Implisit kalkulus

1. TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
INCREMEN DAN DIFFERENSIAL
Lia Yuliana, S.Si., MT.

2. Misal F(x,y)=0 dan f merupakan suatu fungsi yang
dapat diturunkan sehingga y=f(x), sedemikian hingga
F(x, f(x))=0 untuk setiap xDf .
Jika ditulis dalam fungsi komposisi, w=F(u,y) dimana
u=x dan y=f(x) adalah
Selama w=F(x, f(x))=0 untuk setiap x, maka dw/dx=0
Turunan Fungsi Implisit Dua Variabel
dx
dy
y
w
dx
du
u
w
dx
dw







3. Turunan Fungsi Implisit Dua Variabel
Dari u=x dan y=f(x) diperoleh du/dx=1 dan dy/dx=f (x)
Sehingga aturan rantainya menjadi:
Jika , maka selama u=x,
)(')1.(0 xf
y
w
u
w






0


u
w
),(
),(
)('
yxF
yxF
y
w
x
w
y
w
u
w
xf
y
x












4. Turunan Fungsi Implisit Dua Variabel
Theorema
Jika F(x,y)=0 fungsi implisit, fungsi y differensiable
sedemikian hingga y=f(x), untuk setiap x dalam
domain fungsi, maka
Contoh:
Diberikan , tentukan dengan
menggunakan hasil diatas.
0323
 xyx
dx
dy
),(
),(
yxF
yxF
dx
dy
y
x


5. Turunan Fungsi Implisit Tiga Variabel
Theorema
Jika F(x,y,z)=0 fungsi implisit, fungsi dua variabel x dan
y differensiable sedemikian hingga z=f(x,y), untuk
setiap x,y dalam domain fungsi, maka
),,(
),,(
zyxF
zyxF
x
z
z
x



),,(
),,(
zyxF
zyxF
y
z
z
y




6. Turunan Fungsi Implisit Empat Variabel
Theorema
Jika F(x,y,z,w)=0 fungsi implisit, fungsi tiga variabel x, y
dan z differensiable sedemikian hingga w=f(x,y,z),
untuk setiap x,y dan z dalam domain fungsi, maka
),,,(
),,,(
wzyxF
wzyxF
x
w
w
x



),,,(
),,,(
wzyxF
wzyxF
y
w
w
y



),,,(
),,,(
wzyxF
wzyxF
z
w
w
z




7. Incremen dan Differensial
Jika f adalah fungsi dua variabel x dan y, maka x dan
y menyatakan incremen dari x dan y.
Dari definisi sebelumnya,
Incremen dari w=f(x,y) sebagai berikut:
x
yxfyxxf
yxf
x
x




),(),(
lim),(
0
y
yxfyyxf
yxf
y
y




),(),(
lim),(
0

8. Definisi (Incremen)
Misal w=f(x,y) dan misal x dan y adalah incremen dari x dan
y. Incremen w dari w=f(x,y) adalah
Catatan: incremen w merupakan perubahan dari nilai fungsi
jika (x,y) berubah menjadi (x+x,y+ y)
Contoh: Misal w=f(x,y)=3x2 –xy
a. Jika x dan y adalah incremen dari x dan y, tentukan w
b. Gunakan w untuk menghitung perubahan w=f(x,y) jika (x,y)
berubah dari (1,2) ke (1.01, 1.98)
Incremen dan Differensial
  ),(, yxfyyxxfw 

9. Teorema
Misal w=f(x,y) merupakan fungsi f yang didefinisikan
pada persegi panjang R={(x,y)a<x<b, c<y<d}. Andai fx
dan fy terdapat di R dan kontinu pada titik (x0 ,y0) di R. Jika
(x+x0 , y+y0) pada R dan
maka
untuk fungsi 1dan 2 dari x dan y mempunyai limit 0
ketika (x, y) mendekati (0,0)
Incremen dan Differensial
  ),(, 0000 yxfyyxxfw 
yxyyxfxyxfw yx  210000 ),(),( 

10. Contoh:
Jika w=3x2-xy, tentukan dalam 1 dan 2 sehingga memenuhi
teorema sebelumnya.
Definisi (Differensial)
Misal w=f(x,y) dan misal x dan y adalah incremen dari x dan y.
a. differensial dx dan dy dari variabel bebas x dan y adalah
dx=x dan dy=y
b. differensial dw dari variabel tak bebas w adalah
Incremen dan Differensial
  dy
y
w
dx
x
w
dyyxfdxyxfdw yx





 ),(,

11. Catatan:
Berdasarkan teorema, titik (x0 , y0) diganti (x, y)
w=dw+1x+2y
w-dw=1x+2y
1 dan 2 mendekati 0 ketika (x,y) mendekati (0,0). Jika x
dan y kecil maka w-dw0 sehingga wdw
Contoh
Jika w=3x2-xy, tentukan dw dan gunakan untuk menaksir perubahan
pada w jika (x, y) berubah dari (1,2) ke (1.01, 1.98)
Incremen dan Differensial

12. Definisi
Misal w=f(x,y) dan fungsi f differensiable pada (x0 , y0), w
dinyatakan dalam bentuk
fungsi 1dan 2 dari x dan y mempunyai limit 0 ketika (x, y)
mendekati (0,0)
Incremen dan Differensial
yxyyxfxyxfw yx  210000 ),(),( 

13. Definisi (Differensial fungsi tiga variabel)
Misal w=f(x,y,z) dan misal x, y dan z adalah incremen dari x,
y dan z.
a. differensial dx, dy dan dz dari variabel bebas x, y dan z adalah
dx=x, dy=y dan dz=z
b. differensial dw dari variabel tak bebas w adalah
Catatan: dw dapat digunakan untuk menaksir w jika incremen x, y
dan z kecil
Incremen dan Differensial
dz
z
w
dy
y
w
dx
x
w
dw








