Nombres enters

1. NOMBRES ENTERS

2. Tipus de nombres
Els nombres naturals ( ) s’utilitzen per
ordenar, comptar i codificar
= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ....
Els nombres enters ( ) estan formats pels
nombres naturals precedits del signe – o + .
= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ....
Exemples:
Saldo del banc: -1500€ o +200€
Temperatura: -3ºC o 18ºC
Planta d’un edifici: -2 o 15

3. Situacions
Indica amb quin nombre enter indicaries aquestes
situacions:
• Arquimedes va néixer l’any 287 abans de Crist
• Puja cinc pisos amb l’ascensor
• Vola 50 metres sobre el nivell del mar:
• El submarí és a 1500 metres sota el nivell del mar
• Tinc un deute de 500€
• He guanyat 600€
• Fa un calor! Estem a 31º

4. Representació nombres enters
Indica quins nombres corresponen a les lletres: A, B, C, D,E i F
Posa >, < o = en els següents parells de nombres:
-1 ⃞ 3, +3 ⃞ +6, -9 ⃞ -6, 1 ⃞ -1, 0 ⃞ -2, -3 ⃞ +3, -4 -12⃞

5. Valor absolut – valor oposat
Valor absolut d’un nombre enter és el nombre prescindint del
signe.
|+a| = a i |-a| = a
|-8| = 8 valor absolut de -8 és el 8
|+2| = 2 valor absolut de +2 és el 2
Valor oposat d’un nombre enter és el nombre simètric. El mateix
canviat de signe
Op(+a) = - a i Op(-a) = + a
Op (4)= - 4 l’oposat del 4 és el -4
Op (-9)= +9 l’oposat del -9 és el 9

6. Exercicis:
1. Ordena de més gran a més petit i
representa'ls sobre la recta:
op(-2), 0, 5, |-4|, -3, op(1), -6 , +7, |8|
2. Calcula:
a. |-7| + |-3+2| +|-15| =
b. |9-3+2| -|-4| =
c. |-12+8| +op(15) =
d. |-9-2| +|-1-3| +|-2-2| =

7. Suma de nombres enters
• Per a sumar dos nombres de mateix signe:
• S’escriu el mateix signe dels sumands
• Se sumen els valors absoluts dels sumands
• Exemple:
• (+2) + (+3) = +5
• (-1) + (-3) = - 4
• Per a sumar dos nombres de diferent signe:
• S’escriu el mateix signe del sumand que té valor
absolut més gran
• Es resten els valors absoluts dels sumands
• Exemple:
• (-2) + (+9) = +7
• (+1) + (-8) = - 7

8. Suma de nombres enters
• Opció A: S’efectuen les sumes en ordre que
apareixen
(- 3) + (- 5) + (+4) + (-1) =
(- 8) + (+4) + (-1) =
(- 4) + (-1) = - 5
• Opció B: Reordenem els sumands. Els positius
junts i els negatius junts i després efectuem
les sumes corresponents.
(- 3) + (- 5) + (+4) + (-1) = (- 3) + (- 5) + (- 1) + (+4)=
(-9) + (+4) = - 5

9. Restes de nombres enters
Quan trobem el signe – pot tenir dos significats:
• Indica l’operació de resta
• Indica un nombre enter negatiu
Ex: (+ 5) – (- 2) =
Quan volem fer una resta d’un nombre enter negatiu, podem
fer-ho de dues maneres:
• Convertim el signe - +
Ex: (+ 5) – (- 2) = +5 + 2 = + 7
• Substituïm el subtrahend (el que va restat) pel
seu oposat:
Ex: (+ 5) – (- 2) = +5 +op(- 2) = +5 + 2 = 7

10. Practica sumes i restes de
nombres enters
(-6) + (+5) = (-3) + (-4) =
(+4) + (-2) = (+1) + (+3) =
(+3) + (+7) = (-5) + (-9) =
(+7) + (-4) = (-8) + (+2) =
(-6) - (+5) = (-5) - (-9) =
(+4) - (-2) = (-8) - (+2) =
(-4) - (-7) = (+7) - (-4) =
(-15) + (-7) - (-4) + (+4) =
(+9) - (-3) - (+8) + (-12) =
(+4) - (-3) - (-5) - (+6) - (-2) =

11. Solucions
(-6) + (+5) = -1 (-3) + (-4) = -7
(+4) + (-2) = +2 (+1) + (+3) = +4
(+3) + (+7) = +10 (-5) + (-9) = -14
(+7) + (-4) = +3 (-8) + (+2) = -6
(-6) - (+5) = -11 (-5) - (-9) = +4
(+4) - (-2) = +6 (-8) - (+2) = -10
(-4) - (-7) = +3 (+7) - (-4) = +11
(-15) + (-7) - (-4) + (+4) = -14
(+9) - (-3) - (+8) + (-12) = -8
(+4) - (-3) - (-5) - (+6) - (-2) = +8

12. Multiplicacions de nombres
enters
Per multiplicar dos nombres enters:
• Es multipliquen els valors absoluts del
diferents valors
• S’utilitza la regla del signe:
(+) · (+) = + (+4) · (+5) = +20
(-) · (-) = + (-4) · (-3) = +12
(+) · (-) = - (+4) · (-2) = -8
(-) · (+) = - (-5) · (+2) = -10

13. Divisió de nombres enters
Per dividir dos nombres enters:
• Es divideixen els valors absoluts dels diferents
valors
• S’utilitza la regla del signe:
(+) : (+) = + (+40) : (+5) = +8
(-) : (-) = + (-45) : (-3) = +15
(+) : (-) = - (+44) : (-2) = -22
(-) : (+) = - (-50) : (+2) = -25

14. Exercicis multiplicacions i
divisions d’enters
56 : (-4) =
(-24) : 4=
-30 : (-6) =
60: (-5) =
(+44) : (+2)=
12 : (-3) =
(-51) : (-3) =
-44 : (-11) =
(-40) : 4=
5 · (-4) =
-2 · (4)=
-3 ·(-6)=
(+4) · 2=
(-5) · (-3) =
-4 · 4=
(-2) · (-7) =
(+3) · (-2)=
-10 · 5=

15. Operacions combinades
• Ordre de les operacions:
• En primer lloc, s’efectuen les operacions de dins els
parèntesis.
• A continuació, efectuem calculem les multiplicacions i les
arrels, seguidament fem les multiplicacions i les divisions
en l’ordre que apareixen.
• Finalment, es fan les sumes i restes
• Exemple:
- [5 + 7 x (-3)] + 21 : 7 – 4=
- [5 + (-21)] + 21 :7 – 4=
- (-16) + 21 :7 – 4=
+16 + 3 – 4= +15

16. Exemple 1: +3 – (+4) · (-2)=
1. Multiplicar +3 – (-8)=
2. Eliminar parèntesis +3 +8=
3. Sumar +11
Exemple 2: +1+ (-6): (+4-7)=
1. Operar el parèntesi +1 + (-6): (-3)=
2. Divisió +1 + (+2)=
3. Treure parèntesis +1 + 2 =
4. Sumar +3
Exemple 3: -4 +[-3 – (-14):(+2)]=
1. Operar el parèntesis petit - 4 + [-3 – (-7)]=
2. Treure parèntesis -4 + ( -3+7)=
3. Suma parèntesis -4 + (+4)=
4. Sumar 0

17. Exercicis

18. Propietats de la multiplicació
Propietat commutativa ⇒ a · b = b · a
3 · (-2) = (-2) · 3
Propietat associativa ⇒ (a · b) · c = a · (b · c)
(-3 · 2) · 5 = -3 · ( 2 · 5)
- 6 · 5 = -3 · 10
Element unitat ⇒ a · 1 = a
-5 · 1 = -5
Propietat distributiva ⇒ a · (b + c) = a · b + a · c IMP
-2 · (5 + 3) = -2· 5 + (-2) · 3
-2 · 8 = -10 - 6

19. Factor comú
Treure factor comú significa trobar un element comú a
un conjunt de sumands
(4 · 3 ) + (3 · 8) = 3 · (4 + 8)
(-4 · 6) + (-4 · 2) – (5 · (-4)) = -4 · (6 + 2 – 5)
(5 · 2 · 4) - (10 · (-3)) = 10 · (4 – (-3))
Exercici. Treu factor comú:
6 · 4 + 4 ·3=
-5 · 3 + 3 · 4 – 3 · 2 · 7=
4 . (-7) – (-7) · 3 =

20. Descomposició
La descomposició d’un nombre en factors primers
consisteix en expressar el nombre com a multiplicació
de nombres primers.
30 = 2 · 3 · 5
45 = 32
· 5
80 = 24
· 5

21. Factor comú
Descompon els nombres i treu factor comú:
30 + 45 = (2 · 3 · 5) + (32
· 5) = 15 · (2 + 3)
245 + 42=
90 + 70=
75 + 36 + 12=
500 - 100 =
168 + 105 =
150 -18 =
432 + 48 – 256 =
1024 – 128 =

22. Descompon els nombres i treu factor comú:
30 + 45 = (2 · 3 · 5) + (32
· 5) = 15 · (2 + 3)
245 + 42= (5 · 72
) + (2 · 3 · 7) = 7 ·(35 + 6)
90 + 70= (2 · 32
· 5) + (2 · 5· 7)= 10· ( 9 + 7)
75 + 36 + 12= (3 · 52)
+ (32
· 22
) + (3 · 22
) = 3·(25+12+4)
500 - 100 = 100 · (5 – 1)
168 + 105 = (23
· 3 · 7) + (3 · 5 · 7) =21 · (8 + 5)
150 – 18 = (2 · 3 · 52
) – (2 · 32
) = 6 · (25 -3)
432 + 48 – 256 =
1024 – 128 =
490 – 243 =
56 + 168 – 312=

23. Potenciació i radicació
• Una potència és una multiplicació de nombres iguals
• El factor que es repeteix és la base
• El nombre de vegades que es repeteix és l’exponent
-3 · (-3) = (-3)2
es llegeix -3 al quadrat
5 · 5 · 5 = 53
es llegeix 5 al cub
6 · 6 · 6 · 6 = 64
es llegeix 6 elevat a quatre
COMPTE!
No és el mateix - 22
que (- 2)2
-22
= - (2 · 2) = - 4
(-2)2
= (-2) · (-2) = 4

24. Operacions amb potències
Una potència d’exponent 1 és igual a la base ⇒ a1
= a
41
= 4
(-5)1
= -5
Una potència d’exponent 0 és igual a 1 ⇒ a0
= 1
30
= 1
(-2)0
= 1
Si l’exponent és parell, la potència sempre serà positiva
42
= 16
(-5)2
= -5 · (-5) = 25
Si l’exponent és imparell, la potència tindrà el mateix signe que la
base positiva
53
= 5 · 5 ·5 = 125
(-5)3
= -5 · (-5) · (-5)= -125

25. Operacions amb potències
Multiplicació de potències – mateixa base ⇒ am
· an
= am+ n
72
· 73
= 7 2 + 3
= 75
(-7)2
· (-7)3
= (-7) 2 + 3
= (-7)5
Divisió de potències – mateixa base ⇒ am
: an
= am- n
35
: 33
= 3 5 – 3
= 32
(-3)5
: (- 3)3
= (-3) 5 – 3
= (-3)2
Potència d’un producte ⇒ (a · b)n
= an
· bn
( 3 · 6)2 =
32
x 62
( -3 · 6)2
=(-3)2
· 62
Potència d’una potència ⇒ (am
)n
= a m·n
(45
)3
= 45·3
= 415
3 2 3·2 6

26. Potències d’exponent negatiu
6
6
4
1
4
1
=
=
−
−
n
n
a
a Una potència d’exponent negatiu
expressa l’invers de la
corresponent potència amb
exponent positiu.
Operacions amb exponent negatiu:
43 ·
4-5
= 43 + (-5)
= 4-2
25353
5
3
5
353
444:4
4
4
4
1
·44·4 −−−
=====
4
4
2
1
2 −=− −

27. Exercicis de potències
Expressa el resultat en forma d’una sola potència:
(-5)2
· (-5)3
= 153
· 154
=
3 · 33
· 3-2
= (-2)4
· 23
=
46
: 43
= 78
: 710
=
106
: 106
= (-9)6
: (-9)8
=
(102
)3
= (5-3
)4
=
[(-11)3
]3
= [(-4)4
]-2
=
(33
· 3)4
= (52
· 5-4
)-2
=
(47
· 44
): (42
· 43
) = (-2)4
: (-2)5
: (-2) =
5 - 4
: 5 - 3
· 5 - 4
· 5 5 - 4
: 5 - 3
=

28. Exercicis resolts
Expressa el resultat en forma d’una sola potència:
(-5)2
· (-5)3
= (-5)5
153
· 154
= 157
3 · 33
· 3-2
= 32
(-2)4
· 23
=24
·23
=27
46
: 43
= 43
78
: 710
= 7-2
106
: 106
=100
=1 (-9)6
: (-9)8
= (-9)-2
(102
)3
= 106
(5-3
)4
= 5-12
[(-11)3
]3
= (-11)9
[(-4)4
]-2
=(-4)-8
(33
· 3)4
= (34)4
= 316
(52
· 5-4
)-2
= (5-2
)-2
= 54
(47 ·
44
): (42
· 43
) = 411
: 46
= 45
(-2)4
: (-2)5
: (-2) =
(-2)0
=1
5 - 4
: 5 - 3
· 5 - 4
· 5 = 5-4
5- 4
: 5- 3
= 5-1

29. Exercicis
Operacions combinades:
=+−+−
=−−
=−−−+−−
=−++−+−
25:5)9(:45)2·(2
)2(10
)23()3·(5)104)·(3(
)7·(62:2)21·(5)2·(3
332
4
22
2423

30. Per practicar...
no

31. Descomposició polinòmica
Qualsevol nombre pot escriure’s com una
suma de naturals que multipliquen a potències
de base 10, és el que es coneix com
descomposició polinòmica d’un nombre:
975 = 9·102
+ 7·101
+ 5·100
18067 = 1·104
+ 8·103
+ 0·102
+ 6·101
+ 7·100

32. Potències de 10
Qualsevol nombre seguit de zeros es pot expressar
com el producte d’aquest nombre per una potència de
10 d’exponent positiu
90.000 = 9·104
-4.500.000 = -45· 105
Qualsevol nombre decimal on la part entera és nul·la
es pot expressar com el producte de la xifra decimal per
una potència en base 10 d'exponent negatiu
0,00004 = 4· 10-5
0,0025 = 25 · 10-4
0,0025 = 2,5 ·10-3

33. Notació científica
• Quan es fan servir quantitats molt grans o molt petites,
és convenient utilitzar l'anomenada notació científica.
• Consisteix a utilitzar potències de 10, la qual cosa
evita fer servir nombres amb molts zeros.
• Un nombre en notació científica consta d’una única
xifra no nul·la davant de la coma decimal, multiplicada
per una potència de deu
2,689 ·106
= 2 689 000
3,742 · 10-5
= 0,00003742

34. Factors de conversió
• Quants mm són 150cm?
mm
cm
mm
cm 1500
1
10
150 =
• Quants cm són 37 nanòmetres?
nm
m
cm
nm
m
nm 7
9
10·37
1
100
·
1
10
37 −
−
=
Tera- (T) 1012
Giga- (G) 109
Mega- (M) 106
Quilo- (K) 103
Hecto- (H) 102
Deca- (D) 101
------------
deci- (d) 10-1
centi- (c) 10-2
mil·li- (m) 10-3
micro- (μ) 10-6
nano - (n) 10-9
pico – (p) 10-12

35. Arrels quadrades
• S’anomena quadrat perfecte quan un nombre
natural és el quadrat d’una altre
• Exemple: 64 és un quadrat perfecte (quadrat de 8)
• Les arrels quadrades d’un nombre negatiu no
tenen solució
• Qualsevol arrel té dues solucions, una de
positiva i l’altre de negativa
(-7)2
= 49 i (+7)2
= 49
77749 −→ ;+±=
∃/=− 9

36. Arrels
232
32
3
2
233 323108
3·633232108
23 238
224
8587
645849
645849
·=·=
·=·=
==
==
<<
<<
<<
=
En els exercicis, només considerem el resultat positiu de l’arrel
Extreure factors:

37. Arrels= radicalSuma i resta: han de tenir el mateix radical
Multiplicació: La multiplicació de dues arrels és l’arrel dels
nombres multiplicats
50105100252500
153·5
··a
=·=·=
bab
=
=
)43·(55·45·3
)·(··
+=+
+=+ mnaaman
Divisió: La divisió de dos arrels és l’arrel de la divisió
416
2
32
2
32
b
a
===
=
b
a

38. Arregla les següents operacions el més
simple que es pugui
=
=
=
=
=
=
=
8
1
·
2
1
.
8
1
·2.
490000.
1600.
2
50
.
4·5.
8·2a.
g
f
e
d
c
b
=
=
=−
=+−
=
=
108.
16.
18162.
22422.
5·3·2.
5·3·2.
3
3 43
52
l
k
j
k
j
i

39. Operacions combinades
• En primer lloc, efectuarem potències i arrels en l’ordre
que apareixen
• Seguidament, multiplicacions i divisions
• I finalment, sumes i restes.
[ ]
[ ]
818668132
25:150)8·(1024
625:150)53·()4(
625:1505)6(:18·)4(
625:1505)6(:324·)4(
5
5
5
=−
=−−−
=−−−−
=−−−−
=−−−−

40. Càlcul d’arrels quadrades

41. Càlcul d’arrels quadrades

42. Operacions combinades

43. Calculadora
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas_cat/1quinc