2. ÓscarM.GonzálezCuevas es ingenierocivilegresadodelaUniversidad
de Yucatán, con grados de maestro en Ingeniería y de doctor en
Ingeniería,conespecialidadenestructuras,por laUniversidadNacional
AutónomadeMéxico.
Actualmente es profesor de tiempo completo en la Universidad
AutónomaMetropolitana(uam), UnidadAzcapotzalco. Enestainstitución
imparte cursos de Estática, Diseño estructural. Análisis estructural y
Estructuras de concreto. También realiza investigaciones en elcampo
de la reparación de estructuras dañadas por sismos y coordina el
posgradoen Ingenieríaestructural queha iniciadoactividadesenelaño
2001.Fuefundadordela uam en elañode 1974y haocupadodiversos
cargosde dirección, incluyendoél de Directorde la DivisióndeCiencias
Básicas e Ingeniería (1979-1981), Rector de la Unidad Azcapotzalco
(1981-1985) y Rector general (1985-1989).
El Dr. González Cuevas es autor, con el Ing. Francisco Robles
Fernández, del libroAspectos Fundamentales delConcreto Reforzado,
queha venido publicando esta misma casa editorial, en tres ediciones
(1974,1985,1995), y que se usa ampliamente como libróde texto en
escuelasy facultades de Ingeniería de varios países de hablahispana.
Ha escrito otros libros y artículos sobre Ingeniería estructural, y sobre
planeacióny administraciónuniversitaria,asícomotrabajospresentados
en congresos nacionales e internacionales. Es miembrodel Comité^
SeguridadEstructuraldelGobiernodelDistritoFederalyenestecarácter
participa en la revisión y elaboración del Reglamento para las
Construcciones del Distrito Federal.
Entre las principales distincionesy reconocimientosqueha recibido
destacan el doctorado Honoris Causa de la Universidad de Yucatán
(1977), Presea GuillermoÁlvarez Macíasdela CooperativadeCemento
La Cniz Azul (1990), Premio "El Registro’ del instituto Mexicano del
Cemento y dé] Concreto (1999), Académico Emérito de la Academia
NacionaldeIngeniería (2001)y Premioa la Docenciaen IngenieríaCM
2001 dela Fundación ica . Ha sido Presidente delaAcademiaNacional
de ingeniería (1986-1967) y de la Sociedad Mexicana de Ingeniería
Estructural (1906-1997).
Acerca del autor
3. Presentación
Este libro ha sido escrito con el propósito fundamental.ge ayudar a profesores)
enseflanzay el aprendizajedel análisisestructural. Estadisciplinaconstituyeuna
dsefl"«!^ í dominio es indispensable para los profesionales^
presas, plantas industriales, plataformasmarítimas,etc. El anáfisisestructura?esJ
lasasignaturasquemáscontribuyenalaformacióndélosalumnos,asuenH^H
deconceptosabstractosy a la adquisicióndehabilidadesintelectuales re^^^H
profesional de la ingenierfa. Por estas razones, ha ocupado, desde hace mucho tiempo, un lugar I
destacadoen los planesdeestudio.
Los métodos básicos del análisis estructural conducen a la formulación de sistemas de
ecuacionessimultáneasque, paraestructurasderegulartamaño, llegan a serdegradoelevado. Su
resolución por métodos manuales consume mücho tiempo. Para solucionar este problema, se
desarrollaronmétodosnuméricosqueresultabanmenoslentos,peroqueseguíansiendolaboriosos
y propensos a que se cometiesen errores. El método de Cross es un ejemplo típico. Con él
advenimiento de las computadoras, la resolución de grandes sistemas de ecuaciones simultáneas
dejóde ser un problema, y se regresó a los métodos fundamentales, el de las fuerzas y el de las
deformaciones o desplazamientos. Peroestos métodos se replantearoncon un enfoque matricial
más adecuado a la utilización de computadoras. Distintos libros de análisis estructural utilizan
enfoquestambiéndiferentessegúnel desarrollohistóricomencionado.
El enfoqueseguidoenestelibroesel siguiente. Enel primercapitulosehaceuna revisióndél
procesogeneral de diserto y seubica a laetapa dél análisisestructuraldentrodeesteproceso. El
capitulo2comprendeunarevisióndeltemadeestructurasisostáticas,estudiadogeneralmenteencur
ios previosa losdeanálisisestructural, llamadosestáticaoestructuras isostáticasenlasescuelasde
ingenierfa; el dominio de este tema es fundamental y por eso su inclusión en este libro y la
recomendacióndequenosecontinúeconlosotroscapítulossiestenosehaestudiadoaprofundidad,
la resoluciónde estructurashiperestáticas, campodeestudiodel análisisestructural, requieredel
cücutodedeformacionesdeestructurasisostáticas;enel capitulo3seestudiaestetemaenforma
completa,aunquealgunosmétodosincluidosenellibro, notodos,sevenencursosprevia*. Losca
pítulos4 y 5presentanlosmétodo»básicosofundamentalesdelanálisisestructural:eldelasfaena*
y eldela»deformaciones,respectivamente. El métodopendiente-deflexión,queeselmismodelas
deformaciones en sus principio» básicos, se incluye en el capitulo 6. El método de Cross, ya
mencionado, sepresentaenloscapítulos7,8 y9,tratandoporseparadoloscasosdevigascontinuas,
marcossindi*pla*aml»ntolateraly marcoscondesplazamientolateral;suinclusiónobedeceaqu»
Iconsideraimportantea pesardequeya nose incluyeen alguno»programasdeestudio.
4. Elestudiodelanálisisestructural resulladifícil,enocasiones, paraalgunosalumnos. POresla
razón, el autor hatratadodepresentar el material dela manera misclara posible, conservando I
desdeluegoel rigordeladisciplinaeincluyendooldesarrollototal delas demostraciones.Seha
tenidoespecialcuidadodeexplicarcondetalleaquellosconceptosque,enlaexperienciadelautor,
sondemás difícil comprensión, aun a riesgode caer en repeticiones. Los numerososejemplos
resueltossopresentanen formacompletaeincluyenel trazadodelos diagramasdeacciones, ya
que es convenientequeel alumnoadquiera el entrenamiento de obtener estos diagramas o
Interpretarlosdebidamente. Losejemplossepresentanenhojasenmarcadas,enformasimilarala
empleadaendespachosdecálculo,acompañadosdecomentariossobresudesarrollo. Estemétodo
del ConctclpRetoñado. Con baseen varios testimonios recibidos, se considera que facilitael
entendimientodolosejemplos.
Debidoaqueelcontenidodellibroestáconstituidoporprincipiosyconceptoscuyavigencia
tieneunanaturalezamásomenospermanente, nose|iacereferenciacontinuaa librosyartículos
quepresentenavancessobreeltema.SIsepresenta,alfinaldelmismo,unabibliografíaconalgunos
textosqueel autor consideradeexcelentecalidady querecomiendaconsultar siemprequesea
ppsible. Algunosson libros.clásicos, comoel deTimoshenko. y otros son textos modernoscon
cualidadesdidácticasy magnificaspresentaciones. . ,,
El material Incluidopuedeconstituir la basedeun primer cursode análisis estructural con
duracióndeunsemestre,siemprequelosalumnostenganunabuenabasedeestáticaquepermita
queelcapitulo2ypaitedelcapítulo3puedanestudiarsearitmodeunrepaso.Algunosprofesores
........ >deltiempodisponibleyde
paitedesuticm poaiBPH
contenidodellibro;lehadadolaoportunidaddeenseñarlaasignaturadurantevariosaños,yleha
brindadorecursos materialesindispensables. El contactoconsusalumnos, ha motivadoal autora
tratardecomprendermejorIndisciplina,parapoderlatransmitir,y lobaImpulsadoaembarcarseen
laempresadeescribirunlibroquecontribuya• facilitarsuenseñanza.JulioLabastida,profesor
deanálisisestructuralenlaUniversidadVeracnjzana,revisóbuenapartedelmaterial,especialmentede
k»ejemplos,yseñalóalautorerroresyomisionesquefueron oportunamentecorregidos;losqueno
hansidodetectadossonresponsabilidadexclusivadequienescribe.JuanCasillasyJosédelaCera,
profesoresdeja UAM, hicieronvaliosas sugerenciasparamejora,elmaterial.Y alounosalumnos
hanayudadodirectamentealaútorenlapreparacióndeejemplosyenlacapturaddmaterial;éntre
eUosAlejandroViverosVizquez,ManudCoronaLocra,julioPinedaBlanca»y EduantoAidto»
Méndez. nnatowa*.seapafccealequipodeUmusalaconfianzadepositadaenelautot
ÓscarM. GonzálezGiews
on^cVfOlMaM^jm^
9. Figura1.1. Procedimientogeneral
entreélproyectoarquitectónicoyeldiseño
estructuralyeldeinstalaciones.Losestudios
descritos y el diseñoarquitectónicose lie*
van a cabosiguiendo las disposicionesde
losreglamentosdeconstrucciónaplicables.
A continuación, sepasaa laetapadel
diseñoestructural.Enlafigura1.1 seindica
queestaetapapuededividirseentrespartes:
estructuración, análisisy dimensionamiento.
En la partede estructuración, seestablece
lageometríageneraldelaobra, respetando
eldiseAoarquitectónico,sefijanlosclarosde
lasvigas,laseparaciónyalturadelascolum
nas,seseleccionanlosmaterialesaemplear,
se eligen sistemas de piso, etc. Esta parte
suelellamarse'concepcióndelaestructura*
o ‘configuraciónestructural'. Eslapartemás
subjetivadeldiseñoestructuralyaquellaen
quelaexperiencia, buenjuicio e Intuición
ddingenierojueganelpagelmásimportante.
Una estructura mal concebida presentará
Problemas, independientemente déqué tan
bienodeconquétantaprecisiónmhaganlas
Iparaeldiseñoyconstruccióndéobras
etapas de análisis y dimensionamiento.1
Duranteestaparte,esnecesariohaceralgu
nasestimacionespreliminaresdeltamañode
los miembrosestructurales, tantoparaesti
marsu pesopropio, queforma partedelas
cargasactuantes,comoparacalcularsusri
gideces relativas, lascuales serequierenen
lapartedelanálisis. Estasestimacionespue
denhacerseutilizandoprocedimientossim
plificadosde análisis y dimensionamiento.
0 únicamenteconbaseenlaexperienciadel
proyectista':
Después sigue la parte del análisisde
la estructura, quees el tema deestetexto-
Laacepciónmisgeneraldelapalabra'aná
lisis*es:distinciónyseparacióndelaspaites
deuntodohattallegaraconocersusprlnch
1 Aunqueel temanoformapanedeesteloto,*
recomiendaalo»alumnosdeIngonlerfácuruca»-
ralleeralgúnlibioali—pacto,comopore|WH*!
C.AmoldyB.Réftbenftan;fCOnflgúracIdnyP*j*-
AoSísmicode(díñelos*.LIMUSA,México,
10. péoioelementos(DiccionariodeI* Lengua
Española,RealAcademiaEspañola).Aplica
daesla Ideaa unaoslructura,loqueelanáli-
en sus elementos conslitulivos y la deter
minacióndelefectodelascargasaplicadasa
la estructura en cada elemento: Cualquier
estructura es un lodo continuo, pero para
finesdeanálisis sepuededividirendistin-
tosmiembros,comoserfanlasbarrasehuna
armadura, olasvigas, columnasy losasen
bos,sistemasdepisoycables,en umpuenie
colgante. Una vez dividida latestructuraen
susdistintosmiembros,ladeterminacióndel
efectodelascargasencadamiembroselleva
acabocalculandolasacciones'internripro
ducidas por esas cargas, o sea, las fuerzas
axiales, lasfuerzascortantes, losmomentos
flexfonantesylosmomentostorsionantesen
cada miembro,asfcomolasdeformaciones
decadaelementoydelaestructuracompleta.
Estecálculoeslaesenciadel análisisestruc
tura/yel objetivodeeste libroespresentar
distintosmétodospara realizarlo.
Aunqueelprocesocompletodediseño
estructural esenbuena medida subjetivo y
notienesoluciones únicas, como ya se ha
comentado, lapartedel análisisestructural
escompletamente rigurosay conducea so
lucionesúnicas. Unavez planteada unaes
tructura, lascargasquesobreella actúany
loselementos estructuralesen los quese ha
dividido, las acciones internas en cada
miembrotienenunvalorcometoúnico. Las
tuerzas axiales, las fuerzas cortantes, los
momentos flexionantes y los momentos lor-
sionantes en cada miembro deben ser loa
mismos, cualquiera que sea el método
empleado para calcularlos. Si se usan
métodosaproximadosdeanálisis, seobten
dránaccione»interna*parecidasalasdelas
solucione*completas,quepuedenaceptarse
según su grado de aproximación. Sin
embarra,elquela*solucionesteóricassean
únicas,nosignificaqueenlaestructurareal
distribución delascargasy deotrosfactores
¡Implican;trabajar sobre ui
coincidetotalmenteconlaestructurareal.pJ H
estarazón,nosejustificarealizarloscálculos
conunaprecisiónexcesiva,aunquelasolución
La tercera partedelaetapadel diseño
estructuralserefierealdlmensionamientode I
los miembros estructurales. A partir de las I
acciones internas calculadas en el análisis I
estructural, se dlmenslonan miembros que
puedan resistir dichas acciones dentrode
condicionesdeservicioaceptables.Porejem
plo;sisetratadeuna estructuradeconcreto,
será necesariodeterminar el tamaño de los
elementosestructurales,elacerolongitudinal
y transversal, detallar anclajes y traslapes,
revisardeflexionesy agrietamientos,etc. En
esta parteserecurremásqueen laanterior
afórmulasempíricasyadisposicionesregla
mentarias. El proyectista tiene más libertad
deacciónyla*solucione*correctaspueden
variarsegúnsucriterioolosreglamentosque
use.Porejemplo,siestádimensionandouna
vigadeacero,puedeencontrardiversosper
files que resistan el momento flexionante
calculadoenelanálisisdelaestructura.Osi
la viga esdeconcreto, puede usardistintas
relacionesentresualturaysuancho.Enlos
programasdeingenieríacivil,generalmente
se ofrecencursos de dimensionamientode
distintos materiales, concreto, acerooma
dera, posteriora*aloscurso*deanálisises
tructural, paraseguirlasecuenciadel proceso
dediseño.
Puedesucederqueunavez terminada
la partededimensionamiento, losmiembro*
de la estructura resultende un tamañodife
rentealsupuestoenlapartedeetmicturacMn.
Estosuele pasarcuandonosetienemucha
experiencia. Si se presenta esta situación,
11. seíinnecesarios,dependerádeladiferencia
iosvaloressupuestos,ydealguno»oírosfac-
cargatotal;sise subestimaronlostamaños
delodoslosmiembros,susrigidecesrelativas,
que son!(as que importan en el anáfisis,
rigidecesabsolutas. El buenjuiciodel pro
yectista;nuevamentejugará unpapeldeter
minanteenladecisióncorrespondiente.
lapartedeanálisisestructural únicamente.
Enlodoslosproblemasseplanteala ideali
zacióndeunaestructurarealydelascargas
quesobreellaactúan.4Sinembargo,el lec
tordeberáestarconscientede la ubicación
seAo, asi como de su antecedente, la
estructuración; y de su consecuentt, el
el riesgodenootorgarlesu justa importún
elaalcontenidodelcunoodeconsiderarlo
comounejercicioacadémicodesvinculado
delarealidad.
Enlafigura1.1 seincluyenotrasetapas
delprocedimientogeneraldediseñoy cons
trucción. Simultáneamente con el diseño,
estructural, se puede realizar el diseño de
lasinstalaciones,cuyaimportanciavariase
gúneltipodeobra.Aunqueambosdiseños
sehagansimultáneamente,nodebenhacer
seindependientemente,yaquelaubicación
delasinstalacionespuedeafectarel diseño
Una vez realizados el dimensionam.cnn, y
,.| diseño de instalaciones, y plasmadossus
caciones de construcción, se elabora el
presupuestodelaobrayelprogramadecons-
tracción. Despuésseejecutalaobra,conuna
coordinaciónysupervisióntécnicaadecuada.
Estasetapas nosecomentan mayormenteen
estetexto,noporsermenosimportantes,sino
por noestardirectamentevinculadas altema
1.2 Tipos de estructuras
En la práctica de la Ingeniería se pueden
encontrar muchos tipos de estructuras. Por
ejemplo, existen puentes de distinto tipo,
como apoyadossobre vigas longitudinales,
apoyados sobre una retícula de vigas, col
gantes, atirantados, conarmaduras; etc. Existen
bóvedasdediversascaracterísticas,cilindri
cas, con anillo central de compresión, con
tirantes. Cascarones cilindricos o en forma
de paraboloide. Arcos de distintas formas.
Vigas de un claro' o continuas. Marcos
rígidos. Muros con cargas normalesa supla
no, como los de contención, o muros con
cargas en su plano, como los utilizados en
edificios altos. Estructuras a base decables
colgantes.Aveces secombinandosomásde
estosdiversostipos, comoen edificios altos
En este texto se tratan únicamentetres
tiposdeestructuras: vigas de unsoloclaroo
devariosclaros,armadurasy marcosrígidos.
Puedeparecer que es un númeromuylimi
tadode casos en comparación con la gran
variedadexistenteen la realidad. Sinembar
go,el objetivoprincipal del libroesmostrar
losprincipios fundamentalesdelanálisises
tructural, y esto puede hacerse a partir de
12.
13. Figura1.3. Idealizacióndeunaestructura
de vigas y armaduras. Por lo tanto> las
estructuras de la figura 1.2 ya son ideali
zacionesdeestructurasplanas.
- Otra idealización Importanteserefiere
almaterial delasestructuras. Losmiembros
deconcretoreforzadoydeaceroestructural,
los materiales más usados en estructuras,
tienegráficas caiga-deflexióncomo las de
lasfiguras 1A-ay 6,respectivamente.Ambas
tienenunazonaaproximadamentelinealal
inicio de la gráfica y.después, una amplia
zona de comportamiento no lineal. En los
métodosdeanálisisestructuralpresentadosen
este texto, se supone que los miembros
estructurales tienen un comportamiento
linealyelástico,osea, quesugráficacarga-
deflexiónescomola mostradaen la figura
1A<. Existenmétodosdeanálisisestructural
•n losquenoesnecesariaestaidealización
o suposición.Sellamanmétodosnolineales
deanálisis, perocaen fuera del alcance de
este texto. Esta suposición conduce a que
las acciones internas calculadas con los
métodos aquípresentados, se aproximen a
lasqueocurriríanen laestructura real bajo
el«fadodecargasrelativamentebajas,osea,
nocercanasalasqueproduciríanelcolapso
de la estructura, sino a las que producen
esfuerzos dentro de la zona de compor
tamiento lineal da'los materiales o de los
miembros estructurales. Estas cargas sonlas
llamadascarga»deservicioy,porlotanto,el
análisissedebellevara caboconellas.Sib
tercerapaitedelaetapadediseñoestructural,
eldimensionamiento,sehaceconcriteriosde
resistencia última, lasaccionesobtenidasen
elanálisisdebenmultiplicarseporlosfactores
de carga especificados en el reglamentode
construccionesaplicable. Elmismoresultado
seobtieneefectuandoelanálisisconlascaigas
deserviciomultiplicadaspreviamenteporlos
factoresdecaiga.
Lasuposicióndequeel materialdelas
estructuras es lineal y elástico permite
efectuar simplificaciones importantesenel
análisis. Todos los efectos de las cargas
aplicadas yarían linealmente. Por ejemplo,
si se duplican las cargas, seduplicantodas
Jasaccrones internas; si el módulo de
elasticidad se reduce a la mitad, todaslas
deformaciones se duplican, ya que son
inversamenteproporcionalesalmódulo.U11
principio muy importante llamado de
isuperposición de causas y efectos, que*
estudiará masadelante, sóloesaplicablesi
el material et lineal y elástico.
14. roestructural Hb)Coftcreloreforcado I
.Gráficascarga-deflexión(P-6)demiembrosestructuralescon>distiñtosmateriales
Una tercera Idealización Se refiere al
tamañoycomportamientodelosapoyosde
lasestructurasydelasinterseccionesdesus
miembros.LosapoyosIdeales,queseConten
tancondetalleenelcapítuló'2; representan
puntosenlosquenohayfricciones'queres
trinjaneldesplazamientoo*lasrotacionesdé
losmiembros,obien, quelesproporcionen
un empotramiento perfecto. En los1apoyos
reales nose presenta esta situación'ideal;
tienen dimensiones apréciables y siempre
hayfriccionesoempotramientosquenoson
perfectos.Lomismosucedeconlasintersec
ciones de miembros estructurales. Tienen
dimensionesconsiderablesydeformaciones
dentrodelaintersecciónquenoseconside
ran normalmenteen el análisis estructural.
Severáenlosejemplosdel libro,queesfre
cuenteconsiderarquelosmarcosestánem
potrados ensus bases. En la realidadestán
ligadosa lascimentaciones,quelespropor
cionan un empotramiento parcial, quede
pendedeltipodecimentaciónydeterreno.
Éstaesotraidealización importante.
Algunasde las’cargasque actúansobre las
estructuro tienen un valor que nocambia
conel tiempo. El peso propiodelosmiem
bros estructurales o el peso de los muros
divisorios en un edificio de oficinas son
ejemplosdeestetipodecargas.Otrascargas,
comoiJascargasvivas,aunquecambiancon
el tiempo, 'lo'hacen>en periodos largos, y
puedenconsiderarsecomoconstantes, con
un valorparecidoal máximoquealcancen^
para!-finesdeanálisis.Cuandoelanálisises
tructural seefectúaconcargaspermanentes,
como<las'anteriores, se denomina análisis I
estático:'Estetipodeanálisisesel estudiado
enestelibro.
Las estructuras pueden estar sujetas a
accionesexternascuyamagnitudvarfarápi
damenteconel tiempo, comolossismoso
el viento. Losefectos de estas acciones se
estudianenloscunosdedinámicaestructu
ral y no están incluidosen este texto. Sin
embargo,losmétodosdeladinámicaestruc
turalpermitencalcularcargasqueseaplican
a lasestructuras,lascualesseanalizandes
pués con los métodos estudiados en este
cursoparaencontrarlasacciones internas,o
sea,losmomentosflexionantesytorsionanlES,
y lasfuerzasaxialesycortantes.
Otro tipo de acciones extemas es el
debido1'a vehículos en movimiento, como
Irenesocamionesquecirculensobrepuen
tes. Enestecaso, el efectodel movimiento
se toma en cuenta multiplicando la carga
serdesordende 1.30, osea, se incrementa
lacarga en30 por ciento. Laestructurase
analizaronestacargaincrementadaconlos
métodosdeanálisisestático.
15.
16. C a p ít u l o 2
Estructuras
isostáticas
2.1 Introducción/ 2.2 Reaccionesen los
apoyos / 2.3 Ecuaciones de equilibrio /
Accionesinternas/ 2.6Calculodelgrado
deindeterminación/2.7Anilisisdevigas
isostáticas/2.8Armaduras/ 2.9Marcos/
2.10Determinacióndereacciones,fuerzas
métododeNewmark
2.1 Introducción
lías estructuras se dividen, desde el punto
de vista de los métodos de'análisis, en
isostáticas oestáticamente determinadas, y
en hiperestáticas o estáticamente indeter
minadas.Lasprimerassonaquellasquepueden
analizarse utilizando únicamente las ecua
cionesdeequilibriodela'estática. Es decir,
que puedenencontrarse las*fuerzascortan
tes, momentos flexionanteS,i>fuerzas nor
malesy momentos torsionantes; a partirde
2.2 Reacciones en los
Unodelospasosnecesariosparaestablecer
siunaestructuraesisostáticaohiperestática
consisteen calcular el númerode reaccio
nes que sedesarrollanen los apoyos de la
estructura. Por 1°tanto, es necesariodeter
minar lasreacciones queocurrenen losdi
versos tiposdeapoyoqueseencuentranen
la práctica. 1
Lostrestiposbásicosde'apoyosemues
tranesquemáticamente en la figura2.1. El
áiSoyO1Simple restringea la estructura con
tra desplazamientos verticales, peropermite
desplazamientos horizontales y rotaciones
o giros. En estos apoyos*se desarrolla una
17. Figura2.2.Empotra
f e -
reacciónVertical, R^perola reacciónhori
zontal,R^yel [nomento,Mr}sonnulos. Por
lo tantosóloexiste unareaccióndeapoyo.
Elappvparticuladorestringelosdespla
zamientos verticales y horizontales, pero
permitela]rotación. Existenpoclotantodos
reaccionesdeapoyo,RryR^yel momento,
El apoyoempotrado restringe los tres
movimientosquepuedenocurrirenel plano:
losdesplazamientos verticales y horizonta
les y la rotación. Enestos apoyos sedesa
rrollantresreacciones, ft R yM .
Los casos mostrados en la figura 2.1
representan apoyos de estructuras conte
nidas en un plano, o sea, estructuras bidi-
mensionales. Muchas.estructuras reales
puedenidealizarseorepresentarseenforma
bldimensional, aunque en realidad sean
tridimensionales. Esto suele hacerse por
facilidaddeanálisisoporquelosresultados
queseobtienenenunanálisisbidimensionáf
nodifierenmuchodelosdeunanálisistridi
mensional. Sin embargo, en algunas oca
siones es conveniente realizar el análisis
estructuralconsiderandoelcomportamiento
entresdimensiones. Enestecasodebeob
servarsequeérí'bn apoyoexistenseis posi
bles desplazamientos: tres lineales y tres
rotaciones. Tamblán existirán por lo tanto j
seisposiblesreaccionesdeapoyo,R, R''R, I
Lai’lrespri/ñérásrestringenlos I
posiblesdesplazamientoslinealesylasotras I
tres, Fas'poslbíes rotaciones. Nóteseque la I
reacción M_ restringe la rotación del I
elementoestructural en’fnVplarioparaleloa I
su sección transversal, ocasionando una
torsión en el elemento. En la figura 2.2se
muestraelcasodeunempotramientoentres
dimensionesenelquesedesarrollanlasseis
reaccionesdeapoyo.
Todos los casos mostrados correspon
denaapoyosidealesquesondifícilesdelo
grar totalmente en estructuras reales. Pan
obtener,porejemplo, unapoyolibredeben
colocarserodillosentredosplacasrígidasy
reducirse a| máximo la fricción entrerodi
llosyplacasparaque las fuerzashorizonta
lessean mínimas.Aún así es prácticamente
imposiblelograrunapoyolibreperfecto.En
unapoyoarticulado,esnecesariocolocaruna
rótula o un cojinete que pueda girarcon
una fricción támbfén muy pequeña. Los
empotramientos requierendeelementosde
apoyomuyrígidosomasivospararestringir
larotacióndelosmiembrosestructuralesque
llegana bichos apoyos; aunqueenalgunas
ocasiones,losempotramientosselogranpor
condicionesespecialesdesimetría,comoen
•I caso mustiado en la figura 2.3. La viga
18.
19. &•. ecuacionesllamad»ecuacionesdeequilibrio.
Estasecuacionesdependendelascaracterísti
casdelsistemadefuerzas.Acontinuaciónse
analizanloscasosmáscomunes.
23.1Sistemadefuerzasparalelasenunpji-
estructurasplanassujetasúnicamenteacar
gas porgravedad. Lascargas y las reaccio-
lf r =0 y lMom0 ‘T i l
dondeI f representa la sumade las cargas
verticales,osea,paralelasal eje Y,yZMere
presentalasumademomentosalrededorde
cualquier puntosituadoenel planoenque
estáncontenidas las fuerzas. En.formaalter
nativasepuedenplanteardosecuacionesde
equilibrioqueexpresenlasuma,demomen
tosalrededorde dos puntosdistintosA y 8,
peroel númerodeecuacionesnosealtera:
LUa»0 y LMe=0 (2,2)
2.J.2 Sistemadetuerzasnoparalelasenun
plano. Cuandoen.unai,estructuraplanaac
túan cargas en distintas direcciones, estas
tuerzasy lasreaccionesdeapoyoconstitu
yenunsistemadefuerzasnoparalelas.Setie
nenenestecasotresecuacionesdeequilibrio:
l f , =0. l f f =0, IMo»0 (2.3)
dondeZF,eslasumadefuerzasparalelasal
eje X y los otros términos han'flordefini
dos.Enformaalternativa,elsistema(2.3)se
puedeplantearen laforma
U O0, tht¿mO y ZM,mO (2.4)
siemprey cuandola Ifneaqueunelos pun
tos A y 0 nosea perpendicular al eje Y, o
bien,enlaforma
ZM ,-0, ZMb =0 Y SMc mQ (2.5)
siemprey cuando los puntos A, B y C no
2.3.3Sistemadefuerzasconcurrentesenun
plano. Lasecuacionesdeequilibrioparaun
sistemadefuerzascomprendidasenunpla
no y que además concurren en un punto,
puedeexpresarsedelastresmanerassiguien-
Zf, rn0,, l f f =.Ó .... (2.6)
siempreycuandoelpuntoA noestésituado
sobrelarectaperpendicularalejeVquepasa
porel puntodeconcurrencia, y
, £Mg.4(£ ^ (2.8)
siemprey cuando la.rectaqueune lospun
tosA y B no pasepor el puntode concu
rrenciadelas fuerzas.
2,3,4 Sistemadefuerzasenel espacio.Este
esel,«somásgeneralysepresentaenestruc-
turas tridimensionales con cargas noparale
las.Setienenseisecuacionesdeequilibrio:
, . E%=0, Zfr m0,¡ i ,ll'
£M, =0, !Mr -0 , lMt =0 (2.9)
dondeEF, es la sumadelas fuerzasparale
lasálejeZ, IlWt, ZM. sonlassumasde
momentosalrededordelosejesX,YyZ, res
pectivamente, ylosotrostérminoshansido
definidos.
2.4 Ecuaciones de condición
Algunas estructuras poseen características
especialesquepermitenplantearecuaciones
20. . Las articulación
placimientolineal relativodelaspartesq
concurrenenlaarticulaciónsinpermitirque
“ ; ' iLasecuaciones
la fuerza cortante es nula enestasartic
Obsérvesequeenlas'articulaciones
aunque él momento
flexionanteseanulo, existefuerzacorlante,
___ique en las articulaciones de ce
tante,nohayfuerzacortanteperosíhaym
mentóflexionante.
[iasS
Figura2.5.Vigasarticuladas
25 Acciones internas
Enel interiordelosmiembrosestructurales
sedesarrollanaccionesquepuedenserfuer
zasnormales, fuerzascortantes; momentos
flexionantes y momentos torsionantesi En
este texto se tratan principalmente los tres
primerostiposdeacciones;quesonlospie-
dominantesenestructurasplanas.
Enla figura2.6seindicanestasaccio
nesInterioresylaconvencióndesignosque
sesigueen el texto.La figura 2.6a muestra
un tramo de un miembro estructural en el
quesehaceuncorteenlasecciónala.Exis
tendosmanerasdeanalizar loquesucedea
ambos lados de este corte. En la primera
manera, simplemente se separan los dos
Cuerpos libres y soanalizan lasfuerzas in
ternasen lascaras.adyacentesalcorte,figu
ra2.6b. Enlasegundamanera,seconsidera
que entre los dos cuerpos libres queda un
elementodelongituddiferencialy seanali
zan las fuerzas internas que actúanen este
elementodiferencial, figura2.6c. _.
Las fuerzas¡normales se consideran
positivascuandoproducenesfuerzosdeten
siónen las carasdeloscuerpos libresenla
seccióna-a,obien, esfuerzosdetensiónen
elelementodiferencial,figura2.6d. Lasfuer
zas normales positivas tienden entonces a
alargaralosmiembrosestructuralesysere
presentanporvectoresque sealejandelas
carasde loscuerposlibresodeloselemen
tosdiferenciales.
Enjafigura2-6esemuestralaconven
cióndesignosparafuera*cortante.Esposi-
21. libredelaizquierday haciaambaenelcuer
polibredela derecha,o loqueesequiva
lente, hacia arribaenla cara izquierdadel
telementodiferencialyhaciaabajoenlacara
derecha. 'Una fuerza cortame positiva
tiendea desplazar hacia abajo el cuerpo
dela izquierda.
>flexionanteseindicaen.lafigura2.6f.Un
compresión en las fibras superiores de los
miembros o del elemento diferencial yde
tensióncmlasfibras inferiores. Porlotanto,
un miembro estructural sujeto a momento
flexionante positivose deformade tal ma
neraquetiendea sercóncavohaciaarriba.
i — Q —r
« . ( □ >
figura2.6, Convencióndesigno»paralasSe
22.
23. ato, si Inscargasfuesentodasverticales, ha- porqueal‘
qulllbrloy unasolaecuacióndecondición, ecuación<
EJEMPLO2.1. CÁLCULODEL GRADODE INDETERMINACIÓN ENVARIASVIGAS
'M p p
I A 1 ' ä
^ á á ¿ à À s s l
■
Ê k À
^ S .
j É
— 1 «•
I — J— ^ - 1 g g y °
. 4 . 1 1 ¿ °
dü sïïsr j
E - „ v 1 . e s t j
f l l l j i
¿ s r — 4
1 i ilm»Wn«li.. I
24.
25. 2.6.2 Armaduras. Lasarmaduraspuedenser
externamenteindeterminadasointernamen
te indeterminadas. Sonexternamente inde
terminadas, igual que las-vigas, cuando el
número de reacciones de apoyoes mayor
queel númerodeecuacionesdeequilibrio
máselnúmerodeecuacionesdecondición,
Siambosnúmerossoniguales«sonexterna
mente ¡sostálicas. Por lo tanto, las ecua
ciones 2.10 puedenusarsepara calcular la
indeterminaciónexterna.
La indeterminación interna ocurre
cuando el númerode miembros es mayor
queel mínimonecesarioparaque la arma
duraseaestable. Enestecaso, las armadu-
iashopuedenresolverseconlasecuacionesde
equilibrio únicamente, empleando los
métodos de los nudos o de las secciones
estudiadosenloscursosdeestática.Acon
tinuaciónse presenta la forma de calcular
elgradodeIndeterminacióninterna.Consi
déreselaarmaduramássencillaposible,que
es el triángulo mostradoen la figura 2.7a.
Esta armadura puederesolverse porel mé
tododelosnudos,planteandoparacadauno
lasecuacionesdeequilibrioZf,=0 yI f =
0. Es,porlotanto,estáticamentedetermina
da.Sisedenominaalnúmerodereacciones
deapoyocon laletrar, al númerodenudos
con la letrayy al númerode barras con la
letrab, laecuación
r +tr=2/ 0.11)
secumpleparaestaarmadura,yaquer, 6 y/'
valen 3, cada una. Si a la armadura básica
delafigura2.7a,seleagregaotrotriángulo,
comosemuestraenlafigura2.7b, lanueva
armaduraestambiénestableoisostática ya
que puede resolverse aplicando las
ecuacionesdeequilibrioal nuevonudo. La
ecuación 2.11sesiguecumpliendo,porque
Mhanagregadounnudoy 2 barras. La ar-
triánguk», figura 2.7c, y seguirá siendoesta- I
ble.sepodráresolveraplicandolasecuaciones I
deequilibrioa cada nuevonudo ytambién I
seseguirácumpliendolaecuación2.11. Por
lo tanto, para cualqúie'r armadura establee I
Isostáticase cumple la ecuación 2.11.
SI a una armadura estable e isostática I
se le agrega una barra adicional, como la I
barraA i en lafigura2.7d, lanuevaarmadu- I
ra sigue siendo estable pero ya no puede I
resolversecon las ecuaciones de equilibrio
únicamente, porque en el nuevo nudo hay
más barras, y por lo tanto más incógnitas,
queecuaciones de equilibrio. Se concluye
entonces que si t + b > 2J la armadura es
estáticamente indeterminada. La diferencia
indicaelgradodeIndeterminación.Porelcon-
trario,sir +b <2/, laarmaduraesinestable. I
Estastrescondicionespuedenentonces I
resumirse de la siguiente manera:
Si t +b =2¡, laarmadura es isostática
SI (r +b) > 2j, la armadura eshiperestática
Si (r ♦b) <2j laarmaduraesinestable.
(2.12)
Obsérveseque una armadura puedeser
isostáticaexternamentee hiperestáticainter
namenteo viceversa. Desde luego, quetam
biénpuedeserhiperestáticatantointernamente
comoexternamente,las ecuaciones2.12son
válidaspara todos loscasos e indican, ensu
caso,elgradototaldeindeterminación.Nótese
tambiénquealcontarel númerodenudos,o
nodoscomoigualmentesedenominan,deben
incluirteloslocalizadosen losapoyos.
Ejemplo2.2
Se ilustrael cálculodel gradode indetermi
nacióndedosarmaduras. Laprimera,esuna
26. apoyadoy dos articulados. Por lotanto, e
- decondición,
C,elgradode indeterminaciónexterna que
seobtienecon lasecuaciones 2.10esde 2. j
POrotraparte,alaplicarlasecuaciones2.12
seobtieneun gradodeIndeterminaciónto-.
tal también de 2, ya queel númerodé nu
dos,/, esde 10, el númerodebarrras, b, es
del7yelnúme
«sponde al de indetermina
27.
28. m
% f ¡ ;
§ 1
p
y y j 1
i
H-J
i
Figura2.8.Cálcalodelgradodeindeterminaciónenm<
Siahoraseconsideranlosdiagramasde
cuerpo libre de los nudos de la estructura,
figura2.8b, sepuedeverqueencadanudo,
incluyendo los apoyos, se puedenplantear
tres ecuaciones independientes de equili
brio.Considerandoquelaestructuratienen
nudos, el número total de ecuaciones de
equilibrioserá3n. Cuandoelnúmerodein
cógnitas sea igual al de ecuaciones de
equilibrio, la estructura será estáticamente
determinada,si esmayor, será Indetermina
day siesmenor, será inestable.
Cuando existan ecuaciones de condi
ción,comoen el casodearticulaciones in
ternas en la estructura, su número deberá
añadirse al deecuacionesde equilibrio. SI
se denomina con la letra c al número de
ecuacionesdecondición, puedenplantear
selassiguientesecuacionesparaestablecer
elgradodeindeterminacióndemarcos:
el marcoes«tilicamenteindeterminado.
el marcoesinestable
Enlafigura2.9seilustraotramanerade
obtenerel gradodeindeterminacióndemar
cos,queresultamásconvenienteparamarcos
devariosniveles.Supóngasequeenelmarco
delafigura2.9asehacencortesenlassecck»;
nesa-ay b~bdetal maneraquelaestructura
original se transformaen las tresestructuras
mostradasenla figura2.9b. Cadaunadees
tas estructurases isostática, yaque.tienetres
reaccionesdeapoyoytresecuacionesdeécjug
librio, peroencadaseccióndecorteexisten
tresincógnitas:lafuerzanormal,lafoerzacor
tanteyelmomentoflexionante.Sepuedever
entonces queel númerototal de incógnitas
redundantes; oseael gradodeindetermina
ción, es igual atresveceselnúmerodesec
cionesdecorteenlasvigas,yaquelasfuerzas
internasa unladodelaseccióndecorteson
igualesalasdelotrolado.Enelejemplodela
figura2.9estenúmerodecortesesde10. ¡ •
29. Figura 2.9. Métodoalternativoparaelcálculodelgradodeindeterminaciónen
Ejemplo 2.3
En estéejemplo se ilustra el cálculo del gra
do de indeterminaciónde varios marcos. En
el primero, se tienen 4 nudos, n, dos que
corresponden a la unión de columna y viga
y dos qué corresponden a los apoyos; setie
nen 3 miembros, m, y 6 reacciones de apo
yo, r, J en cada empotramiento. Deacuerdo
con las ecuaciones 2.13 el marco es inde
terminado de tercer grado. Con el segundo
método expuesto, se haría un corte en la
sección 1-1, en la cual aparecerían 3 accio
nesInternas desconocidasque indicaríanal
godo de Indeterminación.
En el segundo marco se tienen 4 nu*
dos, n, unointeriory 3 apoyos; 3 miembros,
m, y 9 reacciones de apoyo, r, 3 en oada
«nootramiento. Según las ecuaciones 2.1,3
el gradode indeterminación esde6.Porel
segundométodo,hayquehacerlosdoscor
tes señalados para que queden tresestruc
turas ¡sostálicas. En cada unodeestosdos
cortesquedarían.(resaccionesinternasdes
conocidas.
El tercer ejemplo puede resolvene<Jq
manerasemejantea losanteriores,obttflM'
doseungradoejeindeterminaciónde9.
Enel últimoejemplo se ilustraelcaso
dequeexistanecuacionesdecondición,t"
las dos articulaciones el momento flexio-
nantevale0.Obsérvesequeenesteejemplo*
al aplicar el segundo método, resultacon
veniente hacer loscortesjustamenteenI»
articulaciones, porque encada unahayt>?!
lamentedosaccionesinternasdesconocida
la(uerzacortantey lafuenanormal,y*I*
el momentoílexionanteesnulo.
30. EJEMPLO 2.3. CÁLCULO DEL GRADO DE INDETERMINACIÓN DE VARIOS
MARCOS POR LOS DOS MÉTODOS
31. 2.6.4 Inestabilidadgeométrica. Existenalgu
nasestructura«quesonInestable«a pesarde
quealaplicarloscriteriosanterioresresuden
estáticamente determinadasoaunindetermi-
nadas.la inestabilidadsedativadeunnúmero
Insuficienteodeunadisposicióninadecuada
delosapoyos,obien,deunarregloinadecua
dodepartesdelaestructura.Enelprimercaso
sedicequela estructuratieneuna inestabili
dadgeométricaexlemayonci segundocaso,
unaInestabilidadgeométricainterna.
Considérese, porejemplo, lavigaconti
nuade la figura2.10. Al aplicar loscriterios
delasección2.6.1, seencuentraqueel nú
merodereacciones deapoyoes tres, igual
al númerode ecuaciones de equilibrio. Se
dirla entonces que la viga esestáticamente
determinada.Sinembargo,bajolaaccióndt
lascaigasIndicadas,lavigasedesplazarlaho-
rizonlalmenle hacia la derecha ya queon
ningunode losapoyossepuededesarrollar
una reacciónhorizontal que lo impida. Si
tratadeuncasodeinestabilidadgeométrica1
En la figura 2.11 se ilustra uncasoda
inestabilidadgeométrica interna. El mareo
mostrado tiene 12 nudos, n, 3 ecuaciones
decondición,c, (unaporcadaarticulación
interna)y 15 miembros,m. Porlotanto,se
gúnlasecuaciones2.13seríaestáticamente
indeterminado.Sinembargo, laviga3-7no
podría resistir las cargas aplicadas porque
sedeformarlacomoseindicaconIfneapun
teada. Habrfa una falla local enestaviga.
« tiú k
Figura2.10.Ejemplodeinestabilidadgeométrica
_ ________ 9
Figura2.11. EjemplodeinestabilidadgeométricaInterna'enmarco
32.
33.
34. Finalmente,sehantrazadoenetci
piolosdiagramasde fuerzacortantey i
cortanteet constanteentrocargasconsi
llvas. Poresoel diagramaestá formado
lineas horizontales entrelas cargas. El.
mento flexionante varía linealmente o
cargasconsecutivas, yaquesi seplante
+->»> 0
H - 601 90- 601B05-;0.
< - * 0,- 10S- 105kN
35. Sección 2a la Izq.: V-IOSkN
Sección 2a la der.: Vm105- 60- 45kN
Sección3 a lader.: V - 105- 60- 90 - -45 kN
Sección 4a la Izq.: V= 105-60-90--4S kN
Sección 4a lader.: /= 10S-60-90- 60 =105 - 210=-IOS kN
b) (M)
♦C »
Sección2: M, -105(3) « 315 kN•m
Sección 3: M, -105(7) - 60(4)- 735- 240- 495 kN •m
Sección4: M, -105(11)- 6016)- 90(4) - 11SS- 480- 360 - 315 kN•m
36. Ejemplo2.5
Setratadeunavigaconunextremoenvola
dizoy condiversostiposdecarga.Sepuede
verificar fácilmentequees isostática porque
tiene3reaccione«deapoyoyexistentambién
3ecuacionesdeequilibrio:Lasreaccionesde
apoyosecalcularon,comoenelejemploan
terior, con las ecuaciones 2.3. Enestecaso,
porexistirunacargainclinadayunacaigaho
rizontal,lareacciónA, esdiferentedecero.
El cálculodelasfuerzascortantesyde
los momentos flexionantes se hizo eneste
37. ejemploplanteandolas ecuacionescorre»-'
una.ecuacióncontinuaentreelapoyodela
Izquierdayel punto.deaplicacióndelacar-
queseplanteóotraecuaciónválidaentrela
cargaconcentradayelapoyodeladerecha.
Entre el apoyode la derecha y el extremó
del voladizose requiereotra ecuación. En ■■
estetramoresultómásconvenientecambiar
elorigenalextremodelvoladizoy cambiar
tambiénel signode la fuerza corlantepor
queseestabanconsiderandolasfuerzasa la
derecha de cada sección. Teniendo las
ecuaciones, puedecalcularseel valordela
fuerzacorlanteencualquiersección.Como
concalculardospuntosparacadaintervalo
devalidez y unirlosconuna Ifnearecta.
■ ■ primer orden de las fuerzas
lluadas'» lawzqulerda de la sección
correspondiente. Asf se calcularonenuna
seccióna6mdelapoyoizquierdo,enlasec
ción en que está aplicada la carga
concentrada y en al apoyo derecho. Este
último pudo calcularse también en forma
mássencilla, comoel momentodelafuerza
de 180 kN, con signo cambiado. El lector
puede comprobar que el resultado esel
mismo.Tambiénsecalculaenel ejemploel
momentomáximo,queocurreenlasección
de fuerza cortante nula, según indicala
ecuación 2. 16, y la sección en que el
momentoflexionanteesnulo.Finalmentese
trazan los diagramas de acciones internas
conlos valoresobtenidos.
SCXUOÓN:
11Cálculodelasreacciones.
38. r — m f T " "
AnálisisdevigasIsostítícu
■>CZMÁ=O
I +60(18) (9) +135 (12)- R8y(18) + li80/(24) = Ò
I R|)yM870'kNT
+ îï/j,=0
2)Cálculodéla fuerzacortante, normal y momentoflexionante.
Sección B LFX=0 -135 +N= 0 .,
N=13SkN
La fuerza normal esconstantea todolo largodela viga y esdetensión.
CORTANTE
SecciónA V- kAí- 525 kN
Sección6
-6° <18*- 135-180 +870 - 0
R ,,,-1395-870
:R^=525|(Nt
+,-»IF,«P
+ ,1351 0;
60kN/m
i ¡ £
Ala Izquierda -tv{() ■ 1-60(12)+525
,•-195 kN
39. EJEMPLO2.5 (continuación)
Aladerecha
w(3/2 O -135 • 525-60 (18)- 135
_ 135+«70- 525- 60(18) -135 +870
iïf * (12)- w(12) (6)
i<t ■525(121-60 (12)(6)
A.m 1980kN■m
H H » 35 (6)
Mc - 525 (18)-60 (18)(9)-135 (6)
Mf-m-1080kN -m
Seccióndemomentomáximo
El momentoatmáximodondela fuerza cc
fuerzacorlante):
Vi»525- 60x, • 0; * i - ~
is.Igual a 0 (ver diagramt oe
40. EJEMPLO2.5 (conllnuècìón)
Seccióndemomentonulo
. -, Ecuacióndemomentosentrelas seccionesB yC:
M- S25*- — -.135 (X- 12)=0
I ; _.X=16.31 m(desdeA)
• 'X2■18.00- 16.31 ■1.69m(desdeO
3) Diagramasde N, V y M
41.
42.
43. Ejemplo 2.7
Soilustra la resolucióndeunaviga que tic-
ros. En esteejemplo, primerose resolvióel
tramoIF comprendidoentre lasdosarticu
laciones. Estetramopuedetratarsecomosi
fueraunavigalibrementeapoyada,cuyasre
accionesdeapoyoson lasfuerzascortantes
en lospuntosf y F.Así, la reacciónR, que
resultade405 kN,esla fuerzaqueluegose
aplica, con signo cambiado, en el puntof
del tramo AC. ol cual ya resulta isostático.
a, lareacciónR,„deltra-
isostáticos, puedencalcularselas4 reacción«. I
deapoyo. Una vezobtenidasestasreaccio. I
nes, ya se puedencalcular las fuerzascor.
lamesy losmomentosflexionantcscomoen
losejemplosanteriores.
El procedimientoseguidoenesleejcm-1
píoesdiferenteal delejemploanieriofljjll
lo que es Importante observar es quJ
viga cumple con la condición n +c
isostüticay es resolublecon ecuacionesd»
equilibrio únicamente.
450kN270kN 225kN 4.05kN360kN
' I _ L '
1)Determinacióndelas reacciones
TramoÍF
450(1) +270 0)-Rfr (‘
o . J i S £ . 3,5kN
* tZ f » o
315- 450-270 * “ 0
Rlf .7 20- 315- 405 kN
48. 2.8 Armaduras
Losmiembrosdeunaarmadura,porencon-
trarsearticuladosensusextremos,trabajan
únicamentea tensiónoacompresiónaxial.
Entonces, la resolución de una armadura
consisteendeterminarlasreaccionesenlos
apoyosy lasfuerzasaxialesencadaunode
susmiembros.
determinandelamismamaneraqueenvigas,
osea;planteandofasecuacionesdeequilibrio
y,ensucaso,lasecuacionesdecondición,en
función de las reacciones de apoyo, y
despejandosuvalordelsistemadeecuaciones
queresulta.
2.8.2Determinacióndolasfuerzasaxiales.Una
vez obtenidas las reacciones, las fuerzas
axialesenlosmiembrospuedencalcularsepor
elmétododelo»nudosoporelmétododelas
secciones.Elprimeroconslsleenplantearun
dandoque sóloaparezcan dos incógnitas.
Despuésse plantean lasdos ecuacionesde
equilibrioquecorrespondena unsistemade
fuerzasconcurrentes, * 0yZF ■0.Resol
viendoelsistemadedosecuacionesseobtie
nenlosvaloresdelasdosincógnitas.Sedebe
dosincógnitas;conformeseavanzaenlaso
lución,lasfuerzasyacalculadaspermitenre
solver nudos en los que concurran varios
miembros.Cuandosetratadearmadurasen
elespacio,envezdedosecuacionesdeLequ&
"Ene| métododelas secciones,setra
zandiagramasdecuerpolibredeparlesde
queintersectenavariosmiembros.Después
seplanteanlasecuacionesdeequilibriodel
tantresecuaciones, correspondientesa un
sistemadefuerzasplanasnoconcurrentes,
y para armaduras^en el espado, seis
ecuaciones, correspondientesalcasogene
raldefuerzasenelespado.S
52. pideencontrar las fue
laarmadura, laL.L¡y
nesdeapoyoseobiuvi
enlosejemplos [ Unavezobleni-
lerza en la barra
laciendouncorteen
cortalabarracuyafuerzasedeseacalcular,
y que las otrasdos barras cortadasconcu*
rren enel nudo alrededor del cual seto-
| única incógnita queaparece en la ecua*
ción de•momentos es la fuerza buscada.
Oe forma similar secalculó la fuerza en
labarra UlUi.
53.
54.
55.
56. Figura2.13.Convencióndesignos.encolumnasdemarcos
convencióndeconsiderarquelaparleInfe-
qiilérdódelasvigas, yla panesuperior, al
extremoderecho,figura2.'15¡i:Estoequiva
leaconsiderar quelas columnas se miran
desdelos'puntosdeobservaciónindicados
enlafigura2.156.tosdiagramasdemórnen
loflexionante setrazansiempreen lacara
de -osmiembrosenque existenesfuerzos
Lasfuerzascorlantes enlas columnas
seconsideranpositivascuandotienenelsén^
nasemiracómosemuestraeníafigura2.15.
Losdiagramaspositivosdefuerza cortante
setrazana la izquierdadélascolumnas, y
losnegativos,a laderecha.
2.9.3Determinacióndefuerzasnormales.Las
landocadamiembrodel marco, despuésde
obtenersusdogramasdemomentoflexionante
tambiéntieneunaarticulacióndemomento
enelpuntoC,secumplelacondiciónñ+c
■<y él marcoes, porlo tanto, isostático
determinaciónconlaecuaciónr+3/77=3i?
+.C(ecuación2.13):Enefecto,mvale3por
queelmárcotienetresmiembros,resigua'
a4,hesiguala4(incluyendolosapoyos)y
ción, la que indica que enel pumoC el
momentofiexlorianteesnulo.
Paraobtenerlasreacciones,primerose
planteólaecuacióndecondición,calculan
do el momentoflexionanteenel puntoC
comolasumadelasfuerzasaladerechade
lasección consignocambiado. Estaecua
ciónpermitióobtenerunarelaciónentrelas
reaccionesRb y jt^. Obsérvesequecomo
nohayningunafuerzaentrelareacciónEy
laarticulaciónC, laresultantedeRfl y R¡
debepasarporel puntoC paraqueeimo-
Estoseha Indicadoconlíneapunteadaen
elejemplo!
Después se 'plantearon1las tres
ecuacionesdeequilibrio1MA■0.Zf, ■0.
yZf b0. Porlascaracterísticasdelmarco,
coníaprimeradeestasecuacionesy*sepu
dieronobtenerlasreacciones'^,yR¿ycon
cadaunadelasotrasdosecuacionesleob
tuvounadelasreaccionesfallantes;!nofae
necesario, por lo tanto, resolverel sistema
decuatroecuacionesconcuatroIncógnitas
75. El procedimientopara resolver vigas con
cargas distribuidas consiste en sustituir la
cargadistribuida por cargas concentradas.
Yaquesetenganlascargasconcentradas,la
resolución se efectúa comose vio en tos
ejemplosanteriores. Lascargasconcentradas
debenserequfvalemes ala cargadistribui
da,enelsentidodequelasfuerzascortan
tesymomento;flçxlonanlcsproducidospor
ambos tipos de cargas sean iguales en
A-B se sustituye por las doscargasconcen
tradas PAy P8, de tal manera quela füeo*
cortameyelmomentoflexionanteenlospi*
tosAy0seanigualesconambostiposdeex-
ga, aunquedifieranen el interiordd tram*
Enlasfiguras 2.19ay 2.196, semuestranco*
trazolleno losdiagramas correspondientes'
lascaigas concentradas y con lineapunte*
da, loscorrespondientes a lacargadistrict*’
da. EniospuntosA y 0, losdiagramasdd**
79. Figura2.22.CaigacondlHribuclónno
Seresuelvelamismavigadelejemploonle-
rior, calculandolasfuerzasequivalentesto
tales en las secciones 2 y 3. ‘El valor de
-4.17, por ejemplo, resulta de aplicar la
ecuación2.23delasiguientemanera:
P¡=|(0+;4x2:50+íx2.50),-4.17
Sólose calculan las fuerzas cortantes
ciónlineal,puedeobtenersepor log«
unaaproximaciónsuficientementepro
sufuncióndevariación,suponiendoqti
funciónesunaparáboladesegundog
Enlafigura2.22semuestrandostramo]
N-1, Ny N* 1, respectivamente.Sep
suponerquelafuncióndelacargasej
representar por la ecuacióny =Ax*+
C.yajustarlasconstantesA, 8yC par.
lacurvapáseporlospuntosN - 1, N;
1. Siseeligenlosejesdecoordenadas<
semuestraen la figura2-22, lascoon
das de lospuntos A/- 1. N y N +1s
respectivamente: (-/>, a), (0, b)
r).Sustituyendo estos tres pares decot
nadasenla ecuaciónde la curva, sec
nenlastressiguientesecuaciones:
a-Ah1-B h*C
95. Figura3.2.Deformacionesde
dinales, alargamientoso acortamientos, en
lascolumnasy en lasvigasdel marco. Esta
hipótesisesusual porquelasdeformaciones
producidas por los momentos flexionantes
ducldasporlascargasaxiales.Tambiénson
mayoresquelasproducidasporfuerzascor
tantes. Poresoenlosmétodoicjuese-verán
másadelantesóloseconsiderandcformacio-
brosestructurales tienen los tres tipos de
deformacionesyenalgunoscasosesconve
nientecalcular losotros dos.'Los métodos
correspondientescaenfueradel alcancede
estetexto.
Aunqueen este capitulose presentan
métodosparaelcálculoprecisodedeforma-
peratrazarlaformaaproximadadeestructu
ras<Mormadas.Estopuedehacerseatendiendo
longitudoriginal de los miembros, y otras
consideracionesgeométricasydecargasse-
casohayqueanalizar lascaracterísticasde
laestructura', la Importanciadeestahablll-
deformadada unabuenaIdeadel signode
*los momentos flexionantes en las distintas
zonas dela estructura. Asi, en el marcode
la figura 3.2 y usando la convención de
signos del capítulo 2, se sabría que en la
colutnnaABhaymomentonegativoentreel
empotramientoA y el punto de inflexión
turaes cóncava hacia abajo, mientrasque
entreel puntodeinflexióny el nudoB el
momento es positivo, porque es cóncava
torpuedetrazarasíeldiagramademomentos
flexionantes,enformacualitativa,deestaes
tructurahiperestátlca.Conelusogeneralizado
delos programasdecómputoparaanalizar
estructuras, este métodoes muy útil para
detectarerroresgrandesenlaalimentaciónde
datosoenelmodeladodelaestructura.
3.2 Teoría dela viga elástica
El pbjetivodeesta teoríaes establecer las
enlavigaporunsistemacualquieradecar
gas. Considéreseuna viga librementeapo-
mostradaenla figuraM
99. Estasdosecuacionespermitenobtenerlas
deformacionesdeunavigaelásticaenfunción
ción dex, aunque-en,algúncasopuede ser
constante.Elmódulodeelasticidad£estam
biénconstanteenJamayorfadeloscasosalo
largodelaviga.Elmomentodeinerciaescons-
comofuncióndex. Deberecordarsequees
tasecuacionessólosonválidasparadeforma
cionespequeñasproducidasexclusivamente
porflexión,y paravigasdematerialdecom
portamientolinealyelástico,deacuerdoalas
hipótesishechasdurantesudeducción.Laviga
deformadaquecumpleestascondicionessue-
Lasrotaciones*0,ylasdeflexiones,y,deuna
viga puedeo. calcularse integrando las
ecuaciones3.17y 3.18obtenidasenlasec
ciónanterior.-La primera integración pro-
porciona las. rotaciones y la segunda,,las
deflexiones.Alllevaracaboestasintegracio
nesaparecenconstantesdeintegraciónque
debendeterminarseapartirdelasllamadas
condicionesdefrontera*quevienensiendo
valoresdelasdeformacionesquedependen
condicionesdecontinuidaddela viga»Por
ejemplo, enun empotramientola rotación
délavigaysudeflexióndebenser-nulas;en
ftfnra1A.ConvencióndeUgnot
100. unapoyo llbrp, po#d*haberrotaciónpeto
nodeflexión;envnavigasimétrlcaencarga
y geometríala rotaciónal centrodel claro
debesernula.Lascondicione*decontínui-
dadseestablecencomldenndoquelacur
vaelásticadebesercontinua, amenosque
bayacircunstanciasespecialesquepermitir»
por ejemplo, unaarticulación Intermedia
permiteunadiscontinuidadenrotación. En
fin.estascondicionesdefronteraodeconti
nuidaddebenserdeterminadasencadacaso
particular. El trazoaproximadode la viga
deformadaocurvaelásticaresultaútilpara
hacerestadeterminación.
Encuantoal momentoMqueaparece
enlasecuaciones3.17y 3.18.yquecomo
sehadichogeneralmenteesunafunciónde«.
deberevisarseelintervalodevalidezdelas
funciones. Enlos punios deaplicaciónde
cargasconcentradascambianlasecuaciones
correspondientesalmomento.Eitrazodelos
diagramas de momentoflexionante ayuda
tambiénparallevaracaboestarevisión.
CONVENCIÓNOESIGNOS
Enlafigura3.4seilustralaconvenciónde
signos,congruenteconlaconvenciónpara
momentoflexionantedelcapitulo2yconla
deduccióndelasecuaciones3.17y3.18de
muestranenlafigura3.4-ason positivosy
hacenquelavigasedeformeconunacon
cavidadhaciaarriba.Losejesdecoordena
dasindicadosenlafigura3.4-bsonpositivos
ycoincidenconlosdejafigura3.3-a.Enal
tramodeyjgaA-Bdelafigura3.4-bcrecen
losvaloresdeyydex,osea,tamodycomo
yseránpositivashaciaarribay lasrotacio
nes 8 serán positivas cuandoel giro sea
antihorario(contrario Alas manecillas del
reloj)segúnsemuestraenlafiguro.
Ejemplo3.T
Seobtienen expresiones para calcularI*
rotacionesydeflexionesenunvoladizo*,
jejoj carga uniformementedistribuida.Se
suponeque la seccióntransversalescons.
lameporloquetambiénloeselvalorde¿(
•Enprimertérminosehatrazadolactata
elásticaenformaaproximada,enlacual«
puede ver que tanto la rotacióncomoU
deflexión deben ser nulas en el empoia.
miento. Después se obtuvo el momento
flexionante en el empotramientocoah
expresión iv/J/2 y laecuacióndelmomia,
loflexionanteencualquiersecciónquere-
Acontinuación seaplicaronlasco»
dones 3.17y 3.18sustituyendoelvalor*
Mporlafunciónanterior.Obsérveseque»
laprimeraintegraciónapareceunaconjun
tedeintegraciónC, quehayqueincluiré»
elIntegrandodelasegundaintegral.Deesa
manera en la expresión para 8 apareceU
constanteC, yenlaexpresiónparayapare
cenestamismaconstantey una nueva
surgealrealizarlasegundaintegración,C,-
Lasdosconstantespuedenobtenerseapar
tirdelasdoscondicionesdefrontera8^=®
yYa “ O-Paraesteejemploambasconsta»
lesresultaronnulas.
Yaobtenidas lasconstantesde¡*1*
clón,puedenplantearselasecuacionesSal
lesparacalcularlarotaciónyladeflexión«1
cualquierpuntodeabscisax. Estas¿cuati»-
nes quedan en función de Cl, quef¡>**
constantesetactorizáenlaIntegración,
quequedaréexpresadaenradianes,o*
deflexión,quequedaréenunidadesdegjj
gltud,deberánsustituirselosvalores
pondlenteedexy deEl. Yaquelacargt
115. esigualalárendeldiagramaM/ll entreAy
C. osea, media parábola. Esta área se ha
calculadoconlaecuacióndelafigura3.6*6.
Ladeflexión Ac, igual a la desviación
tangencialtA¿ porelsegundoteorema,esel
momentodeprimerordendelamismame-
puntocuyadistanciaalatangentetrazadapor
elpuntoCsequieredeterminar.Páracalcular
este momentose multiplicóel área de la
media parábolapor la distanciacentroidal
ir,puesseutilizaconmuchafrecuencia.
riorménte. íSAes el momento de toda la
parábolarespectoal punto>Byel centroide
triángulossemejantes.Y eselmomento
del segmento de parábola entre A y D,
respecto álDféI cual se calculó'con las
ecuacionesdelafigura3.6-c.Nótesequeel
valordeADresultómenorqueelde como
seinfieredelaformadelacurvaelástica.
Respectoa los signosenesteejemplo,
obsérvesequecomoel momentoespositivo,
6,"-resultatambiénpositiva.Estesignoescon-
Delamismamanerat„cresultapositiva,yen
efecto,elpuntoAestáarribadelatangenteen
C.EstoindicaqueelpuntoCsedesplazahacia
abajo.Lomismosucedeconá»
BSsíM? 011X5 DEFORMACIONESENUNAVIGALIBREMENTE j
APOYADA PORELMÉTODODELOSTEOREMASAREA-MOMENTO
121. I»™»«— •
H ö ä B lf i
h É ÌIÌIh ÌI "
p i U i i l i .
122. l c1Vigaconjugadaconlacargaelástica
Figura3.7.Vigarealsimplementeapoyadayvigaconjugada
mostradoenlaSección3.2quela rotación
8 y la deflexióny deéstavigapuedencal
culan*conlasecuaciones3.17y 3.18que
fe reproducenacontinuación:
* ” J B * 0.17)
«■>»
Supóngaseahora que a otraviga.*
Igualclaro,*elaaplicacomocaigaeldüg»
mademomentoflexionantedividido«*■*
larigidez£f,comoseindicaenlafiguraJ í
c. (Al plantear misadelantelacomcnc*
designesseexplicaporquésecolocaI»<*
gaactuandohadaarriba).Aestaa« «•**
lellamarévigaconjugadaya lacaifa
selellamarácargaelástica.O*acue'doc’’"
lasecuaciones 2;15y 2.17,yconsiderara0
quelacargaivesIgualaM/CI,lafuer»*40'
123.
124. flexionantellenenunvalordiferentedecero,
mientrasqueenelextremolibredeladere-
chaambo»valoressonnulos.Porelcontra
rio,enelextremoIzquierdolarotaciónyJa
deflexiónsonnulas,mientrasqueenel ex
tremoderechotienenunvalordiferentede
cero,figura3.6-c.Ahorabien,silavigacon
jugadaatuvieseempotradatambiénensu
extremoizquierdo, la fuerzacorlantey el
momentoflexionanteseriannulosenelex
tremoderecho,locualIndicaríaqueeneste
extremonohayni rotaciónnideflexión, lo
cualnoesciertocomoseVeenlafigura3.8-
c. Laexplicacióndeesladiscrepanciaradica
enquelasconstantesde integraciónde las
ecuaciones2.15y2.17sondiferentesalasde
las ecuaciones 3’.1'7 y 3.18, porque fas
Condicionesdefronterasontambiéndiferen
tes,exceptoenla viga librementeapoyada
enquecoinciden.Enefecto,enestavigala
fuerzacortantellene unvalor diferentede
ceroenlosapoyosmientrasqueelmomen
toflexionanteesnulo; en losmismosapo
yoslarotaciónesdiferentedeceromientras <
queladeflexiónesnula.Petonosucedeasf
enotrotipodevigas,comoseacabadever
paraelvoladizodelafigura3.8.Porestara-'
librementeapoyadasiguesiendoválida,siém-
preycuandosemodifiquenlascondiciona
deapoyode la vigaconjugada respectoa
lasdelavigareal,comosemuestraacomi
zacórtame;sihay-deflexionesenlavigaIt)| I
debehabermomentoflexionanteenlavj^ I
conjugada;si porel contrarionohayeg) I
momento flexionante, ______
acuerdoconesteprincipio,semuestranen I
lafigura3.9lasvigasconjugadasquecon«. |j
continuaciónsemuestracómosehaaplica, i
doel principio general enunciadoparala I
apoyosdeestasvigas.
Extremos libremente apoyados. Comope- I
mitónglroi ynqpermitendeflexiones,enli I
vigaconjugadadebenserapoyoslibres,ya ■
queen éstos hay.fuerza cortanteynohay I
momentoflexionante. Es.elcasodelosdos I
apoyosdelavigareal(a),rielextremoizquiadn H
devigareal(d)ydelosextremosderechosde I
lasvigasreales(ftylgl. Entodosestoscasos, I
Extremoslibres.Enlasvigasrealeshaygiros
ydeflexiones.Porlotanto,enlosapoyosdr
lavigaconjugadadebehaberfuerzacora»
teymomentoflexionante.Elempotran**
esel únicoapoyoquecumpleestascondi
ciones.Eselcasodelextremoderechodeb
vigareal(b)ydelextremoderechodelaviga
real fef)queensusrespectivasvigasconju*
gadas se han'iransformado en empoto*
Elprincipiogeneralparamodificarlas<un
taquesienlavigarealhayrotacionesenun
apoyo,enlavigaconjugadadebehaberfuer
ApoyoslibresInteriores.Eselcasodeláfiffl}
derechoda la viga.realId). Enesteapoyo
hayrotaciónpeitonohaydeflexión.EnU«H*
conjugadadebehaberfuerzacórtame,
no debehaber momento flexionante.
articulación interior cumpleestereqe
comoseveenlavigaconjugadacouoP^"
125. I
1 1 — i
¿ ¡a l td t^
I----------
Hpn ì.9.vìrmcoiijugid
1Vigaconjugada
■ £* A .
137. 3.6 Métodode Ñewmark
EnlaSección2.10sepresentóelmétodode
Newmarkparaelcálculodefuerzascortantes
ymomentosflexionantes,ysedijoqueeraes
pecialmenteútilparacasosdecargasirregula
res.7Elmétodopuedeampliarsealcálculode
rotacionesydeflexiones.Unamanerasencilla
dehacerloescombinándolocon el método
de la vigaconjugada. Ya queestemétodo,
comosevioenlasecciónanterior,sebasaen
elcálculodefuerzascortantes y momentos
flexionantesenunavigaconjugada,elméto
dodeNewmarlepuede usarseparacalcular
exasfuerzasymomentos,delamismamane
raquesevioenlaSección2.10.Elmétodoes
gacargassencillas, las cargasquese apli
canalavigaconjugada,quesoneldiagrama
deM/Ef,yaresultano
w enel ejemplo3.7 queseacabadepre
sentar.Enelejemplo3.8 seilustralautiliza
cióndelMétododeNewmarkpararesolverla
manoquenoesdeestamaneraenlaquese
Setratadeunvoladizoconcargasconcen
tradasysepideobtenerlasrotacionesy las
deflexionesenlospuntosdeaplicaciónde
lascargas.Seempiezaporcalcularlosmo-
vio en iaSección2.10. Sesabequeenel
extremodelvoladizolafuerzacortanteyel
momentofléxionañtesonnulos,porloque
tearunaconfiguracióncorrectiva.Deestama-
ddrenglón5delapartesuperiordelejemplo.
jugada,queesunvoladizoempotradoenel
gaconeldiagramadeM/B. Comolosmo
mentosflexionantesresultaronnegativos,las
cargasenlavigaconjugadasonhaciaabajo,
havenidousando.Ahorasecalculanlasfuer
enestaviga.Losvaloresdelrenglón2repre
sentanlascargasdistribuidasenlassecciones
138. | ¡ i
peundoconvaloresnulosenelextremode-
lasrotaciones0enlasseccionesdeaplica
cióndelascargasconcentradas, ylosvalo
resdeMdel renglón 7, las deflexión«
estos mismospuntos. Desde luegoque|,
rotaciónyJadeflexiónenelempotramiM
medioen los tramos respectivos; sonla,
pendientesdelassecantesquevandeun&
tremoaotrodeltramoenlavigadeformada
Obsérvesequesisesustituyeelvalordefi
enton-m2, lasrotacionesquedanenradianes
y lasdeflexionesenm.
EJEMPLO3.8. CALCULODELASDEFORMACIONESENUNVOLADIZOPOR 'i
ELMÉTODODENEWMARKYLAVICACONJUGADA
I B
M
1 ,
■'«— .
B S g g á l M i
i s s
t e i i
¡ ¡ | j
l y ¡ l
S I # ! •' 1 I aJ H
139. EJEMPLO3.8(continuación)
EiMétododeNewmarkparaél'cálculo
dedeformacionespuedeplantearsesobrela
basede consideraciones puramente geo
métricasyesasícomoresulta máspráctico^
y eficiente. Considérese un tramode una
curvacualquiera,comolamostradacontra
zogruesoen la figura 3.10, quepuedeser
untramodeunavigadeformada.Enestetra
mosehanmarcadotresseccionesa, 6ye,
lastangentesalacurvaenestostrespuntos
y lassecantesocuerdasqueunenlospun
tosconlineasrectas. Entrelospuntosayb,
lapendientedelacurvavacambiandogra
dualmente,detalmaneraqueelcambioan
gulartotal serfa el ánguloformadopor las
tangentesenambospuntos, Enlafigura
puede verseque esteángulo es igual a la
sumadelos ángulos formados por laí tan
gentesy lascuerdas<¡¿ ya,,,. Estosángu-
equivaleal cambioangulargradual entrea
y b. Puedeverselasemejanzaentreloscam
biosangularesconcentradosequivalentesy
lascargasconcentradasequivalentesquese
hanusadoenelcálculodefuerzascortantes
elcambioangulartotalentrelospuntos6y
c,9¿¿ sería lasumadelosángulosconcen-
delMétododeNewmarkparaelcálculode
deformaciones,segúnsedescribemásade
lante, consisteen sustituir las rotaciones
continuas,d8, delafigura3.3pórcambios
tenerla rotaciónentredosseccionescomo
lasuntadeestosángulosenvezdeobtenerla
dosequlvalentes’5 y la rondóny ladefle
140. figura3.10.ConstruccióngeométricaparaelmétododeNewmarlc
xión de la curva en algún punto, pt
obtenerselasrotacionesydeflexiones*
otrospumoscomoseíndica
Enunalabia,comolamost
3.10,seanotanenelprimer
gulds.concentrados equlva
conoce Q¡¡ la pendil
puedeobtenersesumandoa"
veenel detalledelpuntoamostrado«*!*
parteinferiordelafigura(obsérveseq**1
comoestálafigura,elángulo esnegtj'
voporqueel girodelatangenteolac<
llene sentido horario). A eominuactó
puedeobtener la pendientedeli M
en b, 0¡jsumando el ángulo concern
equivalenteatea lapendienteyaSus
141.
142. rr*. &í(3ac* 10a6-a,) (3.32)
0^.^170^+606-0,1 (3.33)
comolasumade yde sepuedeusar
unaecuaciónequivalentea la(2.29):
Enesleúltimocaso, las longitudesde
lostramosdeberánseriguales.
los ángulosconcentradosequivalentes, se
requeríaconocerlarotaciónyladefinía,
algúnpuntodelaviga.Estopuedededúc
elelascondiciones doapoyodelaviga.^
ejemplo,siesunvoladizocomoeldeleja,,,
píoanterior,larotaciónyladeflexiónson^
lasenelempotramiento.Sinosecotitxenen
ningúnpunto, entoncessesuponeunvalor
cualquieraenunodelosapoyos,ydespués»
revisanlascondicionesdedeformaciónen«
otroapoyo.SisonIncompatiblesconlasres.
friccionesqueImponeesteapoyo,seintrate»
unacírnfiguracióncorrectiva,enformateme.
|anteacomo'sehacíaenelcálculodetozg
Cálculodedeformaciones,lasconfiguraba**
conectivassebasanenlasrestriccionesadefe
maciónenlosapoyos,comoseilustraenla
¡ejemplossiguientes.
Enresumen,elmétodoaplicadoalcálalo
dedeformacionesesigualalmétodoaplicado
al cálculode fuerzas cortantesy niomenttt
flexionantes si se hacen las siguientes
143. Secalculanlasdeformacionesenelvoladi
zodelejemploanterior,perosinplantearla
vigaconjugada, sinoqueusandolasconsta
deracionesgeométricas planteadas en lo
al aladelejemplo3.8
plementeseha factorizadoa la derechaI
losvaloresdeesterenglónsonigualesalq_
delanterior.A partirdelascurvaturasa se
hancalculadoenel renglón 7 losángulos
concentrados equivalentes a. Ya que las
cargasdelavigasonconcentradas,eldiagra-L
mademomentoseslineal,yelcálculodebe
hacerseconlasecuaciones3.27^£,28..Por;
ejemplo,elvalorde-22'.50sehacalculado
conlaecuación3.27delasiguientemanera:
a jj-i|g[21-0.50)+(-8.00l|. "-I1—
Aladerechadelrenglónsehafactorizadoel1A.
Despuéssehancalculadolas rotacio
nesdelastangentesalassecciones,9 ylas
rotacionesdelascuerdas6(véasela figura
3.10).Parahacerestecálculo,se partiódel
valorconocidode6 enel empotramiento,
yaquesesabequeesnulo.Estevalorcono
cidose haencerradoen un cuadroen el
ejemplo.Alvalorde8 enelempotramiento
selesumóelvalordea,enel mismoempo
tramiento.como«muestraconlapequeña
flechaquevadeO.ar-41.25.Elyalorquese
obtieneesel delarotacióndelacuerda0
eneltramo3-4;comoseestásumandode
derecha a izquierda, se debe cambiar el
úgno. igual que en el cálculode fuerza»
alapendientedelacuerdaenel tramo3-4
se le suma el ángulo equivalentea a la
deesteúltimoporirdederechaaIzquierda.
Seobtieneasfel valorde +63.75,quees la
rotacióndélatangentealasección3.Secon-
'tirilladélamismamanerahastacompletarlos
renglones8y9.
----Teniéndolosvaloresde lasrotaciones
delascuerdas8semultiplicanporlaslon-
, gitudesde|ostramos,h, conlocualseob
tienen los incrementos de deflexión Oh,
comosehaexplicadoenreferencia alafi-
-deflexiones'/?seempiezaconunvalorde0
: enelempotramientoysevansumandolos
incrementosOh,hastallegaral extremodel
‘Wládizo,renglón11.
Sepuedeverenesteejemplolaequi
valenciaentreelcálculodedeformaciones
y el defuerzas cortantesy momentosque
tribuidaen cada sección, p. Losángulos
equivalentes a a las cargas concentrada»
equivalentesP.Lasrotaciones8y8alasfuer
zascortantesenlasseccionesy enlostra
mos,respectivamente.Ylasdeflexionesy,a
losmomentosflexionantesM. Haciendoes
tosequivalencias,lasecuenciadeloscálcu
loseslamisma,peroesimportanteobservar
quelascondicione»defrontera»(sondife
rentes. Mientrasqueenel cálculodefuer
za»cortantes y momentossepartiódelo»
valore»conocidosdeVm0 y M ■Oenel
extremolibradelvoladizo,enelcálculode
deformaciones se partióde los valores
conocido»• •0yy«0enelempotramiento.
146. le lasdeflexiones, losángulo»equivalentes
o secalcularoncon iaecuación 3.3*1que
dael valordel ánguloequivalentetotalen
cadasección.Porlamismarazón,noesne
cesariocalcularlosángulosequivalentesen
losapoyos,yaquenoserequieren,comose
deflexiones. Desde luego que se pueden
calcularlosángulosequivalentesacadalado
de la sección y en los apoyos con las
ecuaciones3.30a3.33,peroaumentalala-
esteejemplo'el diagramadeM/EI noes Il
laecuación3.34semuestraacontinuación
elcálculodelvalorde+28-43delrenglón10
y lasección2:
AliniciarelrenglónII seencuentraque
noseconocelarotaciónenningúnpuntode
la viga. Se supuso entonces una rotación
cualquiera0*eneltramo1-2, eñestecasode
pío.Apartirdeestevalor,yasepuedecaleular
lodoel renglón;sumandoalosvaloresdeV,
losvaloresdeo,comosemuestraconlasAe
chas pequeñas. Después se calculan las
deflexionesenel renglón12,iniciandoconun
vajorconectode0 enel apoyoizquierdo,y
sumandolosvaloresdeV del renglónante
rior; nose hacalculadounrenglónconlos
valoresdeVh. porquehesconstanteeneste
ejemplo.Al terminarel renglón 12,sellega
aunadeflexiónde+80.16enel apoyode
recho,lacual«(’Incorrectayaquedcbc^l
nula.EstaIncompatibilidaddedeformaaj,
enel apoyoderechosedebeaqueelval*
supuestode(-28.43)noescorrecto.FUreso
seobtieneunavigadeformadacomolamo$.
tradaenlaparteInferiordelejemplo,sefa.
lada con y', en la cual hay unadeflexión
derechode+80.16. EsnecesarioiniHH
entoncesfcn'aconfiguracióncorrectivacon«
la señalada con y en la parte Inferiordel
ejemplo,conun«deflexiónde-80.16en«
extremoderecho,para anularlaIncompjti.
bllldad,y0enel extremoizquierdo,yaque
aqufelvalor’lnldaleselcorrecto. Loque¡n.
dlca la configuración,correctivaesque«
valorde0enel apoyoizquierdonoendé
(-28.43), como se supuso, sinoquedete
ser(-28.43 - 20.04 =-48.47). Elvalordi
-20.04 seobtienedividiendoelvalordey
enelapoyoderechoentreloscuatrotramos
delaviga.Ellectorpuedecomprobarquea
seiniciaelrenglón11con-48.47,sellep
aunadeflexión nulaenel apoyoderecha-
Enesteejemplosepuedeverlaequin-
IencíaentrelasconfiguracionescomcM
paracortantesy momentos, yparaf
nesydeflexiones.Enlasprimeras,se
yen las reacciones que debehaberente
apoyos,mientrasqueenlassegundas,se»
tituyenlascondiciones de deforraacidna
losapoyos.Tambiénsepuedeverla
cidaddel Métodode Newmarfcencoop
taciónconlosmétodosanalíticos,sobe»6
paracargasirregulares.Laresolucióndees*
problema por algunode losmétodosantfr
ñoresconduceaecuacionesycálculos
complicados,yaquelaecuacióndel«¡ají
mademomentosy ladeM/ffsonfundí»*
difícilesdeoperar.
147.
148. ejemplo, el valorde -20 a ladendia^.
'sección4ü Calculócomo: 1 •• 'í “
20, el momentoenlaarticulación, sección
loressehanencerradoenuncuadro, para
doconlospequeñosnúmeros1,2y 3,res
pectivamente.SIahorasesumaal’momento
.ceroenlasección I, elvalordeVenelIra-'
mo1-2, seobtieneelvalordeM= -5enla
sección2, quetambiénsehaencerradoen
uncuadro.SilosvaloresdeMénlasseccíO-
elcálculodefu
valor de Ven la sección 2-3tieneque ser
+5,yaquesóloasisepuedepasardeM=-S
enlasección2aM~0_enlasección3.Yate
niendoestevalorde Venel tramo2-3, se
puedecompletarelrenglón3delatablasu
mandolas cargas de izquierda a derecha;
porejemplo,elvalorde-5eneltramo3-4es
lasumade+5eneltramo2-3y lacargade
-10enlasección3.Yyateniendocompleto
elrenglón3.sepuedecompletartambiénel
renglón4sumandolosvaloresde.Va partir
delmomentoenla sección3. Deestama
nerayasetieneeldiagrama demomentos.
ElrenglónSdecurvaturastienelosmis
mosvaloresdelrenglóndemomentos,yaque
£1es constante. Debeobservarseque este
dúgramaeslineal,poiquelascargassoncon
centradas.asíquelosángulosequivalentesa
del renglón 6 se deben calcular con las
ecuaciones3.27y3.28.Aquísehancalculado
gambosladosdecadasección,paraobtener
todaslasrotacionesyporquehayunadiscon
tinuidadangularenlaarticulaciónInterior.Poí
Losrenglones7ySpuedeninicianecH
el valordeO=Oenel empotramiento,»
cíón6. Despuéssevansumandolosvalog
deadederechaa izquierdacambiándolesd
signo. Deesta manerase puedencoi^fc*
dichosrengloneshastaelvalordeeenlas«,
ción3ydeéeneltramo3-4.NoesposHeo»
tinuar sumando hacía la izquierdaporque
comoyasedijo, hayunadiscontinuidad»!
guiar en la articulación localizadaenlaI
sección3.Loquesfsepuedehaceresempéu
I .calcular los valores de las deflexión«,
renglón 9, empezando con y ■Oenti
empotramiento.Sumandolosvaloresdeldt
derechaa izquierda, sepuedellegarbastad
valordeyenlasección3;todosestosvaina
sehanencerradoenuncuadro.Ahorabfei
sesabequey=Oenelapoyodelasección1
Entonces, a partir de losvaloresdeyente
secciones2y3sepuedeobtenerelvalordel
en el tramo 2-3, el cual debeserde-3»
Teniendoestevalorya sepuedencompkur
losrenglones7y8.sumandolosvaloresdei
dederechaa izquierdaconsignócambiado.
Finalmente,sepuedeobtenerelvalordey*
elextremodelvoladizo,sumandoelvalorde
8eneltramo1-2{álivalornulodeyenel
yodelasección2.
Enlaparteinferiordelejemplosemu**-
tralaformadelavigadeformada,enlaq*
puedeversela discontinuidadangula?«jg
correspondealladoderechodelaarticula«#»
yaquesecalculósumandolosvalores<*•
de derecha a izquierda desdeel
mionto, Elvalorde8alaIzquierdadelaj»Jj
culaclónseobtienesumandoalvalo'd*®
eltramo2-3.eldeci alaIzquierdadsI**?
153. A
guioadeb, ylanuevafuerzaaplicadaP,. un
Irabajoigualaláreadeltriánguloac&,véanse
lasfiguras3.12-cy -rf. Estoseexplica por*
constantemientras labarrasufreel alarga*
aumentasuvalordesde6hastaPr Eltrabajo
realizado'enestasegundaetapaporP0será
jn Es importante'observar la diferencia
IenUeeltrabajorealizadoporunafuerzaque
I mantieneconstantesuvalor,yelrealizadopor
Iotraqueloaumentauniformemente,osea,
Iqueseaplicagradualmente.
I Sienvezdeunabarraaislada,comola
Idelafigura3.12,setieneunaestructuracon
varíascargas aplicadas, cada unadeellas
desarrollará un-trabajoextemoigual a la
magnituddelacargaporlamitaddesudes
plazamiento.silascargasseaplicanconforme
sedeformaI* estructura; oIgual a lamag
nituddelacargaportodoeldesplazamien
to. si las cargas seaplican previamenteal
desplazamiento. '
154.
155.
156.
157.
158.
159.
160. virtual,comokilogramoso toneladas;Y las
deformacionesdt encadamiembrosepue
dencalcularconlaecuación3.42delaSec
ción3:7.4;observandoqueeltérmino&de
dichaecuaciónequivaleal términod£ dela
figura 3.14 (es la deformaciónaxial deun
elemento);quelacargaP0equivalealasfuer-
miembrodelaarmadura, lascualespueden
calcularse,porlotamo,resolviendolaatma>
duradelafigura3.15-a;queeltérminoAvie
nesiendoel i'ea dela seccióntransversal
decadamiembrodelaarmadura:yeltérmiL
noí. Mmódulodeelasticidadameipondlen*
le.Haciendolasequivalenciasmencionadas,
teecuacióngeneral3.52tetransformaenla
siguienteecuaciónparacalculardeflexiones
ümarmadurasproducidasporcargas:
■ y II»
5K3t
s, resumiendo lo explicadoan
V, deflexiónenelpuntodeaplicaciénde
lacargavirtualunitaria,enladiftt*
cióndelacarga;
L fuerzasproducidasporlacargavirtud
unitariaenlosmiembrosdela*"**'
dura(figura3J S-b):
asproducidasporlascargasr«-
174. Setratadeunavigalibrementeapoyadacon
un voladizoy carga uniformemente distri
buidaenlaquesedeseacalcularladeflexión
y larotaciónenunpuntosituadoa2mdel
apoyode la derecha, puntoB. Primerose
planteanlasecuacionesdelmomentoMpro-
«lucidopor lacargaextema. Lafunciónde
Mesdiferenteentrelosapoyosyenelvola
dizo, porloquees necesarioplantear dos
ecuaciones. Entrelosapoyos, secolocóel
origendecoordenadasenel apoyoizquier
do, y enel voladizo, enel extremo. Enel
primercaso, a la variable te le denominó
yelsegundocaso,x2.Esconvenienteusar
notacionesdistintasparalavariablecuando
tecambiaelorigendecoordenadas.
deflexiónenti punto0, tecolocóunacarga
unitariaendichopuntoyseplanteólaecua
cióndel momentom. Enestecaso,setiene
unafunciónentre el apoyo izquierdoyd
puntodeaplicacióndelacarga,yotrale
cióndistintaentreesteúltimopuntoyelapo
yoderecho. Obsérvese que entreelapoto
derechoy el extremodel voladizolacap
unitarianoprexfcicemomento.Condfin*
calcularlarotación,sesiguióunptocedmM
análogo,perocolocandounmomentounD-
rioenelpunto8envezdeunacaigaunita»
Tambiénen estecaso, se tienenfunción»
distintasparamentreelapoyoizqüfenbM
puntoB,yentreésteyelapoyoderecho.
Despuéssesustituyeronlasecuado*1
deMydemenlaecuación3.63¡¡MugSb
ñorladeflexiónbuscada.Aunquela
deMescontinuaentrelosapoyos,esntc«*
riohacerlaintegraciónporseparadoentre''I
B, y entre0yC, porquela funciónde**
175.
176.
177.
178. EJEMPLO3.17(continuación)
Paraos x,S2 (tramoCD), A,»0
Amui-¿(12.96+16.74)
CALCULOOELAROTACIÓNENELPUNTOB
ParaOS x,S2
9,■Ji(l2'6x'~3x?H-0.2ni)
w j w g N É B j
Para2á x, S5
j| J»(12.6x,-
«2- ¿/j(°-6x,3- 5.52XÍ1+12.6x,)ifc
8j - ¿[0.1Sxf-1-Mx,J+6 3xf]sSJ-(8.
ParaOS x,S2 «ramoCO), e, =o
*«ul-¿(-«-32+#.J7)-i^ I
J H H h H
179. Elmétododeltrabajovirtualpresentaclaras
ventajassobrelosotrosmétodosestudiados
enestecapitulocuandosetratadecalcular
I»deformacionesenmarcos.Elprocedimien*
toesigualalutilizadoparaelcálculodede
formaciones en vigas, pero la integración
planteadaenlasecuaciones 3.63y 3.64 se
llevaacaboatravésdetodoslosmiembros
quecomponenel marco. Desdeluegoque
dentrodecada miembroresulta necesa
riohacerla integraciónendistintostramos,
nuasalolargodelmiembro.Enelsiguien
teejemplo se ilustra lo que se acaba de
Ejemplo3.18
Sepidecalculareldesplazamientohorizon
taldelapoyoEy larotacióndel.apoyoA El:
primeroesunapoyolibreyelsegundo,uno
articulado.Elmarcoesisostáticoyaquetie
netiesincógnitasenlosapoyosyexistentres
ecuacionesdeequilibrio.Elmomentodeiner
ciadelavigaeseldobledeldelacolumna.
Primeroseresuelveel marcoparaob
tener las ecuaciones de momentos
Oexionantesenlacolumnayenlaviga.Pre
viamente,hasidonecesariocalcularlasre
accionesenlosapoyos. Lasecuacionesde
momentosehanobtenidoportramosenlos
quelafunciónnovarfa.Asf, enlacolumna
AC,sehaobtenidounaecuaciónentrelos
puntosAy B, yotraentrelospuntos8y C,
yaquelacargaconcentradade10tonhace
quecambie la ecuaciónde momentos. Se
hausadoun origen decoordenadas en el
Punto<4paralacolumna,yunorigendistin
toenelpunto| paralaviga.Sehadibujado
Hdiagramademomentosflexionantespara
180. ««a ru m i AB LAD triu»n _
NENELPUNTOADEIMARCOMOSTRADO
181.
182.
183.
184. 8 (continuación)
A<=2^(-20*1+133^)®
â<" 2 f i f e + . ' 5 9 - 7 8 )
¿loal- g-<26.67+120.00+142.22+159.78)-— 67 -,
CAlCUtODEIAROTACIÓNENA
Tramo/1S
0 f^dOxiXI)
■*» ffc
t o r t i *
! a - :' . ■
191. Figura3.18.VigaparalademosiraciftndelTeoremadeCaitlgllano
Sepuedeverqueestasecuacionesson
muysemejantes a la ecuación3.63 usada
enélmétododeltrabajovirtual,peroenvez
délafuncióndemomentomproducidapor
el momento virtual unitario, se usa la
derivadaparcialdelmomentoproducidopor
Puedesuceder queenel puntoenel ■
quesedeseacalcular ladeflexión nohaya
ningunacaigaaplicada.Enestecaso,sein
troduceunacargaficticia,P', enesepunto,
sederivarespectoaestacarga, yalfinalse
le¿signaunvalornulo.Tambiénpuedencal
cularserotaciones, en vez de deflexiones,
ftraesto,sederiva respectoa unmomento
aplicadoenelpuntoenquesedeseacalcu
larlarelación;estemomentopuedeserreal
oficticio.SIesficticio,alfinalseleasignaun
valordecero.
II teoremadeCastiglianopuedeusarse
tambiénparacalcularlasdeflexionesenar
maduras. La obtención de las ecuaciones
correspondientesessimilara lapresentada
Mnel casode vigas. Dichas ecuaciones
Quedanenlaforma:
H (3.73)
enlascualesA, yA, sonlasdeflexionesen
lospuntosdeaplicacióndelascargasP, y
P2, S sonlasfuerzasenlasbarrasdelaar
maduraproducidasporlascargasaplicadas,
Leslalongituddecadabarra,Aessuárea
transversaly£sumódulodeelasticidad.
Secalcula ladeflexióny
extremovoladodeunavigacondosapoyos.
3.5porelmétododelosTeoremasdeMohr.
Enprimertérminosecalculanlasreac
ciones y las ecuaciones de momento
flexionante. Nótesequea lacargaaplicada
enel extremodela viga, donde sedesea
calcular ladeflexión, se leha llamadoPv
porquedeotramaneranose'podríaderivar
u variable,
toflexionantese
hanobtenidoporseparadoparaeltremoAB
200. el méIodo * integracióncalcular las rotaciones en los extrem« u
nielcentrodelclaroylasdeflexionesmáximas* lassiguientesvij^
ConsidéreseClconstanteentodosloscasos:
i r _ j
201. 3.2Resolverel problema3.1 usandolosteoremasárea-momento.
33Calcularladeflexióny larotaciónenlosextremoldelosvoladizosdelasiguiente
‘■¿SQL— i--- w . 00 r r r i 2ek.
/ ./ / / / / / .
I ¡ i — * ■— ¡ i
3.4Calcular las rotaciones y las deflexionesenlos puntosdeaplicacióndecargas
concentradasenlassiguientesvigasusandoelmétododelavigaconjugada.Supóngase
&constante.
202. 3.5 Calcular la deflexión máxima de las siguientes vigas por el métododela•
conjugada. SupóngaseElconstante.
H S Í I H — — — — H
G B s S l i J i
203. , 6 Okular Imdeflexiones y rotación«de la<siguientes vicas en Ik
guiadas, porelmétododeNewmark.
K h - ï H * — # — — »H— H
É j t í f c E. ™ 1 ^
/ / / / / / /
É ¿ " > — »H-— * — 4 4.— H ......
204.
205. 3.7 Calcularlosdesplazamientosverticalyhorizontalenelnudo usandoelmétodo
deltrabajovirtual.
3.8 Calcularlosdesplazamientosvertical y horizontalenel nudoL, dela armadura
delproblemaanteriorsi, ademásdelascargasmostradas, labaña U, U, tieneuna
longitud0.75cmmenorquela teórica.
3.9 Rara las siguientes vigascalcular las deflexionesy las rotaciones enlos puntos
MAaladosempleandoel métododeltrabajovirtual.
207. K ,C A P ÍT U L O 4
Resolución de estructuras
indeterminadas por el
método de las fuerzas
4.1Introducción /4.2 Planteamiento
Métodode las fuerzas para vigas /4.4
Métododelasfuerzasparaarmaduras/4.5
Métododelasfuerzasparamarcos
4.1Introducción
En*1capituló2seestablecióquelasestruc
turasisostátlcas pueden resolversea partir
delasecuacionesdeequilibriodelaEstática,
mientrasquelasestructrurashiperestáticasre
quieren,parasusolución,deecuacionesadi
cionalesyaqueel númerode incógnitases
nu»wqueelnúmerodeecuacionesdeequi-
ttrio. Existendosenfoques generales para
laresolucióndeestructuras hiperestáticas.
Enelprimero, laestructuraporanalizarse
“ "vierteen unaestructura isostáticaenla
9* fesatisfacenlascondicionesdeequili
bró.peronosesatisfacenlascondicionesde
ta j»ación o decontinuidad geométrica
<*bestructuraoriginal.Loserroresoincom-
füfibilldadésde geometríaque resultanen
■*M inlin isoslálica se corrigen, en una
"»*d*etapa,conservandotascondiciones
* equilibrio^Enel segundoenfoque, laes-
hiperesláticase transformaenotra
de deformación o de continuidad
®j*^trica,peronolascondicionesdeequl-
™t,* * iw . Enunasegundaetape.seco-
sus principios’.básicos. En este capitulo se
presenta el métodode las fuerzas, y en el
siguiente, el métodode lasdeformaciones.
Comoseveráenlasseccionessiguientes,es
necesario dominar el cálculo de defor
maciones estudiadoen el capitulo 3 para
poderaplicarestosmétodos.
4.2 Planteamientogeneral del
método de la* fuerzas
Existennumerosasvariantesenlaaplicación
delmétodo,peroentodasellassedistinguen
lossiguientespasos.
3) la estructuraoriginal hiperestáticate
transformaenunaestructuraisostática
eliminandoalgunasdssusreseccio
nescontradeflexioneso rotaciones.
Engeneral,el númeroderestriccio
nesquehayqueeliminaresigualal
gradode Indeterminaciónde la es
tructura.Laestructuraqueresultade
eliminar las restricciones hiperes
táticasrecibeel nombredeestructura
UauMct fundamental. . d¿¡¡ ■
b) Secalculan lasdeformacionesdela
estructura isostática fundamental
bajolaaccióndelasmismascargas
queactúanenla estructurahiparas-
208. rj (ática.Eslaidolormaclonessedano-
I minanIncompatibilidadesgeométricas
originalenlospuniosenqueseeli
minaronlasrestricciones.
• cj Seaplicanfuerzasarbitraríasen las
seccionesdonde seeliminaron las
una fuerza por cada restriccióneli
minadaenlaestructurahlperestática
•.y calcularporseparadolasdeforma*
clonesdebidasacadafuerza.
Iiíd) Seplanteaunsistemadeecuaciones
I para,determinarel valorquedeben
tener las fuerzas correctivas de’tal
maneraquesecorrijanlasIncompa-
i tibilidadesgeométricas.
e) Seobtienenlasaccionesfinales(reac
ciones, fuerzas cortantes, fuerzas
normales, momentos) sumando las
qué corresponden a la estructura
isostáticafundamentalylasproducidas
porlasfuerzascorrectivas.
Enlasseccionessiguientesseilustrala
aplicacióndelmétododelasfuerzasavigas,
armadurasymarcosatravésdevariosejemplos.
4.3Métododelas fuerzaspara vigas
4.3.1 Planteamientogeneralpaiavigas
Antes de Iniciar la resolución, conviene
calcularel gradodeindeterminacióndela
viga a resolvercon los métodos expuestos
en.la sección 2,6.1. Esto permite saber
cuántasrestriccioneshlperestática*sedeben
Verificar; comose veráposteriormente, el
número de ecuaciones simultáneas que
detenplantearsepararesolverelproblema;
desdeTuegoque'si lavigaesde'unsolo»y
do de indeterminación, en vezdeun.-’
tema"“dé ecuaciones se plantea unaw
ecuación. Las restricciones hipcrestftioj
vigas'ocontinuidades delas mismasisfa.
los apoyos. En el primer caso, seWb
apoyos de tal manera que el número¿
restriccionesenlosapoyosseaigualaldúm*
de ecuaciones de equilibrio, esdecir¿ ■
ecuacionessisoncargasparalelasytres,g
noloson.Enelsegundocaso,loquetehv»
es'Introducir articulaciones InternasenIm
vigas, generalmente spbre los,apoyo;
4.3.2 Vigasde variosclaros
sobreapoyosrígidos noi
Ejemplo4.1
Seresuelveenesteejemplounavigacari
nuadecuatroclaros, conunacargavertica
en uno de los claras. Como.se tienen:
equilibrio, la viga tieneungradode¡«fe
terminaciónde3 (sección2.6J.. ■ ■'
Enel pasoa), la viga hiperestílitaa
hatransformadoenunaisostáticaeliminar
dolostresapoyosinteriores.Pudohabene*
redundantes, pero tal comosehizo«*
más sencillo el-ícálculodedeformado**
portratarsedeunavigalibrementeapoja®
ensusextremos.Laeleccióndélaüasaao
esimportanteporquelalabornuméricap£¡
desimplificarsesignificativamentesde*6*
nandouna Isostáticaconveniente. .
DespuéssepresentanenelpasoU®
deflexionesdelaviga isostática«nl»*^
cionesenlasqueseeliminaranl**1**^
nesredundantes, osea, enlassaccifl**.
Cy O,bajolascargasdelaviga«"*"1* J