;4) .V y phương trình BC:
3
2 3 0
8 4
x y
x y
+
= ⇔ − + =
G i H là chân ñư ng cao k t A xu ng BC ⇒ AH =
2 2
1 2.( 2) 3 8
( ; )
51 2
d A BC
− − +
= =
+
Ta có: BC = 2 2
8 4 4 5+ =
1 1 8
. . .4 5 16
2 2 5
ABCS AH BC∆⇒ = = = (ñvdt)
Ví d 3: Cho tam giác ABC có tr ng tâm G(-2;0) bi t phương trình các c nh AB, AC theo th t là
4x + y + 14 = 0 và 2x + 5y – 2 = 0. Vi t phương trình BC
Gi i:
http://megabook.vn/

13
+) T a ñ ñi m A là nghi m c a h :
4 14 0
2 5 2 0
x y
x y
+ + =

+ − =
4
2
x
y
= −
⇔ 
=
⇒ A( 4;2)−
+) G i B 1 1( ; 4 14)t t− − ∈AB và C 2 2(5 1; 2 )t t+ − ∈AC
+) Vì G là tr ng ∆ ABC nên ta có:
3
3
A B C G
A B C G
x x x x
y y y y
+ + =

+ + =
1 2 1 2 1
1 2 1 2 2
4 5 1 6 5 3 3
2 4 14 2 0 2 6 0
t t t t t
t t t t t
− + + + = − + = − = −  
⇒ ⇔ ⇔  
− − − = + = − =  
⇒
B(-3;-2)
C(1;0)



V y phương trình BC:
3 2
4 2
x y+ +
= ⇔ 2 1 0x y− − =
Ví d 5: Cho tam giác ABC có trung ñi m c a AB là I(1; 3), trung ñi m AC là J(-3; 0). ði m A thu c Oy và
ñư ng BC qua g c t a ñ O. Tìm t a ñ các ñ nh c a tam giác ABC.
Gi i:
G i A(0; ) Oya ∈
B(2;6 a)
C( 6; a)
−
⇒ 
− −
( Vì I(1; 3), J(-3; 0) l n lư t là trung ñi m c a AB và AC)
Ta có:
OB (2;6 a)
OC ( 6; a)
 = −

= − −
uuur
uuur Mà BC ñi qua g c t a ñ O hay O,B,C th ng hàng
2 6 9
6 2
a
a
a
−
⇒ = ⇔ =
− −
⇒ A
9
0;
2
 
 
 
, B
3
2;
2
 
 
 
, C
9
6;
2
 
− − 
 
Bài 2: Bi t ñ nh A c a tam giác ABC và 2 ñư ng cao BH và CK. Vi t phương trình các c nh.
Cách gi i: +) Vi t phương trình AB, AC v i
AB CK
AC BH
n u
n u
 =

=
uuur uuur
uuur uuur +) Tìm B, C v i
{ }
{ }
B AB BH
C AC CK
=

=
I
I
Ví d 1: Cho tam giác ABC bi t ñ nh A(1; –3); phương trình hai ñư ng cao xu t phát t B và C l n lư t là
x+ 2y – 8 =0 và 3x + 5y – 1 = 0. Vi t phương trình c nh BC. (ðs: 3x – 2y – 8 = 0)
Ví d 2 (A – 2004): Cho hai ñi m A (0; 2) và B( 3− ; 1− ). Tìm t a ñ tr c tâm và t a ñ tâm ñư ng tròn ngo i ti p
c a tam giác OAB. (ðs: H( 3; 1)− , ( 3;1)I − )
http://megabook.vn/

14
Bài 3: Cho ñ nh A và hai ñư ng trung tr c 1 2,d d c a c nh AB và AC (ho c BC).Vi t phương trình các c nh.
TH1 TH2
Cách gi i: TH1: B, C l n lư t ñ i x ng v i A qua 1d và 2d
B
C

⇒ 

TH2: +) B ñ i x ng v i A qua 1d ⇒B
+) C ñ i x ng v i B qua 2d ⇒ C
Ví d 1: Cho tam giác ABC có ñ nh A(1; 2) và hai ñư ng trung tr c c a c nh AB và AC l n lư t là x – 2y – 2 = 0
và x – y + 5 = 0. Vi t phương trình trung tuy n AM c a tam giác ABC. (ðs: y = 2)
Ví d 2 : Cho tam giác ABC có ñi m M(0; 3) thu c ño n AC; hai ñư ng trung tr c c a c nh AB và AC l n lư t có
phương trình là x – 2y – 2 = 0 và x – y + 5 = 0. Vi t phương trình c nh BC c a tam giác ABC bi t AC = 4AM.
(ðs: 4x + 3y – 6 = 0)
Bài 4: Bi t ñ nh A c a tam giác ABC và ñư ng cao BH, trung tuy n CM. L p phương trình các c nh.
Cách gi i:
Ví d 1: Cho tam giác ABC có A(–4; – 5) và phương trình ñư ng cao BH: x + 2y – 2 = 0, ñư ng trung tuy n
CM: 8x – y – 3 = 0. Tìm t a ñ ñ nh B, C. (ðs: B(4; –1), C(1; 5))
Ví d 2: Cho tam giác ABC có phương trình c a trung tuy n AM và ñư ng cao BH l n lư t là: 2x + y – 3 = 0;
2x – y – 4 = 0. ði m
1 5
;
2 2
N
 
− 
 
thu c ño n BC và ñ nh C thu c ñư ng th ng d: x + y – 3 = 0. Vi t phương trình
ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC bi t BC không song song v i hai tr c t a ñ . (ðs:
2 2
3 1 5
2 2 2
x y
   
− + + =   
   
)
Ví d 3: Cho tam giác ABC có ñ nh A(2;1) , ñư ng cao qua ñ nh B có phương trình là : x – 3y – 7 = 0 và ñư ng trung
tuy n qua ñ nh C có phương trình : x + y + 1 = 0.Xác ñ nh t a ñ c a B và C. (ðs: ( 2; 3), (4; 5)B C− − − )
Ví d 4: Cho tam giác ABC cân t i ñ nh A có tr ng tâm
4 1
;
3 3
G
 
 
 
, phương trình ñư ng th ng BC là x – 2y – 4 = 0 và
ñư ng th ng BG là 7x – 4y – 8 = 0.Tìm t a ñ các ñ nh A,B,C. (ðs:
16 19 52 8
; , (0; 2), ;
9 9 9 9
A B C
   
− −   
   
)
Ví d 5:Cho tam giác ABC có ñ nh A thu c ñư ng th ng d : x – 4y – 2 = 0 , c nh BC song song v i ñư ng th ng d.
Phương trình ñư ng cao BH : x + y + 3 = 0 và trung ñi m c a c nh AC là M(1;1). Tìm t a ñ các ñ nh A,B,C.
(ðs:
2 2 18 3 8 8
; , ; , ;
3 3 5 5 3 3
A B C
     
− − −     
     
)
http://megabook.vn/

15
Bài 5: Bi t ñ nh A và trung tuy n CC’, ñư ng trung tr c c a c nh BC. Tìm t a ñ B, C.
Cách gi i:
Ví d 1: Cho tam giác ABC bi t A(5; 13). Phương trình ñư ng trung tr c c nh BC, ñư ng trung tuy n CC’
(C’ thu c AB) l n lư t là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 1 = 0. Vi t phương trình c nh BC. (ðs: x – y + 2 = 0)
Ví d 2 : Cho tam giác ABC có ñư ng trung tr c c a c nh BC c t ñương th ng ñi qua AB t i ñi m (1;2)M và
song song v i ñư ng th ng 2 2013 0x y− + = bi t 2AB MA=
uuur uuur
và ñư ng trung tuy n xu t phát t ñ nh C có
phương trình 11 7 11 0x y+ + = . Tìm t a ñ 3 ñ nh c a tam giác ABC. (ðs:
2 11
(0;1), ( 2; 1), ;
5 5
A B C
 
− − − 
 
)
Bài 6: Bi t trung ñi m M c a AB và trung tuy n AN, ñư ng cao BH. Vi t phương trình các c nh c a ∆ ABC.
Cách gi i:
Ví d 1: Tam giác ABC có ñư ng trung tuy n AN : x – y + 1 = 0, ñư ng cao BH : x + 2y – 1= 0, ño n AB có trung
ñi m M(1; 1). Vi t phương trình các c nh c a tam giác ABC. (ðs: AB: x = 1; AC: 2x – y = 0; BC: 3x – y – 3 = 0)
Ví d 2: Cho tam giác ABC có ñi m M(0; 3) là trung ñi m c a AB. Phương trình trung tuy n AN: 2x – y – 2 = 0,
ñư ng cao BH: x – 3y + 14 = 0.Vi t phương trình ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC (ðs: 2 2
( 3) ( 3) 50x y+ + + = )
http://megabook.vn/

16
Bài 7: Bi t ñ nh A (ho c ñư ng cao xu t phát t A ñi qua ñi m N và tr ng tâm G thu c m t ñư ng th ng…)
c a tam giác ABC và trung tuy n BM, ñư ng cao BH. Vi t phương trình các c nh.
TH1 TH2
Cách gi i:
Ví d 1:Cho tam giác ABC bi t ñ nh A(1; – 1), ñư ng cao và trung tuy n cùng xu t phát t B l n lư t có phương
trình: x + 2y – 3 = 0 và x + 3y – 5 = 0 . Vi t phương trình BC. (ðs: x – 4y + 9 = 0)
Ví d 2: Cho tam giác ABC bi t ñư ng cao BH và trung tuy n BM l n lư t có phương trình: 4x + 3y + 2 = 0; x – 1 =
0. Tính di n tích tam giác ABC bi t r ng tr ng tâm G c a tam giác thu c ñư ng th ng d: 2x + 3y – 1 = 0 và ñư ng cao
xu t phát t ñ nh A có hoành ñ âm ñi qua ñi m N(3; –3). (ðs: 5ABCS∆ = (ñvdt))
Ví d 3 (D – 2009): Cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung ñi m c a c nh AB. ðư ng trung tuy n và ñư ng cao qua
ñ nh A l n lư t có phương trình là 7x – 2y – 3 = 0 và 6x – y – 4 = 0. Vi t phương trình ñư ng th ng AC.
(ðs: 3x – 4y + 5 = 0)
Ví d 4 (B – 2003): Cho tam giác ABC có AB = AC , BAC∠ = 900
. Bi t M(1; -1) là trung ñi m c nh BC và G
2
;0
3
 
 
 
là tr ng tâm c a tam giác ABC. Tìm t a ñ các ñ nh A, B, C. (ðs: A(0; 2), B(4; 0), C(–2; – 2))
Ví d 5 (A – 2009): Cho hình ch nh t ABCD có ñi m I(6; 2) là giao ñi m c a hai ñư ng chéo AC và BD. ði m
M(1; 5) thu c ñư ng th ng AB và trung ñi m E c a c nh CD thu c ñư ng th ng ∆ : x + y – 5 = 0. Vi t phương trình
ñư ng th ng AB. (ðs: x – 4y + 19 = 0 và y – 5 = 0)
Bài 8: S d ng ñi u ki n vuông góc (trư ng h p riêng c a Bài 19) ñ gi i bài toán.
Cách gi i:
*) G i t a ñ các ñi m (n u chưa bi t) liên quan t i y u t vuông góc theo m t n nh vào:
+) ñi m thu c ñư ng th ng.
+) ñi m có m i liên h v i ñi m khác: trung ñi m, tr ng tâm, th a mãn h th c véctơ…
http://megabook.vn/

17
*) “C t nghĩa” ñi u ki n vuông góc:
0
. 0
. 0
. 0
90 . 0
a b
a b
AB MN AB MN
n n
a b
u u
AMB MA MB
 ⊥ ⇔ =

 = 
⊥ ⇒ 
= 

∠ = ⇔ =
uuur uuuur
uur uur
uur uur
uuur uuur
( ) 0 ?f t t⇒ = ⇒ = ⇒ t a ñ các ñi m
Ví d 1 (D – 2004): Cho tam giác ABC có các ñ nh A(-1; 0); B (4; 0); C(0;m) v i m ≠ 0. Tìm t a ñ tr ng tâm G c a
tam giác ABC theo m. Xác ñ nh m ñ tam giác GAB vuông t i G. (ðs: (1; ), 3 6
3
m
G m = ± )
Ví d 2 (D – 2008): Cho (P): 2
16y x= và ñi m A(1; 4). Hai ñi m phân bi t B, C (B và C khác A) di ñ ng trên (P) sao
cho BAC∠ = 0
90 . Ch ng minh r ng ñư ng th ng BC luôn ñi qua m t ñi m c ñ nh. (ðs: ñi m c ñ nh I(17; –4))
Ví d 3 (A – 2009): Cho hình ch nh t ABCD có ñi m I(6; 2) là giao ñi m c a hai ñư ng chéo AC và BD. ði m
M(1; 5) thu c ñư ng th ng AB và trung ñi m E c a c nh CD thu c ñư ng th ng ∆ : x + y – 5 = 0. Vi t phương trình
ñư ng th ng AB. (ðs: x – 4y + 19 = 0 và y – 5 = 0)
Ví d 4: Cho ñi m M(3; 3), vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua I(2; 1) c t Ox, Oy l n lư t t i A và B sao cho tam
giác AMB vuông t i M. (ðs: x + 2y – 4 = 0 và x + y – 3 = 0).
CHÚ Ý:
Qua các bài toán trên liên quan t i y u t trung tuy n và ñư ng cao, ñư ng trung tr c các em có th rút ra ñư c m t
vài ñi u như sau (tuy ñơn gi n nhưng hư ng tư duy này s giúp chúng ta gi i quy t t t nh ng bài toán d ng trên):
+) N u M là trung ñi m c a AB
2
2
A B M
A B M
x x x
y y y
+ =
⇒ 
+ =
: nghĩa là khi có d ki n này s giúp chúng ta thi t l p ñư c 2
phương trình
+) AH là ñư ng cao c a BC: giúp chúng ta bi t ñư c phương c a ñư ng này n u bi t ñư ng kia.
+) d là trung tr c c a BC: nghĩa là B ñ i x ng v i C qua d.
Lo i 1.2: Các bài toán v ñư ng phân giác trong
Bài 9: Bi t ñ nh A và hai ñư ng phân giác trong BB’ và CC’. L p phương trình BC.
Cách gi i:
+) Tìm 1A ñ i x ng v i A qua BB’ 1A BC⇒ ∈ (1) +) Tìm 2A ñ i x ng v i A qua CC’ 2A BC⇒ ∈ (2)
+) T (1) và (2) ⇒ phương trình BC (chính là phương trình 1 2A A )
Ví d 1: Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho tam giác ABC có ñ nh A(1; 1), phương trình ñư ng phân giác trong góc B,
góc C l n lư t là BD: 2x + y + 4 = 0; CE: x + 3y + 1 = 0. L p phương trình c nh BC. (ðs:x + 23y + 46 = 0)
Ví d 2: Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình ñư ng phân giác trong góc B, góc C l n
lư t là BD: 6x + 8y – 17 = 0; CE: x – 2y + 3 = 0, ñi m M
17
1;
7
 
− 
 
và N
1
1;
3
 
 
 
l n lư t thu c c nh AB, AC. Tìm t a
ñ các ñ nh c a tam giác ABC. (ðs:A(0; – 1), B
7
;3
6
 
− 
 
, C(3; 3))
http://megabook.vn/

18
Bài 10: Bi t ñ nh A và trung tuy n BM, phân giác trong BD. Vi t phương trình các c nh.
Cách gi i:
Ví d 1: Cho tam giác ABC có ñ nh A(3; 4), ñư ng phân giác trong và trung tuy n xu t phát t ñ nh B l n lư t có
phương trình x – y + 1 = 0 và 2x + 3y – 4 = 0. Tìm t a ñ ñ nh C. (ðs:C(–1; 6))
Ví d 2: Cho tam giác ABC có ñ nh A(1; 2), ñư ng phân giác trong và trung tuy n xu t phát t ñ nh B l n lư t có
phương trình 2x + y – 1 = 0 và 2x + 3y – 3 = 0. Tìm t a ñi m D là chân ñư ng phân giác trong c a góc B xu ng AC.
( ðs: D( 5;11)− )
Bài 11: Bi t ñ nh A và trung tuy n BM, phân giác trong CD. Vi t phương trình các canh.
Cách gi i:
Ví d 1: Trong m t ph ng Oxy cho tam giác ABC có ñ nh A(1; 2), ñư ng trung tuy n BM: 2x + y + 1 = 0 và phân
giác trong CD: x + y – 1 = 0. Vi t phương trình ñư ng th ng BC (ðs: 4x + 3y + 4 = 0).
Ví d 2: Cho tam giác ABC có chân ñư ng trung tuy n k t B xu ng AC là M(1; – 1), ñư ng phân giác trong c a
góc C là x + y – 2 = 0. Vi t phương trình c nh AC bi t ñi m N(–7; 7) thu c c nh BC. (ðs: 5x + 3y – 2 = 0)
Ví d 3 (D – 2011 ): Cho tam giác ABC có ñ nh B(– 4; 1), tr ng tâm G(1; 1) và ñư ng th ng ch a phân giác trong
c a góc A có phương trình x – y – 1 = 0. Tìm t a ñ các ñ nh A và C. (ðs: (4;3), (3; 1)A C − )
http://megabook.vn/

19
Bài 12: Bi t ñ nh A và ñư ng cao BH, phân giác trong BD. Vi t phương trình các c nh tam giác.
Cách gi i:
Ví d : Tam giác ABC có A(-3;1), ñư ng cao BH, phân giác trong BD l n lư t có phương trình: x + 7y + 32 = 0 và
x + 3y + 12 = 0. Tìm t a ñ ñi m C. (ðs: C(–4; – 6) )
Bài 13: Bi t ñ nh A và ñư ng cao BH, phân giác trong CD. Vi t phương trình các c nh tam giác.
Cách gi i:
Ví d 1: Cho tam giác ABC có C(–2; 3). ðư ng cao c a tam giác k t ñ nh A và ñư ng phân giác trong c a góc B
l n lư t là: 3x – 2y – 25 = 0; x – y = 0. Vi t phương trình c nh AC c a tam giác. (ðs: 8x + 7y – 5 = 0)
Ví d 2 (B – 2008): Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, hãy xác ñ nh t a ñ ñ nh C c a tam giác ABC bi t r ng hình
chi u vuông góc c a C trên ñư ng th ng AB là ñi m H(– 1; – 1), ñư ng phân giác trong c a góc A có phương trình
x – y + 2 = 0 và ñư ng cao k t B có phương trình 4x + 3y – 1 = 0. (ðs:
10 3
;
3 4
C
 
− 
 
)
CHÚ Ý:
Như v y qua các bài toán liên quan ñ n ñư ng phân giác trong c a tam giác các em s nh n th y ta luôn tìm thêm
ñi m ñ i x ng v i ñi m ñã bi t t a ñ trên c nh k c a góc ch a phân giác qua phân giác ñó , và ñi m ñó s thu c
c nh k còn l i (ñây là ñ c ñi m luôn ñư c khai thác khi có bài toán ch a phân giác)
http://megabook.vn/

20
Lo i 2: Các bài toán v ð nh Lư ng
Bài 14: Bi t ñ nh A ho c tr ng tâm G c a tam giác ABC thu c m t ñư ng th ng d cho trư c.
Bi t t a ñ ñ nh B, C và di n tích tam giác ABC( ho c di n tích c a 1 trong 3 tam giác ABG, BCG, CAG) . Tìm
t a ñ ñ nh A.(N u bi t thêm trung tuy n AM thì thay d ki n bi t t a ñ B, C b i bi t ñư ng th ng BC và câu h i là
tìm t a ñ ñ nh B, C)
TH1 TH2
Cách gi i:
(trư ng h p riêng c a Bài 16)
Ví d 1 (B – 2004): Cho hai ñi m A(1; 1), B(4; -3). Tìm ñi m C thu c ñư ng th ng x – 2y – 1 = 0 sao cho kho ng
cách t C ñ n ñư ng th ng AB b ng 6. ( ðs: (7;3)C ho c
43 27
;
11 11
C
 
− − 
 
)
Ví d 2: Cho tam giác ABC v i A(2; –1), B(1; –2), tr ng tâm G c a tam giác n m trên ñư ng th ng x + y – 2 = 0.
Tìm t a ñ ñ nh C bi t tam giác ABC có di n tích là 13,5. (ðs: C(15; –9) ho c C(–12;18))
Ví d 3: Cho tam giác ABC v i A(1; 1), B(–2; 5), tr ng tâm G thu c ñư ng th ng 1∆ : 2x + 3y – 1 = 0, ñ nh C thu c
ñư ng th ng 2∆ : x + y – 1 = 0. Tính di n tích tam giác ABC. (ðs: 6ABCS∆ = (ñvdt))
CHÚ Ý: Tam giác ABC có G là tr ng tâm thì:
1
3
ABG BCG CAG ABCS S S S∆ ∆ ∆ ∆= = =
http://megabook.vn/

21
Bài 15: Bi t ñ nh A và phương trình ñư ng th ng BC và hình chi u H c a A xu ng BC chia theo BH kHC=
uuur uuur
và bi t
di n tích tam giác ABC (ho c bi t ñ dài ño n BC). Tìm t a ñ B, C.
Cách gi i:
Ví d 1:Cho tam giác ABC có ñ nh A(2; – 2) và phương trình ñư ng th ng BC là 3x – 4y + 1 = 0 và hình chi u H c a
A xu ng BC th a mãn 6HC BH= −
uuur uuur
. Tìm t a ñ các ñi m B và C, bi t di n tích tam giác ABC b ng 7,5 .
(ðs: B(1; 1), C(5; 4))
Ví d 2 (B – 2009 – NC): Cho tam giác ABC cân t i A có ñ nh A(–1;4) và các ñ nh B,C thu c ñư ng th ng
∆: x – y – 4 = 0. Xác ñ nh to ñ các ñi m B và C, bi t di n tích tam giác ABC b ng 18.
( ðs:
11 3 3 5
; , ;
2 2 2 2
B C
   
−   
   
ho c
3 5 11 3
; , ;
2 2 2 2
B C
   
−   
   
)
Ví d 3 (B – 2002): Cho hình ch nh t ABCD có tâm I
1
;0
2
 
 
 
, phương trình ñư ng th ng AB là x – 2y + 2 = 0 và
AB = 2AD. Tìm t a ñ các ñi m A, B, C, D bi t r ng A có hoành ñ âm. (ðs: ( 2;0), (2;2), (3;0), ( 1; 2)A B C D− − − )
Bài 16:
TH1: Bi t ñ nh A và phương trình ñư ng th ng BC, ñư ng th ng d ñi qua ñi m H thu c BC th a mãn BH kHC=
uuur uuur
và bi t di n tích tam giác ABC (ho c bi t ñ dài ño n BC). Tìm t a ñ B, C.
TH2: Bi t phương trình AC và bi t phương trình ñi qua A căt BC t i H (bi t A), bi t B ( ho c C) và th a mãn
BH.BC = k. Tìm ñ nh còn l i.
BH.BC = k
TH1 TH2
http://megabook.vn/

22
Cách gi i:
Ví d 1:Cho tam giác ABC có ñ nh A(1; 1), c nh BC có phương trình 3x – 4y + 6 = 0. ðư ng th ng d c t ño n BC t i
ñi m H sao cho HC = 3BH. Xác ñ nh t a ñ ñi m B, C bi t ñư ng th ng d có phương trình x – 4y + 8 = 0 và tam giác
ABC có di n tích b ng 1,5. (ðs: B(2; 3), C(-2; 0) )
Ví d 2 (B – 2011): Cho hai ñư ng th ng ∆ : x – y – 4 = 0 và d: 2x – y – 2 = 0. Tìm t a ñ ñi m N thu c ñư ng th ng
d sao cho ñư ng th ng ON c t ñư ng th ng ∆ t i ñi m M th a mãn OM.ON = 8. (ðs: (0; 2)N − ho c
6 2
;
5 5
N
 
 
 
Bài 17: Bi t t a ñ ñi m A, ñư ng phân giác trong c a góc B và cho bi t ñ l n góc B và di n tích tam giác ABC.
Tìm t a ñ B,C
Cách gi i:
Bài t p áp d ng (Các em hãy d a vào ý tư ng Bài 17 ñ gi i ví d sau)
http://megabook.vn/

23
Ví d (B – 2010): Cho tam giác ABC vuông t i A có ñ nh C(– 4; 1), phân giác trong góc A có phương trình
x + y – 5 = 0. Vi t phương trình ñư ng th ng BC, bi t di n tích tam giác ABC b ng 24 và ñ nh A có hoành ñ dương.
Bài 18: Tam giác ABC cân t i A, bi t AB và BC n m l n lư t trên 2 ñư ng th ng 1 2,d d . Bi t M 0 0( ; )x y ∈ AC. Tìm
t a ñ các ñ nh.
Cách gi i:
C2:
+) Tìm 1 2{ }B d d= I
+) Vi t phương trình 3d qua M song song v i 2d
+) Tìm 1 3{ }N d d= I ⇒ phương trình trung tr c 4d c a MN 4 1{ }A d d⇒ = I
+) Vi t phương trình AM 2{C} AM d⇒ = I
NH N XÉT: C2 hay hơn C1
Ví d 1: Cho tam giác ABC cân t i A có phương trình hai c nh BC, AB l n lư t là: x – 3y – 1 = 0 và x – y – 5 = 0.
ðư ng th ng AC ñi qua M(–4; 1). Tìm t a ñ ñ nh C. (ðs:
8 1
;
5 5
C
 
 
 
).
Ví d 2: Trong m t ph ng Oxy, hãy xác ñ nh t a ñ các ñ nh c a tam giác ABC vuông cân t i A. Bi t r ng c nh
huy n n m trên ñư ng th ng d: x + 7y – 31 = 0, ñi m N(7; 7) thu c ñư ng th ng AC, ñi m M(2; –3) thu c AB và
n m ngoài ño n AB. (ðs: ( 1;1), ( 4;5), (3;4)A B C− − )
Ví d 3: Cho tam giác ABC cân t i A có phương trình AB, BC l n lư t là y + 1 = 0 và x + y – 2 = 0. Tính di n tích
http://megabook.vn/

24
tam giác ABC bi t AC ñi qua ñi m M(–1; 2) (ðs: 8ABCS∆ = ).
Ví d 4 (A – 2010 – NC): Cho tam giác ABC cân t i A có ñ nh A(6; 6); ñư ng th ng ñi qua trung ñi m c a các c nh
AB và AC có phương trình x + y – 4 = 0. Tìm t a ñ các ñ nh B và C, bi t ñi m E(1; - 3) n m trên ñư ng cao ñi qua
ñ nh C c a tam giác ñã cho. (ðs: (0; 4), ( 4;0)B C− − ho c ( 6;2), (2; 6)B C− − )
Ví d 5 (B – 2007): Cho ñi m A(2; 2) và các ñư ng th ng 1d : x + y – 2 = 0, 2d : x + y – 8 = 0. Tìm t a ñ các ñi m
B và C l n lư t thu c 1d và 2d sao cho tam giác ABC vuông cân t i A. (ðs: ( 1;3), (3;5)B C− ho c (3; 1), (5;3)B C− )
Ví d 6 (B – 2011 – NC): Cho tam giác ABC có ñ nh B
1
;1
2
 
 
 
. ðư ng tròn n i ti p tam giác ABC ti p xúc v i các
c nh BC, CA, AB tương ng t i các ñi m D, E, F. Cho D(3; 1) và ñư ng th ng EF có phương trình y – 3 = 0. Tìm t a
ñ ñ nh A, bi t A có tung ñ dương. ( ðs:
13
3;
3
A
 
 
 
)
Bài 19: Các ñi m liên h v i nhau b i m t n và m t ñi u ki n v ñ nh lư ng
Cách gi i:
+) Khai thác d ki n bài toán ñ chuy n các ñi m v 1 n t (nh thu t toán tìm ñi m)
+) Thi t l p phương trình: ( ) 0 ?f t t= ⇒ = ⇒ các ñi m c n tìm.
CHÚ Ý: Bài 8 là trư ng h p ñ c bi t c a Bài 19 khi ñi u ki n ñ nh lư ng là ñi u ki n góc 0
90 (vuông góc).
Ví d 1: Cho tam giác ABC vuông t i A. Hai ñi m A, B thu c tr c hoành. Phương trình c nh BC là 4x + 3y – 16 = 0.
Xác ñ nh t a ñ tr ng tâm G c a tam giác ABC, bi t bán kính ñư ng tròn n i ti p tam giác ABC b ng 1.
(ðs: G
4
2;
3
 
 
 
ho c G
4
6;
3
 
− 
 
)
Ví d 2 (A – 2002): Cho tam giác ABC vuông t i A, phương trình ñư ng th ng BC là 3x y 3 0− − = , các ñ nh A và B
thu c tr c hoành và bán kính ñư ng tròn n i ti p b ng 2. Tìm t a ñ tr ng tâm G c a tam giác ABC.
(ðs:
7 4 3 6 2 3
;
3 3
G
 + +
 
 
ho c
4 3 1 6 2 3
;
3 3
G
 − − − −
 
 
)
Ví d 3 (D – 2008): Cho (P): 2
16y x= và ñi m A(1; 4). Hai ñi m phân bi t B, C (B và C khác A) di ñ ng trên (P) sao
cho góc 0
90BAC∠ = . Ch ng minh r ng ñư ng th ng BC luôn ñi qua m t ñi m c ñ nh. (ðs: ñi m c ñ nh I(17; –4))
Ví d 4 (A – 2006): Cho các ñư ng th ng: 1d : x + y + 3 = 0, 2d : x – y – 4 = 0, 3d : x – 2y = 0. Tìm t a ñ ñi m M
n m trên ñư ng th ng 3d sao cho kho ng cách t M ñ n ñư ng th ng 1d b ng hai l n kho ng cách t M ñ n ñư ng
th ng 2d . (ðs: ( 22; 11)M − − ho c (2;1)M )
Ví d 5 (B – 2005): Cho hai ñi m A(2;0) và B(6;4). Vi t phương trình ñư ng tròn (C) ti p xúc v i tr c hoành t i
ñi m A và kho ng cách t tâm c a (C) ñ n ñi m B b ng 5.
(ðs: 2 2
( ):( 2) ( 1) 1C x y− + − = ho c 2 2
( ):( 2) ( 7) 49C x y− + − = )
Ví d 6 (A – 2005): Cho hai ñư ng th ng d1 : x – y = 0 và d2 : 2x + y – 1 = 0 tìm t a ñ các ñ nh c a hình vuông
ABCD bi t r ng ñ nh A thu c d1 , ñ nh C thu c d2 và các ñ nh B, D thu c tr c hoành.
(ðs: (1;1), (0;0), (1; 1), (2;0)A B C D− ho c (1;1), (2;0), (1; 1), (0;0)A B C D− )
Ví d 7 (D – 2006): Cho ñư ng tròn 2 2
( ) : 2 2 1 0C x y x y+ − − + = và ñư ng th ng d: x – y + 3 = 0. Tìm t a ñ
ñi m M n m trên d sao cho ñư ng tròn tâm M, có bán kính g p ñôi bán kính ñư ng tròn (C), ti p xúc ngoài v i ñư ng
tròn (C). ( ðs: (1;4)M ho c ( 2;1)M − )
Ví d 8 (D – 2004): Cho tam giác ABC có các ñ nh A(-1; 0); B (4; 0); C(0;m) v i m ≠ 0. Tìm t a ñ tr ng tâm G c a
http://megabook.vn/

25
tam giác ABC theo m. Xác ñ nh m ñ tam giác GAB vuông t i G. (ðs: (1; ), 3 6
3
m
G m = ± )
1
;0
2
 
 
 
AB = 2AD. Tìm t a ñ các ñi m A, B, C, D bi t r ng A có hoành ñ âm. (ðs: ( 2;0), (2;2), (3;0), ( 1; 2)A B C D− − − )
D ng 2: Các bài toán v ñư ng th ng
Lo i 1: ði qua m t ñi m và th a mãn m t y u t ñ nh lư ng
Cách gi i chung:
C1:
+) G i phương trình ñi qua ñi m M 0 0( ; )x y có h s góc k có d ng:
0 0( )y k x x y= − + hay 0 0 0kx y y kx− + − = ( ∆ )
+) Sau ñó “c t nghĩa” d ki n v ñ nh lư ng ñ thi t l p phương trình: ( ) 0 ?f k k= ⇒ = ⇒ phương trình ∆ .
C2:
+) G i phương trình ñi qua ñi m M 0 0( ; )x y có vtpt ( ; )n a b=
r
( 2 2
0a b+ ≠ ) có d ng:
0 0( ) ( ) 0a x x b y y− + − = hay 0 0 0ax by ax by+ − − = ( ∆ )
+) Sau ñó “c t nghĩa” d ki n v ñ nh lư ng ñ thi t l p phương trình: ( , ) 0f a b a kb= → = (*)
+) T (*) ch n
?
?
a
b
=
⇒
=
phương trình ∆
CHÚ Ý: Chúng ta ñã s d ng cách này trong Bài 18
Bài t p áp d ng
Ví d 1: Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho hai ñi m M(1; 4) và N(6; 2). L p phương trình ñư ng th ng ∆ qua M sao
cho kho ng cách t N t i ∆ b ng 5. (ðs: 21 20 59 0x y− + = và x = 1).
Ví d 2: Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho hai ñi m A(1; 2) và B(5; –1). Vi t phương trình ñư ng th ng qua M(3; 5)
và cách ñ u A và B. (ðs: 3x + 4y – 29 = 0 và x = 3)
Ví d 3: Trong m t ph ng Oxy, cho ñi m M(1; 2). Vi t phương trình ñư ng th ng qua M c t Ox, Oy l n lư t t i hai
ñiêm A, B sao cho OAB là tam giác vuông cân. (ðs: x + y – 3 = 0 và x – y + 1 = 0)
Ví d 4: Trong m t ph ng Oxy, cho ñi m M(4; 3). Vi t phương trình ñư ng th ng qua M sao cho nó t o v i hai tr c
t a ñ m t tam giác có di n tích b ng 3. (ðs: 3 2 6 0x y− − = và 3x – 8y + 12 = 0).
Ví d 5: Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 1), B(1; 7) và C(-1; 0). Vi t phương trình ñư ng th ng ñi
qua C và chia tam giác thành hai ph n b ng nhau, ph n ch a ñi m A có di n tích g p ñôi ph n ch a ñi m B.
(ðs: 6x – 5y + 6 = 0).
Ví d 6: Trong m t ph ng Oxy, cho ba ñi m A( - 1; 2), B(5; 4) và M(2; 5). Vi t phương trình ñư ng th ng ñi qua M
và cách ñ u hai ñi m A và B (ðs: 5x – 3y + 13 = 0 và x = 2)
Ví d 7: Trong m t ph ng Oxy, cho ñi m M(9; 4). Vi t phương trình ñư ng th ng qua M, c t hai tia Ox và tia Oy t i
A và B sao cho:
1) tam giác OAB có di n tích nh nh t. (ðs: 4x + 9y – 72 = 0)
2) OB + OC nh nh t. (ðs: 4x + 9y – 72 = 0)
Ví d 8 : Trong m t ph ng Oxy, cho hình thoi ABCD có c nh AB n m trên ñư ng th ng x – 2y + 5 = 0 và ba ñi m
M(–1; 4), N(1; 1), P(–3; 3) l n lư t thu c các c nh BC, CD và AD. Vi t phương trình c nh AD.
(ðs: 2 3 0x y+ − = ho c 11 2 39 0x y− + = )
http://megabook.vn/

26
CHÚ Ý:
+) N u bài toán ñ c p t i các ñi m A(a; 0) và B(0; b) là các giao ñi m v i hai tr c t a ñ các em có th vi t
phương trình ñư ng th ng theo ño n ch n ñi qua AB: 1
x y
a b
+ =
+) N u A(a; 0) , B(0; b) thì OA = a và OB = b
Lo i 2: C t ñư ng tròn, Elip (xem D ng 3, D ng 4)
D ng 3: Các bài toán v ñư ng tròn
Lo i 1: Vi t phương trình ñư ng tròn và xác ñ nh các y u t c a ñư ng tròn
Bài 1: Thi t l p phương trình ñư ng tròn
Cách gi i chung:
C2: +) G i phương trình ñư ng tròn có d ng 2 2
0x y ax by c+ + + + =
+) Tìm a, b, c nh “c t nghĩa” d ki n bài toán
Bài t p áp d ng
Ví d 1: Vi t phương trình ñư ng tròn:
1) ñư ng kính AB v i A(3; 1) và (B(2; – 2).
2) Có tâm I(1; – 2) và ti p xúc v i ñư ng th ng d: x + y – 2 = 0.
3) Có bán kính b ng 5, tâm thu c tr c hoành và ñi qua A(2; 4).
4) Có tâm I(2; – 1) và ti p xúc ngoài v i ñư ng tròn: 2 2
( 5) ( 3) 9x y− + − =
5) có tâm n m trên ñư ng th ng ∆ và ti p xúc v i hai tr c t a ñ Ox, Oy.
6) qua A(–2; –1), B(–1; 4) và C(4; 3) (ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC).
7) qua A(0; 2), B(–1; 1) và có tâm n m trên ñư ng th ng 2x + 3y = 0.
8) qua A(5; 3) và ti p xúc v i ñư ng th ng d: x + 3y + 2 = 0 t i ñi m T(1; –1).
9) N i ti p tam giác OAB bi t A(3; 0) và B(0; 4).
Ví d 2(A – 2007): Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(– 2; – 2) và C(4; – 2). G i H
là chân ñư ng cao k t B; M và N l n lư t là trung ñi m c a các c nh AB và BC. Vi t phương trình ñư ng tròn ñi
qua các ñi m H, M, N. ( ðs: 2 2 2
2 0x y z x y+ + − + − = )
Ví d 3(B – 2010 – NC): Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho ñi m A(2; 3 ) và (E):
2 2
1
3 2
x y
+ = . G i 1F và 2F là các
tiêu ñi m c a (E) ( 1F có hoành ñ âm); M là giao ñi m có tung ñ dương c a ñương th ng 1AF v i (E); N là ñi m ñ i
x ng c a 2F qua M. Vi t phương trình ñư ng tròn ngo i ti p tam giác 2ANF . (ðs:
2
2 2 3 4
( 1)
3 3
x y
 
− + − = 
 
)
http://megabook.vn/

27
Bài 2: Xác ñ nh tâm và bán kính. L p phương trình ti p tuy n c a ñư ng tròn
Cách gi i chung:
*) Xác ñ nh tâm và bán kính
trong ñó
2 2
0
2 2
a b
c
   
+ − >   
   
: ði u ki n t n t i ñư ng tròn.
C2: S d ng h ng ñ ng th c (tách ghép) ñưa ñư ng tròn v d ng:
trong ñó 0h > : ði u ki n t n t i ñư ng tròn.
*) L p phương trình ti p tuy n c a ñư ng tròn
C1: N u bi t ti p ñi m M ⇒ phương trình ti p tuy n d c a (C) t i M nh n IM
uuur
làm véc tơ pháp tuy n.
C2: N u không bi t ti p ñi m thì dùng ñi u ki n : ∆ là ti p tuy n c a (C) ( , )d I R⇔ ∆ =
Bài t p áp d ng
Ví d 1: Cho ñư ng tròn (C): 2 2
2 4 4 0x y x y+ − + − =
1) Tìm tâm và bán kính c a (C).
2) Cho A(3; – 1). Ch ng minh A là ñi m n m trong ñư ng tròn. Vi t phương trình ñư ng th ng qua A và c t (C)
theo m t dây cung có ñ dài nh nh t.
3) Cho d: 3x – 4y = 0. Ch ng minh d c t (C) t i hai ñi m phân bi t M, N và sau ñó tính MN.
Ví d 2(Các bài toán cơ b n: Vi t phương trình ti p tuy n t i m t ñi m cho trư c, có phương cho trư c và qua 1
ñi m cho trư c) Vi t phương trình ti p tuy n c a ñư ng tròn:
1) 2 2
( 3) ( 1) 25x y− + + = t i ñi m có hoành ñ b ng – 1
2) 2 2
4 2 5 0x y x y+ + − − = t i ñi m ñư ng tròn c t tr c Ox.
3) 2 2
2x y+ = có h s góc b ng 1.
4) 2 2
2 24 0x y y+ − − = bi t ti p tuy n vuông góc v i ñư ng th ng 3x – 4y + 2012 = 0.
5) có tâm I(2; 1), bán kính R = 3 và ñi qua ñi m A(–1; 2).
Lo i 2: S tương giao
Lo i 2.1: S tương giao gi a ñư ng th ng và ñư ng tròn
http://megabook.vn/

28
Bài 1: Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ ñi qua M 0 0( ; )x y c t ñư ng tròn (C) t i A, B sao cho AB = l.
Cách gi i
+) G i ( ; )n a b∆ = ⇒
uur
phương trình ∆ : 0 0 0 0( ) ( ) 0 : ( ) 0a x x b y y ax by ax by− + − = ⇔ ∆ + − + =
+) T (*) ta ch n :
?
?
a
b
=
⇒
=
phương trình ∆ ( N u mu n tìm c th A, B ta gi i h :
( )C
∆


)
Ví d 1: Cho ñư ng tròn 2 2
( ) : 6 4 12 0C x y x y+ − + − = . Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ ñi qua M(1; 3) c t (C)
theo dây cung AB có ñ dài b ng 2 . (ðs: x – y + 2 = 0 và x + 41y – 124 = 0)
Ví d 2 (A – 2009 – NC): Cho ñư ng tròn 2 2
( ) : 4 4 6 0C x y x y+ + + + = và ñư ng th ng ∆ : 2 3 0x my m+ − + = ,
v i m là tham s th c. G i I là tâm c a ñư ng tròn (C). Tìm m ñ ∆ c t (C) t i hai ñi m phân bi t A và B sao cho
di n tích tam giác IAB l n nh t. (ðs: 0m = ho c
8
15
m = )
( ðs:
11 3 3 5
; , ;
2 2 2 2
B C
   
−   
   
ho c
3 5 11 3
; , ;
2 2 2 2
B C
   
−   
   
)
Ví d 4(D – 2009 – NC): Cho ñư ng tròn 2 2
( ) :( 1) 1C x y− + = . G i I là tâm c a (C). Xác ñ nh t a ñ ñi m M thu c
(C) sao cho IOM∠ = 0
90 . ( ðs:
3 3
;
2 2
M
 
 
 
ho c
3 3
;
2 2
M
 
− 
 
)
( ) : 4 2 15 0C x y x y+ − + − = . G i I là tâm ñư ng tròn (C). Vi t phương trình ñư ng
thăng ∆ qua M(1; –3) c t (C) t i A, B sao cho tam giác IAB có di n tích b ng 8 và c nh AB là c nh l n nh t.
(ðs: 4x + 3y + 5 = 0 và y + 3 = 0)
( ) :( 1) ( 2) 4C x y− + − = và ñi m M(2; 1). Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ qua M c t
(C) t i 2 ñi m A, B sao cho
1) Dây cung AB l n nh t. (ðs: x + y – 3 = 0)
2) Dây cung AB ng n nh t. (ðs: x – y – 1 = 0)
Ví d 7: Cho ñư ng tròn (C) : 2 2
1x y+ = .ðư ng tròn ( C’) tâm I(2;2) c t (C) t i 2 ñi m A,B sao cho 2AB = .
Vi t phương trình ñư ng th ng AB. ( ðs: 1 0x y+ + = ho c 1 0x y+ − = )
http://megabook.vn/

29
Bài 2: Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ bi t 0 0( ; )n a b∆ =
uur
(ho c ph i tìm nh quan h song song ho c vuông góc) c t
ñư ng tròn (C) t i 2 ñi m phân bi t A, B và th a mãn m t ñi u ki n v ñ nh lư ng.
Cách gi i:
+) Phương trình ∆ có 0 0( ; )n a b∆ =
uur
: 0 0 0a x b y m+ + = 0
0
a x m
y
b
− −
⇒ = (*) (n u 0
0
0
m
b x
a
−
= ⇒ = )
+) Thay (*) vào phương trình ñư ng tròn (C) 2
0ax bx c⇒ + + = (2*) (phương trình ch a tham s m)
+) G i 1 1 2 2 1 2( ; ), ( ; ) ,A x y B x y x x⇒ là nghi m c a phương trình (2*). N u 1 2,x x bi u di n theo m :
Ví d 1(D – 2011 – NC): Cho ñi m A(1; 0) và ñư ng tròn (C): 2 2
2 4 5 0x y x y+ − + − = . Vi t phương trình ñư ng
th ng ∆ c t (C) t i hai ñi m M và N sao cho tam giác AMN vuông cân t i A. (ðs: 1y = ho c 3y = − )
Ví d 2(D – 2010 – CB ): Cho tam giác ABC có ñ nh A(3; –7), tr c tâm H(3; –1), tâm ñư ng tròn ngo i ti p là I(–2;
0). Xác ñ nh t a ñ ñ nh C, bi t C có hoành ñ dương. (ðs: ( 2 65;3)C − + )
( ) :( 2) ( 3) 10C x y− + − = . Xác ñ nh t a ñ các ñ nh c a hình vuông ngo i ti p ñư ng
tròn, bi t c nh AB ñi qua ñi m ( 3; 2)M − − và ñ nh A có hoành ñ dương. ( ðs: A(6; 1), B(0; –1), C(–2; 5), D(4; 7))
Bài 3: Tìm ñi m M thu c ñư ng th ng ∆ và cách m t ñi m c ñ nh I m t kho ng không ñ i (MI = R)
Cách gi i : Có th hi u bài toán này theo 2 cách (b n ch t là m t)
C2: T a ñ ñi m M là nghi m c a h :
( )C
∆


( ñây (C) là ñư ng tròn tâm I bán kính R)
CHÚ Ý:
+)V i C1 chúng ta không c n quan tâm t i bài toán v s tương giao gi a ñư ng th ng và ñư ng tròn
(ñ c p C2) và gi i theo phương pháp ñ i s thông thư ng.
+) V i C2 ta th y rõ hơn b n ch t c a bài toán.
+) C1 và C2 là hai cách trình bày khác nhau c a cùng m t phương pháp th trong gi i h phương trình.
+) Có th chúng ta chưa nhìn th y luôn ñi m I . Khi ñó ñ bài thư ng cho bi t ñi m M nhìn ño n AB c ñ nh dư i m t
góc vuông (I lúc này là trung ñi m c a AB), và có th ph i thông qua m t vài khâu c t nghĩa v y u t ñ nh lư ng
thì ta m i có ñư c MI = R = const…
+) Ý tư ng c a Bài toán này xu t hi n r t nhi u trong các kì thi ð i H c các năm qua.
http://megabook.vn/

30
Ví d 1 (A, A1 – 2012 – CB ): Cho hình vuông ABCD. G i M là trung ñi m c a c nh BC, N là ñi m trên c nh CD sao
cho CN = 2ND. Gi s
11 1
;
2 2
M
 
 
 
(ðs : (1; 1)A − ho c (4;5)A )
Ví d 2 (A – 2011 – CB ): Cho ñư ng th ng ∆: x + y + 2 = 0 và ñư ng tròn (C): 2 2
4 2 0x y x y+ − − = . G i I là tâm
c a (C), M là ñi m thu c ∆ . Qua M k các ti p tuy n MA và MB ñ n (C) (A và B là các ti p ñi m). Tìm t a ñ ñi m
M, bi t t giác MAIB có di n tích b ng 10. (ðs : (2; 4)M − ho c ( 3;1)M − )
Ví d 3 (A – 2010 – CB): Cho hai ñư ng th ng 1 : 3 0d x y+ = và 2 : 3 0d x y− = . G i (T) là ñư ng tròn ti p xúc
v i 1d t i A, c t 2d t i hai ñi m B và C sao cho tam giác ABC vuông t i B. Vi t phương trình c a (T), bi t tam giác
ABC có di n tích b ng
3
2
và ñi m A có hoành ñ dương. (ðs :
2 2
1 3
1
22 3
x y
   
+ + + =  
  
)
Ví d 4 (D – 2010 – CB): Cho tam giác ABC có ñ nh A(3; –7), tr c tâm là H(3; –1), tâm ñư ng tròn ngo i ti p là
I(–2; 0). Xác ñ nh t a ñ ñ nh C, bi t C có hoành ñ dương. (ðs : ( 2 65;3)C − + )
Ví d 5 (D – 2010 – NC): Cho ñi m A(0; 2) và ∆ là ñư ng th ng ñi qua O. G i H là hình chi u vuông góc c a A trên
∆ . Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ , bi t kho ng cách t H ñ n tr c hoành b ng AH.
(ðs : ( 5 1) 2 5 2 0x y− − − = ho c ( 5 1) 2 5 2 0x y− + − = )
Ví d 6 (B – 2009 – CB ): Cho ñư ng tròn (C): (x – 2)2
+ y2
=
4
5
và hai ñư ng th ng ∆1: x – y = 0 và ∆2: x – 7y = 0.
Xác ñ nh to ñ tâm K và bán kính c a ñư ng tròn (C1); bi t ñư ng tròn (C1) ti p xúc v i các ñư ng th ng ∆1, ∆2 và
tâm K thu c ñư ng tròn (C). (ðs :
8 4
;
5 5
K
 
 
 
và bán kính
2 2
5
R = )
(ðs :
11 3 3 5
; , ;
2 2 2 2
B C
   
−   
   
ho c
3 5 11 3
; , ;
2 2 2 2
B C
   
−   
   
)
( ) : ( 1) ( 2) 9C x y− + + = và ñư ng th ng d: 3x – 4y + m = 0. Tìm m ñ trên d
có duy nh t m t ñi m P mà t ñó có th k ñư c hai ti p tuy n PA, PB t i (C) (A, B là các ti p ñi m) sao cho tam
giác PAB ñ u. (ðs : 19m = ho c 41m = − )
tròn (C). (ðs : (1;4)M ho c ( 2;1)M − )
Ví d 10 (B – 2005): Cho hai ñi m A(2;0) và B(6;4). Vi t phương trình ñư ng tròn (C) ti p xúc v i tr c hoành t i
ñi m A và kho ng cách t tâm c a (C) ñ n ñi m B b ng 5.
(ðs : 2 2
( 2) ( 1) 1x y− + − = ho c 2 2
( 2) ( 7) 49x y− + − = )
Ví d 11 (B – 2003): Cho tam giác ABC có AB = AC , BAC = 900
. Bi t M(1; -1) là trung ñi m c nh BC và G
2
;0
3
 
 
 
là tr ng tâm c a tam giác ABC. Tìm t a ñ các ñ nh A, B, C. (ðs : (0;2), (4;0), ( 2; 2)A B C − − )
1
;0
2
 
 
 
AB = 2AD. Tìm t a ñ các ñi m A, B, C, D bi t r ng A có hoành ñ âm. (ðs : ( 2;0), (2;2), (3;0), ( 1; 2)A B C D− − − )
Ví d 13: Cho tam giác ABC có tr c tâm là H(–1; 4), tâm ñư ng tròn ngo i ti p là I(–3; 0) và trung ñi m c a c nh
BC là M(0; 3). Vi t phương trình ñư ng th ng AB, bi t B có hoành ñ dương. (ðs: 3x + 7y – 49 = 0)
http://megabook.vn/

31
Ví d 14: Cho ba ñi m I(1; 1), M(–2; 2) và N(2; –2). Tìm t a ñ các ñ nh c a hình vuông ABCD sao cho I là tâm c a
hình vuông, M thu c c nh AB, K thu c c nh CD và A có hoành ñ dương. (ðs: A(1; 5), B(–3; 1), C(1; –3), D(5; 1))
Ví d 15: Cho tam giác ABC có tr ng tâm là G
1 1
;
3 3
 
 
 
, tâm ñư ng tròn ngo i ti p là I
2 4
;
5 5
 
− 
 
và trung ñi m
c a c nh BC là M(–1; 2). Vi t phương trình ñư ng th ng AC, bi t B có hoành ñ âm. (ðs: 3x + y – 6 = 0)
Ví d 16: Cho ñư ng tròn ( C ) : 2 2
8 6 21 0x y x y+ − + + = và ñư ng th ng d : x + y – 1 = 0.Xác ñ nh t a ñ các
ñ nh c a hình vuông ABCD ngo i ti p (C) bi t A thu c d và hoành ñ c a ñi m B l n hơn hoành ñ c a ñi m D)
(ðs : (6;5), (6; 1), (2;1), (2; 5)A B C D− − ho c (2;1), (6; 1), (6;5), (2; 5)A B C D− − )
Bài 4: Qua ñi m M 0 0( ; )x y n m ngoài ñư ng tròn (C) có tâm I bán kính R.
1) Vi t phương trình ti p tuy n 1 2,MT MT ñ n ñư ng tròn.
2) Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ ñi qua 1 2,T T .
3) Tính di n tích t giác 1 2MT IT .
Cách gi i:
Cách vi t t ng quát v phương trình ti p tuy n:
TH1: N u bi t ti p ñi m T ⇒ ti p tuy n ∆ c a (C) ñi qua T nh n IT
uur
làm vtpt⇒ phương trình ∆
TH2: N u không bi t ti p ñi m thì dùng ñi u ki n : ∆ là ti p tuy n c a (C) ( , )d I R⇔ ∆ =
1) Như v y v i bài toán này ta s làm theo TH2 :
+) G i ∆ ñi qua ñi m M 0 0( ; )x y có vtpt ( ; )n a b=
r
( 2 2
0a b+ ≠ ) có d ng:
0 0( ) ( ) 0a x x b y y− + − = hay 0 0 0ax by ax by+ − − = ( ∆ )
+) T (*) ch n
?
?
a
b
=
⇒
=
phương trình 1 2,∆ ∆ hay phương trình 1 2,MT MT
( m t trong hai phương trình (*) có th có: a = 0 ho c b = 0)
CHÚ Ý: Có th tìm c th t a ñ 1 2,T T nh gi i h :
( )C
∆


2) +) G i 0 0( ; )T x y là ti p ñi m c a ti p tuy n k t M ñ n (C)
( )
. 0
T C
MT IT
∈
⇒ 
=
uuur uur (*)
3) 1 2 1 1 1 1
1
2 2. . .
2
MT IT MT IS S MT IT MT R= = = v i 2 2
1MT MI R= −
http://megabook.vn/

32
Ví d 1(B – 2006): Cho ñư ng tròn: 2 2
( ) : 2 6 6 0C x y x y+ − − + = và ñi m M(– 3; 1). G i 1T và 2T là các ti p ñi m
c a các ti p tuy n k t M ñ n (C). Vi t phương trình ñư ng th ng 1T 2T . (ðs: 2 3 0x y+ − = )
Ví d 2: (A – 2011 – CB): Cho ñư ng th ng ∆: x + y + 2 = 0 và ñư ng tròn (C): 2 2
4 2 0x y x y+ − − = . G i I là tâm
c a (C), M là ñi m thu c ∆ . Qua M k các ti p tuy n MA và MB ñ n (C) (A và B là các ti p ñi m). Tìm t a ñ ñi m
M, bi t t giác MAIB có di n tích b ng 10. (ðs : (2; 4)M − ho c ( 3;1)M − )
Bài 5:Cho ñư ng th ng ∆ , ñư ng tròn (C) có tâm I và hai ñi m ,M N n m ngoài ñư ng tròn.
1) Tìm ñi u ki n ñ ∆ c t (C) t i hai ñi m phân bi t A, B sao cho di n tích tam giác IAB l n nh t.
2) Tìm K thu c (C) sao cho di n tích tam giác KMN l n nh t, nh nh t.
3) Tìm P thu c ∆ sao cho qua P k hai ti p tuy n 1 2,PT PT sao cho di n tích tam giác 1 2ITT l n nh t.
TH1 TH2 TH3
Cách gi i :
Ví d 1 : Cho ñư ng tròn 2 2
( ) : 2 3 0C x x y− + − = . G i B, C là giao ñi m c a ñư ng th ng : 3 0x y∆ + − = . Hãy
tìm các ñi m A trên ñư ng tròn (C) sao cho tam giác ABC có chu vi l n nh t. (ðs : (1 2; 2)A − − )
Ví d 2 : Cho ñư ng tròn 2 2
( ) : 4 6 12 0C x y x y+ − − + = có tâm I và ñư ng th ng : 4 0x y∆ + − = . Tìm trên
ñư ng th ng ∆ ñi m M sao cho ti p tuy n k t M ti p xúc v i (C) t i A, B mà tam giác IAB có di n tích l n nh t.
(ðs :
3 3 5 3 3 3 5 3
( ; ), ( ; )
2 2 2 2
M M
+ − − +
)
Ví d 3 : Cho ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC v i A(2 ; - 2), B(4 ; 0), C(3 ; 2 1− ) và ñư ng th ng
http://megabook.vn/

33
∆ : 4 4 0x y+ − = . Tìm trên ñư ng th ng ∆ ñi m M sao cho ti p tuy n c a (C) qua M ti p xúc v i C t i N sao cho
di n tích tam giác NAB l n nh t. (ðs :
6 4
(2; 4), ( ; )
5 5
M M− − )
Bài 6: Vi t phương trình ∆ qua 0 0( ; )M x y c t ñư ng tròn (C) có tâm I, bán kính R t i A, B sao cho MA kMB= .
Cách gi i :
C1 : +) ð t IH h=
2 2
2 2
MH IM h
HA HB R h
 = −
= = −

→ 

(*)
CHÚ Ý:
+) Cách gi i trên th y s d ng trư ng h p 1k > ( v i 1k < các em làm tương t )
+) Cách gi i trên th y s d ng 0 0( ; )M x y n m ngoài ñư ng tròn (C) ( 0 0( ; )M x y n m trong (C) các em làm tương t )
C2 :
+) Xét phương trình ∆ qua 0 0( ; )M x y có h s góc k có d ng : 0 0( )y k x x y= − +
+) Xác ñ nh phương trình hoành ñ giao ñi m c a ∆ và (C) : 2
( , , ) 0f x x k = (*)
+) Dùng vi – et cho (*) và k t h p MA kMB= ?k⇒ = ⇒phương trình ∆ .
Ví d 1 : Cho ñư ng tròn (C): 2 2
2 2 23 0x y x y+ − + − = , ñi m M(7; 3). Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ qua M
c t ñư ng tròn (C) t i A, B sao cho MA = 3MB. ( ðs : 3y = ho c 12 5 69 0x y− − = )
Ví d 2 : Cho ñi m A(-1 ; 14) và ñư ng tròn (C) tâm I(1 ; -5), bán kính b ng 13. Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ ñi
qua A c t (C) t i M, N mà kho ng cách t M ñ n AI b ng m t n a kho ng cách t N ñ n AI.
(ðs : x + y – 13 = 0 và 433x – 281y +4367 = 0)
http://megabook.vn/

34
TH1: 'R r II+ > TH2: 'R r II+ = TH3: 'R r II+ < TH4: 'R r II− =
Ngoài nhau Ti p xúc ngoài C t nhau t i hai ñi m Ti p xúc trong
CHÚ Ý: Còn trư ng h p ñ ng nhau. Nhưng trư ng h p này ít ñư c khai thác nên th y không ñ c p ñây.
Bài t p áp d ng
Ví d 1(D – 2009 – NC): Cho ñư ng tròn 2 2
( ) :( 1) 1C x y− + = . G i I là tâm c a (C). Xác ñ nh t a ñ ñi m M thu c
(C) sao cho 0
30IOM∠ = . (ðs:
3 3
;
2 2
M
 
 
 
ho c
3 3
;
2 2
M
 
− 
 
)
Ví d 2(D – 2003): Cho ñư ng tròn (C) : (x – 1)2
+ (y – 2)2
= 4 và ñư ng th ng d : x – y – 1 = 0.Vi t phương trình
ñư ng tròn (C’) ñ i x ng v i ñư ng tròn (C) qua ñư ng th ng d. Tìm t a ñ các giao ñi m c a (C) và (C’).
(ðs: 2 2
( 3) 4x y− + = (1;0), (3;2)A B )
tròn (C). (ðs: (1;4)M ho c ( 2;1)M − )
1( ) : 6 4 7 0C x y x y+ − + − = c t ñư ng tròn 2 2
2( ) :( 6) ( 1) 50C x y+ + − = t i hai ñi m
M, N bi t M có hoành ñ dương. Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ ñi qua M l n lư t c t 1 2( ),( )C C t i các ñi m th
hai A, B sao cho M là trung ñi m c a AB. (ðs: 5x – 7y + 9 = 0)
Ví d 5: Cho tam giác ABC n i ti p ñư ng tròn tâm I(6; 6) và ngo i ti p ñư ng tròn tâm K(4; 5), biêt ñ nh A(2; 3).
Vi t phương trình c nh BC. (ðs: 3x + 4y – 42 = 0)
Ví d 6: Cho ñư ng tròn (C) : 2 2
1x y+ = .ðư ng tròn ( C’) tâm I(2;2) c t (C) t i 2 ñi m A,B sao cho 2AB = .
Vi t phương trình ñư ng th ng AB. ( ðs: 1 0x y+ + = ho c 1 0x y+ − = )
D ng 4: Các bài toán v Elip
Lo i 1: Vi t phương trình Elip và xác ñ nh các y u t c a Elip
Cách gi i chung:
+) Gi s phương trình chính t c c a elip có d ng:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ = ( )E
Bài t p áp d ng
Ví d 1: L p phương trình chính t c c a elip (E) bi t:
1) Có ñ dài hai tr c là 6, 4.
2) Có m t ñ nh là (5; 0) và tiêu c là 6.
3) Có m t ñ nh là (0; 3) và ñi qua ñi m M(4; 1).
Lo i 2.2: S tương giao gi a hai ñương tròn
http://megabook.vn/

35
4) ði qua hai ñi m
3
1;
2
 
 
 
và
2
2;
2
 
− 
 
.
5) Có tiêu ñi m 2 (2;0)F và qua ñi m
5
2;
3
 
 
 
.
6) Có tiêu ñi m 2 (5;0)F và kho ng cách gi a hai ñ nh là 9.
7) Tiêu c là 4 và kho ng cách t m t ñ nh trên tr c nh ñ n tiêu ñi m b ng 5.
( ðs: 1)
2 2
1
9 4
x y
+ = 2)
2 2
1
25 16
x y
+ = 3)
2 2
1
18 9
x y
+ = 4)
2 2
1
4 1
x y
+ = 5)
2 2
1
9 5
x y
+ =
6)
2 2
1
181 81
4 4
x y
+ = 7)
2 2
1
25 21
x y
+ = ho c
2 2
1
49 45
x y
+ = ho c
2 2
1
9 5
x y
+ = )
Ví d 2(A – 2008): Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, hãy vi t phương trình chính t c c a elip (E) bi t r ng (E) có
tâm sai b ng
5
3
và hình ch nh t cơ s c a (E) có chu vi b ng 20. (ðs:
2 2
1
9 4
x y
+ = )
Ví d 3(B – 2012 – NC): Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và ñư ng tròn ti p xúc v i các c nh c a hình thoi có
phương trình 2 2
4x y+ = . Vi t phương trình chính t c c a elip (E) ñi qua các ñ nh A, B, C, D c a hình thoi. Bi t A
thu c Ox. (ðs:
2 2
1
20 5
x y
+ = )
Ví d 3: Trong m t ph ng Oxy, cho elip (E) có ñ dài tr c l n b ng 4 2 ,các ñ nh n m trên tr c nh và các tiêu
ñi m c a (E) cùng n m trên m t ñư ng tròn. L p phương trình chính t c c a (E).
Ví d 4: Cho elip (E) có ñ dài tr c l n b ng 6, tâm sai b ng m t ph n hai và kho ng cách t m t ñi m M c a (E) ñ n
tiêu ñi m 1F (có hoành ñ âm) b ng 7.
1) Tìm kho ng cách t M ñ n tiêu ñi m 2F 2) Vi t phương trình chính t c c a elip (E) và tìm t a ñ ñi m M.
Lo i 2: Tìm ñi m thu c Elip
+) T (1) và (2)
0
0
?
?
x
y
=
⇒ 
=
M⇒
CHÚ Ý : N u 0 0( ; ) ( )M x y E∈ ta có th khai thác thêm d ki n:
1 0
2 0
c
MF a x
a
c
MF a x
a

= +

 = −

Bài t p áp d ng
Ví d 1: Cho elip (E):
2 2
1
6 2
x y
+ =
1) Tìm t a ñ giao ñi m c a (E) và ñư ng th ng 3 2y x= − . 2)Tìm trên (E) ñi m M sao cho góc 0
1 2 90FMF∠ =
3) Tìm trên (E) ñi m N sao cho 1 2 6F N F N− = .
1)
3 7
( 3;1), ;
5 5
A B
 
− 
 
2) 1 2 3 4( 3;1), ( 3; 1), ( 3;1), ( 3; 1)M M M M− − − − 3)
3 5
;
2 4
N
 
 
 
ho c
3 5
;
2 4
N
 
− 
 
http://megabook.vn/

36
Ví d 2: Cho (E):
2 2
2 2
1
x y
a b
+ = có tiêu ñi m 1 2,F F
1) Cho a = 2, b = 1. Tìm ñi m M sao cho 1 22F M F M= . (ðs:
4 23
;
273 3
M
 
 
 
ho c
4 23
;
273 3
M
 
− 
 
)
2) Ch ng minh r ng v i m i ñi m M ta luôn có: 2 2 2
1 2.F M F M OM a b+ = +
Ví d 3(D – 2005): Cho ñi m C(2;0) và elíp (E):
2 2
1
4 1
x y
+ = . Tìm to ñ các ñi m A, B thu c (E), bi t r ng hai ñi m
A, B ñ i x ng v i nhau qua tr c hoành và tam giác ABC là tam giác ñ u.
(ðs:
2 4 3 2 4 3
; , ;
7 7 7 7
A B
   
−   
   
ho c
2 4 3 2 4 3
; , ;
7 7 7 7
A B
   
−   
   
)
Ví d 4 (A – 2011 – NC) : Cho elip (E) :
2 2
1
4 1
x y
+ = . Tìm ñi m A và B thu c (E), có hoành ñ dương sao cho tam
giác OAB cân t i O và có di n tích l n nh t. (ðs:
2 2
2; , 2;
2 2
A B
   
−   
   
or
2 2
2; , 2;
2 2
A B
   
−   
   
)
Ví d 5: Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho elip (E) : 2 2
9 25 225x y+ = . Tìm t a ñ ñi m M thu c (E) sao cho tam
giác M 1 2F F vuông t i M.
Ví d 6: Cho elip (E) : 2 2
5 9 45x y+ = có tiêu ñi m 1 2,F F . M là m t ñi m b t kì trên (E) và bi u th c
1 2
1 2
1 1
f F M F M
F M F M
= + + +
1) Ch ng minh chu vi tam giác 1 2F MF không ñ i. Tìm M ñ di n tích tam giác 1 2F MF b ng 2.
2) Tìm M sao cho giá tr c a f l n nh t.
Ví d 7: Cho ñi m M di ñ ng elip: 2 2
9 16 144x y+ = và H, K l n lư t là hình chi u c a M lên hai tr c t a ñ . Tìm M
ñ di n tích OHMK l n nh t.
Lo i 3: S tương giao gi a ñư ng th ng và Elip
Cách gi i chung : S tương giao gi a ñư ng th ng : 0Ax By C∆ + + = và (E):
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
+) Gi i h 2 2
2 2
0
1
Ax By C
x y
a b
+ + =


+ =

(I) b ng phương pháp th
( ði u ki n ñ ∆ là ti p tuy n c a (E) : 2 2 2 2 2
A a B b C+ = (ñư c sinh ra t (II) )).
Bài t p áp d ng
Ví d 1: Cho elip (E): 2 2
4 9 36x y+ = và ñi m M(1; 1). L p phương trình ñư ng th ng qua M và c t (E) t i hai ñi m
1 2,M M sao cho 1 2MM MM= . (ðs: 4x + 9y – 13 = 0)
Ví d 2:Cho hai ñi m A ( 3;0)− , B ( 3;0)và ñư ng th ng d: 3 2( 3 1) 3 0x y− − + = . Tìm trên d ñi m M có
hoành ñ âm sao cho chu vi tam giác MAB b ng 4 2 3+ . (ðs:
3
1;
2
M
 
− 
 
)
http://megabook.vn/

37
Ví d 3 (D – 2002): Cho elip (E) có phương trình
2 2
1
16 9
x y
+ = . Xét ñi m M chuy n ñ ng trên tia Ox và ñi m N
chuy n ñ ng trên tia Oy sao cho ñư ng th ng MN luôn ti p xúc v i (E). Xác ñ nh t a ñ ñi m M, N ñ ño n MN có
ñ dài nh nh t. Tính giá tr nh nh t ñó. (ðs: (2 7;0), (0; 21)M N và GTNN c a MN b ng 7)
Ví d 4 (B – 2010 – NC): Cho ñi m A(2; 3 ) và (E):
2 2
1
3 2
x y
+ = . G i 1F và 2F là các tiêu ñi m c a (E) ( 1F có
hoành ñ âm); M là giao ñi m có tung ñ dương c a ñương th ng 1AF v i (E); N là ñi m ñ i x ng c a 2F qua M. Vi t
phương trình ñư ng tròn ngo i ti p tam giác 2ANF . (ðs:
2
2 2 3 4
( 1)
3 3
x y
 
− + − = 
 
)
Ví d 5: Cho Elip (E) :
2 2
1
64 9
x y
+ = .Vi t phương trình ti p tuy n d c a (E) bi t d c t 2 tr c t a ñ Ox,Oy l n lư t t i
A,B sao cho AO = 2BO.
CHÚ Ý:
Khi trong bài toán v ñư ng tròn và Elip có y u t min, max chúng ta hay s d ng b t ñ ng th c Cauchy và
Bunhiacopxki (2011A – NC, 2002D…)
http://megabook.vn/
Biên so n: Thanh Tùng

10 Bài toán then chốt chinh phục hình học phẳng Oxy - Megabook.vn

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (16)

Ähnlich wie 10 Bài toán then chốt chinh phục hình học phẳng Oxy - Megabook.vn

Ähnlich wie 10 Bài toán then chốt chinh phục hình học phẳng Oxy - Megabook.vn (20)

Mehr von Megabook

Mehr von Megabook (12)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (20)

10 Bài toán then chốt chinh phục hình học phẳng Oxy - Megabook.vn