lista de exercicios

1. UNIME – União Metropolitana de Educação e Cultura
S/C Ltda
CURSO: Engenharia Elétrica.
DISCIPLINA: Vetores e Geometria Analítica ANO/SEM: 2012.1
PROFESSOR: Sonia Ferreira
3a
Lista de exercícios – Vetores, retas e planos.
1. Dados os vetores )1,1,0(u −=

, )0,1,2(v =

e )1,2,2(w =

, determine:
a) Um vetor a

, tal que 0va

=× e 52a =

.
b) Um vetor b

ortogonal aos vetores u

e v

.
c) A projeção de v

na direção de u

.
d) A área do triângulo ABC, tal que u2AB

=
→
e wBC

=
→
.
e) O volume do tetraedro de arestas AB, AC e AE, tais que: uAB

=
→
, vAC

=
→
e wAE

=
→
.
f) Um vetor c

tal que ( ) °=180u,c

e 23|c| =

.
2. Do paralelogramo ABCD sabe-se que:
(i) Dois dos cossenos diretores de →
AB são
2
2
cos =β e
2
2
cos =γ e 24|| =
→
AB .
(ii) A( 0, 0, 1 ) e C( 1, 0, 3 ).
Determine:
a) As coordenadas do ponto B.
b) As coordenadas do ponto M que é ponto médio de AC.
c) A área do triângulo ABD e a área do retângulo ABCD.
3. Do paralelepípedo de arestas AB, AD e AE sabe-se que:
(i) Dois dos cossenos diretores de →
AE são
5
4
cos −=α e
5
3
cos =γ .
(ii) A = ( 1,0,1) , B( 1, 0, -3) , )1,2,0(AD −=
→
e | →
AE | = 5. Determine:
a) As coordenadas do vetor
→
AC .
b) A projeção do vetor →
AD na direção de →
AB .
c) A área da base ABCD.
d) O volume desse paralelepípedo.
4. Considere um paralelogramo ABCD, B(4, 0, 2) e a reta AD: Rt),2,3,1(t)0,5,1(X ∈−+= . Seja
E o ponto da reta AD tal que o segmento BE é perpendicular à reta AD.
Determine:
a) As coordenadas do ponto E do item anterior.
b) A distância entre as retas AD e BC.
c) Uma equação da reta BC.
d) Uma equação da reta r perpendicular à reta AD passando por B.
5. Dados os pontos A(1,3,-2), B(0,2,4) e C( 1,1,1) e determine:
a) Uma equação vetorial da reta AB;
b) As equações paramétricas da reta AC;
c) As equações simétricas da reta BC, se possível;
d) As equações paramétricas do plano ABC.
e) A equação geral do plano ABC.
6. Dados o plano 022: =−++ zyxβ e o ponto R (1,0,2), determine:
a) Uma equação vetorial do plano β .
A
D
CB
E
rv


2. b) Uma equação de uma reta m contida no plano β.
c) Uma equação da reta s que passa por R e é perpendicular ao plano β.
d) Uma equação do plano π paralelo ao plano β e que passa por Q.
7. Considere o ponto A( 3, 1, 1 ) e a reta r: Rt),1,1,1(t)1,0,1(X ∈−+= .
Determine:
a) As equações simétricas da reta s paralela à reta r e que passa por A .
b) As equações paramétricas da reta m perpendicular à reta r e que passa por A .
c) A distância do ponto A à reta r.
d) A equação geral do plano β perpendicular à reta r e que passa por A.
8. Considere o ponto P(1,4,1) e as retas r e s dadas a seguir.
Rt,
t1z
t2y
t2x
:r ∈





+=
−=
=
, z
2
1y
3
2x
:s =
+
=
−
Determine:
a) As equações simétricas da reta m que passa por P e é paralela à reta r.
b) Uma equação vetorial da reta n que passa por P e é perpendicular à reta r.
c) A distância do ponto P à reta s.
9. Do paralelepípedo de arestas AB, AD e AE sabe-se que: A( 0, 0, 0) ,
B(1, 0, 1), D(0, 1, 2) e E pertence à reta z
2
2y
1x:r =
−
=− .
Determine as coordenadas do ponto E para que o volume desse
paralelepípedo seja igual a 5 u.v.
10. Do paralelepípedo retângulo dado a seguir, sabe-se que:
(i) plano ABC: 0z2yx2 =+−
(ii) ponto E(0, 9,0 ) .
Determine:
a) As equações paramétricas da reta AE.
b) A altura desse paralelepípedo em relação à base ABCD.
c) A equação geral do plano EFG.
Respostas:
1. a) )0,2,4(=a

b) )2,2,1( −−=b

c) )2/1,2/1,0( −=v
uproj

 d) 17 unidades de área.
e) 2/3 unidades de volume. f) )3,3,0( −=c

2. a) B = ( 0, 4, 5 ). b) )2,0,2/1(=M c) 62 unidades de área. d) 64 unidades de área.
3. a) )5,2,0( −=
→
AC b) )1,0,0( −=
→
→
AD
AB
proj . c) 8 unidades de área. d) 32 unidades de volume.
4. a) E = ( 2, 2, -2). b) 62 unidades de distância. c) reta BC: .Rt),2,3,1(t)2,0,4(X ∈−+=
d) .Rt),2,1,1(t)2,0,4(X:r ∈−+=

3. 5. a) .),6,1,1()2,3,1( RttX ∈−−+−= b) Rt
tz
ty
x
∈





+−=
−=
=
,
32
23
1
. c)
3
4
1
2
−
−
=
−
−
=
zy
x .
d) Rht
htz
hty
htx
∈





−+−=
−−=
+−−=
,,
362
3
1
e) 014239 =−++ zyx
7. a)
1
1
13
−
−
=−=−
z
yx b) Rt
tz
y
tx
∈





−=
=
−=
,
1
1
3
. c) 2 unidades de distância.
c) 03 =−−+ zyx .
8. a)
1
1
1
4
2
1 −
=
−
−
=
− zyx
b) .),0,2,1()1,4,1( RttX ∈−−+= c) 5 unidades de distância.
9. )2,6,3(=E ou )2/1,3,2/3(=E .
10. a) Ra
az
ay
ax
∈





=
−=
=
,
2
9
2
. b) 3 unidades de comprimento. c) 0922 =++− zyx