El documento explica los números enteros, incluyendo su representación en la recta numérica, las operaciones con ellos como suma, resta, opuestos y el uso de paréntesis. Se define qué son los números enteros, cómo se representan positivos y negativos, y cómo realizar cálculos algebraicos básicos con ellos como suma, resta y uso de paréntesis.

1. 9 de junio de 2009 Buena temperatura: + 20 ºC +20 +5000 +7 – 7 – 5000 – 20 0 Mucho frío: – 20 ºC Soy rico: tengo +5000 euros Debo dinero: “tengo” -5000 euros Los números naturales se consideran enteros positivos. Por cada entero positivo hay un entero negativo. Van precedidos por un signo menos (–) De los números naturales a los enteros Los números enteros están formados por: enteros positivos, enteros negativos y el cero Los juegos olímpicos empezaron en el año 776 antes de Cristo – 250 El submarino navega a 250 m bajo el nivel del mar – 776

2. 9 de junio de 2009 1º. Se traza una recta y se elige un punto para representar el 0. 2º. A la derecha del 0 se representa el +1. 3º. La distancia entre 0 y +1 será la que exista entre cada dos enteros consecutivos. 4º. A la derecha del 0 se colocan los enteros positivos . 4º. A la izquierda del 0 se colocan los enteros negativos . Es útil representar los números enteros en la recta. Se siguen los pasos: +1 +2 +3 +4 +5 +6 – 1 0 – 2 – 3 – 4 – 5 Representación de los números enteros Positivos Negativos

3. 9 de junio de 2009 Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que sigue al signo. Se indica escribiéndolo entre barras Es evidente que +2 y –2 están asociados al número natural 2. Por eso: Los números +2 y –2 están a la misma distancia del cero: El número natural 2 se llama valor absoluto de + 2 y –2. Se indica así: Otro ejemplo: Valor absoluto de un número entero +1 +2 +3 +4 +5 +6 – 1 0 – 2 – 3 – 4 – 5 – 2 +2

4. 9 de junio de 2009 Ordenación: Valor absoluto de un número entero es el número natural que sigue al signo Se indica escribiéndolo entre barras. Así: Gráficamente, un número entero es mayor que otro cuando en la recta numérica está a la derecha. Cualquier número entero positivo es mayor que cualquier entero negativo . El cero es mayor que cualquier negativo y menor que cualquier positivo . Dados dos números enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto. Dados dos números enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto. Valor absoluto y ordenación de los números enteros 0 +1 +3 +2 +4 +6 – 5 +5 – 4 – 3 – 2 – 1 Más grandes Más pequeños

5. 9 de junio de 2009 (+2) + (+3) = +5 Para sumar dos números enteros del mismo signo: 1.º Se suman sus valores absolutos. (–2) + (–3) = –5 2.º Al resultado se añade el signo que tienen. +2 +3 – 2 – 3 (+6) + (+12) = +18 (+4) + (+21) = +25 (–4) + (–11) = –15 (–17) + (–31) = –48 Suma de enteros del mismo signo 0 +1 +3 +2 +4 +6 +5 – 2 – 1 – 4 – 3 – 1 – 2 0 +2 +1 – 6 – 5

6. 9 de junio de 2009 (+12) + (–9) = +3 Para sumar dos números enteros de distinto signo: 1.º Se restan sus valores absolutos, el menor del mayor. (+18) + (–19) = –1 2.º Al resultado se le pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. Teresa y Miguel hacen cuentas ... Nos han dado 12 euros Y hemos gastado 9 euros Les quedan 3 euros Carola y Pablo también hacen sus cuentas ... Nos han dado 18 euros Y hemos gastado 19 euros Deben 1 euro ¿Les queda o deben dinero? (Observa que el resultado es negativo, como el número de mayor valor absoluto). Suma de números enteros de distinto signo

7. 9 de junio de 2009 Para sumar varios números enteros: 1.º Se suman separadamente los positivos y los negativos. 2.º Se suman el número positivo y el negativo obtenido. Otros ejemplos: (+5) + (–4) + (+11) + (–7) = (+5) + (+11) + (–4) + (–7) = (+16) +(–11) = +5 (+15) + (–8) + (–31) + (+7) = (+15) + (+7) + (–8) + (–31) = (+22) +(–39) = –17 Observa que sumamos por separado los positivos y los negativos . (+100) + (–40) + (–70) + (+50) = = ( +150 ) + ( –110 ) = +40 Veamos un ejemplo: (+100) + (+50) + (–40) + (–70) = Suma de varios números enteros

8. 9 de junio de 2009 4 y –4 son dos números enteros simétricos respecto de 0. Tiene el mismo valor absoluto, pero distinto signo. 4 = op.(–4) –4 = op. (+4) El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número 8 6 – 2 – 8 – 6 – 6 – 7 – 12 7 12 Se llaman opuestos. Opuesto del opuesto: op.(–5) = 5 op.(5) = –5 Observa que el opuesto de la suma es la suma de los opuestos. 2 – 5 5 12 Opuesto de un número entero +1 +2 +3 +4 +5 +6 – 1 0 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 a b a + b op. (a) op. (b) op. (a+b) op. (a) + op. (b)

9. 9 de junio de 2009 Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo. 1º. Como signo de la operación resta: 9 – 5 (+9) – (+5) = 9 – 5 = 4 2º. Como indicador de número negativo: –3 (+8) +(–8) = (–8) + (+8) = 0. (Observa que un número más su opuesto vale 0). (–7) + (–8) – (–17) + (–10) = –7 – 8 + 17 – 10 = – 25 + 17 = –8 (–9) – (+5) = –9 – 5 = –14 (–9) – (–5) = –9 + 5 = –4 (+9) – (–5) = 9 + 5 = 14 Algunos ejemplos: – 7 – 12 + 32 – 19 + 49 = –7 – 12 – 19 + 32 + 49 = – 38 + 81 = 43 Resta de números enteros El signo – tiene dos significados:

10. 9 de junio de 2009 Cuando un paréntesis tiene delante el signo menos (–) se puede operar de dos maneras: 1º. Haciendo las operaciones del paréntesis. 2º. Suprimiendo el paréntesis cambiando el signo a los números que contiene. 9 – (12 + 3) = 9 – 15 = –6 1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 9 – (12 + 3) = 9 + op. (12 + 3) = 9 + op. (12) + op. (3) = 9 – 12 – 3 = 9 – 15 = –6 2º. También se puede hacer así: 12 – (10 – 6) = 12 – 4 = 8 1º. Operando antes el paréntesis: Como ves, sale el mismo resultado. 12 – (10 – 6) = 12 + op. (10 – 6) = 12 + op. (10) + op. (–6) = 12 – 10 + 6 = 8 2º. También se puede hacer así: El uso del paréntesis 9 – (12 + 3) Vamos a calcular: 12 – (10 – 6) Calculamos ahora: Son iguales

11. 9 de junio de 2009 ( a) 15 + (17 – 38) – (–14 + 17) = 15 – 21 – 3 = – 9 (operando dentro de los paréntesis). Otros ejemplos: Un signo – delante de un paréntesis cambia el signo de todos los números de dentro. 8 + (4 – 14) = 8 – 10 = – 2 (c) 8 – (–7 + 14 – 19) = 8 + 7 – 14 + 19 = 34 – 14 = 20 (quitando el paréntesis). 1º. Haciendo antes las operaciones del paréntesis: 8 + (4 – 14) = 8 + 4 – 14 = 12 – 14 = – 2 2º. Quitando el paréntesis: 15 – (12 – 2) = 15 – 10 = 5 1º. Operando antes el paréntesis: 2º. Quitando el paréntesis: 15 – (12 – 2) = 15 – 12 + 2 = 3 + 2 = 5 Un signo + delante de un paréntesis no cambia el signo de ningún número de él. Operar con paréntesis 8 + (4 – 14) La expresión: se puede calcular de dos maneras: 15 – (12 – 2) Análogamente: se puede calcular de dos maneras: