Dokumen tersebut membahas berbagai sistem koordinat termasuk koordinat Kartesius, koordinat polar, koordinat tabung, dan koordinat bola beserta konversi antara sistem-sistem koordinat tersebut. Diberikan pula contoh soal dan penyelesaiannya terkait empat sistem koordinat utama.
2. Koordinat Kartesius
Sistem Koordinat 2 Dimensi
Sistem koordinat kartesian dua
dimensi merupakan sistem koordinat
yang terdiri dari dua sumbu yang
saling tegak lurus, biasanya sumbu
X dan Y
4. Koordinat Kartesius
Sistem Koordinat 3 Dimensi
Sistem Koordinat Kartesian 3
Dimensi, pada prinsipnya sama
dengan sistem koordinat kartesian 2
dimensi, hanya menambahkan satu
sumbu lagi yaitu sumbu Z, yang
ketiganya saling tegak lurus
6. Koordinat Polar
• Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik
didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik
ikatnya.
• Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis
OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P
dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem
koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ) dan
radius vektor (r) atau garis OP yaitu P (r, θ).
Sudut vektor (θ) bernilai positif jika mempunyai
arah berlawanan dengan arah putaran jarum
jam, sedangkan bernilai negatif jika searah
dengan putaran jarum jam.
7. Koordinat Polar
O
titik kutub sumbu polar
Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari
lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan
koordinat polar.
Koordinat polar menunjukkan posisi relatif
terhadap titik kutub O dan sumbu polar
(ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.
8. Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti
berada di posisi:
- derajat dari sumbu-x (sumbu polar)
( diukur berlawanan arah jarum-jam)
- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O.
Perhatian:
jika r < 0, maka P berada di posisi yang
berlawanan arah.
r : koordinat radial
: koordinat sudut
9. Setiap titik mempunyai lebih dari satu
representasi dalam koordinat polar
(r, ) = (-r, +n ), untuk n bilangan bulat ganjil
= ( r, +n ), untuk n bilangan bulat genap
Contoh:
Nyatakan koordinat polar berikut ke dalam
bentuk koordinat kartesius.
(2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3)
11. Konversi koordinat polar ke dalam koordinat
kartesius
Gunakan relasi:
x = r cos , y = r sin
Maka r2 = x2 + y2,
tan = y/x, jika x 0
Catatan: menentukan
Jika x > 0, maka x berada di kuadran 1 atau 4
jadi -/2 < < /2 = arctan (y/x).
Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,
= + arctan (y/x).
12. Koordinat Polar
Persamaan polar dari lingkaran berjari-jari a
adalah r = a
Contoh:
Untuk lingkaran berjari-jari a,
- berpusat di (0,a): r = 2a sin
- berpusat di (a,0): r = 2a cos
14. Konversikan persamaan polar r = 2 sin ke
dalam sistem koordinat tegak:
Kalikan kedua sisi dengan r menjadi
r2 = 2r sin
x2 + y2 = 2y
x2 + y2 - 2y = 0
Jadi persamaan tersebut dalam koordinat
tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1
26. Konversi antara koordinat bola
dan koordinat kartesius
(x,y,z)
z
r
sin( ) cos( ) tan( )
r z r
z
27. Konversi antara koordinat bola
dan koordinat kartesius
(x,y,z)
z
r
cos( ) sin( )cos( )
sin( ) sin( )sin( )
cos( )
x r
y r
z
28. Konversi antara koordinat bola
dan koordinat kartesius
(x,y,z)
z
r 2 2 2
2 2
2 2 2
tan( )
tan( )
cos( )
x y z
y
x
x yr
z z
z z
x y z
30. Integral: Koordinat Kartesius
Riemann Sum dalam triple integral sbb:
Untuk menghitung volume balok-balok kecil
dengan ukuran panjang , lebar ,
dan tinggi
* * *
( , , ) .i i i i i if x y z x y z
* * *
( , , ) .i i i i i i
nilai fungsi pada volumebalok kecil
titik tertentu
f x y z x y z
1 4 2 4 3 14 2 43
ix iy
iz
31. Integral: Koordinat Tabung
Bagaimana dengan ukuran-ukuran
dalam koordinat tabung r, , and z?
Dengan menganggap
kasus 2 dimensi
dalam koordinat polar
r
r
zr dan,,
38. dA r dr d
Untuk mencari volume benda padat
Integral: Koordinat Tabung
39. dV r dr d dz
Maka . . .
( , , )
S
f r z r dr d dz
Integral: Koordinat Tabung
40. Soal
1.Tunjukkan dengan gambar titik-titik berikut
dalam koordinat polar
(2, 4) (-1, 4) (3, 34) (2, -4) (-4, -4)
2. Diketahui persamaan dalam koordinat
tabung:
a.
b.
Tentukan persamaan dalam koordinat
kartesius dan gambarkan
2 2
9r z
2 cos 3 sin 6r r z
41. Soal
3. Diketahui persamaan dalam
koordinat kartesius:
a.
b.
Tentukan persamaan dalam
koordinat tabung dan gambarkan
2 2
9x y
2 2 2
2 12 14 0x y z z
42. Soal
4. Diketahui persamaan dalam
koordinat bola:
a.
b.
c.
Tentukan persamaan dalam
koordinat kartesius dan gambarkan
3
3
4
43. Soal
5. Diketahui persamaan dalam
koordinat kartesius:
a.
b.
Tentukan persamaan dalam
koordinat bola dan gambarkan
2 2 2
4x y z
2 2 2
1x y z
44. 6. Hitunglah dimana S
tetrahedron dengan titik-titik sudut
(0,0,0), (3,2,0), (0,3,0), dan (0,0,2).
x y z
S
e dV
Soal