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基礎からのベイズ統計学 輪読会資料 第8章 「比率・相関・信頼性」
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Ken'ichi Matsui
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基礎からのベイズ統計学 輪読会資料 第8章 「比率・相関・信頼性」 2016/5/16 @kenmatsu4
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1.
2.
3.
https://twitter.com/_inundata/status/616658949761302528
4.
5.
http://www.slideshare.net/matsukenbook
6.
7.
8.
9.
p11 p01 = p11
p01 = n11 n11 + n10 n01 n01 + n00
10.
11.
RR = p11 p01 = n11 N1· / n01 N0· = n11N0· n01N1· 0 RR <
1 RR = 1 1 < RR
12.
OR = p11/p10 p01/p00 = (n11/N1·)/(n10/N1·) (n01/N0·)/(n00/N0·) = (n11/N·1)/(n10/N·1) (n01/N·0)/(n00/N0·0) = n11 p10 / p01 p00 OR <
1 OR = 1 1 < OR
13.
n11 ⇠ Bin(p11,
N1·) n10 ⇠ Bin(p10, N1·) n01 ⇠ Bin(p01, N0·) n00 ⇠ Bin(p00, N0·) model{ for(i in 1:2){ for(j in 1:2){ n[i,j] ~ binomial(N[j], p[j][i]); } } }
14.
15.
mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat p[0,0] 0.58 5.0e-‐4 0.02 0.53 0.56 0.58 0.59 0.63 2429 1.0 p[1,0] 0.42 4.9e-‐4 0.03 0.37 0.41 0.42 0.44 0.47 2557 1.0 p[0,1] 0.42 5.0e-‐4 0.02 0.37 0.41 0.42 0.44 0.47 2429 1.0 p[1,1] 0.58 4.9e-‐4 0.03 0.53 0.56 0.58 0.59 0.63 2557 1.0 d 0.15 7.0e-‐4 0.04 0.08 0.13 0.15 0.18 0.22 2513 1.0 delta_over 1.0 0.0 0.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 10000 nan p11 0.58 5.0e-‐4 0.02 0.53 0.56 0.58 0.59 0.63 2429 1.0 p10 0.42 5.0e-‐4 0.02 0.37 0.41 0.42 0.44 0.47 2429 1.0 p01 0.42 4.9e-‐4 0.03 0.37 0.41 0.42 0.44 0.47 2557 1.0 p00 0.58 4.9e-‐4 0.03 0.53 0.56 0.58 0.59 0.63 2557 1.0 RR 1.37 2.0e-‐3 0.1 1.19 1.3 1.37 1.43 1.58 2510 1.0 OR 1.89 5.6e-‐3 0.28 1.41 1.69 1.86 2.06 2.49 2466 1.0 lp__ -‐548.7 0.03 1.05 -‐551.6 -‐549.0 -‐548.3 -‐547.9 -‐547.7 1586 1.0
16.
17.
q = 1 1 ⇢2 "✓ x1
µ1 1 ◆2 2⇢ ✓ x1 µ1 1 ◆ ✓ x2 µ2 2 ◆ + ✓ x2 µ2 2 ◆2 # f(x1, x2|µ1, µ2, 2 1, 2 2) = 1 2⇡ 1 2 p 1 ⇢ e q/2
18.
⇢A, ⇢B (t) ⇢ = (t) ⇢B
⇢A = g(⇢ (t) A , ⇢ (t) B ) = ⇢ (t) B ⇢ (t) A u (t) ⇢>0 = g(⇢ (t) A , ⇢ (t) B ) ( 1 (t) ⇢ > 0 0 otherwise
19.
transformed parameters{
SigmaA[1,2] <-‐ sigmaA[1]*sigmaA[2]*rhoA; SigmaA[2,1] <-‐ sigmaA[1]*sigmaA[2]*rhoA; SigmaB[1,2] <-‐ sigmaB[1]*sigmaB[2]*rhoB; SigmaB[2,1] <-‐ sigmaB[1]*sigmaB[2]*rhoB; } model{ for(i in 1:N){ xA[i] ~ multi_normal(muA, SigmaA); xB[i] ~ multi_normal(muB, SigmaB); } } generated quantities{ real delta_r; real delta_r_over; delta_r <-‐ rhoB -‐ rhoA; delta_r_over <-‐ step(delta_r); }
20.
21.
mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat rhoA 0.63 8.1e-‐4 0.04 0.54 0.6 0.63 0.66 0.71 2876 1.0 rhoB 0.72 6.7e-‐4 0.03 0.65 0.7 0.73 0.75 0.79 2626 1.0 delta_r 0.1 1.0e-‐3 0.06-‐9.0e-‐3 0.06 0.1 0.14 0.21 2790 1.0 delta_r_over 0.96 3.6e-‐3 0.19 0.0 1.0 1.0 1.0 1.0 2814 1.0
22.
23.
⇢11(= 1.00) ⇢22(= 1.00) ⇢33(=
1.00) ⇢21 ⇢31 ⇢32
24.
⇢2 = ⇢32 ⇢21
25.
transformed parameters{
vector<lower=0>[3] sig2; matrix[3,3] Sigma; for(i in 1:3){ sig2[i] <-‐ pow(sigma[i],2); } Sigma <-‐ diag_matrix(sigma) * rho * diag_matrix(sigma); } model{ for(i in 1:N){ x[i] ~ multi_normal(mu,Sigma); } } generated quantities{ rho_21 <-‐ rho[2,1]; rho_31 <-‐ rho[3,1]; rho_32 <-‐ rho[3,2]; delta_r2 <-‐ rho[3,2] -‐ rho[2,1]; delta_r2_over <-‐ step(delta_r2); }
26.
27.
mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat rho_21 0.45 1.3e-‐3 0.06 0.33 0.41 0.45 0.49 0.57 2358 1.0 rho_31 0.62 9.7e-‐4 0.05 0.52 0.59 0.62 0.65 0.7 2406 1.0 rho_32 0.75 6.8e-‐4 0.03 0.67 0.73 0.75 0.77 0.81 2552 1.0
28.
(t) ⇢2 = g(⇢21 ⇢32)
= ⇢ (t) 32 ⇢ (t) 21 u (t) ⇢2 >0 ( 1 (t) ⇢2 > 0 0 otherwise
29.
30.
mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat delta_r2 0.3 1.1e-‐3 0.05 0.19 0.26 0.29 0.33 0.41 2562 1.0 delta_r2_over 1.0 0.0 0.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 10000 nan
31.
32.
33.
x y x1 x2 y Nx =
500 Nx1 = 378 Ny = 122
34.
Ny Y i=1 p(x2i, yi|µx2 , µy,
2 x2 , 2 y, 2 x2y) x2 y for(i in 1:Ny){ y[i] ~ multi_normal(mu2, S2); }
35.
Ny Y i=1 p(x2i, yi|µx2 , µy,
2 x2 , 2 y, 2 x2y) Ny Y i=1 p(x2i, yi|µx, µy, 2 x, 2 y, 2 xy) Nx1Y j=1 p(x1j|µx, 2 x)
36.
x2 y for(i in 1:Ny){
y[i] ~ multi_normal(mu, Sigma); } for(i in 1:Nx){ x[i] ~ normal(mu[1], sqrt(sigma[1])); } x Ny Y i=1 p(x2i, yi|µx, µy, 2 x, 2 y, 2 xy) Nx1Y j=1 p(x1j|µx, 2 x)
37.
38.
mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat rho_truncated 0.6 1.1e-‐3 0.06 0.47 0.56 0.6 0.64 0.7 2824 1.0 rho_corrected 0.81 8.8e-‐4 0.04 0.71 0.79 0.82 0.84 0.88 2182 1.0 2 xy
39.
x y Nx = 500 Ny
= 500
40.
mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat rho_truncated 0.6 1.1e-‐3 0.06 0.47 0.56 0.6 0.64 0.7 2824 1.0 rho_corrected 0.81 8.8e-‐4 0.04 0.71 0.79 0.82 0.84 0.88 2182 1.0 rho_complete 0.83 2.9e-‐4 0.01 0.8 0.82 0.83 0.84 0.86 2324 1.0
41.
42.
43.
xij = µk
+ ↵ki + kj + ekij i j k r m ↵ki = µki µk
44.
xij = µr
+ ↵ri + rj + erij ↵ri = µri µk erij ⇠ N(0, 2 er) ↵r ⇠ N(0, 2 ↵r) r ⇠ N(0, 2 r) 2 x = 2 ↵r + 2 r + 2 er xij ⇠ N(µr + ↵ri + rj, 2 x)
45.
46.
ICC(2, 1) ICC(2, 1)(t) =
g( 2(t) ↵r , 2(t) r , 2(t) er ) = 2(t) ↵r 2(t) ↵r + 2(t) r + 2(t) er ICC(2, j) ICC(2, j)(t) = g( 2(t) ↵r , 2(t) r , 2(t) er ) = 2(t) ↵r 2(t) ↵r + ( 2(t) r + 2(t) er )/j
47.
model{
mu ~ normal(0, 1000); for(s in 1:S){ alpha[s] ~ normal(0, tauSubject); } for(r in 1:R){ beta[r] ~ normal(0, tauRater); } for(s in 1:S) { for(r in 1:R) { nu <-‐ mu + alpha[s] + beta[r]; Score[s,r] ~ normal(nu, tauWithin); } } } generated quantities{ ICC21 <-‐ sig2subject / (sig2subject + sig2rater + sig2within); ICC24 <-‐ sig2subject / (sig2subject + ((sig2rater + sig2within)/4)); }
48.
49.
mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat sig2subject 8.8 0.06 4.47 3.44 5.9 7.8 10.48 20.28 6130 1.0 sig2rater 4.29 2.33 61.98 1.7e-‐3 0.03 0.16 0.58 12.73 705 1.0 sig2within 3.65 0.03 0.84 2.37 3.03 3.52 4.12 5.57 683 1.0 ICC21 0.64 4.9e-‐3 0.14 0.28 0.57 0.66 0.74 0.85 834 1.0 ICC24 0.86 5.0e-‐3 0.11 0.61 0.84 0.89 0.92 0.96 446 1.0
50.
xij = µm
+ ↵mi + mj + emij ↵mi = µmi µm emij ⇠ N(0, 2 em) ↵m ⇠ N(0, 2 ↵m) m ⇠ N(0, 2 m) 2 x = 2 ↵m + 2 em xij ⇠ N(µm + ↵mi + mj, 2 x)
51.
ICC(2, j) ICC(3, 1) ICC(3,
1)(t) = g( 2(t) ↵m , 2(t) em ) = 2(t) ↵m 2(t) ↵m + 2(t) em ICC(3, j)(t) = g( 2(t) ↵m , 2(t) em ) = 2(t) ↵m 2(t) ↵m + 2(t) em /j
52.
model{
mu ~ normal(0, 1000); for(s in 1:S){ alpha[s] ~ normal(0, tauSubject); } for(s in 1:S) { for(r in 1:R) { nu <-‐ mu + alpha[s] + beta[r]; Score[s,r] ~ normal(nu, tauWithin); } } } generated quantities{ ICC31 <-‐ sig2subject / (sig2subject + sig2within); ICC34 <-‐ sig2subject / (sig2subject + (sig2within/R)); }
53.
54.
mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat sig2subject 8.82 0.05 4.48 3.39 5.8 7.79 10.67 20.29 9199 1.0 sig2within 3.76 9.6e-‐3 0.89 2.41 3.13 3.63 4.25 5.89 8580 1.0 ICC31 0.67 1.1e-‐3 0.11 0.44 0.6 0.68 0.75 0.86 9291 1.0 ICC34 0.89 5.5e-‐4 0.05 0.76 0.86 0.9 0.92 0.96 9239 1.0
55.
56.
57.
ICC(3, J0 )(t) = g(
2(t) ↵m , 2(t) em ) = 2(t) ↵m 2(t) ↵m + 2(t) em /J0 ICC(2, J0 )(t) = g( 2(t) ↵r , 2(t) r , 2(t) er ) = 2(t) ↵r 2(t) ↵r + ( 2(t) r + 2(t) er )/J0 u (t) ICC(2,J0) = g( 2(t) ↵r , 2(t) r , 2(t) er ) = ( 1 ICC(2, J0 )(t) > 0.9 0 otherwise u (t) ICC(3,J0) = g( 2(t) ↵, , 2(t) em ) = ( 1 ICC(3, J0 )(t) > 0.9 0 otherwise
58.
generated quantities{
ICC25 <-‐ sig2subject / (sig2subject + ((sig2rater + sig2within)/5)); ICC26 <-‐ sig2subject / (sig2subject + ((sig2rater + sig2within)/6)); nine6 <-‐ step(rho6 -‐ 0.9); } generated quantities{ ICC34 <-‐ sig2subject / (sig2subject + (sig2within/R)); ICC35 <-‐ sig2subject / (sig2subject + (sig2within/5)); nine <-‐ step(ICC35 -‐ 0.9); }
59.
mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat ICC25 0.89 4.8e-‐3 0.1 0.66 0.87 0.91 0.93 0.97 411 1.0 ICC26 0.9 4.7e-‐3 0.09 0.7 0.89 0.92 0.94 0.97 388 1.0 nine6 0.69 0.01 0.46 0.0 0.0 1.0 1.0 1.0 1375 1.0 mean se_mean sd 2.5% 25% 50% 75% 97.5% n_eff Rhat ICC34 0.89 5.5e-‐4 0.05 0.76 0.86 0.9 0.92 0.96 9239 1.0 ICC35 0.91 4.7e-‐4 0.05 0.8 0.88 0.92 0.94 0.97 9231 1.0 nine 0.64 4.8e-‐3 0.48 0.0 0.0 1.0 1.0 1.0 9981 1.0
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