1. Bloque 6
El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas
y formulación de conjeturas

2. Desarrollo del pensamiento algebraico
Bloque 6
El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación de conjeturas
El propósito esencial de este bloque de actividades es extender el uso
del código algebraico al planteamiento y resolución de problemas que involu-
cran los conceptos de área, perímetro y porcentaje y a la formulación de con-
jeturas sobre situaciones más abstractas relativas a propiedades del sistema
de numeración decimal y la paridad de los números enteros.
En la primera sección de actividades se acude al apoyo visual que pro-
porcionan los patrones geométricos para propiciar el desarrollo de habilidades
para identificar patrones numéricos más sofisticados. De la misma manera, se
abordan situaciones que involucran los conceptos de área y perímetro para in-
troducir relaciones precio-costo que requieren la producción de expresiones al-
gebraicas donde es necesario el uso de paréntesis como signos de agrupación.
En la tercera sección se abordan problemas que involucran el concepto
de porcentaje, también en estos casos es necesario emplear paréntesis como
signos de agrupación. El planteamiento y resolución de los problemas propues-
tos en esta sección y en la anterior ya no descansa en el reconocimiento de un
patrón numérico, sino en el establecimiento de relaciones entre los datos que
se proporcionan y su representación mediante expresiones algebraicas. El
elemento que se mantiene presente es la noción de función (programa) que se
ha venido cultivando en los bloques 1-5.
En la cuarta sección se plantean problemas que se ubican en un con-
texto estrictamente matemático, estos problemas involucran la representación
algebraica de las relaciones entre los dígitos de tipos específicos de números
en el contexto del sistema de numeración decimal. La sección se cierra con
problemas que invitan a formular conjeturas sobre la paridad de los números
enteros.
Como en los bloques anteriores, te invitamos a que realices estas acti-
vidades reflexionando sistemáticamente sobre el tipo de aprendizajes y compe-
tencias matemáticas que pueden desarrollar los alumnos de educación básica
al resolverlas y también sobre los momentos en que puedan tener dificultades
y las estrategias didácticas para ayudarles a superarlas.
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

3. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 47
PATRONES GEOMÉTRICOS 1
Observa las siguientes figuras.
1. En el espacio de abajo dibuja las dos figuras que siguen en esa sucesión.
2. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para 3. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para
construir la figura que va en el lugar construir la figura que va en el lugar
número 17? _____________________ número 100? ____________________
Nota que la figura 1 tiene un cuadrado, que la figura 2 tiene tres cuadrados, que la figura
3 tiene cinco cuadrados, etc. Con esos datos puedes hacer una tabla que te ayudaría a con-
testar esta pregunta.
4. Explica cómo razonaste para responder las preguntas 2 y 3.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
5. ¿Puedes programar tu calculadora para completar la siguiente tabla?
Lugar que ocupa la Número de cuadrados
figura en la sucesión que se necesitan
48
75
123
351
411
507
Escribe sobre la línea el programa que hiciste.
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

4. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 48
PATRONES GEOMÉTRICOS 2
Observa la siguiente sucesión de figuras.
...
1. En el espacio de abajo dibuja las dos figuras que siguen en esa sucesión.
2. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para 3. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para
construir la figura que va en el lugar construir la figura que va en el lugar
número 9? _______________________ número 17? ____________________
4. Explica cómo razonaste para responder las preguntas 2 y 3.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
5. ¿Puedes crear un programa para completar la siguiente tabla?
Lugar que ocupa la Número de cuadrados
figura en la sucesión que se necesitan
48
75
123
427
469
601
Escribe sobre la línea el programa que hiciste.
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

5. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 49
PATRONES GEOMÉTRICOS 3
Observa la siguiente sucesión de figuras.
1. En el espacio de abajo dibuja las dos figuras que siguen en esa sucesión.
2. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para 3. ¿Cuántos cuadrados se necesitan
construir el marco del cuadrado gris en para construir el marco del cuadra-
la figura que va en el lugar número 27? do gris en la figura que va en el lu-
_____________________________ gar número 40? _______________
4. Explica cómo razonaste para responder las preguntas 2 y 3.
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
5. ¿Puedes programar tu calculadora para completar la siguiente tabla?
Lugar que ocupa la Número de cuadrados
figura en la sucesión que se usan en el marco
48
75
704
772
840
Escribe sobre la línea el programa que hiciste.
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

6. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 50
VENTANAS
En la sala de escultura de un museo de Arte Moderno las ventanas tienen las siguientes
características:
Las ventanas tienen distintas medidas,
pero en todas la altura mide el triple de
lo que mide el ancho.
1. ¿Puedes completar la siguiente tabla?
Ancho de la ventana 0.75m 0.86 1.28
Altura de la ventana 3.51 4.23
2. Los marcos de las ventanas están hechos con madera cuyo precio por metro es
$53.00. Contesta lo siguiente usando esa información.
a) ¿Cuál es el costo del marco de una ventana que mide 1.5 metros de ancho?
___________________________________________________________________
b) ¿Qué operaciones hiciste para calcular ese costo?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3. ¿Puedes hacer un programa que te permita calcular el costo del marco de cualquiera de
las ventanas de esa sala del museo? Escribe tu programa sobre la línea de abajo.
_____________________________________
4. Explica con claridad qué representa la letra que usaste en tu programa en términos de
los datos del problema. ______________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

7. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 51
ALGO MÁS SOBRE VENTANAS
En la sala de pintura del Museo de Arte Moderno las ventanas tienen las siguientes carac-
terísticas:
Las ventanas tienen distintas medidas, pero
en todas su altura mide 50 cm menos que el
triple de lo que mide el ancho.
1. ¿Puedes completar la siguiente tabla?
Ancho 0.30m 0.45m 1.30m
Altura 4.45m 6.55m
2. Los marcos de las ventanas están hechos de madera cuyo precio es $ 62.00 por me-
tro.
a) ¿Cuál es el costo del marco de una ventana que mide 1.3 metros de ancho? ________
b) ¿Qué operaciones hiciste para calcular ese costo? ____________________________
_______________________________________________________________________
_______________________________________________________________________
3. ¿Puedes construir un programa para obtener el costo del marco de cualquiera de las
ventanas de esa sala del museo? Escribe aquí tu programa y úsalo para completar la si-
guiente tabla.
Ancho de la ventana 0.35m 0.65m 0.84m 1.20m
Costo del marco $334
4. Explica cómo razonaste para construir tu programa.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

8. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 52
MAQUETAS
En la sala de arquitectura del Museo de Arte Moderno se está presentando una exposición
de maquetas con diferentes diseños para la construcción de un nuevo aeropuerto. Las ma-
quetas están colocadas en mesas con las siguientes características:
El largo de cada mesa mide un metro más
que el doble del ancho.
En la figura de la derecha se muestran las
cubiertas de algunas mesas.
ancho
largo
1. Completa la siguiente tabla.
Ancho de la mesa Largo de la mesa 2. La madera con la que está construida la
1.40 metros cubierta de las mesas cuesta $155.00
por metro cuadrado. ¿Puedes programar
2.55 metros
tu calculadora para obtener el costo de
3.45 metros la cubierta de esas mesas? Escribe tu
2.75 metros programa en la línea de abajo
6.5 metros ______________________________
4.4 metros
3. ¿Puedes hacer un programa que te
permita calcular el costo del marco
para cualquiera de las ventanas de
esa sala del museo? Escribe tu pro-
grama en el cuadro de la derecha.
4. Para construir tu programa utilizaste una letra. Explica con detalle qué representa esa
letra en términos de los datos del problema. _______________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

9. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 53
REBAJAS
En una tienda de libros y discos están haciendo la siguiente oferta
15% DE DESCUENTO EN TODA LA MERCANCÍA
El descuento se aplica sobre el precio marcado en la etiqueta.
1. Completa la siguiente tabla.
Precio en la Cantidad que Precio de
etiqueta se descuenta oferta
$ 34.00
$ 18.75
$ 126.80
$ 28.50
$ 150.00
$ 72.35
$ 29.40
2. ¿Puedes construir un programa que haga lo siguiente?
Si le das el precio de etiqueta te da por resultado el precio de oferta.
Escribe en el cuadro de la derecha el pro-
grama que hiciste.
3. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla.
Precio en la etiqueta Precio de oferta
$ 84.00
$ 28.75
$ 226.80
$ 29.60
$ 140.00
$ 142.80
$ 144.50
4. En el programa que hiciste usaste una letra. Explica con detalle qué significa esa letra
en términos de los datos del problema. ___________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

10. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 54
¡DESCUENTO GENERAL!
En una papelería están haciendo la siguiente oferta.
18% DE DESCUENTO EN TODA LA MERCANCÍA
El descuento se aplica sobre el precio marcado en la etiqueta.
1. De acuerdo con esa información completa la siguiente tabla.
Precio en la Cantidad que se Precio de oferta
etiqueta descuenta
$14.40
$17.10
$ 23.40
$ 45.00
$26.10
$ 30.60
$ 46.80
2. Programa tu calculadora para que haga lo siguiente: Si el valor de entrada es la can-
tidad que se descuenta, el valor de salida debe ser el precio de oferta. Escribe
aquí tu programa: ________________________________________________
3. Programa tu calculadora para que haga lo siguiente: Si le das al programa la cantidad
que se descuenta, te debe dar como resultado el precio marcado en la etiqueta.
Escribe tu programa: ______________________________________________
4. Usa los programas que hiciste para completar las siguientes tablas.
a) Cantidad que se $ 15.40 $ 18.75 $ 8.90 $ 10.00 $ 14.35
descuenta
Precio de oferta
b) Cantidad que se $ 11.70 $6.75 $8.90 $8.40 $9.60
descuenta
Precio marcado en
la etiqueta
5. Para contestar la pregunta (2) construiste un programa. ¿Qué significa la letra que
usaste en tu programa en términos de los datos del problema?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

11. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 55
BIENES RAÍCES
Una empresa de bienes raíces está vendien- F
do terrenos con las siguientes medidas: o
n
El fondo del terreno mide 30 metros más d
que el doble de lo que mide el frente. o
Frente
De acuerdo con esos datos contesta lo siguiente.
1. El señor Pérez tuvo que usar 132 metros de tela de alambre para cercar el terreno que
compró. ¿Cuánto mide de frente y cuánto de fondo el terreno que compró?
________________________________________________________________
2. La señora Gómez tuvo que usar 168 metros de tela de alambre para cercar el terreno
que compró. ¿Cuánto mide de frente y cuánto de fondo el terreno que compró?
________________________________________________________________
3. La señora Rodríguez tuvo que usar 156 metros de tela de alambre para cercar el te-
rreno que compró. ¿Cuánto mide de frente y cuánto de fondo el terreno que compró?
_______________________________________________________________
4. El señor González compró un terreno que mide 76 metros de frente. ¿Cuántos me-
tros de tela de alambre debe usar para cercar su terreno?
________________________________________________________________
5. Explica cómo razonaste para dar respuesta a las preguntas anteriores.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
6. ¿Programaste tu calculadora para resolver los problemas anteriores? Si lo hiciste,
escribe sobre la línea el programa que usaste.
_______________________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

12. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 56
¿SI MODIFICO EL PERÍMETRO CAMBIA EL ÁREA?
Una persona tiene un terreno que está
junto a un arroyo. Compró 100 metros de ARROYO
tela de alambre para cercar la parte de
su terreno que no colinda con el arroyo.
TERRENO
Lado largo Lado corto Área del te-
Esa persona quiere aprovechar que el rreno
arroyo le sirve para limitar un lado de su 50
terreno y desea usar sus 100 metros de 30
cerca de manera que le quede un terreno 60
rectangular con la mayor área posible. 10
Eso depende de la medida de sus lados. 70
8
65
1. Completa la tabla que está a la derecha
58
para que observes eso. 55.5
54.8
53.4
50.2
50.15
2. ¿Puedes programar tu calculadora para completar más rápidamente esa tabla? Si pudis-
te hacerlo escribe tu programa en la línea de abajo
___________________________________
3. ¿Cuáles son las medidas del lado Lado largo = _______________ m
largo y del lado corto que debe te-
ner el terreno para que su área sea Lado corto = _______________ m
la mayor posible?
Área = _________________ m2.
4) ¿Qué significa la letra que usaste en tu programa en términos de los datos del proble-
ma?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

13. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 57
NUMEROS PALÍNDROMOS
Observa los siguientes números.
131 1441 47874 1537351 327898723
¿Qué característica especial tienen esos números? ______________________________
_______________________________________________________________________
A ese tipo de números se les llama números palíndromos. Un número palíndromo puede te-
ner tres dígitos, o cuatro dígitos, o los que uno quiera.
1. Completa la siguiente tabla con números palíndromos que contengan el número de dígi-
tos que se indica en cada caso.
NÚMEROS PALÍNDROMOS
Tres dígitos
Cuatro dígitos
Cinco dígitos
Seis dígitos
2. ¿Puedes programar tu calculadora de manera que si le das dos dígitos te dé por resul-
tado un palíndromo de tres dígitos? Para hacer esto construye un programa en el que
incluyas uses dos letras.
Escribe tu programa sobre la línea.
________________________________________________
3. ¿Puedes programar tu calculadora de
manera que si le das dos dígitos te dé
por resultado un palíndromo de cuatro
dígitos? Escribe tu programa en el es-
pacio de la derecha
4. ¿Puedes programar tu calculadora de
manera que si le das tres dígitos te dé
por resultado un palíndromo de seis
dígitos? Escribe tu programa en el es-
pacio de la derecha.
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

14. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 58
NÚMEROS CONSECUTIVOS
Observa los siguientes números.
678 123 789 234
1. ¿Qué característica especial tienen en esos números? __________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. Anota en los cuadros de abajo otros dos números que tengan la misma característica.
3. ¿Puedes programar tu calculadora de manera que si le das sólo un dígito, te dé por re-
sultado un número de tres dígitos como los de los ejemplos anteriores?
Escribe tu programa en el espacio de
la derecha.
4. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca números como los que se mues-
tran abajo usando como valor de entrada un número de un dígito?
1234 5678 4567 2345 3456
Escribe tu programa sobre la línea.
________________________________________
5. Explica tan claramente como te sea posible cómo razonaste para construir tu progra-
ma.
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
6. ¿Puedes hacer un programa que produzca números como los siguientes?
135 246 357 579 468
Anota aquí tu programa: _______________________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

15. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 59
NÚMEROS PARES E IMPARES
Se les llama números consecutivos a los números enteros que
van uno enseguida del otro, como el 3 y el 4, el 11 y el 12, el
125 y el 126, etc.
1. Un estudiante dice que cada vez que suma dos números
consecutivos el resultado es un número impar.
¿Estás de acuerdo con él? _______ ¿Porqué? __________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
________________________________________________
2. Haz un programa de manera que, si el valor de entrada es un número entero, el valor
de salida sea la suma de ese número y su consecutivo. Anota tu programa en el es-
pacio de abajo.
3. Una estudiante dice que cada vez que suma tres números
consecutivos el resultado siempre es un múltiplo de tres.
¿Estás de acuerdo con él? ______ ¿Porqué? _______________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________
3. ¿Puedes hacer un programa de manera que, si el valor de entrada es un número entero,
te dé por resultado la suma de ese número y los dos números que le siguen en la suce-
sión numérica? Si pudiste hacerlo escríbelo en el cuadro de abajo.
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

16. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 60
CONJETURAS
1. Una estudiante dice que cada vez que multiplica dos
números consecutivos el resultado es un número impar.
¿Estás de acuerdo con ella? _________ ¿Porqué? ____
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
2. Construye un programa de manera que, si el valor de entrada es un número entero, el
valor de salida sea el producto de ese número y su consecutivo. Escribe ese programa
en el cuadro de abajo.
3. Un estudiante dice que cada vez que suma dos números
impares el resultado es un número par.
¿Estás de acuerdo con él? ____ ¿Porqué? __________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
_______________________________________________
4. ¿Puedes hacer un programa de manera que, si el valor de entrada es cualquier número
entero, el valor de salida siempre sea un número impar? Si pudiste hacerlo escríbelo en
el siguiente cuadro.
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

17. Desarrollo del pensamiento algebraico
HOJA DE TRABAJO 61
UN JUEGO MATEMÁTICO
1. Piensa en un número entero que esté entre 1 y 10, a ese
número súmale 10 y anota el resultado. Ahora réstale a 10
el número que pensaste y anota el resultado. Suma los dos
resultados que anotaste, ¿qué resultado final obtuviste?
__________________________________________
2. Un estudiante dice que siempre que haga esto va a
obtener 20. ¿Estás de acuerdo? ________________
3. Da un ejemplo que justifique tu respuesta. _________
___________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
4. ¿Puedes hacer un programa que represente ese juego con números? Escríbelo en el
cuadro de abajo.
5. En el programa que hiciste usaste una letra, ¿qué representa esa letra en términos de
los elementos de ese juego? Explícalo de manera que cualquiera de tus compañeros te
pueda entender. _______________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
6. Una estudiante dice que siempre va dar lo mismo, no importa que empieces con un
número mayor que 10. ¿Estás de acuerdo? __________ Da dos ejemplos que justifi-
quen tu respuesta ______________________________________________________
_____________________________________________________________________
7. Otro alumno dice que puedes empezar con cualquier número, ya sea negativo, positivo,
e incluso con números decimales, y que siempre va dar lo mismo. ¿Estás de acuerdo con
él? ____________________ Da tres ejemplos que justifiquen tu respuesta
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
7. Un estudiante que dice que a2+a2 da los mismos valores que (a+b)2. ¿Estás de acuerdo
con él? Da tres ejemplos que justifiquen tu respuesta. _________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

18. Desarrollo del pensamiento algebraico
Actividades que se sugieren para el futuro docente
1. Elabora una matriz que permita ver en cuáles de los bloques de actividades 1-6 se
aborda el desarrollo de las habilidades y nociones matemáticas que a continuación
se presentan e indica en cada celda de la matriz el nivel en que se abordan: (i) in-
troductorio, (ii) de fortalecimiento o (iii) de aplicación.
- Reconocimiento de patrones numéricos.
- Expresión algebraica de la regla que gobierna el comportamien-
to de un patrón numérico.
- Noción de función lineal.
- Equivalencia de expresiones algebraicas.
- Noción de función inversa de una función lineal.
- Lectura de expresiones algebraicas que contienen paréntesis.
- Producción de expresiones algebraicas que contienen parénte-
sis.
- Simplificación de términos semejantes.
- Noción de ecuación.
- Uso de funciones lineales para plantear y resolver problemas.
- Uso de números con signo en el reconocimiento de patrones
numéricos y/o resolución de problemas
- Uso de números fraccionarios en el reconocimiento de patrones
numéricos y/o resolución de problemas.
2. Indaga en las fuentes que consideres pertinentes a qué se le llama “paridad de los
números enteros” y qué aplicaciones tiene esta noción en la resolución de proble-
mas. Discute lo que encontraste con tus compañeros y tu profesor.
3. Redacta un ensayo de una cuartilla donde discutas el tipo de aprendizajes y com-
petencias matemáticas que pueden desarrollar los alumnos de educación básica al
realizar este tipo de actividades.
4. Redacta un breve ensayo donde reflexiones sobre el tipo de competencias docen-
tes que desarrollaste al realizar las actividades de este bloque
Tenoch Cedillo y Valentín Cruz