1. Interpretasi integral lipat dua menyatakan volume benda padat yang dibatasi oleh permukaan dan daerah pada bidang. 2. Volume bisa ditulis sebagai integral ganda dari luas daerah melintang yang diperpanjang sepanjang sumbu y. 3. Luas daerah melintang ditentukan oleh batas atas dan bawah grafik pada sumbu y.

1. Aplikasi Integral Lipat Dua
Lia Yuliana, S.Si., MT.
2011/2012

2. Interpretasi Integral Lipat Dua
menyatakan volume benda solid S yang
dibatasi oleh permukaan z = f(x,y) dan di atas daerah R.
Volume dari S juga dapat dinyatakan sebagai
V =
dimana A(x) luas daerah melintang pada titik tetap x.

R
dAyxf ),(

b
a
dxxA )(

3. Daerah melintang ini diperpanjang dari g1(x) ke g2(x)
sepanjang sumbu Y.
A(x) =
dengan mensubstitusikannya, diperoleh
Interpretasi Integral Lipat Dua

)(
)(
2
1
),(
xg
xg
dyyxf
  
b
a
xg
xg
b
a
dxdyyxfdxxAV
)(
)(
2
1
),()(

4. Volume Benda
y
z
y = g2(x)
ui
xi--1
b
a



(x,y,f(x,y))
(x,y,0)
P(x,g1(x),0) Q(x,g2(x),0)
x
y
z
x
a
b
R
C

y = gi(x)

5. 1. Misal R adalah daerah pada bidang xy yang dibatasi
oleh grafik Hitung
2. Tentukan luas dari daerah yang dibatasi oleh grafik
2y=16-x2 dan x+2y-4=0
3. Tentukan luas dari daerah pada bidang xy yang dibatasi
oleh grafik x=y3, x+y=2 dan y=0
4. Hitung volume bidang empat yang dibatasi oleh bidang-
bidang koordinat dan bidang 3x+6y+4z-12=0
5. Tentukan volume benda padat yang dibatasi oleh grafik
x2+y2=9 dan y2+z2=9
Contoh
R
dAyxf ),(183dan  xyxy