Integral lipat tiga digunakan untuk menghitung volume benda padat dan fungsi terintegralkan di dalamnya. Integral ini dapat dihitung dengan membagi daerah menjadi bagian-bagian kecil dan mengambil batas jumlah Riemann ketika ukuran bagian mendekati nol. Integral lipat tiga juga dapat digunakan untuk menghitung volume benda padat yang dibatasi oleh permukaan tertentu.

1. LiaYuliana, S.Si., MT.
2011/2012
INTEGRAL LIPAT TIGA

2. Integral Lipat Tiga pada Balok
1. Partisi balok B menjadi n bagian; B1, B2, ... , Bk,
... , Bn
2. Definisikan = diagonal terpanjang dari Bk
3. Ambil
4. Bentuk jumlah Riemann
5. Jika diperoleh limit jumlah Riemann

kkkk Bzyx ),,(
k
n
k
kkk zyxf V),,(
1

0
k
n
k
kkk zyxf V),,(lim
1
0



3. Integral Lipat Tiga pada Balok
Jika limit ada, maka fungsi w=f(x,y,z) terintegralkan Riemann
pada balok B, ditulis
Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius
dzdydxdVzyxV kkkk 
 
BB
dzdydxzyxfdVzyxf ),,(),,(
k
n
k
kkk
B
zyxfdVzyxf V),,(lim),,(
1
0
  


4. Integral Lipat Tiga pada Balok

5. Theorema
Misal B suatu kotak persegi panjang yang didefinisikan
dengan pertidaksamaan
jika f(x,y,z) kontinu atas daerah B, maka
lzkdycbxa  ,,
 
b
a
d
c
l
kB
dxdydzzyxfdVzyxf ),,(),,(
Integral Lipat Tiga pada Balok

6. Contoh
Hitung dimana B adalah balok dengan ukuran
B ={(x,y,z)| 1 x  2, 0 y  1, 1 z  2}

G
dVyzx2

7. Integral Lipat Tiga pada Daerah Sebarang
Pandang S suatu benda padat yang terdapat pada
balok B, dan didefinisikan nilai f nol untuk luar S

8. Integral Lipat Tiga pada Daerah Sebarang
Jika S suatu benda padat yang dibatasi oleh permukaan
z=2(x,y) dan z= 1(x,y), dan misal R adalah
proyeksi S pada bidang xy. Jika f(x,y,z) kontinu pada S
pada tipe I, maka
Catatan:
Jika f(x,y,z)=1, maka menyatakan
volume benda pejal S.
   
b
aS
dxdydzzyxfdVzyxf
2
1
2
1
),,(),,(




S
dVzyxf ),,(

9. Integral Lipat Tiga pada Daerah Sebarang

10. Contoh
Hitung
dengan w=f(x,y,z)=2xyz dan S benda padat yang
dibatasi oleh tabung parabola z=2-(x2/2) dan
bidang-bidang z=0, y=x, y=0
S
dVzyxf ),,(

11. Sifat-Sifat Integral Lipat Tiga
 , c suatu konstan
 Jika daerah G merupakan gabungan dari beberapa daerah,
yaitu maka
 
GG
dVzyxfcdVzyxcf ),,(),,(
 
GGG
dVzyxgdVzyxfdVzyxgzyxf ),,(),,()],,(),,([
 
GGG
dVzyxgdVzyxfdVzyxgzyxf ),,(),,()],,(),,([
nGGGGG ...321 
 
nGGGG
dVzyxgdVzyxgdVzyxfdVzyxf ),,(...),,(),,(),,(
21