2. Recordatorios
• Se someterán las notas midterm
próximamente
• En caso de situación indicárselo al
profesor tal como se estableció en laprofesor tal como se estableció en la
reunion introductoria
• Estudiantes con acomodos le aplican las
normas establecidas en su acomodo
3. Tenemos bolsas de 25 caramelos, entre los cuales 5 son de menta.
¿Cuántos caramelos de menta habrá por cada 100 caramelos?
25 caramelos 50 caramelos 75 caramelos 100 caramelos
1. Tanto por ciento o porcentaje
Hay 20 caramelos de menta
por cada 100 caramelos.
Un tanto por ciento o porcentaje es la cantidad que hay en cada
100 unidades. Se expresa añadiendo a la cantidad el símbolo %
50
10
100
20
75
15
50
10
25
5
25
5
5 de menta 10 de menta 15 de menta 20 de menta
75
15
100
20
·2
·3
·4
20 %
4. Las paredes de una cocina se han recubierto de
azulejos blancos y verdes, siguiendo este modelo.
En la figura aparecen 100 azulejos, de los cuales
20 son verdes. Esto es, el 20%
¿Cuántos azulejos verdes se colocaron si se han
necesitado 1550 para recubrir las paredes?
20
El 20% = El 20% de 1550 = 310
310001550·20
1550·
20
2. Cálculo de porcentajes
Para calcular un tanto por ciento o porcentaje de una cantidad,
se multiplica la cantidad por la fracción equivalente al porcentaje.
100
El 20% = El 20% de 1550 = 310
100100
1550·
100
Se han colocado
310 azulejos
Ejemplo: El 15% de 360 es igual a 54
100
5400
100
360·15
360·
100
15
15
100
1500
100
60·25
25·
100
60
En una clase hay 25 estudiantes, de los cuales el 60% son alumnas.
¿Cuántas alumnas hay en la clase?
Ejercicio:
El 60% de 25 = Hay 15 alumnas.
5. Cada porcentaje es equivalente a una fracción. Así, el 65% =
Por tanto, existe una relación clara entre los porcentajes, las fracciones y los
números decimales. Veámosla esquemáticamente:
El 65% = 0,65
100
65
100
65
El 100% = 1
100
100
Porcentajes
Fracciones
908070605040302010
3. Porcentajes, fracciones y números decimales
Para obtener el número decimal equivalente a un porcentaje
se separan con una coma, empezando por la derecha, dos
cifras decimales en la cantidad que indica el porcentaje.
Fracciones
Decimales
100100100100100100100100100
Porcentaje Fracción Número decimal
100
65
65% 0,65
6. La relación entre los porcentajes, las fracciones y los números decimales se
observa en el esquema:
Porcentajes
Fracciones
Decimales
100
90
100
80
100
70
100
60
100
50
100
40
100
30
100
20
100
10
4. Cálculo de porcentajes mediante números decimales
1055000,21500
100
21
21% de 500 =
Aplicación:
El porcentaje de una cantidad se puede calcular multiplicando la cantidad
por el número decimal equivalente al porcentaje.
Un tipo de fideos contiene 21% de proteínas. ¿Cuántos
gramos de proteínas contendrán 500 g de estos fideos?
Contiene 105 gramos de proteínas.
34% de 250 = 0,34 × 250 = 85
7. 3250,1225
100
12
A Mercedes le gusta mucho un libro de Arte que cuesta 25 €, pero por ser la
Feria del Libro está rebajado en un 12%. ¿Cuánto cuesta el libro?
La rebaja es el 12% de 25 =
El libro cuesta 25 – 3 = 22 €
Si rebajan el 12%, se pagará el 88% de su valor inicial.
88% de 25 = 0,88 × 25 = 22
OBSERVA
5. Resolución de problemas (I)
88% de 25 = 0,88 × 25 = 22
Ricardo esta disgustado porque por retrasarse unos días en pagar una deuda
de 160 € le han aplicado un recargo del 15%. ¿Cuánto tiene que pagar?
El recargo es el 15% de 160 = 0,15 × 160 = 24
Debe pagar 160 + 24 = 184 €
Si le recargan el 15%, pagará el 115% de su valor inicial.
115% de 160 = 1,15 × 160 = 184
OBSERVA
8. Se hace un 15% de descuento.
Leer el enunciado y subrayar los datos y lo que hay que averiguarPrimero:
Problema: Una tienda de discos hace un 15% de descuento. Isabel ha decidido aprovechar
estas rebajas para comprar discos compactos con las 120 € que tiene ahorradas. ¿Cuántos dis-
cos podrá comprar si el precio de cada uno de ellos sin el descuento es de 12 euros?
Interpretar la información del enunciado mediante un esquemaSegundo:
El 15% de descuento significa que rebajan 15 € por cada 100 de compra.
Se dispone de 120 €. Cada disco vale 12 euros.
6. Resolución de problemas (II)
El 15% de descuento significa que rebajan 15 € por cada 100 de compra.
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
15%
0,15Cada disco costará 12 · 0,85; el 85% de 12 0,85
Hacer los cálculos necesarios y criticar el resultadoTercero:
Precio inicial: 12 € Precio rebajado: 0,85 · 12 = 10’20 €
Isabel puede comprar: 120 : 10’20 = 11,76 (Pero esta cantidad no es posible con discos).
Comprará 11 discos, por 11 · 10’20 = 112’20 €
Le quedarán 112’20 – 120 = 7’80 euros
9. Un descuento del 20% quiere decir que de cada 100 euros pagamos 80.
Ejemplo1. En las rebajas de enero el descuento de una tienda es del
20% sobre el precio indicado. Un señor compra un juego de toallas
etiquetado con 90 euros. ¿Cuánto tiene que pagar?
Aplicando la regla de tres, se tiene:
Si de 100 euros pagamos 80 90·80100 80
7. Problemas de porcentajes (I)
Si de 100 euros pagamos 80
De 90 euros pagaremos x
72
100
90·80
x
Tendrá que pagar 72 euros por el juego de toallas.
100 80
90 x
En la práctica
Un descuento del 20% equivale a multiplicar por 0,20. La cantidad
resultante es lo rebajado.
Rebaja: 90 · 0,20 = 18. Se paga: 90 – 18 = 72 euros
Directamente. Si descuentan el 20%, se pagará el 80%.
Se pagarán 90 · 0,80 = 72 euros
10. Si el impuesto es del 16%, quiere decir que por cada 100 euros debemos pagar 116.
Ejemplo 2. Una señorita compra un coche cuyo precio de fábrica es de
8200 euros. A este precio hay que añadirle un16% de IVA (impuesto
sobre el valor añadido). ¿Cuál será el precio final del coche?
Aplicando la regla de tres simple se tiene:
Si por 100 euros pagamos 116 8200·116100 116
8. Problemas de porcentajes (II)
Si por 100 euros pagamos 116
Por 8200 euros pagaremos x
9512
100
8200·116
x
Por tanto, tendrá que pagar 9512 euros por el coche.
100 116
8200 x
En la práctica
Un incremento del 16% equivale a multiplicar por 0,16. La cantidad
resultante es el incremento total.
Incremento: 8200 · 0,16 = 1312. Se paga: 8200 + 1312 = 9512 euros
Directamente. Si se incrementa el 16%, se pagará el 116%.
Se pagarán 8200 · 1,16 = 9512 euros
11. PORCENTAJES
1.- Concepto de porcentaje
La expresión porcentaje o tanto por ciento equivale a “tantos de cada 100”. Es decir, hablar del 40% es
hablar de 40 de cada 100.
Teniendo en cuenta lo anterior, para hallar un tanto por ciento de una cantidad deberíamos dividir
primero por 100 para ver cuántas cientos hay en la cantidad y después multiplicaríamos por el tanto por
ciento.
Así, para hallar el 35% de 420 haríamos lo siguiente:
420 : 100 = 4,2
4,2 . 35 = 147
En la práctica lo haremos de otras formas pero esta idea nos puede venir bien para calcular mentalmente
–o con cálculos sencillos- tantos por cientos en los que aparecen ceros al final de las cantidades.
Recuerda que para dividir por 100 un número que acaba en ceros lo que hacemos es quitar dos ceros.
Por ello, para calcular estos porcentajes quitaremos dos ceros y multiplicaremos las cantidades
resultantes:
4% de 600 = 4 . 6 = 24
20% de 60 =
(*) En este último ejemplo lo mejor es multiplicar 4 por 5 (sólo hemos quitado un cero) y del resultado,
20, quitar el segundo cero y llegar al resultado final,2.
30% de 50 = 3 . 5 = 15 40% de 500 = 40 . 5 = 200
8% de 2000 = 4% de 50 =2 . 6 = 12 8 . 20 = 160 4 . 0,5 = 2 (*)
12. PORCENTAJES
2.- Cálculo de porcentajes: porcentaje como fracción
Hemos visto que 40% es lo mismo que 40 de cada 100. Pero resulta que 40 de cada 100 también lo
podemos expresar en forma de fracción: 40/100. Es decir,
40% =
100
40
Por ello, hallar el 40% de 600 será lo mismo que calcular de 600. En la práctica
procederemos así:100
40
35 % de 60 = 21
100
60.35
100
A esta forma de calcular porcentajes la llamaremos porcentaje como fracción o también “con
lápiz y papel”
28% de 420 =
100
420.28
117,6 150% de 36 =
100
36.150
54
13. PORCENTAJES
3.- Cálculo de porcentajes: porcentaje como regla de tres
Podemos interpretar el cálculo de un porcentaje como un problema de proporcionalidad directa.
Por ello, también podremos calcularlos por medio de una regla de tres.
Ejemplo: Calcular 40% de 650
Total Parte
100 ------ 40
650 ------ x x
40
650
100
260
100
40.650
x
Esta forma de calcular los porcentajes es particularmente útil para resolver algunos problemas.
14. PORCENTAJES
4.- Cálculo de porcentajes: con calculadora
Calcular 35% de 60
CALCULADORA NO CIENTÍFICA
Deberás teclear:
60 x 35 %
y aparecerá el resultado en la
pantalla
21
CALCULADORA CIENTÍFICA
La secuencia de teclas depende del modelo de calculadora.
Para la Casio es:
60 x 35 SHIFT =
SHIFT activa la segunda función de las teclas
Tecla = contiene % como segunda función21 Tecla = contiene % como segunda función
SHIFT
=
%
SHIFT + = %
15. PORCENTAJES
6.- Cálculo de porcentajes: resumen
50 % de 300
a) Con lápiz y papel (porcentaje como fracción): 50% de 300 =
100
50.300
x
50
300
100
150
b) Como regla de tres: 50% de 300
Total Parte
100 ------ 50
300 ------ x
x =
100
50.300
150
d) Mentalmente (con números que acaban en ceros): 50% de 300 = 50 . 3 = 150
c) Con calculadora: 50% de 300 =>
e) Cálculo rápido (sólo en determinados casos): 50% de 300 = 300 : 2 = 150
50 x 300 % = 150
16. PORCENTAJES
7.-Problemas de porcentajes 1
Asignaremos nombres a los diferentes elementos que integran el cálculo de un tanto por ciento:
30% de 40 = 12
porcentaje
total
parte
A- CÁLCULO DE LA PARTE
En mi clase, el 40% son chicas. Si en total somos 30, ¿cuántas son las chicas?
(El problema se resuelve hallando el 40% de 30 por cualquiera de los métodos que conocemos)
total : 30
chicas: 40%
40% de 30 = 12 Solución:
12 chicas
17. PORCENTAJES
8.- Problemas de porcentajes 2
En mi clase, de 30 que somos en total, 12 son chicas. ¿Qué porcentaje representan las chicas?
(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100)
Total Chicas
30 --- 12
100 --- x
x
12
100
30
40
30
12.100
x
Solución:
40%
B- CÁLCULO DEL PORCENTAJE
30
Otra forma de resolverlo
Alumnos %
30 ------- 100
12 ------- x
x
100
12
30
40
30
100.12
x
Solución:
40%
18. PORCENTAJES
9.- Problemas de porcentajes 3
En mi clase hay 12 chicas y representan el 40% del total. ¿Cuántos somos en total?
(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100)
Total Chicas
100 --- 40
x --- 12
12
40
x
100
30
12.100
x
Solución:
30 alumnos/as
C- CÁLCULO DEL TOTAL
30
40
x
Otra forma de resolverlo
% Alumnos/as
40 ---------- 12
100 --------- x
x
12
100
40
30
40
12.100
x
Solución:
30 alumnos/as
19. PORCENTAJES
10.- Problemas de porcentajes 4
Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, aumenta en un porcentaje de su valor y llega a un
valor final.
Mi tío gana 1200 € mensuales de sueldo y le van a subir el 12%. ¿Cuánto ganará después de
la subida?
1200 + 144 = 1344
Solución:
1344 €
D- AUMENTO PORCENTUAL
Sueldo: 1200 €
Aumento: 12%
12% de 1200 = 144
1200 + 144 = 1344
1344 €
Otra forma de resolverlo
Solución:
1344 €
(Si aumenta el 12%, cada 100 de antes se convienten en 112)
Sueldo: 1200 €
Aumento: 12%
112% de 1200 = 1344
20. PORCENTAJES
- Problemas de porcentajes 5
Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, disminuye en un porcentaje de su valor y llega a un
valor final.
La camiseta que me gusta vale hoy 30 €. Si en rebajas tiene un descuento del 25%. ¿Cuánto me
costará entonces?
Solución:
E- DISMINUCIÓN PORCENTUAL
Precio: 30€
Decuento: 25%
25% de 30 = 7,5
30 – 7,5 = 22,5 22,5 €
Otra forma de resolverlo
Solución:
22,5 €
(Si me descuentan el 25%, pago el 75% del valor)
Decuento: 25%
Precio: 30€
Decuento: 25%
75% de 30 = 22,5
21. PORCENTAJES
12.- Otros problemas de aumento y
disminución porcentual (1)
Mi tío gana 1344 € mensuales de sueldo después de una subida del 12%. ¿Cuánto ganaba
antes?
Antes Después
100 --- 112
112100
1344.100
x 1200
Solución:
Son problemas en los que se nos pide averiguar el valor inicial conociendo el valor final y el
porcentaje de aumento o disminución. Los resolveremos de dos formas
Por regla de tres
100 --- 112
x --- 1344
1344
112
x
100
112
x 1200
1200 €
Otra forma de resolverlo
112 % de x = 1344
100% + 12% = 112%
112
100.1344
x 1200
Solución:
1200 €
Sueldo antes: x
Aumento: 12%
Sueldo después: 1344€
22. He pagado 22,50 € por una camiseta. Si me han descontado el 25%, ¿cuál era el precio antes
de la rebaja?
Antes Después
100 --- 75
x --- 22,50
22,50
75
x
100
75
22,50.100
x
Solución:
30€
13.- Otros problemas de aumento y
disminución porcentual (2)
PORCENTAJES
Por regla de tres
30
Otra forma de resolverlo
75 % de x = 22, 50
100% - 25% = 75%
75
100.22,50
x
Solución:
30€
30
Precio antes: x
Descuento: 25%
Precio después: 22,50€
